专题01 圆锥曲线中的离心率问题12大重点题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

专题01 圆锥曲线中的离心率问题（12大重点题型） 目录 A题型建模・专项突破 4 题型一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率（重点） 4 题型二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率（重点） 10 题型三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率 17 题型四、斜率乘积求离心率（常考点） 23 题型五、余弦定理求离心率（常考点） 30 题型六、构造齐次方程求离心率（难点） 38 题型七、离心率的范围及最值问题（难点） 47 题型八、以特殊三角形为载体的离心率计算 62 题型九、以特殊四边形为载体的离心率计算（难点） 70 题型十、以内切圆外接圆为载体的离心率计算（难点） 77 题型十一、以三角形四心为载体的离心率计算（难点） 84 题型十二、以立体几何的截面为载体的离心率计算 89 B综合攻坚・能力跃升 97 【重要公式技巧】 1、 椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2、 双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 题型一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解. 【详解】根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得. 则离心率为. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求出，再由焦点坐标求出，求出离心率即可. 【详解】设椭圆的两个焦点为，，点， 则，， ，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 3．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：设，则依题有，当该圆锥曲线为椭圆时，椭圆的离心率；当该圆锥曲线为双曲线时，双曲线的离心率为；综上可知，选A. 考点：1.椭圆的定义；2.双曲线的定义. 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【详解】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求，根据双曲线离心率的定义可得结果. 【详解】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得： ，， 由， 解得，而，所以双曲线的离心率． 故选：A． 6．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解. 【详解】 由知， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴的离心率是. 故选：A. 7．（24-25高二上·陕西安康·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】求出，，根据双曲线定义得到关于a，c的方程，求出. 【详解】由题意得，故，， 由题意结合双曲线定义知，故. 故选：B 8．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 9．（24-25高二上·吉林·期中）如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，与椭圆交于点，连结， 由题意可知，的边长为，点是的中点， 所以，，   ，所以. 故选：B 10．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】如下图所示，设，则，， 所以，得，    由椭圆定义可得，，， 所以， 所以为等腰直角三角形，得，， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 11．（24-25高二上·福建泉州·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】依题意及椭圆的定义可知， 则，又，所以， 则离心率. 故选：D. 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案. 【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系， 由，结合对称性、圆的切线性质， 令，且， 所以， 所以，可得，故， 故选：D． 题型二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可 【详解】点椭圆上的点，   ，且 在 中， 即 ，整理得： 即 故选：D 14．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据中哪一个角为直角分类讨论，再结合双曲线的定义以及解三角形即可求出． 【详解】当时，，，所以， 当时，，，，，所以． 故选：B． 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义和勾股定理即可求解. 【详解】如图 依题意，，，， 则，， 由椭圆定义可得，， 所以离心率. 故选：D. 16．（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率. 【详解】 因为经过左焦点，且斜率为，故， 为三角形内角，所以，所以，则， 设，则， 由椭圆的定义可知：，即，解得：， 所以，， 由勾股定理得：， 故， 解得：，故椭圆离心率. 故选：B 17．设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为 . 【答案】. 【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解. 【详解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，， 由椭圆的定义可得，，又， 在△中，由勾股定理可得：，即， ， 故答案为：. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目. 18．（24-25高二上·新疆喀什·期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数关系得到，，由椭圆定义得到方程，求出离心率. 【详解】因为P是C上的点，且，， 所以，， 又， 故，解得. 故选：D 19．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，且是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，角或角为直角，不妨令角为直角，求出的长度，再由列式求得椭圆的离心率． 【详解】因为是等腰直角三角形，且是椭圆上异于顶点的一点， 角或角为直角，不妨令角为直角，此时， 代入椭圆方程不妨设焦点在轴上， 解得， 又三角形为等腰直角三角形，得， 故得，即， 即，解得， 由，可得，故选D． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与离心率，是中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 20．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率. 【详解】由已知，得，则, 又在椭圆中通径的长度为，， 故, 即, 解得 故选：C 21．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 22．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解. 【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点， 若点在轴上方，有，即， 又，则， 此时，不符，故舍去； 若点在轴下方，有，即， 又，则， 则， 故 . 故选：C. 23．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 24．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解. 