专题 2.1 有理数的加法（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.1 有理数的加法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）有理数加法法则 1 【题型1】有理数的加法——同号两数相加 1 【题型2】有理数的加法——异号两数相加 3 【题型3】有理数的加法——一个数同0相加和互为相反数相加 4 知识点（二）有理数加法中的符号问题 5 【题型4】数轴上有理数相加符号问题 5 知识点（三）有理数加法运算律 6 【题型5】利用加法运算律进行简便运算 7 【题型6】有理数相加的应用 9 二． 同步练习 11 【基础巩固（16题）】 11 【能力提升（16题）】 18 【中考真题6题】 26 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 【题型1】有理数的加法——同号两数相加 【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）82；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相反即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）8；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相反即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； 【变式2】6．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）15；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相反即可． 解：（1）原式 （2）原式． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； 【题型2】有理数的加法——异号两数相加 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加法运算，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． 解：（1）； （2）； 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加法运算，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． 解：（1）解： ； （2）解： ； 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 解：（1）解：； （2） ； （3） 一个数同0相加，仍得这个数.互为相反数相加，和为0. 【题型3】有理数的加法——一个数同0相加和互为相反数相加 一个数同0相加仍得这个数，互为相反数两数相加和为零。 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 解：（1） （2） 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 解：（1）解：； （2）解：； 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 解：（1）解：； （2）原式 ； 知识点（二）有理数加法中的符号问题 （1）观察：加数是同号还是异号；特别注意如果异号，还要看是不是互为相反数； （2）定符号：同号取相同符号；异号取绝对值大的符号. 【题型4】数轴上有理数相加符号问题 【例题4】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 解：∵，，， ∴， 故选：A． 【变式1】（2023·贵州贵阳·一模）点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足，则下列选项中原点位置正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据数轴可得，分两种情况进行讨论：当a、b同号时，当a、b异号时． 解：根据数轴可得， 当a、b同号时： ∵， ∴，故A正确，符合题意；C、D不正确，不符合题意； 当a、b异号时： ∵，， ∴，故B不正确，不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了根据数轴比较大小，有理数的加法法则，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数，右边>左边；同号两数相加，取它们相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大数的符号． 【变式2】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（    ） A．a＋b B．a＋c C．c＋（﹣b） D．a＋（﹣c） 【答案】D 【分析】根据点A、B、C所在数轴上的位置，判断各个数的大小及绝对值，从而得出判断即可． 解：由点A、B、C所在数轴上的位置可知， c＜a＜0＜b，且|c|＞|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a+c＜0，c+（﹣b）＜0，a+（﹣c）＞0， 故选：D 【点拨】本题考查了有理数大小的比较、绝对值的意义、有理数的加法法则，根据数轴确定各数的大小及掌握有理数加法法则是关键． 知识点（三）有理数加法运算律 1.加法运算律：两个数相加，交换加数的位置，和不变； 符号语言：. 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； 符号语言：. 运算加法运算律步骤： （1）观察：题中是否有同号、凑整、同分母、相反数、带分数等等； （2）结合：把有同号、凑整、同分母、相反数、带分数组合在一起，注意符号要跟上； （3）运算：运算有理数加法法则计算． 【题型5】利用加法运算律进行简便运算 【例题5】（2024七年级上·广东·专题练习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟记有理数的加法运算法则是解题关键． （1）根据加法交换律与结合律进行计算即可； （2）先都化为小数，再根据加法交换律与结合律进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可； （4）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 解：（1）解： （2） （3） （4） 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，先拆项，然后利用加法交换律和结合律计算即可． 解： ． 【题型6】有理数相加的应用 【例题6】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： （1）这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； （2）与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【答案】（1）；（2）与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数比较大小的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）超过或不足的重量的绝对值最小的那筐白菜最接近标准重量，据此求解即可； （2）把这6筐白菜超过或不足的重量相加，若结果为正，则与标准重量比较是超过，计算结果即为超过的重量，若结果为0，则等于标准重量，若结果为负，则与标准重量比较是不足，计算结果的绝对值即为不足的重量，据此求解即可． 解：（1）解：∵， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜是编号为4的白菜， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重千克； （2）解： 千克， 答：与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克． 【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【答案】+4/4 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据有理数的加法法则求和即可． 解：由题意可得：， ∴尹老师当天微信收支的最终结果是收入4元， 故答案为：4． 【变式2】（20-21七年级上·陕西西安·期中）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，如图①表示的是（+2）+（﹣2），可推算图②中所得的数值为（　　） A．﹣3 B．+3 C．﹣6 D．+6 【答案】A 【分析】根据“正放表示正数，斜放表示负数”再根据图中的实例列式计算即可． 解：由题意得，（+3）+（﹣6）＝﹣3， 故选：A． 【点拨】本题考查有理数的加法，理解题意列出算式是解决问题的关键． 2． 