专题06 函数基本性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期末复习讲义，11大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期（期末专项训练）高一数学上学期人教A版

该高中数学复习讲义围绕函数单调性、奇偶性、周期性、对称性四大性质，通过表格梳理7个核心考点的复习目标与考情规律，结合11个分层知识点构建从定义到综合应用的知识脉络，清晰呈现重难点内在联系。 讲义以“题型+技巧”设计为特色，如单调性定义证明的五步法则、复合函数“同增异减”判断等方法指导，搭配基础通关与重难突破分层练习，培养数学思维与逻辑推理能力，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

专题06 函数基本性质及其应用 （单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 5.1 函数单调性的定义与证明 能用定义法（取值→作差→变形→判号→结论）证明函数的单调性。 解答题核心考法，变形判号是关键步骤和难点。 5.2 复合函数“同增异减”法则的判断 能判断简单复合函数的单调性。 小题中快速解题的工具。 5.3 函数奇偶性的判断 能先判断定义域是否对称，再通过计算f(-x)判断奇偶性。 易错点就是忽略定义域，必考点。 5.4 奇偶函数图象的对称性及其应用 能利用奇偶性简化求值、作图和分析问题。 常与单调性结合考查。 5.5 函数周期性的判断与应用 能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。 常作为小题的压轴点，需要灵活运用。 5.6 函数对称性的判断（关于点、关于轴对称） 能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。 与奇偶性关系密切，是能力的提升点。 5.7 函数性质的综合应用（解不等式、比较大小） 能综合利用单调性、奇偶性将抽象不等式转化为具体不等式求解。 期末压轴题标准模式，综合性最强 知识点01 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 知识点02 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点03 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）（跨章节） （2） 复合函数的单调性 知识点04 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 知识点05 与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 知识点06 与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 知识点07 奇函数+常函数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 知识点08 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期末存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做的 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点09 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点10 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点11 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 用定义法判断或证明函数单调性及求解最值 【典例1】（24-25高一上·河南信阳·月考）已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 【典例2】（25-26高一上·广东·期末）已知函数. (1)根据定义法证明在区间上单调递增； (2)设，求解关于的不等式. 【典例3】（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 【典例4】（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知定义在上的函数满足： ①值域为，且当时，； ②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题： (1)试求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，）为偶函数． (1)证明：； (2)当时，证明的单调性； (3)解关于的不等式． 【变式4】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 题型二 求单调区间 解｜题｜技｜巧 拆分复合函数为内外层函数，根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减） 【典例1】（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 题型三 据函数的单调性（含分段函数）求参数值 解｜题｜技｜巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 【典例1】（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·陕西汉中·月考）若函数在上为减函数，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四 根据函数单调性、奇偶性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【变式1】（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·湖北·期末）已知，函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：. 题型五 根据函数单调性、奇偶性比较函数值大小关系 解｜题｜技｜巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 【典例1】（25-26高一上·广东·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·新疆·期末）若偶函数在上单调递增，则（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知 是定义域为 的偶函数，且在 上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【变式5】（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 题型六 用定义法判断或证明函数奇偶性 【典例1】（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求的定义域； (3)设，判断的奇偶性，并证明. 【典例2】（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 【典例3】（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并给予证明； (3)求关于的不等式的解集． 【变式2】（25-26高一上·全国·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 题型七 根据函数的奇偶性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 【典例1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【变式1】（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【变式2】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若函数为奇函数，则 . 