2.3 绝对值与相反数（暑期预习讲义）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册苏科版 第二章 有理数 2.3绝对值与相反数（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 了解相反数的意义，会求一个数的相反数。 2. 理解绝对值的几何意义和代数意义，会求一个数的绝对值。 3. 能利用绝对值比较两个负数的大小（此部分部分教材可能在后续小节，若本节未涉及可暂不作为重点预习）。 4. 体会数形结合思想在数学中的应用。 知识点梳理 一、 相反数 1. 定义： 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。 · 例如：5 和 -5 互为相反数；-3 的相反数是 3。 2. 特别规定： 0 的相反数是 0。 3. 表示方法： 一个数 a 的相反数可以表示为 -a。 · 例如：数 6 的相反数是 -6；数 -8 的相反数是 -(-8) = 8。 4. 几何意义： 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 · （可以自己画一条数轴，标出 3 和 -3，观察它们与原点的位置和距离） 二、 绝对值 1. 定义（几何意义）： 在数轴上，表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 · 例如：数轴上表示 4 的点到原点的距离是 4，所以 |4| = 4；表示 -3 的点到原点的距离是 3，所以 |-3| = 3；表示 0 的点到原点的距离是 0，所以 |0| = 0。 2. 代数意义（求一个数的绝对值的方法）： · 一个正数的绝对值是它本身； · 一个负数的绝对值是它的相反数； · 0 的绝对值是 0。 · 用式子表示（假设 a 为有理数）： · 当 a > 0 时，|a| = a； · 当 a = 0 时，|a| = 0； · 当 a < 0 时，|a| = -a。 3. 绝对值的性质： · 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 · 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |a| = |-a|。 · 若 |a| = |b|，则 a = b 或 a = -b。（即绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数） 易错点提醒 1. 相反数的理解： · “只有符号不同”指的是除了符号外，数字部分必须完全相同。例如：-2 和 +3 不是互为相反数（数字部分不同）。 · 不要把相反数的“-”号与运算中的“减号”或“负号”混淆。例如：-a 表示 a 的相反数，当 a 是负数时，-a 就是正数。 · 0 的相反数是 0，不要误认为 0 没有相反数或 0 的相反数是其他数。 2. 绝对值的理解： · 绝对值是距离，所以一定是非负的，不要出现 |-5| = -5 这样的错误。 · 求负数的绝对值时，结果是它的相反数，即正数。例如：|-(-2)| = |2| = 2，这里要先处理内层符号。 · “|a| = a”成立的条件是 a ≥ 0；“|a| = -a”成立的条件是 a ≤ 0。不要忽略等于 0 的情况。 · 不要认为绝对值越大的数本身就越大，特别是负数比较时，绝对值大的反而小（如果本节预习不涉及负数比较大小，此条可暂记）。 知识点总结 · 相反数： 只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0。a 的相反数是 -a。在数轴上关于原点对称。 · 绝对值： 数轴上表示数 a 的点到原点的距离，记作 |a|。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。绝对值具有非负性。 预习建议 1. 回顾旧知： 复习数轴的概念，因为相反数和绝对值的理解都离不开数轴。 2. 阅读教材： 仔细阅读课本中关于相反数和绝对值的定义、例题和说明。 3. 动手操作： 画一条数轴，在上面标出几个数（如 3, -2, 0, -(-1)），然后找出它们的相反数，并观察它们到原点的距离（即绝对值）。 4. 尝试练习： 做教材上的“练一练”或课后简单的练习题，检验自己对概念的理解程度。例如：写出下列各数的相反数和绝对值：-5, 0, 3.2, -(-4)。 5. 疑问记录： 将预习过程中不理解的地方或遇到的困难记录下来，带着问题听课，效率会更高。 巩固练习 一、选择题 1．-5的相反数是（　　） A．-5 B．5 C． D．- 2．如果|x|＝2，那么x＝（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或 3．下列说法正确的是 (　　) A．-|-a|一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D．若|a|=-a，则a是非正数 4．如图，已知四个实数在一条缺失了原点和刻度的数轴上，对应的点分别是．已知，则在四个实数中，绝对值最小的一个数是（　　） A． B． C． D． 