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·福建泉州·期中）若，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据加法运算的法则进行求解即可． 解：∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级下·吉林·期中）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可． 解：， 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是（   ） A． B．6或 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的间的距离，解题的关键注意分类讨论． 数轴上到数所表示的点的距离为5的点有两个，故得到或． 解：由题意得：或， ∴数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是或4， 故选：D． 4．（22-23七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【答案】C 【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可． 解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意； B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意； D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键． 5．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）在一次数学活动课上，刘老师在四张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是4，5，6，7中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，一定不是刘老师在卡片上写的数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设四个数按从小到大排列为，则最小的和，最大的和．通过分析可能的组合． 解：由题意，最小的和为4，最大的和为7，故，． 若，则（因）．此时，，且．可能的组合为，，即四个数为．此时所有和为，，，，满足条件． 若，则（因）．此时，，且．可能的组合为，，即四个数为．此时所有和为，，，，满足条件． 综上可知，这4个数可能是或． 故选D． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若a与b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数的两个数相加得0是解题的关键． 根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 解：若有理数a与b互为相反数，则， 故答案为：0． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）在公元纪年法中，没有“公元0年”的概念，公元前1年的下一年是公元1年，即公元元年．如果公元前102年记作年，那么再过2125年是公元后的多少年呢？应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算． 根据“公元前1年的下一年是公元1年”列式计算即可． 解：∵公元前1年的下一年是公元1年， ∴再过2125年是（年） 故答案为：． 9．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，，则的值为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的意义是关键；由题意可求得x与y的值，再代入计算即可． 解：∵，， ∴； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为3或5． 故答案为：3或5． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键．根据同分母分数可以利用凑整法，解答即可． 解：观察分母，在计算时， 中可以填， 得 ． 故答案为：（答案不唯一）． 11．（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上、两点表示的数分别为、，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，有理数的加法运算，由数轴可知，，且，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 解：由数轴可知，，且， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 解：（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 三、解答题 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，加法的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，有理数的加法运算的应用，利用点和点之间的距离为2个单位长度，点和点之间的距离为6个单位长度可得，，再进一步解答即可． 解：由题图，得从左往右依次是点，，，且点和点之间的距离为2个单位长度，点和点之间的距离为6个单位长度． ∵， ∴，， ∴． 15．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）足球守门员在球门前来回跑动进行体能训练，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，这名守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） （1）守门员离开球门线的最远距离达多少米？ （2）如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【答案】（1）米；（2）3次 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数的大小比较，理解题意是解题关键． （1）分别求出每次跑动距离球门的距离，比较大小后取最大值即可； （2）结合（1）的结果，找出守门员离开球门线的距离超过10米的情况，即可得到答案． 解：（1）解：第一次跑动：， 第二次跑动：， 第三次跑动： 第四次跑动： 第五次跑动： 第六次跑动： 第七次跑动： 第八次跑动：， ， 守门员离开球门线的最远距离达米； （2）解：由（1）可知，在这一时间段内，守门员离开球门线的距离超过10米的情况有3个， 则对方球员有3次挑射破门的机会． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）若有理数、、在数轴上的位置如图所示，其中是原点，． （1）用“”号把、、、连接起来； （2）的值是多少？ （3）判断与的符号． 【答案】（1）；（2）；（3）与的符号都为负 【分析】本题考查了有理数的大小比较和数轴，有理数加法，熟知数轴的特点及绝对值的性质是解答此题的关键． （1）根据数轴可得：，，，，，然后用“”号把、、、连接起来即可； （2）根据，，，可得，继而可得； （3）根据、、在数轴上的位置，判断和的符号 解：（1）解：由数轴可得∶，且 则有∶ ； （2）解：因为，分别位于原点两侧，且， 所以． 所以； （3）由数轴可得∶，且， 所以，， 即与的符号都为负． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，有理数的加法，根据相反数、绝对值、两个负数比较大小的运算法则分别计算判断即可． 解：A、，正确，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项不符合题意； C、，，则，原式错误，故此选项符合题意； D、，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，根据绝对值的定义求出x，y的值，根据，分两种情况分别计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故选：D． 3．（2018·河南·一模）史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把这些数用据比较大小，然后进行计算即可； 解：∵ ∴ ∴这10名学生中的最小体重是 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法，数形结合是解答本题的关键． 直接观察数轴可得，，再根据有理数的加法运算法则，逐项判断，即可求解． 解：A．观察数轴得：，故该选项原说法错误，不符合题意； B．观察数轴得：，，所以， ，故该选项原说法错误，不符合题意； C．观察数轴得：，，所以，，故该选项原说法正确，符合题意； D．观察数轴得：，，因此，所以，故该选项原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解： ， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键； 根据有理数加法法则计算即可求解； 解：， 故答案为： 8．