【详解】双曲线的焦点为，，则， 是等腰三角形，， ，， 由正弦定理即，解得， 双曲线过点，由双曲线的定义可得， 解得离心率， 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手： （1）根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值； （2）已知条件构造出，，的等式或不等式，结合化出关于，的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围. 题型三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率 25．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解. 【详解】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 26．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线l的方程为，联立双曲线，得到两根之和，两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积，列出方程，求出离心率. 【详解】设，，直线l的方程为，其中， 联立得． ∴，， 由，得，即， ∴，即， ∴，整理得， ∴离心率． 故选：C． 27．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出，，利用双曲线的第二定义，结合直线的斜率为，建立等式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E. 根据双曲线的第二定义可得，， ， 由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°， ∴，， . 故选：A. 28．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，由得到A、B两点的纵坐标的关系，进而得到方程，求出实数k的值. 【详解】因为离心率，所以，设直线方程为：，则与椭圆联立得：，设，不妨令，由可得：，其中①，②，将代入①②可得：，，从而，解得：，因为，所以. 故选：B 29．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 30．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】作出准线与轴交点为，过准线的垂线，过作，垂足为，设，得到，结合直线的斜率，得到，结合椭圆的第二定义列出方程，即可求解. 【详解】作出准线与轴交点为，过准线的垂线，垂足分别为， 过作，垂足为， 设，因为，则， 又因为的倾斜角为，所以，则， 又由椭圆的第二定义，可得， 所以，解得，故椭圆的离心率为. 故答案为：. 31．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理列出方程求出离心率. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，，连接，，， 则，，，， 依题意，，由双曲线的对称性知四边形为矩形， 在中，由，得， 化简得，即，，在中，由， 得，化简得，所以双曲线的离心率. 故选：A 32．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得 设坐标分别为，则 因为，所以，从而有 ① 再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ② 由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B 题型四、斜率乘积求离心率 33．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率 故选：D 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设, 因为为线段的中点，所以， 则，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，所以. 故选：D. 35．是椭圆上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线的斜率之积，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线的斜率之积列方程，化简求得，由此求得椭圆的离心率. 【详解】依题意， ， . 故答案为： 36．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，再利用斜率的坐标公式求出即可计算离心率. 【详解】依题意，，设点，则有，即， 由直线AP，BP斜率之积等于，得，即， 显然曲线是焦点在轴上的椭圆，， 所以C的离心率为. 故选：A 37．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据点在椭圆可得，故可得. 【详解】椭圆长轴的两顶点为， 设，则由题设可得即， 故，故即，故， 故选：B 38．已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，设且，根据斜率公式求出，并且化简到只有离心率的表达式. 【详解】因为双曲线C： 所以，设且即 ，所以 故答案为： 39．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 40．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据已知可得，设，得，结合与，可求出的值，根据得的值，即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：由题意可得，所以， 直线与椭圆交于两点，设，则，且①，又， 所以的斜率之积为②， 由①②可得：，即，结合，可得：，所以，则椭圆的离心率为. 故选：A. 41．已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率. 【详解】 设，则， 所以， 又， 所以， 又点在上，所以， 所以， 即，由， 故选:D． 42．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设，应用点差法，结合为线段中点及、列方程求得，进而求离心率. 【详解】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 43．已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于 ． 【答案】或 【分析】讨论若的大小，若，设，根据点在椭圆上可得，结合化简可得，再根据椭圆离心率求出，同理可求时情况，即可得答案. 【详解】由题意知若，则不妨取， 设，则，则， 则， 由于椭圆的离心率为， 即，即， 故； 若，则不妨取， 设，则，则， 则， 由于椭圆的离心率为， 即，即， 故， 故答案为：或 44．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 45．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围. 【详解】设点，则，且，可得， 易知、， 所以， 所以，可得， 故. 故选：D. 题型五、余弦定理求离心率 46．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 47．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可. 【详解】且，则， 因，，则在中利用余弦定理可得， ，解得， 又，则. 故选：C 48．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题设条件，利用余弦定理能够求出，再由双曲线定义可以推导出，从而求出该双曲线的离心率． 【详解】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义， 解得．∴双曲线的离心率． 故答案为：． 49．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由双曲线定义和，求出，由余弦定理得到，求出离心率. 【详解】由双曲线定义知， 又，所以， 又，由余弦定理得 ， 解得，故离心率为 故答案为： 50．