5．化简的结果为（　　） A．1 B． C． D． 6．的相反数是（　　） A． B． C．2025 D． 7．下列各选项中的两个有理数，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 8．已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 9．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表所示表，其中最低海拔最小的大洲是（　　） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 二、填空题 10．比较大小：　 　 （填“>”或“<”）． 11．下图表示在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为 p，q，r，s.若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，则|q-r|的值是　 　. 12．有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数是整数和小数的统称；③到原点距离相等的点所表示的数相等；④相反数、绝对值都等于它本身的数只有0；⑤数轴上的点离原点越远，表示的数越大；⑥有最小的正整数但没有最小的正有理数.其中正确的是　 　（填序号）. 13．一个数的绝对值为7，则这个数是　 　. 14．若一个负整数的相反数小于2，则这个负整数是　 　． 15．化简　 　． 16．代数式10-|2x-5|能取到最　 　(填“大”或“小”)值，此时x=　 　. 17．写出绝对值小于2.5的所有整数　 　. 18． （1）如果一个数的相反数是0，那么这个数是　 　．- 5 的相反数是　 　，相反数是的数是　 　 （2）在原点右边1个单位长度的点表示的数是　 　 ，在原点左边2.5个单位长度的点表示的数是　 　 （3） 数轴上表示+3和-3的点在原点的　 　（填“同侧”或“异侧”），且到原点的距离都是　 　个单位长度． 三、解答题 19．已知回答下列问题： （1）由，可得　 　，　 　 （2）若，求的值； 20．如图在数轴上A点表示数，点表示数，、满足； （1）点A表示的数为　 　；点表示的数为　 　； （2）若在原点处放一挡板，一小球甲从点A处以个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒， 当时，甲小球到原点的距离 ▲ ；乙小球到原点的距离 ▲ ； 当时，甲小球到原点的距离 ▲ ；乙小球到原点的距离 ▲ ； 试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 21．已知表示数 的点在数轴上的位置如图. （1）在数轴上表示出 的相反数的位置； （2）若数 与其相反数相距10个单位长度，则 表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数 表示的数与数 的相反数表示的点相距3个单位长度，求 表示的数是多少？ 22．综合运用 同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，值为5．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7的两点之间的距离的值是　 　；数轴上表示x与的两点之间的距离可记作　 　，如果这两点之间的距离为3，那么　 　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使； （3）若x表示有理数，直接写出：的最小值． 参考答案 1．B 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．A 10．< 11．7 12．①④⑥ 13．7或-7 14．-1 15． 16．大； 17． 、 、 、 、 18．（1）0；5； （2）+1；-2.5 （3）异侧；3 19．（1）； （2）解：∵， ∴a、b同正，或a、b中正数绝对值大于负数绝对值， ∴或， ∴或， 综上：的值为2或； 20．（1）-2；4 （2）；；；； 当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 21．（1）解：如图： . （2）解：-a-a=10， a=-5. 即a表示的数是-5. （3）解：-a=5， 当b在-a的右边时，b表示的数是5+3=8， 当b在-a的左边时，b表示的数是5-3=2， 即b表示的数是2或8. 22．（1）5；；或1 （2）解：在数轴上，表示数x的点记为A，表示2的点记为B，表示的点记为C，则表示，，分三种情况讨论： （1）如图1，当点A在点C的左侧时，，不符合题意； 图1 （2）如图2，当点A在点B的右侧时，，不符合题意； 图2 （3）如图3，当点A在点B、C之间（包括B、C两个端点）时，，符合题意．所以，； 图3 又因为x是整数，所以x的值为，0，1，2. （3）解：1023132. 学科网（北京）股份有限公司 $$