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）青龙县城某天早晨气温是，到中午气温上升了，这天中午气温是 ℃． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，关键是能根据题意列出算式． 根据题意列算式求解即可； 解：根据题意列算式得：， 故答案为： 9．（24-25六年级下·黑龙江鸡西·期末）盒子里有10个红球，5个黄球，3个白球．至少摸出 个球，才能保证有2个颜色不同的球． 【答案】11 【分析】本题考查了抽屉原理．解题的关键是考虑“最不利情况”—— 即先尽可能多地摸出不符合条件的球，在此基础上再摸 1 个，就能保证满足条件． 考虑 “最不利情况”——先将颜色最多的球取出，红球最多，红球都取出，再取1个球即可，需要个． 解：（个）． 故答案为：11． 10．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，，设点、、所对应数的和是，若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的加减法的应用；根据题意得出点表示的数为，进而根据，得出点、点表示的数分别是，，进而根据点、、所对应数的和是，即可求解． 解：原点在图中数轴上点的右边，且， 点表示的数为， ，， ，， 点、点表示的数分别是，， ． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作：，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：，，，，，，．请问王先生最后 （填“是”或“不是”）回到出发点1楼． 【答案】是 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加法运算的应用． 把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则是回到1楼，否则不是． 解： ， 王先生最后是回到出发点1楼． 故答案为：是． 12．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和相等，他们已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ，的值为 ．    【答案】 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 解：， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则，解得：， ∵，解得：， 故答案为：，． 【点拨】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是2． 三、解答题 13．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，． （1）求，的取值； （2）当，求的值． 【答案】（1）；；（2）或． 【分析】（）首先依据绝对值的定义求得、； （）结合条件，进行分类计算即可； 本题主要考查了绝对值的定义，有理数加法，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算及分类讨论思想． 解：（1）∵，， ∴；； （2）解：由（）得：；， ∵， ∴，，则； ，，则； ∴的值为或． 14．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数加法法则计算即可； （2）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （3）根据有理数加法法则计算即可； （4）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．（24-25七年级上·山东聊城·期末）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ （2）上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】（1）沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米；（2）千米小时 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，绝对值，熟练掌握正负数的意义是解题的关键； （1）根据题意，列式计算即可求解； （2）计算沈师傅每段行驶路程的绝对值之和，进而求解速度即可求解； 解：（1）解：根据题意可得：（千米）； 答：将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米； （2）解：由题意得：（千米）， 上午沈师傅开车的时间为小时分钟， ， 故沈师傅开车的时间为小时， （千米小时）； 上午沈师傅开车的平均速度是千米小时； 16．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】（1）1275；（2） 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 解：（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）计算（   ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算．根据异号两数相加的法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可． 解：； 故选 ：D． 2．（2025·陕西·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答． 解：， 故选：B． 3．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 解： 故选：B． 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整数的因数分解，搞清完全数的定义是本题的关键．将每个数进行分解因数，然后根据完全数的定义进行判断即可 解： A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题 5．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 6．（2020·北京·中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ． 【答案】丙，丁，甲，乙 【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可． 解：丙先选择：1，2，3，4． 丁选：5，7，9，11，13． 甲选：6，8． 乙选：10，12，14． ∴顺序为丙，丁，甲，乙． （答案不唯一） 【点拨】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.1 有理数的加法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）有理数加法法则 1 【题型1】有理数的加法——同号两数相加 1 【题型2】有理数的加法——异号两数相加 2 【题型3】有理数的加法——一个数同0相加和互为相反数相加 2 知识点（二）有理数加法中的符号问题 2 【题型4】数轴上有理数相加符号问题 2 知识点（三）有理数加法运算律 3 【题型5】利用加法运算律进行简便运算 3 【题型6】有理数相加的应用 4 二． 同步练习 4 【基础巩固（16题）】 4 【能力提升（16题）】 6 【中考真题6题】 9 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 【题型1】有理数的加法——同号两数相加 【例题1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【变式2】6．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习） （1）计算：； （2）计算：． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； 【题型2】有理数的加法——异号两数相加 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1； （2）； 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） （2） 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； 【题型3】有理数的加法——一个数同0相加和互为相反数相加 一个数同0相加仍得这个数，互为相反数两数相加和为零。 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： （1）； （2）； 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： （1）； （2）； 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； 知识点（二）有理数加法中的符号问题 （1）观察：加数是同号还是异号；特别注意如果异号，还要看是不是互为相反数； （2）定符号：同号取相同符号；异号取绝对值大的符号. 