第06 正多边形和圆（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第06 正多边形和圆 知识点1：正多边形的有关概念 知识点2：圆内正多边形的有关计算 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【题型1求正多边形的中心角】 【典例1】正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ． 【题型2已知正多边形的中心角求边数】 【典例2】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【变式1】若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【变式2】一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3】如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【题型3正多边形和圆的综合】 【典例3】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【变式2】如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C． D． 【变式3】如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为 ． 一、单选题 1．已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正八边形 3．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 4．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 5．已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（   ） A．1 B． C．2 D．4 6．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ． 8．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则圆的半径是 ． 9．如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    10．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，正六边形的中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06 正多边形和圆 知识点1：正多边形的有关概念 知识点2：圆内正多边形的有关计算 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【题型1求正多边形的中心角】 【典例1】正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键． 据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角． 【详解】解：正六边形的中心角的度数是， 故选：C． 【变式1】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 【变式2】如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 【题型2已知正多边形的中心角求边数】 【典例2】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 【变式1】若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 【变式2】一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查正多边形中心角度数，掌握正多边形中心角度数计算公式是解题的关键．根据正多边形中心角的计算公式，中心角的度数为，其中为边数．将已知中心角代入公式即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由正多边形中心角的性质可得： 解得： 因此，该正多边形的边数为6． 故选：A． 【变式3】如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 【题型3正多边形和圆的综合】 【典例3】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先将正六边形分割成六个全等的正三角形，然后求出一个正三角形的面积，最后乘以得到正六边形的面积．本题主要考查了正六边形的性质以及正三角形面积的计算，熟练掌握正六边形可以分割成六个全等的正三角形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的半径为 ∴正六边形可分成六个边长为的正三角形 令其中一个正三角形为，过作于点， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴一个正三角形的面积为 ∴正六边形的面积为 故选：C． 【变式1】如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴为等边三角形， ∵的半径等于3，即， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 【变式2】如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形，然后求出长，然后求出面积即可． 【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是，则，，过O作于，    如图，在中，，， ∴，， ∴． 这个正六边形的面积． 故选：C． 【变式3】如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，，先求得，利用等边对等角求得，利用切线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 【答案】A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 4．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得，根据正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴ ∴正方形的半径是 故选：C． 5．已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，过点作，垂足为，证明为等边三角形，得出，设，则，求出，，再由正六边形的面积为，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， ， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵正六边形的面积为， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正六边形的边长为， 故选：C． 6．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 二、填空题 7．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，由圆周角定理得，由正多边形与圆关系，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆的相关概念，连接，由题意并结合勾股定理可得，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴， ∴圆的半径是， 故答案为：． 9．如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出，由可得，得，由勾股定理可求出，． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵六边形是轴对称图形， ∴是它的一条对称轴， ∴ ∵，即 ∴ ∴， 在中， ∴ 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 10．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，正六边形的中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设与轴交于点，连接，根据正六边形的对称性可知，，，然后利用直角三角形的性质和勾股定理，即可求、，得到C的坐标． 【详解】解：设与轴交于点，连接，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∵正六边形的中心与坐标原点重合，由正六边形的性质可知： ，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$