专题24.3 弧﹑弦﹑圆心角和圆周角（十大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题24.3 弧﹑弦﹑圆心角和圆周角（十大题型） 【题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解】......................................................................1 【题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证】......................................................................3 【题型3圆心角概念辨析及简单运算】.............................................................................5 【题型4求圆弧的度数】...................................................................................................5 【题型5圆周角的概念辨析及简单运算】.........................................................................6 【题型6圆周角定理】.......................................................................................................7 【题型7同弧或等弧所对的圆周角相等】........................................................................9 【题型8半圆(直径)所对的圆周角是直角】......................................................................10 【题型9 已知圆内接四边形求角度】................................................................................12 【题型10求四边形外接圆的直径】..........................................................................14 【题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，满足，若，则长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证】 1．如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 2．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 3．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 4．加图，内接于，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6． (1)求证：； (2)若，E为的中点，求的长． 6．如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【题型3圆心角概念辨析及简单运算】 1．在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 2．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 3．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    4．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【题型4求圆弧的度数】 1．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 2．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是 ． 3．如图，在△ABC中，∠A70°，∠B55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则的度数为 °． 【题型5圆周角的概念辨析及简单运算】 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（  ） A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC 3．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【题型6圆周角定理】 1．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点，，在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点A，B，C在上，，，则（   ）． A． B． C． D． 6．如图，点、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，A、是上的两点，A是的中点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【题型7同弧或等弧所对的圆周角相等】 1．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，弦，相交于点P，若，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，内接于，是的一条弦，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，C为的中点，交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型8半圆(直径)所对的圆周角是直角】 1．如图，是的直径，C，D为上两点，且平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的直径，平分弦，交于点E，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．是⊙的直径，点C在圆上，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在上，是的直径．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在圆O中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，是弦，若，则的度数为 ． 【题型9 已知圆内接四边形求角度】 1．如图，是的直径，是圆上的点，且点是的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 7．如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则 ．        8．如图，为的直径，点C在上，点B在劣弧上．若，则的度数为 ． 【题型10求四边形外接圆的直径】 1．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 1．如图，为的直径，分别交于点D、E，点F在上，连接、．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 3．如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，内接于，若，则的度数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.3 弧﹑弦﹑圆心角和圆周角（十大题型） 【题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解】......................................................................1 【题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证】......................................................................6 【题型3圆心角概念辨析及简单运算】.............................................................................12 【题型4求圆弧的度数】...................................................................................................16 【题型5圆周角的概念辨析及简单运算】.........................................................................18 【题型6圆周角定理】.......................................................................................................21 【题型7同弧或等弧所对的圆周角相等】........................................................................25 【题型8半圆(直径)所对的圆周角是直角】......................................................................28 【题型9 已知圆内接四边形求角度】................................................................................33 【题型10求四边形外接圆的直径】..........................................................................39 【题型1利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∴可设，则， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】解： ，是的直径， ， 故选：D． 3．如图，在中，满足，若，则长可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦之间的关系，取中点可得，据此判断即可． 【详解】解：取中点，连接交于，连接， ∵， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴各个选项中长可能是4， 故选：D． 4．如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质．首先根据可知，根据可求，根据等腰三角形的性质可求，根据，可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由，D、E分别是半径，的中点，可得，由，可得，可判断A的正误；证明，则，，证明，则，可判断B的正误；证明，则，可判断C的正误；由题意知，当时，，可判断D的正误． 【详解】解：∵，D、E分别是半径，的中点， ∴， ∵， ∴，A正确，故不符合要求； 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，B正确，故不符合要求； ∵，，， ∴， ∴，C正确，故不符合要求； 由题意知，当时，，D错误，故符合要求； 故选：D． 6．如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，，先根据圆心角定理的推论可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：． 【题型2利用弧、弦、圆心角的关系求证】 1．如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出，再由平行线的性质可得出，， 故，进而得出结论． 【详解】证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 2．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的半径． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10 【分析】此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到； （2）首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 3．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系．由垂径定理得到，而，得到，从而推出． 【详解】证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．加图，内接于，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，弦与弧的关系，垂径定理的推论，熟练掌握知识点是解题的关键： （1）由得到，即平分，由垂径定理推论得到； （2）延长交于，连接，由垂径定理推论继续得到，在由勾股定理得，则，在中由勾股定理即可求解 ． 【详解】（1）证明：∵内接于，， ∴， ∴平分， ∵过圆心， ∴； （2）解：如图，延长交于，连接， 由上得，平分， ∵过圆心， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴由勾股定理得，． 5．如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6． (1)求证：； (2)若，E为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理． （1）根据圆心角、弧、弦的关系证明即可； （2）根据圆心角、弧、弦的关系证明，再由等腰三角形的性质及垂径定理求出，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴，， ∵半径为6， ∴在中利用勾股定理，得， ∴的长是． 6．如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键． （1）连接、，过O作于M，根据等腰三角形的三线合一解题即可； （2）只要证明即可解题． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型3圆心角概念辨析及简单运算】 1．在半径为的中，弦长为的弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的定义，等边三角形的性质．根据题意画出图形，得到是等边三角形，即可得到弦长为的弦所对的圆心角为． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴． 故选：B． 2．直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【答案】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 4．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【答案】 【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 【题型4求圆弧的度数】 1．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 【答案】C 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：求解． 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数为72°， ∴劣弧AB的度数是72°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键． 2．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是 ． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．如图，在△ABC中，∠A70°，∠B55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则的度数为 °． 【答案】40 【详解】分析：连接OE、OF. 先利用三角形内角和定理计算出∠C=55°，再求出∠COF=∠BOE=70°，从而得出∠EOF=40°，故可得解. 详解：如图，连接OE，OF. ∵∠A70°，∠B55°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=55°， ∵OC=OF, ∴∠OFC=∠C=55°， ∴∠COF=180°-∠CFO-∠C=70°， 同理，∠BOE=70°， ∴∠EOF=180°-∠COF-∠BOE=40°， 故的度数为40°. 故答案为40. 点睛：此题考查了圆心角、弧的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数. 【题型5圆周角的概念辨析及简单运算】 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（  ） A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC 【答案】C 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB， 故选C． 【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键． 3．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 4．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解． 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．根据正方形的性质得到圆心角的度数是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键. 【题型6圆周角定理】 1．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理是解决问题的关键．先求出，根据圆周角定理得出，由是的直径，得出，根据，得出，最后根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：C 2．如图，点，，在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直接由圆周角定理求解即可，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 3．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵A，B，C是上的三点，， ∴， 故选：C． 4．如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线． 连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出∠A． 【详解】解：连接和， ∵圆O半径为， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴， 故选A． 5．如图，点A，B，C在上，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理及三角形内角和定理，解题关键是利用圆周角定理求圆心角，再借三角形内角和算角的度数． 根据圆周角定理即可得到的度数，设和交于点D，在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数； 根据对顶角相等可得的度数，接下来在中，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设和交于点D， ∵和为所对的圆心角和圆周角度数，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，点、、在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 7．如图，A、是上的两点，A是的中点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握在同圆中等弧所对的圆周角相等成为解题的关键． 根据A是的中点可得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵A是的中点， ∴， ∴． 故选：C． 【题型7同弧或等弧所对的圆周角相等】 1．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角，得到，根据，得到与相等，解答即可． 本题考查了邻补角，圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 根据， 得， 故选：C． 2．如图，在中，弦，相交于点P，若，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，同弧所对的圆周角相等，由三角形外角的定义和性质得出，再由同弧所对的圆周角相等即可得出． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵ ∴， 故选：A 3．如图，内接于，是的一条弦，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角和三角形内角和定理，先求出，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，，C为的中点，交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．连接，根据等弧所对的圆周角相等，得到，再根据圆周角定理，得到，即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， C为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型8半圆(直径)所对的圆周角是直角】 1．如图，是的直径，C，D为上两点，且平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，已知是的直径，平分弦，交于点E，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质，由圆周角定理和垂径定理可得，，，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的直径，平分弦， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理． 连接，根据圆周角定理求得，得到，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．是⊙的直径，点C在圆上，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形中的两个锐角互余，正确理解圆周角定理是关键． 根据直径得出，因为，进而得出，进而解答即可． 【详解】解：∵是⊙的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 5．如图，点在上，是的直径．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先根据圆周角定理求出与的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵是的直径，， ∴，， ∴． 故选：B． 6．如图，是的直径，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在圆O中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，直角三角形两个锐角互余，解题关键是熟悉上述知识点，并能运用求解． 先利用圆周角定理的推论，得到，再根据直角三角形两个锐角互余，得到，然后利用圆周角定理求得，代入上式后求得． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， 又， ， ∴，解得：， 故选：C． 8．如图，为的直径，是弦，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟知上述性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【题型9 已知圆内接四边形求角度】 1．如图，是的直径，是圆上的点，且点是的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．利用圆周角定理得到，则利用互余计算出，接着根据角平分线定义得到，从而利用圆周角定理得到，然后计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识．首先利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及同弧所对的圆心角是圆周角的两倍是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形内接于 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 4．如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补成为解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补可知得到，再根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知据此即可解答． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ， ∵所对圆周角是，所对圆心角是， ． 故选：B． 5．已知如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质； 先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选：D． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 7．如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则 ．        【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径，得到，进而求出的度数，圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，延长交于点E， ∴，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 8．如图，为的直径，点C在上，点B在劣弧上．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，连接，圆周角定理得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【题型10求四边形外接圆的直径】 1．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由是的直径，则，又四边形是的内接四边形，故有，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 1．如图，为的直径，分别交于点D、E，点F在上，连接、．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，连接，则，可证明垂直平分，则，即可得到，则有，据此可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ， 为等边三角形， ， 是的直径， ，， 点是的中点， ， ， 故选：B． 3．如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可知，所以可得，根据圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 点为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故选：C． 4．如图，内接于，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆内接四边形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．在上的优弧上任取一点，连接，，，利用圆内接四边形性质得出，利用圆周角定理得出，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在上的优弧上任取一点，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$