【题型4】数轴上有理数相加符号问题 【例题4】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【变式1】（2023·贵州贵阳·一模）点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足，则下列选项中原点位置正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式2】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（    ） A．a＋b B．a＋c C．c＋（﹣b） D．a＋（﹣c） 知识点（三）有理数加法运算律 1.加法运算律：两个数相加，交换加数的位置，和不变； 符号语言：. 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； 符号语言：. 运算加法运算律步骤： （1）观察：题中是否有同号、凑整、同分母、相反数、带分数等等； （2）结合：把有同号、凑整、同分母、相反数、带分数组合在一起，注意符号要跟上； （3）运算：运算有理数加法法则计算． 【题型5】利用加法运算律进行简便运算 【例题5】（2024七年级上·广东·专题练习）计算： （1）． （2）． 【变式1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）计算下面各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【题型6】有理数相加的应用 【例题6】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： （1）这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； （2）与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【变式2】（20-21七年级上·陕西西安·期中）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，如图①表示的是（+2）+（﹣2），可推算图②中所得的数值为（　　） A．﹣3 B．+3 C．﹣6 D．+6 2． 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·福建泉州·期中）若，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 2．（24-25九年级下·吉林·期中）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）数轴上到数所表示的点的距离为5的点所表示的数是（   ） A． B．6或 C．4 D．或4 4．（22-23七年级上·四川乐山·期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 5．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）在一次数学活动课上，刘老师在四张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是4，5，6，7中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，一定不是刘老师在卡片上写的数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 二、填空题 7．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若a与b互为相反数，则 ． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）在公元纪年法中，没有“公元0年”的概念，公元前1年的下一年是公元1年，即公元元年．如果公元前102年记作年，那么再过2125年是公元后的多少年呢？应记作 年． 9．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，，则的值为 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在计算时，中可以填入的使该题能用简便方法进行计算的数值为 ． 11．（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上、两点表示的数分别为、，则 0．（填“”“”或“”） 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 三、解答题 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 （1）； （2）． 14．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，．若，求的值． 15．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）足球守门员在球门前来回跑动进行体能训练，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，这名守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） （1）守门员离开球门线的最远距离达多少米？ （2）如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 16．（2024七年级上·全国·专题练习）若有理数、、在数轴上的位置如图所示，其中是原点，． （1）用“”号把、、、连接起来； （2）的值是多少？ （3）判断与的符号． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知：，且，则的值为（　　） A．或 B．1或 C．或5 D．1或5 3．（2018·河南·一模）史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算： ． 8．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）青龙县城某天早晨气温是，到中午气温上升了，这天中午气温是 ℃． 9．（24-25六年级下·黑龙江鸡西·期末）盒子里有10个红球，5个黄球，3个白球．至少摸出 个球，才能保证有2个颜色不同的球． 10．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，，设点、、所对应数的和是，若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为 ． 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作：，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：，，，，，，．请问王先生最后 （填“是”或“不是”）回到出发点1楼． 12．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，爱动脑筋的琪琪同学设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和相等，他们已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ，的值为 ．    三、解答题 13．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，． （1）求，的取值； （2）当，求的值． 14．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（24-25七年级上·山东聊城·期末）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ （2）上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 16．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【中考真题6题】 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）计算（   ） A． B． C．-3 D．3 2．（2025·陕西·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C．9 D． 3．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2024·四川攀枝花·中考真题）一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 二、填空题 5．（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 6．（2020·北京·中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$