【变式3】（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知为偶函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 题型八 抽象函数奇偶性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 【典例1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【典例3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【变式1】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式2】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【变式3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 题型九 函数周期性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 【典例1】（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典例3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 【典例4】（24-25高一上·安徽亳州·期末）（多选）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【变式3】（24-25高三上·福建三明·月考）已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 【变式4】（24-25高三下·安徽·月考）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则 . 【变式5】（25-26高一上·江苏·期末）（多选）已知定义域为的函数满足：，则（    ） A．是周期为2的函数 B．是偶函数 C． D． 题型十 函数对称性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 ． 【典例2】（25-26高一上·河南·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（ ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【典例4】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 【典例5】（24-25高一上·江苏苏州·期末）（多选）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（    ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【变式1】若函数的图像关于直线对称，则 【变式2】（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【变式5】（25-26高一上·云南·期末）（多选）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（ ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 题型十一 函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 【均为多选题】 【典例1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【典例2】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若则的取值范围为 【典例3】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 【典例5】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．， D．， 【变式1】（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 【变式2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（   ） A． B．为偶函数 C．4是的一个周期 D． 【变式4】（24-25高一上·贵州安顺·期末）若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的一条对称轴为 D． 【变式5】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．是奇函数 C．的图像关于点对称 D． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西·期末）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 4．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·甘肃武威·期末）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（　 　） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．的值域是R C．是奇函数 D．在，上单调递减 三、解答题 9．（24-25高一上·江苏泰州·期末）设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 10．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性； (3)求函数的值域. 11．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 12．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期末）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 4．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（    ） A．2025 B．506 C．507 D．2026 二、多选题 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知的定义域为，且为奇函数，则（   ） A．关于对称 B．为偶函数 C． D． 6．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 7．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的解集为 C．在单调递增 D．的解集为 8．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数满足，且，有，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．关于的不等式解集为 9．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，满足，当时，恒有，则（   ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 三、解答题 10．（25-26高一上·山西太原·期中）已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有；④. (1)求的值； (2)证明：是减函数； (3)解不等式：. 11．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 三、填空题 11．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 12．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 13．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数基本性质及其应用 （单调性、奇偶性、周期性、对称性）（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 5.1 函数单调性的定义与证明 能用定义法（取值→作差→变形→判号→结论）证明函数的单调性。 解答题核心考法，变形判号是关键步骤和难点。 5.2 复合函数“同增异减”法则的判断 能判断简单复合函数的单调性。 小题中快速解题的工具。 5.3 函数奇偶性的判断 能先判断定义域是否对称，再通过计算f(-x)判断奇偶性。 易错点就是忽略定义域，必考点。 5.4 奇偶函数图象的对称性及其应用 能利用奇偶性简化求值、作图和分析问题。 常与单调性结合考查。 5.5 函数周期性的判断与应用 能根据f(x+T)=f(x)判断周期性，并利用周期性求函数值。 常作为小题的压轴点，需要灵活运用。 