16.3.2 完全平方公式（第1课时 完全平方公式）（教学课件）数学人教版2024八年级上册

16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 第十六章 整式的乘法 人教版八年级上册 学习目标 理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，能利用完全平方公式进行简单的计算和推理. 一 经历探索完全平方公式的过程，感受从特殊到一般和数形结合的思想，发展符号意识和几何直观观念. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 答 符号语言 (a+b)(a−b)=a2−b2. 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这 两个数(式子)的平方差． 复习引入 问题1 上一节课，我们学习了多项式乘法的特殊形式：(a+b)(a−b)，得到了平方差公式，你能说一说平方差公式的内容吗？ 复习引入 问题2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 ，另一项 ； 2.右边是 的平方减去 的平方； 3.公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． 相同 相反 相同项 相反项 数字 单项式 多项式 复习引入 多项式乘法的特殊化——以(a+b)(p+q)为例： (a+b)(p+q) (a+b)(a+q) 一项相同 一项相反 (a+b)(p−b) 一项相同 一项相反 (a+b)(a−b) 两项相同 (a+b)(a+b) (a+b)(−a−b) 两项相反 平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2. 合作探究 探究　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2 = (p+1)(p+1) = . （2） （m+2)2 = (m+2)(m+2)= . （3） （p−1)2 = (p−1)(p−1) = . （4） （m−2)2 = (m−2)(m−2)= . 答 都是形如(a±b)2的多项式相乘. p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 追问1　四个等式的左侧有什么共同特征？ 追问2　四个等式的右侧有什么共同特征？ 答 都是两项的平方和(a2+b2)加上(或减去)两项乘积的二倍(2ab). 你能用符号语言描述这个规律吗？ (a±b)2=a2±2ab+b2. m2-4m+4 合作探究 证明 (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 . 问题3 你能证明(a±b)2=a2±2ab+b2吗？ 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的2倍． 证明 (a−b)2=(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 . 你能用文字语言描述这个规律吗？ 合作探究 （乘法的）完 全 平 方 公 式 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它 们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a+b)2=a2+2ab+b2. (a−b)2=a2−2ab+b2. 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a+b)2 a2+2ab+b2 = 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a−b)2 a2−2ab+b2 = 典例分析 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2)（y− )2. ( 4m + n )2=( )2+( )+( )2. ( a + b )2= a 2 + 2ab + b 2 . 8mn n 4m 典例分析 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2)（y− )2. ( y − )2=( )2−( )+( )2. ( a − b )2= a 2 − 2ab + b 2 . y y 典例分析 解 (1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2 =16m2+8mn+n2； (2)原式=(y)2−2·(y)·+()2 =y2−y+ . 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2)（y− )2. 典例分析 解 (1)原式=(100+2)2 =(100)2+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404 ； 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之和的平方 典例分析 解 (2)原式=(100−1)2 =(100)2−2×100×1+12 =10 000−200+1 =9 801 . 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之差的平方 典例分析 方法总结 应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数(式子)的平方和； （3）另一项是两数(式子)积的2倍，且与乘式中间的符号相同； （4）公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式. 典例分析 思考 (a+b)2与(−a−b)2相等吗? (a−b)2与(b−a)2相等吗? (a−b)2与 a2−b2相等吗? 答 相等，因为(−a−b)2=(−a)2+2·(−a)·(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2. 答 相等，因为(b−a)2=b2−2ba+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2. 答 不相等，因为(a−b)2=a2−2ab+b2≠a2−b2. 巩固练习 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2) (a−b)2=a2−ab+b2； (3) (−x +y)2 =x2+2xy +y2； (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2. 不正确 不正确 原式=a2+2ab+b2 原式=a2−2ab+b2 不正确 不正确 原式=x2−2xy +y2 原式=4x2 +4xy +y2 2. 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( ) A．(a−b)2 B．(−a−b)2 C．−(a＋b)2 D．−(a−b)2 巩固练习 D 3. 运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 ； (2) (y−5)2 ； (3) (−2x+5)2 ； (4) (x − y)2 . 巩固练习 解 （1）原式=x2+2×6x+62=x2+12x+36. （2）原式=y2−2×5y+52=y2−10y+25. （3）原式=(−2x)2+2×5·(−2x)+52=4x2−20x+25. （4）原式=(x)2−2·(x)·(y)+(y)2= x2−xy+ y2. 解 (1)原式=(100−2)2 =(100)2−2×100×2+22 =10 000−400+4 =9 604 ； 4. 运用完全平方公式计算： (1) 982 ； (2) 70.52 . 巩固练习 (2)原式=(70+0.5)2 =(70)2+2×70×0.5+0.52 =4 900+70+0.25 =4 970.25 . 归纳总结 整式的乘法公式——完全平方公式 符号语言 (a±b)2= . 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的 ，等于它们的 ，加上(或减去)它们的 ． 注意事项 公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． a2±2ab+b2 平方 平方和 积的2倍 数字 单项式 多项式 感受中考 1.(2025·山西)下列运算正确的是( ) A.2a+3b=5ab B.m2·m4=m6 C.(a−b)2=a2−b2 D.(2m2)3=6m6 B 感受中考 2.(2025·广东深圳)下列计算正确的是( ) A. a2+a4=a6 B. a3·a3=a6 C.(a2)3=a5 D.(a+b)2=a2+b2 B 感受中考 3.(2023·内蒙古赤峰)已知 2a2−a−3=0，则(2a+3)(2a−3)+(2a−1)2的值是( ) A.6 B.−5 C.−3 D. 4 D 感受中考 4.(2024·陕西)先化简，再求值：(x+y)2+x(x−2y)，其中x=1，y=−2. 解 原式=x2+2xy+y2+x2−2xy =2x2+y2 ； 当x=1，y=−2时， 原式=2×12+(−2)2=2+4=6. 小结梳理 单项式÷单项式 幂的运算性质 am · an =am+n (am)n =amn (ab)n =anbn 整式的乘法 整式的除法 am ÷ an =am-n 互逆运算 多项式÷单项式 基 础 基 础 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式 互逆运算 特殊 乘法公式 平方差公式 完全平方公式 布置作业 必做题：习题16.3 第2，4，5题. 1 探究性作业：习题16.3 第7题. 2 人教版八年级上册 谢谢观看！ $$