16.3.2 完全平方公式（第1课时 完全平方公式）（教学设计）数学人教版2024八年级上册

16.3.2 完全平方公式（第1课时完全平方公式） 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分解、分式运算的重要基础。 2. 内容分析 本节课是在学生掌握平方差公式的基础上，聚焦于另一种特殊形式的多项式乘法——两个相同二项式的乘积，通过规律提炼形成完全平方公式。该公式不仅是简化特定整式乘法运算的重要工具，更是后续学习因式分解、分式运算等知识的关键基础，其几何背景的探究也进一步深化了学生对“数”与“形”联系的理解，在代数知识体系中起到承上启下的作用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，能利用完全平方公式进行简单的计算和推理。 （2）经历探索完全平方公式的过程，感受从特殊到一般和数形结合的思想，发展符号意识和几何直观观念。 2. 目标解析 （1）要求学生把握公式的结构本质：左边是一个二项式的平方（(a+b)2或(a−b)2），右边是三项式（a2+2ab+b2或a2−2ab+b2），需明确“首平方、尾平方、积的2倍在中央”的特征；同时，通过正方形面积的分割与组合直观理解公式的几何意义；在应用层面，能识别符合公式特征的算式，准确代入计算，并进行简单的代数式变形与推理。 （2）学生需从具体实例出发，通过多项式乘法运算、观察结果规律，归纳抽象出完全平方公式的一般形式，体会从特殊算式到普遍公式的提炼过程；在验证公式时，通过几何图形的面积关系与代数表达式的对应，感知数与形的内在联系，进而增强用符号表示数量关系的意识（符号意识）和借助图形理解代数问题的能力（几何直观）。 三、教学问题诊断分析 学生可能出现的问题：一是混淆完全平方公式与平方差公式的结构；二是计算(a ± b)2时出现漏项或符号错误，误写成a2 + b2或a2 − b2；三是对公式中“a”“b”代表多项式时应用困难，难以识别“首项”和“尾项”。 应对策略：教学中可通过对比(a+b)2与a2 + b2的计算结果，结合几何图形强化对“2ab”项的理解；对于多项式形式的“a”“b”，采用换元法举例，并设计分层练习从简单到复杂逐步巩固，减少结构混淆与符号错误。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能利用完全平方公式进行简单的计算和推理。 四、教学过程设计 （一）复习引入 问题1 上一节课，我们学习了多项式乘法的特殊形式：(a+b)(a−b)，得到了平方差公式，你能说一说平方差公式的内容吗？ 答 符号语言 (a+b)(a−b)=a2−b2. 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差． 问题2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项相反； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式． 本节课，我们继续研究多项式乘法的特殊形式：(a+b)(a+b). 设计意图：通过问题1引导学生回顾平方差公式的符号与文字表述，强化旧知记忆；问题2聚焦公式应用要点，从结构特征、结果形式等方面回顾公式应用的注意事项。通过关系图直观呈现多项式乘法特殊形式的关联，以平方差公式为铺垫，自然引出本节课要研究的内容，实现知识的连贯衔接。 （二）合作探究 探究　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）（p+1)2 = (p+1)(p+1) = p2+2p+1 . （2）（m+2)2 = (m+2)(m+2) = m2+4m+4 . （3）（p−1)2 = (p−1)(p−1) = p2-2p+1 . （4）（m−2)2 = (m−2)(m−2) = m2-4m+4 . 追问1　四个等式的左侧有什么共同特征？ 答 都是形如(a±b)2的多项式相乘. 追问2　四个等式的右侧有什么共同特征？ 答 都是两项的平方和(a2+b2)加上(或减去)两项乘积的二倍(2ab). 追问3　你能用符号语言描述这个规律吗？ 答 (a±b)2=a2±2ab+b2. 问题3 你能证明(a±b)2=a2±2ab+b2吗？ 证明 (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 . 证明 (a−b)2=(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 . 追问 你能用文字语言描述这个规律吗？ 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的2倍． 归纳 （乘法的）完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2. (a−b)2=a2−2ab+b2. 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a+b)2=a2+2ab+b2. (a−b)2=a2−2ab+b2. 设计意图：先让学生计算具体的多项式乘法，通过追问引导观察式子左右特征，自主发现规律，再用代数运算证明完全平方公式，结合几何图形面积验证，让学生经历“特例探究—归纳猜想—逻辑证明—几何直观验证”的过程，深度理解完全平方公式的结构、本质，掌握公式推导方法，提升归纳推理、逻辑证明能力，借助几何图形渗透数形结合思想，强化对公式的直观认知。 （三）典例分析 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2)（y− )2. 解 (1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2； (2)原式=(y)2−2·(y)·+()2=y2−y+ . 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 解 (1)原式=(100+2)2 =(100)2+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404 ； (2)原式=(100−1)2 =(100)2−2×100×1+12 =10 000−200+1 =9 801 . 方法总结 应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数(式子)的平方和； （3）另一项是两数(式子)积的2倍，且与乘式中间的符号相同； （4）公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式. 思考 (a+b)2与(−a−b)2相等吗? 答 相等，因为(−a−b)2=(−a)2+2·(−a)·(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2. (a−b)2与(b−a)2相等吗? 答 相等，因为(b−a)2=b2−2ba+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2. (a−b)2与 a2−b2相等吗? 答 不相等，因为(a−b)2=a2−2ab+b2≠a2−b2. 设计意图：通过例3，例4，让学生掌握完全平方公式在不同形式下的应用，精准识别公式中 “a、b” 代表的内容，使学生学会灵活调用公式，解决复杂运算问题，深化对完全平方公式的理解与应用。同时，培养学生规范书写解题过程的习惯，提升运算能力与逻辑思维。 （四）巩固练习 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2) (a−b)2=a2−ab+b2； 不正确，原式=a2+2ab+b2. 不正确，原式=a2−2ab+b2. (3) (−x +y)2 =x2+2xy +y2； (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2. 不正确，原式=x2−2xy +y2. 不正确，原式=4x2 +4xy +y2. 2. 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( D ) A．(a−b)2 B．(−a−b)2 C．−(a＋b)2 D．−(a−b)2 3. 运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 ； (2) (y−5)2 ； (3) (−2x+5)2 ； (4) (x − y)2 . 解 （1）原式=x2+2×6x+62=x2+12x+36. （2）原式=y2−2×5y+52=y2−10y+25. （3）原式=(−2x)2+2×5·(−2x)+52=4x2−20x+25. （4）原式=(x)2−2·(x)·(y)+(y)2= x2−xy+ y2. 4. 运用完全平方公式计算： (1) 982 ； (2) 70.52 . 解 (1)原式=(100−2)2 =(100)2−2×100×2+22 =10 000−400+4 =9 604 ； (2)原式=(70+0.5)2 =(70)2+2×70×0.5+0.52 =4 900+70+0.25 =4 970.25 . 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025·山西）下列运算正确的是（  B  ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳）下列计算正确的是（ B ） A． B． C． D． 3．（2023·内蒙古赤峰）已知，则的值是（  D  ） A．6 B． C． D．4 4．（2024·陕西）先化简，再求值：，其中，． 解： ； 当，时， 原式． 设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （七）小结梳理 设计意图：用思维导图帮助学生梳理整式乘法的相关知识，构建清晰、完整的知识网络，让学生直观感知知识之间的联系。同时体现乘法公式是“多项式×多项式”的特殊形式。 （八）布置作业 1.必做题：习题16.3 第2，4，5题. 2.探究性作业：习题16.3 第7题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$