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意计算出，，然后两次应用余弦定理求得的关系式，从而求得离心率． 【详解】由题意，，且， 在中，由余弦定理得， 同理在中由余弦定理得， 所以，可得，所以离心率为， 故选：C． 51．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率. 【详解】 由，可得在同一条直线上， 设，则， 由椭圆的定义， 则 因为，则即，解得， 所以 在中，， 在中，， 则，化简得，即,解得：. 故选：B. 52．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 【答案】B 【分析】由条件分和两类情况，结合余弦定理求解即可. 【详解】在第一象限，，又为等腰三角形， 当时，， 又，则； 当时，， 又， 解得或（舍去），则； 故的离心率为或2. 故选：B 53．（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 54．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：D 55．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .    【答案】/ 【分析】设出，利用椭圆定义和图形对称性，借助于求得与的数量关系，接着在中求得，从而得到，最后在中运用余弦定理即可求得. 【详解】设，依题意，，因点在轴上，则，， 又因则，化简得，在中，，故, 在中由余弦定理，,即， 解得：，即，则离心率为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：由椭圆的焦半径想到椭圆定义式，由垂直想到求三边利用勾股定理，由边的数量关系想到设元替换，遇到三角形的边角关系，要考虑能否用正、余弦定理. 题型六、构造齐次方程求离心率 56．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定,再结合列出等式即可求解. 【详解】 设为的中点，设两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则 即可得：， 解得： 所以，则，平方后得， 即， 解得：或，由条件，所以. 故选：D 57．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率． 【详解】椭圆，左焦点，下顶点， 设，， 的中点为，，． ，． 由，， 两式相减得， 可化为， 得，即，两边平方得， 化为：，解得， 又，解得． 故选：A． 58．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平面向量数量积和线性运算的坐标表示可得建立方程组，解得，代入双曲线方程可得e的方程，解之即可求解. 【详解】如图，，设， 则, 由，得， 解得，又在双曲线上， 所以，即，整理得， 即，由解得. 故选：C 59．（24-25高二上·广东阳江·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用得，即轴，进而求得，再利用勾股定理得转化为，解方程可得答案. 【详解】由，得为的中点，又坐标原点为的中点，则， 于是轴，，则， 因此，即， 整理得，则，而，所以. 故选：A 60．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得，由，可得，从而得到关于，的齐次式方程，解得即可. 【详解】由题意，，， 过点组平行于的直线方程为， 联立，可得， 则，，由，可得， 即，即， 即， 整理得， 两边同时除以，可得， 又，可得，则． 故选：C． 61．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由题意得，，由此建立方程即可求解. 【详解】 因为与的一条渐近线平行，根据双曲线的对称性，不妨设， 又因为，所以， 注意到， 所以，即， 整理得，因为， 所以，解得. 故选：C. 62．（24-25高二上·重庆·阶段练习）椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过作x轴的垂线，再结合得出点的坐标，最后应用点在椭圆上，解齐次方程，求出离心率. 【详解】   先过作x轴的垂线，垂足为， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为，所以， 所以，因为点P在椭圆上，所以， 所以，所以，化简得， 所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 63．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据双曲线左焦点和直线斜率求出直线的方程，然后联立直线与圆的方程求出点的坐标.接着利用点是中点这一条件，联立直线与双曲线渐近线方程求出、横坐标，再根据中点坐标公式列出等式，最后求解出双曲线的离心率. 【详解】由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，半径为c，直线的斜率为， 则直线方程为， 由，得，即点P的坐标为， 双曲线渐近线方程为，设点，点， 则①，， 由，得， 由，得， 代入①得，解得， 所以双曲线C的离心率 故选：    64．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 65．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 66．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据勾股定理探索的关系，再以为基底表示，结合可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    设，则，，. 因为，所以. 又，所以. 所以，，. 又. 所以. 所以. 所以. 故选：D 题型七、离心率的范围及最值问题 67．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M ，使得直线AM 的斜率为 则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为直线与圆有交点，建立关于的不等式，再根据，即可求离心率的范围. 【详解】如图， 直线的方程为，即，圆的方程为， 由题意知，直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切， 所以，即，解得：，所以， 又，所以离心率，又， 所以. 故选：A 68．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，若上存在一点，使得是以为底边的等腰三角形，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令是的右焦点，根据题设知，存在点使得，由，即可求解. 【详解】令是的右焦点，由题可知，得到，所以存在点使得， 设为椭圆的上顶点，所以，得到的离心率， 所以，又，所以， 故选：A. 69．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线焦点到渐近线的距离，得出的表达式，再根据题中不等关系得到、的齐次式，转化为关于离心率的不等式，进而得到离心率的范围. 【详解】焦点到渐近线即的距离， 所以， 因为，即， 所以.解得，即， 又因为双曲线中，所以. 故选：C 70．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围. 【详解】 从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小. 若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得， 则只需，即， ， 所以，则，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 71．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 72．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，通过分析函数单调性可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设焦点在轴上，点在第一象限． 点在线段的垂直平分线上，． 