5.6 函数对称性的判断（关于点、关于轴对称） 能识别并证明函数图象关于点或轴的对称性。 与奇偶性关系密切，是能力的提升点。 5.7 函数性质的综合应用（解不等式、比较大小） 能综合利用单调性、奇偶性将抽象不等式转化为具体不等式求解。 期末压轴题标准模式，综合性最强 知识点01 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 减函数 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和 单调递减区间 ） 知识点02 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 知识点03 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）（跨章节） （2） 复合函数的单调性 知识点04 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 轴 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 原点 对称 知识点05 与指数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 知识点06 与对数函数相关的奇函数和偶函数（跨章节） ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 知识点07 奇函数+常函数 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 知识点08 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 非零常数 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 非零常数 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期末存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正数 就叫做的 最小正周期 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点09 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点10 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点11 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 用定义法判断或证明函数单调性及求解最值 【典例1】（24-25高一上·河南信阳·月考）已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得； （2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【详解】（1）任取，且， 由， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； （2）由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 【典例2】（25-26高一上·广东·期末）已知函数. (1)根据定义法证明在区间上单调递增； (2)设，求解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）任取，计算，判断与的大小，利用单调性的定义得解； （2）利用奇偶性的定义判断的奇偶性，利用奇偶性和单调性得到不等式，计算可得解. 【详解】（1）证明：任取， 则，， 则， 所以， 所以在区间上单调递增； （2）因为， 即为奇函数且在区间上单调递增， 由可得， 由可得，， 故， 解得或（舍， 故的范围为. 【典例3】（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出值. （2）利用单调函数的定义证明单调性. （3）利用函数的单调性及奇偶性角不等式. 【详解】（1）由函数是上的偶函数，得对任意恒成立， 即对任意恒成立，整理得对任意恒成立， 所以. （2）由（1）知，，在上单调递增， 任取，且， 则， 由，得，，， 因此，，则， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）、（2）知，上的偶函数在上单调递增，在上单调递减， 不等式，则，解得或， 所以原不等式的解集为. 【典例4】（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知定义在上的函数满足： ①值域为，且当时，； ②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题： (1)试求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用赋值法代入计算，再根据函数值域即可得； （2）根据已知条件可证明得出，再由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）结合函数奇偶性，将不等式恒成立问题转化为，再由单调性即可求得结果. 【详解】（1）在中，令， 则有．即． 也即． 由于函数的值域为，所以， 所以． （2）函数的单调性必然涉及到， 于是由已知，我们可以联想到：是否有（*） 这个问题实际上是：是否成立？ 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即与的关系． 由于，所以在中， 令，得．所以函数为奇函数．故（*）式成立． 所以． 任取，且，则，故且． 所以，； 所以，函数在上单调递减． （3）由（2）知为奇函数，且对恒成立， 即对恒成立， 由（2）知为减函数，所以对恒成立， 所以，令， 因为在上单调递增，，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：在解决第三问中求解取值范围的关键是利用函数奇偶性将不等式恒成立转化为求解函数最小值的问题，再结合函数单调性即可求解. 【变式1】（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解； （2）利用函数单调性的定义证明； （3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解. 【详解】（1）解：当时，， ， ∵为奇函数， ∴， ∴； （2）证明：任取，，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴在上单调递减； （3）∵恒成立， ∴恒成立， 又∵为奇函数， ∴恒成立， 由（2）知在上单调递减，且为奇函数， ∴在R上单调递减， ∴恒成立， ∴恒成立， 令， 当时，取得最小值， ∴. 【变式2】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据单调性以及定义域，列不等式求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 【变式3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数（，）为偶函数． (1)证明：； (2)当时，证明的单调性； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得对于恒成立，则，即可求解； （2）由题意及（1）可得，利用定义法证明函数的单调性； （3）结合函数的奇偶性和单调性建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由题意知，函数为偶函数，则， 得， 即对于恒成立，所以． 所以，即证． （2）由，得， 又由（1）知，∴， 任取， ， 因为，所以，， ∴，得，即， 又因为， 故，即， 所以函数在上单调递增， 因为函数为偶函数，所以在上单调递减. （3）因为偶函数在上单调递增，且， 所以， 又因为， 所以， 即，解得， 故原不等式的解集为． 【变式4】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）. （2）的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 题型二 求单调区间 解｜题｜技｜巧 拆分复合函数为内外层函数，根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减） 【典例1】（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，在定义域内求出函数的单调增、减区间，判断函数的单调性，再根据复合函数单调区间的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令，则. 