第24章 圆过关测试卷-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第24章 圆过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 2．下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．长度相等的弧是等弧 C．平面上的三个点可以确定一个圆 D．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 4．如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． A． B． C． D． 6．一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该扇形的面积是（   ）． A． B． C． D． 7．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，分别与相切于两点，点为上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．在中，，，，是以点为圆心，2为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为（   ） A．5 B．3.5 C．4.5 D．4 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若的半径为，点P到圆心的距离为，则点P与的位置关系是 ． 12．如图，四边形内接于，．则的度数是 13．如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 14．如图所示，扇形从图无滑动绕着点旋转到图 ()的位置，再由图紧贴直线运动到图，已知，．由图到图点所运动的路径长是______(结果保留)． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 16．（8分）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC． (1)求证：∠ACB+∠BOC＝90°； (2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度． 17．（8分）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积. 18．（8分）要把残破的图形模具修复完整，已知弧上三点. （1）找出模具的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求模具的半径. 19．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 20．（8分）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 21．（10分）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 圆过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系的意义，先找出点到圆心的距离与半径的关系，再作判断． 【详解】解：∵点P到圆心的距离为， 而O的半径为， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在圆上， 故选：B． 2．下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．长度相等的弧是等弧 C．平面上的三个点可以确定一个圆 D．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，等弧，内心，确定圆的条件， 根据定义和性质逐项判断解答即可. 【详解】解：因为平分弦的直径不一定垂直于弦，如：两条直径互相平分，但是不一定垂直，所以A不正确； 因为在不同的圆中长度相等的弧不是等弧，所以B不正确； 因为平面上不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，所以C不正确； 因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以D正确. 故选：D. 4．如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，根据圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：， ． 故选：D． 5．如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的切线的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 根据题意，证得，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：、为的切线，、为切点， ，，， ， 在和中， ， ， ． 故选：A． 6．一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该扇形的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，掌握圆锥的侧面积公式为（为底面半径，为母线长）成为解题的关键．直接运用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：该扇形的面积是为． 故选C． 7．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 8．如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，同弧所对的圆周角相等，连接，根据正方形的性质得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 故选：D． 9．如图所示，分别与相切于两点，点为上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据切线的性质得到，根据四边形的内角和求出的度数，再利用圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点，   ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．在中，，，，是以点为圆心，2为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为（   ） A．5 B．3.5 C．4.5 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出和长，再根据三角形的三边关系确定长度的范围，从而确定的最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵是的中点，是的中点，， ∴为的中位线， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵为斜边的中线， ∴， 在中，，即， ∴的最大值为3.5． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以为边，另两边为定值的三角形是解答此题的关键． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．若的半径为，点P到圆心的距离为，则点P与的位置关系是 ． 【答案】P在内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，利用点和圆的位置关系的相关知识解答．根据题意可知，点到圆心的距离小于半径，然后即可得到点P与的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故答案为：P在内． 12．如图，四边形内接于，．则的度数是 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 13．如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 14．如图所示，扇形从图无滑动绕着点旋转到图 ()的位置，再由图紧贴直线运动到图，已知，．由图到图点所运动的路径长是______(结果保留)． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，旋转的性质，解题的关键是正确运用弧长公式进行计算． 由图到图，点所运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由图到图，点所运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧长， 根据弧长公式（其中为圆心角度数，为半径）， 可得路径长：， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【详解】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算． 16．（8分）如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC． (1)求证：∠ACB+∠BOC＝90°； (2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度． 【答案】(1)证明见解析；(2)BC＝6． 【分析】(1)根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ABO＝∠BAO，∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，即可得出答案； (2)求出△BOC≌△DOC，根据全等三角形的性质得出BC＝CD，根据勾股定理求出CD即可． 【详解】(1)证明：∵圆弧AB对的圆周角是∠ACB，对的圆心角是∠AOB， ∴∠AOB＝2∠ACB， ∵OB＝OA， ∴∠ABO＝∠BAO， ∵AB∥OC， ∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°， ∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°， 即2∠ACB+2∠BOC＝180°， ∴∠ACB+∠BOC＝90°； (2)延长AO交⊙O于D，连接CD， 则∠ACD＝90°， 由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6， ∵OC∥AB， ∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO， ∵∠BAO＝∠ABO， ∴∠BOC＝∠COD， 在△BOC和△DOC中 ∴△BOC≌△DOC(SAS)， ∴BC＝CD， ∵CD＝6， ∴BC＝6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键． 17．（8分）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积. 【答案】（1）圆锥的底面半径为；（2） 【分析】（1）扇形的弧长公式=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径； （2）S圆锥=，（r1=扇形半径即圆锥母线长，r2=底面圆半径）将已知条件代入即可. 【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为， 扇形的弧长， ∴ 解得，，即圆锥的底面半径为； （2）圆锥的全面积 【点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分. 18．（8分）要把残破的图形模具修复完整，已知弧上三点. （1）找出模具的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求模具的半径. 【答案】（1）如图所示见解析；（2）R=. 【分析】（1）作线段AB与线段AC的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）连接OA交BC于D，在Rt△BDO中，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求； （2）连结OB、，则于， ， ∴，则 设半径为，在Rt△BDO中，由勾股定理得 ∴R= . 故答案为（1）如图所示见解析；（2）R=. 【点睛】本题综合考查垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用． 19．（8分）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 20．（8分）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可求得，则，可证明直线是的切线； （2）若于点，根据垂径定理可证明，在中，，，则，已知的半径，则，根据勾股定理可以求出的长，进而求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵是的直径，且于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大． 21．（10分）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】(1)＜；证明见解析 (2)不成立；；证明见解析 (3) 【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； （3）解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$