由椭圆、双曲线的定义得：，，，整理得， ，即，， ,其中. 令 则. ∵当时，，∴在单调递增， ，∴，即. 故选：B. 73．（24-25高二上·吉林白城·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入双曲线方程，求得点的纵坐标，由，结合和离心率公式可得的范围，再由双曲线的定义，讨论共线时，取得最小值 ，结合离心率公式可得的范围，再由，取交集可求得结果. 【详解】令代入双曲线的方程可得. 由，可得，即为，即有①. 又恒成立，只要求出的最小值即可. 由双曲线的定义，可得，，即 由共线时， 取得最小值，可得， 即有②，由，结合①②可得，e的范围是. 故选：A. 74．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，即可求出的不等关系，再由当Q点与重合时，得出，再根据点Q在的延长线上，即可得解. 【详解】 由题设为锐角且， 设，则且， 故， 因为在椭圆内部且在的延长线上，故且， 故， 而， 整理得到：， 故，故， 综上可得：. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 75．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，， 所以的取值范围是. 故选：D 76．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：联立方程求出中点坐标，进而判断焦点位置是求解的关键. 77．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 设（），由椭圆的离心率， 即，解得：， 由点在第一象限，得双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键. 78．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 79．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 80．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过三角形内切圆的圆心是内角平分线的交点，利用角平分线的性质转化得到和的等量关系． 解法二：利用三角形的面积关系转化得到和的等量关系． 【详解】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得， 则，所以， 故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，， 所以， 由已知条件，得， 所以，得，即， 故选：B． 81．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 82．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 解法二：通过点横坐标的范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围． 【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以， 由焦半径的范围可知，即， 则且，解得， 故选：B． 解法二：设≠，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 故选：B． 83．（24-25高二上·江西上饶·期末）椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义和的内切圆半径表示的面积，再结合点到直线的距离和线段表示的面积，列式可得关于的关系，再根据的取值范围可求离心率的取值范围. 【详解】如图： 因为的内切圆的面积是，所以的内切圆的半径为1. 结合椭圆的定义：. 由到直线：的距离为：，所以. 由， 又，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两种方法表示的面积，得到的关系，再求离心率的取值范围. 84．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角形，建立不等式组求得的范围，然后由正弦定理用表示出，由双曲线的定义得到等式，从而表示出离心率.由的范围求出离心率. 【详解】设，则， ∵，解得， ， 即由正弦定理可知： ， ∴，， 在双曲线中， 即，即， ∴， ∵， ∴. 故选：D. 【点睛】方法点睛，本题时双曲线上的焦点三角形问题，通过正弦定理和双曲线的定理得到关于离心率的等式.结合题意中的三角形为锐角，建立不等式求得角的范围，从而得到离心率的范围. 85．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可 题型八、以特殊三角形为载体的离心率计算 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 2．已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，过点作轴，求得，代入双曲线方程求解. 【详解】如图所示： 因为为等腰三角形，且顶角为， 所以，过点作轴，垂足为， 在中，则，故， 代入双曲线方程得，解得，即， 所以，解得. 故选：D 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，则，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】如图所示， 因为为直角三角形，则，可得， 则，所以的离心率. 故选：B 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆的对称性可得， 则， 则不妨取， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率. 故选：B. 5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 6．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设，则，所以圆的半径为，利用是直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为直角三角形，，， ，即，又，所以， 故选：D. 7．（24-25高二上·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正三角形，得出点坐标用表示，代入椭圆方程转化的可得离心率． 【详解】因为为正三角形，，不妨设在第一象限，所以， 在椭圆上，则，，可得， 即得，所以， 因为，故解得． 故选：A． 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为，若为正三角形，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用为正三角形，确定几何量之间的关系，进而可求椭圆的离心率． 【详解】 因为为正三角形， 所以， 所以在中，，所以， 所以，即， 故选：D. 9．椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，，由此建立a，c的齐次式，进而可得结果. 【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B， 易得，， ∴，∴， ∴， 故选：D. 10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 12．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取； 2.根据渐近线的几何意义可得：. 题型九、以特殊四边形为载体的离心率计算 13．如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆对称性可知y轴垂直平分线段，即有为等边三角形，即可得，代入椭圆方程计算即可得. 【详解】连接，设，因为轴，所以， 又因为，所以， 故y轴垂直平分线段，即为等边三角形， 且，可得， 将其代入，可得，又， 整理可得，即， 解得，可得（负值舍去）， 由椭圆的离心率，可得. 故选：B． 14．已知双曲线左、右焦点分别为、，、为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，由得到，，再由得到，则，构造齐次式，解出离心率. 【详解】 由双曲线，易得双曲线的渐近线为或， 由题意，易得以为直径的圆的方程为， 设，，则，， 联立，解得或， ，， 又，轴， ，则， ，即， ． 