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数在定义域内单调递减， 所以由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A 【变式2】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数定义域，再利用复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 题型三 据函数的单调性（含分段函数）求参数值 解｜题｜技｜巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 【典例1】（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可. 【详解】令，则， 当时，在R上单调递减， 当时，在R上单调递增， 由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 【典例3】（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将命题转化为关于的不等式组，即可得到答案. 【详解】命题等价于和同时成立. 分别解不等式，得到，，从而的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 【变式2】（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 【变式3】（25-26高一上·陕西汉中·月考）若函数在上为减函数，则实数取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得，解三个不等式得解． 【详解】由于该函数是减函数，所以函数的每一段都必须是减函数，所以，且； 同时左边函数的图象的最小值大于等于右边函数的最大值，所以， 解以上三个不等式得． 故选：B. 题型四 根据函数单调性、奇偶性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 【典例1】（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【详解】因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减. 所以或，即或. 所以所求不等式的解集为：. 故选：C 【典例2】（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过函数图象的平移，将函数转化为，判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式. 【详解】令，定义域为R， ∵， ∴是偶函数. 当时，， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴在上单调递增. 由可得， ∵是偶函数，∴， 又在上单调递增，∴， 两边平方得，整理得， 解得或. ∴不等式的解集为. 故选：D. 【典例3】（24-25高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可； 【详解】（1）解：因为，， 所以令，可得，得． （2）证明：，且，则， 显然，，所以，又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． （3）解：因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 【变式1】（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，将不等式转化为，得到，结合的单调性，即可求解. 【解答过程】设函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即，所以为奇函数， 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数， 由等价于， 即， 又因为是奇函数，可得， 可得，即，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·湖北·期末）已知，函数为奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）法一：由奇函数的定义列出等式即可求解，法二：由，并验证即可求解； （2）由单调性的定义即可求证； （3）通过函数单调性、奇偶性去，求解即可； 【详解】（1）解法一：因为为奇函数，所以， 即，亦即， 解得. 解法二：因为为奇函数，所以，即， 解得. 此时，所以 所以符合题意，故. （2）为增函数. 证明如下：设且， 则. 因为，所以，即， 故，所以为增函数. （3）原不等式即为. 又由（1）可知为奇函数，所以. 又由（2）可知为增函数，所以，即， 解得. 所以原不等式解集为. 题型五 根据函数单调性、奇偶性比较函数值大小关系 解｜题｜技｜巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 【典例1】（25-26高一上·广东·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系，即可得到结果． 【详解】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 故选：A. 【典例2】（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，从而即可一一判断各选项. 【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，. 对于A：因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为，在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错误； 故选：C. 【典例3】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D. 【典例4】（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D 【变式1】（25-26高一上·新疆·期末）若偶函数在上单调递增，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数有，结合区间单调性即可得答案. 【详解】由偶函数知：， 又在上单调递增且， 所以，即. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知 是定义域为 的偶函数，且在 上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数是定义域为R的偶函数，且在 上单调递减，又，，利用函数的单调性即可得到结果. 【详解】因为函数是定义域为 的偶函数，且在 上单调递减， 所以函数在 上单调递增， 又，，所以. 故选：B 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 【变式4】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）（多选）已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论一定正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D．在上单调递减 【答案】AD 【分析】由是偶函数可得，即可判断A，由单调性以及对称性即可判断BCD． 【详解】对于A，因为函数是偶函数，所以，即， 所以的图象关于直线对称，所以A正确； 对于B，在上单调递增，，但正负不确定，所以B错误； 对于C，由A选项得，，所以C错误； 对于D，因为的图象关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 由图象平移变化可知在上单调递减，所以D正确． 故选：AD. 【变式5】（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递减，当时，单调递增， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 又，， 因为在上单调递增，故， 因，（因为）， 又，则，即， 故，故， 故选：B. 