第24章 圆能力提升测试卷-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第24章 圆能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，的直径垂直于弦，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点C，D，E在圆上，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 5．正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 6．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 7．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（    ） A． B． C． D． 8．在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，B两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右平移，当与直线的位置关系是相交时，横坐标为整数的点的个数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 12．如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 ． 13．秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现这个扇形的弧长，圆心角为，则这片银杏叶的面积为 ． 14．如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，． (1)画关于y轴对称的； (2)画绕点O逆时针旋转90°后的； (3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 17．（8分）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 18．（8分）如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． (1)求证：平分； (2)已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 19．（8分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 20．（8分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 21．（10分）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 圆能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，的直径垂直于弦，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理．根据垂径定理推出，推出，再由即可解决问题． 【详解】是直径，， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题关键．根据等弧可直接判断A选项结论；由同弧可得，进而得出，可判断B、C选项结论；根据已知条件无法证明D选项结论． 【详解】解：在中，， ，，A选项结论正确，不符合题意； ， ， ， ，，B、C选项结论正确，不符合题意； 无法证明，则D选项错误，符合题意； 故选：D 3．如图，是的直径，点C，D，E在圆上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆内接四边形的性质．连接，得出，，再利用圆内接四边形对角互补求解可得出答案． 【详解】解：连接，    ∵同弧所对的圆周角相等， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积， 圆锥的侧面积公式为，其中是底面圆半径，是母线长. 【详解】解：根据题意，得底面圆半径，母线长， ∴. 故选：A. 5．正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 6．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解： 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长为： 故选：D． 7．如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积是解此题关键． 连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出阴影部分的面积=扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，, ∴分别以为弧的弓形面积相等，则阴影面积等于扇形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 8．在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 9．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、求线段和的最小值、勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 作点A关于的对称点，由轴对称的性质确定的最小值为的长，再利用圆的知识和勾股定理求出的长． 【详解】由题知，的半径为1，为的直径，故， 如图，作点A关于的对称点，连接，，， 则， 当三点共线时，取得最小值，为的长， 点A是半圆上的一个三等分点， ， 点B是弧的中点， ， 点与点关于直径对称， ， ， 又， 由勾股定理得，， 的最小值为． 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于，B两点，，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将沿轴向右平移，当与直线的位置关系是相交时，横坐标为整数的点的个数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质，角的特殊直角三角形的性质，掌握求圆与直线相切的点坐标是解题的关键． 由数形结合，画出圆与直线相切的情形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 当点在、时，圆与直线相切， 当点在、之间移动时，与直线相交， ， ∴ ∵， ∴ ∵与相切， ∴，， ∵， ， ∴ 同理， ∴ 故点在之间移动与直线的位置关系是相交， 点在之间移动横坐标整数点有： 3，4，5，6，7，8，9，共7个． 故选：A． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 12．如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的相关性质、等边三角形的性质以及扇形面积公式．求出扇形的圆心角和半径是解决本题的关键． 首先根据等边三角形的性质求出外接圆半径以及相关角度，进而确定扇形的圆心角和半径，最后利用扇形面积公式求出阴影部分面积． 【详解】连接、，过O作于点E，如图， 因为是等边三角形的外接圆， 所以． 由于是等边三角形，则， 所以． 因为，是等边三角形， 所以． 已知，则． 在中，，， 即，，解得． 因为点D是的中点， 所以． 又因为，，， 所以是等边三角形，则． 所以扇形的圆心角为，． 扇形面积公式可得：． 故答案为：． 13．秋风萧瑟，一片片金黄的银杏叶从树上飘落下来，同学们纷纷捡起漂亮的银杏叶来作树叶画，如图是一片银杏叶的示意图，可以将这片银杏叶看作一个扇形，经测量发现这个扇形的弧长，圆心角为，则这片银杏叶的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长，面积公式，掌握知识点是解题的关键． 根据扇形的弧长，面积公式，即可解答． 【详解】由题意知，， 解得， ∴银杏叶的面积为． 故答案为． 14．如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，． (1)画关于y轴对称的； (2)画绕点O逆时针旋转90°后的； (3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作轴对称图形，旋转作图，弧长公式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别找出关于y轴对称的点，再依次连接，即可作答． （2）先分别找出绕点O逆时针旋转后的点，再依次连接，即可作答． （3）先运用勾股定理算出，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图所示： 则， 在（2）的条件下，， ∴． 即点A所经过的路径长为． 17．（8分）如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】不需要采取紧急措施 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、，由题意可得，，，，，，由垂径定理可得，，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、， ， 由题意可得：，，，，，， 由垂径定理可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不需要采取紧急措施． 18．（8分）如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． (1)求证：平分； (2)已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用．熟练掌握圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用是解题的关键． （1）连结，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）连接交于点H，根据全等三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据弧长公式得到结论． 【详解】（1）证明：连结， ∵与相切， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴平分； （2）解：连接交于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长． 19．（8分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装24盏景观灯 【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）连接，设喷泉的半径为，则：，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可知米，然后根据圆的周长可进行求解． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯． 20．（8分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 【答案】(1) (2) (3)3；3 【分析】（1）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解； （2）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；求出的面积即可求解； （3）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C； 由题意知，， ∴是等边三角形， ∴，； 由勾股定理得， ∴， ∴正六边形的面积为； （2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴圆内接正八边形的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴， ∴圆内接正十二边形的面积为； 圆的面积为，则； 故答案为：3；3． 21．（10分）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$