故选：． 15．（24-25高二上·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围. 【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则， 若，则， 所以椭圆离心率. 故选：A 16．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线的右支于、两点，且，点关于坐标原点的对称点为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，则，在中，利用勾股定理得出，然后在中利用勾股定理可得出、的等量关系，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，则四边形为平行四边形， 设，则， 由双曲线的定义可得，， ，，， 所以，四边形为矩形， 由勾股定理得，即，解得， ，，由勾股定理得，即， 双曲线的离心率为. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 17．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为矩形，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线定义及直角三角形建立方程组求出，，再由直角三角形建立方程是解题的关键. 18．已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式及两平行线间的距离公式求出平行四边形的面积，换元后求出面积最大值，再由矩形面积最大列式求得的范围． 【详解】椭圆C：的焦点在x轴上， 设所在直线方程为，其中为椭圆的半焦距. 则由 得 设，则， 所以， 因为所在直线方程为， 所以直线与的距离为： ， 设，则， 则 要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可. 根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大. 即当时有最大值，也即是时最小， 由函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为函数在上，当时取得最小值，则. 所以，即，所以， 同时除以可得，解得, 故选：A 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 19．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系利用对称性，由双曲线定义和勾股定理计算得出的关系式，即可求解. 题型十、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 20．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B．   . 22．（24-25高二上·湖北·期中）如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用椭圆的定义，结合圆的相切性质列式求出，进而求出椭圆的离心率. 【详解】令与圆相切的切点分别为， 由椭圆定义得，即， 由，得，即， 由对称性得，即，解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 23．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 24．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设的内切圆圆心为，结合双曲线定义可求得为双曲线的右顶点，设，则，利用二倍角正切公式可构造关于的齐次方程，解方程即可求得离心率. 【详解】设的内切圆圆心为，且与三边相切于点， ，，， 由双曲线定义知：， ，又， ，，为双曲线的右顶点，即的横坐标为， 又的内切圆半径为，， 设，则， ， 因为与双曲线渐近线平行，且双曲线渐近线方程为， 所以， ，整理可得：， ，解得：或，又，. 故答案为：. 25．（24-25高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点．若的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，利用正弦定理可得外接圆半径；利用余弦定理结合椭圆的定义，通过等面积法可得内切圆半径，当为椭圆的短轴顶点时取得最大值，结合题意可得，即可得出离心率． 【详解】 设，则由正弦定理得的外接圆半径， 由余弦定理得， ∴， ∴， ∴，整理得， 设内切圆半径为，所以由等面积法可得 ， 即，解得 所以两半径之积， 由题意，为锐角，当为椭圆的短轴顶点时，最大，此时， 则，所以， 所以，当为椭圆的短轴顶点时取等号， 由题意得，解得， 则该椭圆的离心率为． 故答案为：． 26．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理计算，根据余弦定理计算，根据等面积法列方程得出，的关系，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的焦点为，，， 根据正弦定理可得， ，． 设，，则， 由余弦定理得，， ， ， 又， ，即，故， 解得：或（舍． 故选：B． 27．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在上，结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出，， 即，再利用内切圆的性质得到，即可求出的离心率. 【详解】 设，则，； 由点在上，则有，即， 所以； 又，所以，，则； 如图1，由焦点的内切圆可得：，，， 所以； 又，所以，即， 故选：A． 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是推理出二级结论：点在椭圆上，则，，再结合内切圆的性质，建立关于的等量关系. 题型十一、以三角形四心为载体的离心率计算 28．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】先由可确定、、三点共线,则根据外心的性质可得,再由点为焦点的中点,根据中位线性质可得,则,进而在中利用勾股定理求解. 【详解】由题,因为,所以、、三点共线, 因为点为线段的中点,的外心为,所以,即, 设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点, 则在中,,即,所以是直角三角形, 所以, 因为,由双曲线定义可得,所以, 则,因为,整理可得, 所以, 则, 故选:D 【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用. 29．已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据三角形重心公式得到线段中点，根据建立等式计算即可得到. 【详解】依题意，，，， 设，，则的中点， 因为点为的重心，则，， 所以中点， 因为，， 两式作差得：，化简得，即， 因为，又因为，，，四点共线，所以. 故，解得，故. 故选：A. 30．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定,再结合列出等式即可求解. 【详解】 设为的中点，设两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则 即可得：， 解得： 所以，则，平方后得， 即， 解得：或，由条件，所以. 故选：D 31．已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】利用点差法整理中点坐标与斜率的关系，根据重心的定义，结合斜率公式以及离心率的定义，可得答案. 【详解】设的中点 则, 且,两式相减可得, 整理可得，则, 由题意可知共线则, 即，所以,解得, 椭圆C的焦距为，则离心率,解得. 故答案为：. 32．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 【答案】/0.5 【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率. 