题型六 用定义法判断或证明函数奇偶性 【典例1】（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求的定义域； (3)设，判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2) (3)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2）根据对数真数大于0，列式运算得解； （3）根据偶函数定义判断. 【详解】（1）若，则，解得. （2）若，则， 由，得：. 所以定义域为：. （3）由（2）得定义域关于原点对称，且， 则， 所以为偶函数. 【典例2】（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 【答案】(1)，3； (2)偶函数，证明见解析. 【分析】（1）判断代入求出函数值. （2）利用函数奇偶性定义推理证明即可. 【详解】（1）函数，则，. （2）函数是偶函数. 当时，，， 当时，，， 而， 因此，所以函数是偶函数. 【典例3】（24-25高一上·湖南娄底·期末）已知函数，对于任意的，都有，当时，． (1)求的值； (2)判断的奇偶性和单调性； (3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数；函数是上的减函数 (3)或． 【分析】（1）在已知等式中令，可得； （2）令，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性； （3）由奇函数性质及已知变形的形式，然后在中由的单调性化简得，即，作出函数的图象，它与直线的交点个数得结论． 【详解】（1）令，代入得，所以． （2）令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． （3），即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并给予证明； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求得答案； （2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明； （3）讨论a的取值范围，结合函数单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数满足，解得， 即函数的定义域为； （2）为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数； （3）即， 当时，在上单调递增，有，解得； 当时，在上单调递减，有，解得； 故当时，关于的不等式的解集为； 当时，关于的不等式的解集为. 【变式2】（25-26高一上·全国·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，结合计算可得； （2）通过令，求得，设，则，变形可得，进而判断函数的奇偶性； （3）利用，将式子变形整理，结合函数的奇偶性求得. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 题型七 根据函数的奇偶性求参数值 解｜题｜技｜巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 【典例1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出参数值. 【详解】函数定义域为R，由为奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. 故选：A 【典例3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故，经检验符合题意. 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域的夜店求出b，继而根据为奇函数求出a，即可求得答案. 【详解】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，， 则，即， 则 所以， 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若函数为奇函数，则 . 【答案】1 【分析】利用奇函数的性质求参数，注意验证即可. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，结合奇函数性质有，可得， 此时，则，满足题设. 所以. 故答案为：1 【变式3】（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知为偶函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义化简，推理计算即得. 【详解】因为偶函数， 则 ， 又因不恒为0 ，故，解得. 故选：A. 题型八 抽象函数奇偶性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 【典例1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 对于A，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，与和均不相等， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 【典例3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法可判断AB；结合偶函数定义，举反例判断C；令，可推出，判断的奇偶性，即可判断D. 【详解】由题意知，， 令，则，A正确； 令，则，即得，B错误； 令，则， 令，取，则，取，则， 即，故不是偶函数，C错误； 由于，故， 令，则， 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，即为奇函数，D正确， 故选：AD 【变式1】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【分析】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据所给函数性质，灵活赋值，恰当变形是解决问题的关键. 【变式3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 题型九 函数周期性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 【典例1】（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】， 故选：B 【典例2】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数周期性和奇函数性质求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 又，即函数是周期为4的周期函数， . 故选：C 【典例3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】先求出的一个周期为6，结合函数为偶函数得到，代入求值，得到答案. 【详解】由得， 故，故的一个周期为6， 又为偶函数，故， ，，故. 故选：B 【典例4】（24-25高一上·安徽亳州·期末）（多选）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【答案】ABD 【分析】对A，令结合条件可得解；对B，令结合偶函数定义可判断；对C，令，可得，，联立并化简可得即可推出周期判断；对D，令，得，用代替，得，相加运算得解. 【详解】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得， 用代替，得， ，由可得， ，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由函数的周期性可得，再将代入即可得出答案. 【详解】当时，， 即时，的周期为， 所以. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】D 【分析】先判断函数的周期性，利用周期性和偶函数的性质计算即得. 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 【变式3】（24-25高三上·福建三明·月考）已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A．1 B．0 C．-2025 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的概念和性质可得是周期为的函数，将化为即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 又，所以， 所以，即， 所以是周期为的函数，故. 