【详解】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为， 在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径， 内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形， ， 即，， ∴椭圆C的离心率 故答案为: 【点睛】 33．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率． 【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线， 延长交轴于点，则由平行于轴知，， 则,设内切圆半径为r， 则， ∴椭圆的离心率为． 故选：A﹒ 题型十二、以立体几何的截面为载体的离心率计算 34．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，设圆柱的底面半径为，计算出椭圆的长轴长和短轴长，可取得的值，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，如下图所示，设圆柱的底面半径为， 可知，截面为直角梯形，不妨设、为直角腰， 过点作，垂足为点，由题意可知，椭圆的短轴长为，则， “切面”所在平面与底面所成的角等于， 所以，，则，， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：A. 35．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出轴截面图形，根据几何关系即可求解． 【详解】如图所示，，，， 则， ∴，即， 而，即， ∴， ∴． 故选：C． 36．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，由此可确定，，的大小关系；或根据离心率的定义判断. 【详解】解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为， 由题意得，， 则，，， 由，得，，故. 解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆， 由此可得. 故选：C. 37．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面，再结合三角形内切圆性质求出长即可作答. 【详解】依题意，平面截球O得球面大圆，如图，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F， 显然，而，则，又，有， 由圆的切线性质知，， 在中，，则，于是得椭圆长轴长，即， 又F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，因此， 所以椭圆的离心率. 故选：A 38．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知锐角二面角，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解. 【详解】设双曲线的半焦距为， 由题意可得：， 则， 且，则锐角二面角， 在中，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得：， 因为，即， 可得，解得. 故选：C. 【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 39．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的值，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出的值，即可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】在圆锥中，，，易知， 由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则， 所以，，则， 圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 因为是母线上一点，，则，,， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 所以，， 所以，， 故该圆锥曲线的离心率为， 故选：D. 40．如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，则根据题意易得，，再由，可得，从而可得，从而可得，，再根据椭圆离心率的定义，即可求解． 【详解】如图，设两球的球心分别为，    设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H， 连接，连接交于点K， ∵顶角为，，又两球的半径分别为1，4， ， ，， ，， ， 又， ∴，又， ∴，∴， ∴， ∴， ∴该椭圆的离心率为． 故选：C． 1．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】若，根据椭圆的定义有、，应用余弦定理及得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率. 【详解】由为等腰三角形，则有，而， 又，， 若，则，， 所以， 在中， 在中， ，即，整理得，则. 故答案为：. 2．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为 . 【答案】/ 【分析】根据条件可得渐近线的倾斜角，进而计算渐近线的斜率，根据离心率与渐近线斜率之间的关系可得结果. 【详解】 不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线下方， 双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线上方， 因为这两条渐近线关于直线对称，夹角为，直线的倾斜角为， 所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为， 所以， 故双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为， 故与的离心率之积为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，结合勾股定理及椭圆定义建立关系求出即可得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，点关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，有，， 于是，由的周长为30， 得， 则，解得，所以的离心率. 故答案为： 4．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】设线段的中点为，连接， 由题意知，， 因为为的中点，所以，是的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率， 故答案为：. 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线定义及内切圆性质可知轴于点，且为双曲线的左焦点，设，，根据直角三角形正切值可得，结合，可得离心率. 【详解】如图所示，设内切圆圆心为，内切圆圆心， 且圆与各边分别相切于，，， 则，，， 又点在双曲线左支， 则， 则，且轴， 即点在直线上， 同理点在直线上， 即轴于点，且， 设，则， 则，， 即， 又，则， 化简可得，即， 解得或（舍）， 故答案为：. 6．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先作辅助线，根据双曲线的对称性以及双曲线的定义得到边长之间的关系，再结合勾股定理可求得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， ， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：求双曲线的离心率： （1）熟练掌握双曲线的定义：双曲线上一点到两焦点的距离差的绝对值为定值； （2）双曲线的对称性得到边长之间的关系是解题的关键； （3）根据勾股定理构造等式，进而求得离心率. 7．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 【答案】 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：， 在椭圆中，， 又，，， 则，即， 在双曲线中，， 又，，， 则，即， 从而，得，0 则，，即， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆，双曲线定义及余弦定理得到，进而利用基本不等式求解即可. 