故选：D 【变式4】（24-25高三下·安徽·月考）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性等知识来求得正确答案. 【详解】依题意，为奇函数，所以的图象关于对称， 为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以， （*）， 所以，则， 则，， 所以是以为一个周期的周期函数， 又由（*）可得则， 所以. 故答案为：. 【变式5】（25-26高一上·江苏·期末）（多选）已知定义域为的函数满足：，则（    ） A．是周期为2的函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】由可得，进而判断A；根据题设赋值结合周期性即可判断CD；取特例即可判断B. 【详解】对于A，由可得， 即函数是周期为2的函数，故A正确； 对于C，对于，取，得， 而，所以，故C正确； 对于D，对于，取，得， 则，故D正确； 对于B，取，则， 且， 即函数满足题意，但不是偶函数，故B错误. 故选：ACD 题型十 函数对称性的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】法一：设是的图象上一点，则关于点的对称点为也在函数图象上，列出方程组，消去后，整理后即可求得的值，检验后即得答案； 法二：由题意可得函数的定义域关于对称，即的解集关于对称，求得，证明的图象关于点对称，再由的图象关于点对称推出，即得答案. 【详解】法一： 设是的图象上一点，P关于点的对称点为， 由题知点Q也在的图象上，则， 两式相加得，即成立， 因为具有任意性，故可得，且， 即，可得， 解得或. 若，则，此时的图象不关于点对称，不合要求； 若，则，此时，， 可得的图象关于点对称，故. 法二： 由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称， 即的解集关于对称，故得，此时 ， 设，则， 可得函数的图象关于点对称，要使的图象关于点对称， 则，故. 故答案为：. 【典例2】（25-26高一上·河南·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可. 【详解】若，则，故， 由函数的图象关于点成中心对称图形， 则. 故选：A 【典例3】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 【典例4】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ） A．0 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得，，即可得到答案. 【详解】因为定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称， 所以与的交点也关于对称， 若函数与的图象有四个交点，分别为， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D. 【典例5】（24-25高一上·江苏苏州·期末）（多选）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（    ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】对于A，令，即可得结果；对于D，令，可得结合对称性定义判断；对于B，C举反例说明即可. 【详解】因为. 对于A，令，可得，即，故A正确； 对于BC，例如，则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 对于D，令，可得，即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 【变式1】若函数的图像关于直线对称，则 【答案】120 【分析】利用图像的对称性列方程组求解即可. 【详解】由题意得函数的图像关于直线对称， 则， ， 解得：，. 故答案为：120. 【变式2】（24-25高一下·云南昆明·期末）定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，根据函数的对称性、单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减， 所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的图象变换求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B 【变式4】（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得：，，即可得到答案. 【详解】由，得的图象关于对称， 函数，则，即的图象也关于对称， 因此函数与图象的交点关于对称， 不妨设关于点对称的坐标为，，则，， 则，，同理得：，， 即. 故选：D 【变式5】（25-26高一上·云南·期末）（多选）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（ ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】先由可得C正确，再由及为偶函数可得BD正确，A错误. 【详解】对于A：因为为偶函数，所以，则， 再由，令，得，所以，故A错误； 对于C：因为，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D：由，得，所以， ，且，所以，即， 所以，所以的图象关于点对称，故D正确； 对于B：由为偶函数，得，即， 且，所以， 以代替，得——①.再以代替，得——②， 联立①②得，再以代替，得，故B正确. 故选：BCD. 题型十一 函数性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 【均为多选题】 【典例1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性定义可判断AB，再利用分段讨论单调性来求值域，可判断CD. 【详解】因为，且定义域为，所以函数是奇函数，故A错误，B正确； 当时，， 此时在时单调递增，所以， 当时，， 当时，由奇函数的对称性可知，此时， 综上可得：函数的值域为，故C正确； 当时，， 此时在时单调递增，根据奇函数对称性可知， 在时也单调递增，由于函数的定义域为，且， 所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：BCD 【典例2】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求，判断A；根据函数单调性的定义判断B；根据奇偶性的定义判断C；利用是奇函数，且是减函数解不等式，可判断D. 【详解】因为函数的定义域为，对于任意实数满足:， 对于A，令，则，所以. 所以A正确. 对于B，令，则，，所以. 所以，所以为上的减函数. 所以B错误. 对于C，因为函数的定义域为，所以的定义域为. 令，则，即. 所以为奇函数.所以C正确. 对于D，由B，C可得为上的减函数，且是奇函数. 因为，所以. 所以，即，解得. 的取值范围为.所以D正确. 故选：ACD. 【典例3】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的定义域为，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误， 对于B，令，得到，由选项A知， 所以，故B正确， 对于C，令，则， 又，则， 又由题可知，故， 又， 所以，故C正确， 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以， 即，故D错误. 故选：BC. 【典例4】（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，赋值求出，再结合、单调性逐项判断即可. 【详解】对任意实数x，y均有， 令，则，解得或， 当时，取，则与已知矛盾； 当时，取，则与已知矛盾， 因此，A错误； 对于B，，取，，则， 函数为奇函数，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 当时，与已知矛盾；当时，与已知矛盾， 因此，C正确； 对于D，，，由当时，，得， 因此，而， 则，即，函数在上单调递增，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 【典例5】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．， D．， 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可求，及，故可判断AC的正误，利用反证法可判断B的正误，利用题设中的运算关系可得，结合C中结果可判断D的正误. 