8．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，不妨令焦点在轴，设出椭圆和双曲线的方程，根据垂直关系得到，然后结合三角函数，利用换元法表示出，结合辅助角公式即可求出最终结果. 【详解】由题意不妨设双曲线方程为， 椭圆方程为，， 则，，， 则，， 又，则， 化简可得，即， 设，，则， 设，，， 因为，， 所以， 即，解得， 则， 又，则， 所以，， 即的取值范围是.      故答案为： 9．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ． 【答案】2 【分析】设在第一象限，则点也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出，得到离心率. 【详解】不妨设在第一象限，则点也在第一象限， 设，， 因为，所以， 故， ， 又， 故，解得， 由双曲线定义得， 故，， 又 ， 又，故，故， 又，故，，故， 将代入中，得， 解得，所以的离心率为. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 【答案】或 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆锥曲线中的离心率问题（12大重点题型） 目录 A题型建模・专项突破 4 题型一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率（重点） 4 题型二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率（重点） 6 题型三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率 7 题型四、斜率乘积求离心率（常考点） 8 题型五、余弦定理求离心率（常考点） 10 题型六、构造齐次方程求离心率（难点） 12 题型七、离心率的范围及最值问题（难点） 14 题型八、以特殊三角形为载体的离心率计算 17 题型九、以特殊四边形为载体的离心率计算（难点） 19 题型十、以内切圆外接圆为载体的离心率计算（难点） 21 题型十一、以三角形四心为载体的离心率计算（难点） 22 题型十二、以立体几何的截面为载体的离心率计算 23 B综合攻坚・能力跃升 26 【重要公式技巧】 1、 椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2、 双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 题型一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 A．或 B．或 C． D． 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·陕西安康·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 8．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·吉林·期中）如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·福建泉州·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交于，两点，若的周长为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 15．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 17．设，是椭圆的两个焦点.若在上存在一点，使，且，则的离心率为 . 18．（24-25高二上·新疆喀什·期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，且是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 20．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 22．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率 25．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 26．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 28．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 29．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 30．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率 . 31．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A．1 B． C． D．2 题型四、斜率乘积求离心率 33．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 34．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．是椭圆上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线的斜率之积，则椭圆的离心率为 ． 36．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 37．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，则直线PA、PB的斜率之积等于 ． 39．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 40．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 41．已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 42．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 43．已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于 ． 44．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、余弦定理求离心率 46．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高二上·浙江·期末）已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 48．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 49．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为 ． 50．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 53．（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 55．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .    题型六、构造齐次方程求离心率 56．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·广东阳江·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 61．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 62．（24-25高二上·重庆·阶段练习）椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 65．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 66．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型七、离心率的范围及最值问题 67．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M ，使得直线AM 的斜率为 则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 68．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，若上存在一点，使得是以为底边的等腰三角形，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 69．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 71．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 72．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点．记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 73．（24-25高二上·吉林白城·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A．已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 74．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 75．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 76．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 77．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 78．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 79．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 80．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ）    A． B． C． D． 81．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 82．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 83．（24-25高二上·江西上饶·期末）椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 84．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线的右支上一点，，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 85．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八、以特殊三角形为载体的离心率计算 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆的两焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，若为直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知椭圆为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南玉溪·期中）点F为椭圆C：的右焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为，若为正三角形，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 12．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九、以特殊四边形为载体的离心率计算 13．如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．已知双曲线左、右焦点分别为、，、为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线的右支于、两点，且，点关于坐标原点的对称点为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 18．已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十、以内切圆外接圆为载体的离心率计算 20．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·湖北·期中）如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 24．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 ． 25．（24-25高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点．若的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为，则该椭圆的离心率为 ． 26．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十一、以三角形四心为载体的离心率计算 28．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 29．已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 30．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 . 32．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 . 33．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 题型十二、以立体几何的截面为载体的离心率计算 34．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 36．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 37．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 38．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（    ）      A． B． C． D． 39．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 40．如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（    ） （注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）    A． B． C． D． 1．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知、、分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为 . 2．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为 . 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 4．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 6．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 . 7．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 8．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 9．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ． 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$