【详解】令，则，故， 令，则即，故C正确； 故， 令，则， 故，故A正确， 若为偶函数，则，故， 此时，与题设矛盾，故B错误； 对于D， ， 故，故D成立， 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：抽象函数的性质的研究中，一般是利用赋值法得到一些特殊的函数值，从而得到抽象函数具有的不同的性质，注意赋值时要根据目标的结构形式来处理. 【变式1】（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 【答案】ABD 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 【变式2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用轴对称有中心对称的意义推理可得函数是偶函数，再利用单调性逐项分析判断. 【详解】由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，则， ，于是， 因此函数是偶函数，且当时，单调递减， 对于A，，则，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 则，，即，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 【变式3】（24-25高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（   ） A． B．为偶函数 C．4是的一个周期 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断；对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】对于A，令，得， 因为不恒为0，所以，故A错误； 对于B，令，得， 得，则为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， 则， 则，周期为4，故C正确； 对于D，令，得，，即， 令，得，即关于中心对称， 所以，即，所以，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 【变式4】（24-25高一上·贵州安顺·期末）若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的一条对称轴为 D． 【答案】ACD 【分析】由函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，求出是周期为4函数，利用赋值法、周期性逐项判断可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 故，所以是图象的一条对称轴，所以， 又函数的图象关于点成中心对称， 因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到， 所以函数关于点成中心对称，故， 所以，故且， 所以，所以， 所以，故，所以为周期函数， 且周期为4， 对于A，由、得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以的一条对称轴为，故C正确；     对于D，因为，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是利用已知条件判断出是周期为4的函数. 【变式5】（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．是奇函数 C．的图像关于点对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确. 对于B，，又因为， 所以，所以，所以函数为奇函数， 故B 正确； 对于C，又因为，所以函数的图像关于直线对称, 故C错误; 对于D， 由的对称性与周期性可得， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可. 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 即函数为偶函数， 且，即函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，函数在上不单调，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，该函数的定义域为， 函数在定义域上不单调，B不满足要求； 对于C选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上为增函数， 故函数在上为增函数，C满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足要求. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西·期末）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性判断AB错误；根据函数单调性判断C错误；根据奇偶性与单调性判断D正确. 【详解】 为非奇非偶函数，A错误； 为偶函数，B错误； 与 均为R上的增函数，故 为 R上的增函数，C错误； 设 ，则，，所以是奇函数， 又因为与 且均为上的减函数，故 在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域的夜店求出b，继而根据为奇函数求出a，即可求得答案. 【详解】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，， 则，即， 则 所以， 故选：C. 4．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】为奇函数，当时，， 所以， 故选：C. 5．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式等价于 或求解. 【详解】因为当时，， 所以时，，时，， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以时，，时，， 又不等式，等价于 或， 所以 或，解得 或， 故选：C 6．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增， 因为， 故，所以. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高一上·甘肃武威·期末）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】只需得到偶函数在上是单调递增函数即可求解. 【详解】因为函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数， 所以在上是单调递增函数， 所以. 故选：AD. 8．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域是 B．的值域是R C．是奇函数 D．在，上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据分式有意义求出定义域，根据分子不为零求出值域，利用奇函数的定义即可判断，利用反比例函数图象进行平移，来判断单调性，逐个判断每个选项． 【详解】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：， 所以的定义域是；故A项正确； 对于B项，的值域是，故B项错误； 对于C项，，令，定义域为，， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确； 对于D项，的单调递减区间为，，将向右平移一个单位得到， 故在，上单调递减，故D项正确． 故选：ACD． 三、解答题 9．（24-25高一上·江苏泰州·期末）设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用，求出的值，验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； 【详解】（1）函数是奇函数， 则，解得， 经检验，当时，， 则，则为奇函数， 所以的值为2. （2）由（1）可知，，设， 则，因为， 所以，， 故，即， 所以是上的增函数. 10．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【分析】（1）利用待定系数，代入可得方程求，即可得函数解析式； （2）利用定义域对称，再结合，即可得奇函数； （3）利用指数函数性质，分离分式即可求得值域. 【详解】（1）由可得， 所以. （2）由的定义域为，关于原点对称， ，故是奇函数. （3）由， 因为，所以，所以， 即，所以， 故函数的值域为. 11．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为. （2）当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 12．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇偶性定义判断证明即可； （2）应用单调性定义，令判断的符号，即可证； （3）利用函数的单调性解不等式求解集即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由定义域为，且， 所以为奇函数，得证； （2）令，则 ，而， 所以，即，故函数在区间上是增函数； （3）由，且函数在区间上是增函数， 所以，可得，解集为. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 2．（24-25高一上·重庆·期末）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为奇函数求得，再确定其单调性即可求解； 【详解】是奇函数，又定义域为, 所以，得，经检验符合； 所以， 由在上单调递增，易知在上单调递减， 又， 所以等价于， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：A 3．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】先应用赋值法得出函数对称性进而得出得出周期，结合对数运算计算求值. 【详解】令，则， 因为，所以，令，得， 所以. 令，则， 则， 则， 令，得，所以， 则. 故选:B. 4．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（    ） A．2025 B．506 C．507 D．2026 【答案】D 【分析】根据给定条件，分析函数的性质并求得，利用周期性求出第个周期内的4项和，再按除以4的余数情况分类求和推理求解. 【详解】由是偶函数，得，则函数的图象关于直线对称， 且，又，则， 因此函数的图象关于点对称，而，即， 函数的周期为4，由及对称性，得， 显然，在第1个周期内，， 在第2个周期内，， 以此类推，在个周期内，有， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，令， 解得，正整数的最小值为506，此时的最小值为2026； 当时，，不符合题意， 所以最小正整数为2026. 故选：D 二、多选题 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知的定义域为，且为奇函数，则（   ） A．关于对称 B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对称性定义判断A；探讨函数的周期判断CD；利用函数既是奇函数又是偶函数的特征判断B. 【详解】由定义在R上的函数满足，即， 由为奇函数，得，则，，即周期为4， 对于A，由，得图象关于对称，A正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，，则， 因此，D正确； 对于B，由，得，则， 若为偶函数，则，因此对任意成立，而没有条件能确保恒成立，B错误. 故选：ACD 6．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 【答案】ABC 【分析】运用赋值法结合函数性质逐个判断即可得． 【详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：令，则有，即， 由，故，即，故B正确； 对C：函数的定义域为，则函数的定义域为， 令，则有， 即，即， 故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有， 即，即有， 则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误． 故选：ABC． 7．（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．的解集为 C．在单调递增 D．的解集为 【答案】ABC 【分析】求出函数的定义域，并化简其解析式为.根据奇偶性的定义判断A；根据不等式的性质判断恒成立，从而判断B；利用单调性定义可判断C；根据偶函数的图象特征及的单调性求解不等式（要特别注意定义域的限定），判断D. 【详解】因为，所以函数的定义域为. . 对于A，，.所以为偶函数，所以A正确. 对于B，当时，，所以，所以；当时，，所以，所以.所以.所以的解集为所以B正确. 对于C，设，. 因为， 所以，，， 所以，即，所以在上单调递增.所以C正确. 对于D，由A,C知，是偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减. 因为，所以，所以，即. 解得，或.所以D错误. 故选：ABC. 8．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数满足，且，有，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．关于的不等式解集为 【答案】BC 【分析】根据题意可得在内单调递减，结合奇偶性的定义可知为偶函数，即可判断AB；再根据对称性判断C；根据偶函数和单调性可得，运算求解即可. 【详解】因为，有，即， 可知在内单调递减， 又因为定义在上的函数满足，即， 可知为偶函数，且不恒成立，可知不为奇函数，故A错误，B正确； 由偶函数的对称性可知在上单调递增，故C正确； 对于不等式，则， 整理可得，解得或， 所以不等式解集为，故D错误； 故选：BC. 9．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，满足，当时，恒有，则（   ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】A选项，通过赋值得到；B选项，通过赋值得到，即可判断奇偶性；C选项，赋值得到，然后再次赋值即可得到；D选项，令，，然后根据BC选项得到，最后根据定义判断单调性即可. 【详解】令，，则，整理得， 因为，，所以，，故A错； 令，，则，整理得， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则， 然后用替换可得，故C正确； 令，，， 所以，， ， 因为，，且为偶函数， 所以，，即， 因为，所以， 所以，即，所以在上单调递减， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：抽象函数性质研究： （1）函数值：通过赋特殊值求函数值； （2）奇偶性：通过赋值产生，，从而得到奇偶性； （3）单调性：通过赋值得到，然后判断正负得到单调性；或通过特殊值的思路，取复合要求的具体函数，然后判断单调性. 三、解答题 10．（25-26高一上·山西太原·期中）已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有；④. (1)求的值； (2)证明：是减函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】 （1）根据题意利用赋值法求函数值即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据题意可得原不等式等价于，结合单调性分析求解即可. 【详解】（1）因为对于任意的，，都有，且， 令，，则，可得； 令，，则，即，可得. （2）对，，且，则， 可得，， 则， 所以在上是减函数. （3）因为对于任意的，，都有， 令，可得； 令，可得； 令，可得， 且，可得， 所以原不等式等价于， 由（2）可知在上是减函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为. 11．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2），函数定义域为R， 则， 所以为奇函数； （3）， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 三、填空题 11．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 12．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 13．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $