第21章 二次函数与反比例函数单元卷2025-2026学年沪科版九年级数学上册

2025-2026学年沪科版九年级数学第21章 二次函数与反比例函数单元卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）抛物线y＝3（x+1）2+2的顶点坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1） 2．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 3．（4分）关于函数y＝ax2和函数y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2 5．（4分）若反比例函数的图象，在每个象限内，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．0 D．2 6．（4分）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7． （4分）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax-b的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 8．（4分）已知一次函数y＝x+1与反比例函数的图象没有交点，则k的值可以为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 9．（4分）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m． ②小球抛出3s时的速度为0m/s． ③小球抛出3s后，速度越来越快． ④当h＝30时，t＝1.5． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④ 10．（4分）某港口有200吨货物需要运输，若平均每趟运力为x吨，则运输完这批货物共需y次．下列说法错误的是（　　） A．若x=10，则y=20 B．y随着x的增大而增大 C．若实际每趟运力是原计划的一半，则实际运输次数是原计划的两倍 D．若实际每趟运力是原计划的两倍，则实际运输次数是原计划的一半 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）已知反比例函数y的图象经过点（3，2），则k的值是 　 　 ． 12．（5分）已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是　 　 ． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+n与x轴交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+n与x轴交于C、D两点，其中n＞0．若AD＝3BC，则n的值为 　 　 ． 14．（5分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为反比例函数图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则m的取值范围为 　 　 ． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 16．（8分）如图，点反比例函数的图象经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BC∥x轴，交OA于点C，若C为AO的中点，且点C坐标为（1，2）．（1）求k的值； （2）连接AB并延长，交x轴于点D，求点D的坐标； （3）连接OB，求△AOB的面积． 17．（8分）已知二次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）根据图象，求出当y＜0时，x的取值范围？ 18．（8分）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）． （1）填空：m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）求一次函数的解析式和△AOB的面积 （3）根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）　 　 ． 20．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0）．根据图象回答下列问题： （1）求抛物线的对称轴； （2）写出不等式ax2+bx+2＜2的解集． 21．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于A（4，1），两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q． （1）求这两个函数的解析式； （2）当y1﹣y2＞0时，x的取值范围是　 　 ； （3）若点P的横坐标为2，求△POQ的面积． 22．（12分）数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x﹣1的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1的解集为﹣1＜x＜0或x＞2． 根据上述说明，解答下列问题： （1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝　 　 ； （2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象； （3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，4），B（a，﹣2）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点P，使得△POC的面积等于18，求点P的坐标． 2025-2026学年沪科版九年级数学第21章 二次函数与反比例函数单元卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B B C B C B 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．【解答】解：抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）． 故选：A． 2．【解答】解：∵k＝5＞0， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小， ∵点B（x2，1），C（x3，5），都在反比例函数的图象上，1＜5， ∴x2＞x3＞0． ∵﹣1＜0，A（x1，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴x1＜0， ∴x1＜x3＜x2． 故选：B． 3．【解答】解：a＞0时，抛物线开口向上，一次函数y＝ax+a经过第一、二、三象限，a＜0时，抛物线开口向下，一次函数y＝ax+a经过第二、三、四象限，D选项符合． 故选：D． 4．【解答】解：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4， 根据题意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0， 解得m1＝﹣2，m2＝2， 故选：C． 5．【解答】解：∵反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大， ∴k+3＜0， 解得k＜﹣3， ∴k可以等于﹣5． 故选：B． 6．【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QE，交AD于点M，E， ∴四边形PMEQ是矩形， ∴ME＝PQ， ∵AB＝10，BC＝5，CD＝6， ∴PQ＝ADACBD＝21（10+5）（5+6）＝8， 故选：B． 7．【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，即 ∴b＞0， ∴y=ax-b图象经过第二、三、四象限． 故选：C．8．【解答】解：∵反比例函数y与一次函数y＝x+1的图象没有交点， ∴方程组无解，即x+1无解． ∴方程x2+x﹣k＝0的Δ＝1+4k＜0，解得k． ∴四个选项中只有﹣1，所以只有选项B符合条件． 故选：B． 9．【解答】解：①小球在空中达到的最大高度是40m，故①不正确； ②小球抛出3s时，达到最高点，速度为0m/s，故②正确； ③小球抛出3s后，速度越来越快，故③正确； ④设h＝a（t﹣3）2+40， 把O（0，0）代入h＝a（t﹣3）2+40中得： 0＝9a+40， 解得：a， ∴h（t﹣3）2+40， 当h＝30时，30（t﹣3）2+40， 解得：t1＝4，5，t2＝1.5， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的是②③， 故选：C． 10． 【解答】 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．【解答】解：依题意，得x＝3时，y＝2， 所以，k＝xy＝6， 故答案为：6． 12．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即4﹣4m＞0， 解得m＜1， 故答案为m＜1． 13．【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2﹣2x+n得：﹣x2﹣2x+n＝0， ∴，， 当y＝0时，﹣x2+2x+n＝0， ∴，， ∵AD＝3BC， ∴AD2＝9BC2， ∴， 即， ∴， 令，则（1+m）2＝9（1﹣m）2， 解得：，m2＝2， 当时，， 解得：， ∵n＞0， ∴舍去； 当m2＝2时，， ∴n＝3， ∵3＞0， ∴n＝3符合题意； 故答案为：3． 14．【解答】解：∵反比例函数的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2＜0时，y1＞y2， ∴m+1＞0， 解得m＞﹣1， 故答案为：m＞﹣1． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k﹣4＝2，解得k1＝﹣3，k2＝2， ∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0， ∴k＝﹣3； （2）由（1）得y＝﹣x2， ∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴． 16．【解答】解：（1）由条件可知点A为（2，4）， ∴k＝xy＝8； （2）∵k＝8， ∴， ∵BC∥x轴，点C为（1，2）， ∴把y＝2代入得：， ∴B（4，2）， 设直线AB的解析式为y＝mx+n，由条件可得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6， 当y＝0时，0＝﹣x+6， 解得x＝6， ∴D（6，0）； （3）S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD ＝12﹣6 ＝6． 17．【解答】解：（1）已知二次函数，列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 2 0 … 函数图象如下所示： （2）由函数图象可知，当二次函数图象在x轴下方时，x＜﹣1或x＞3， ∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3． 18．【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ， 解得m， 当m时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 ， 解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当m＝2时，y是x的二次函数， 当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）． 19．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（﹣1，3），B（﹣3，n） ∴m＝3×（﹣1）＝﹣3，m＝﹣3n ∴n＝1 故答案为﹣3，1 （2）设一次函数解析式y＝kx+b，且过（﹣1，3），B（﹣3，1） ∴解得： ∴一次函数的解析式为y＝x+4 ∵一次函数图象与x轴交点为C ∴0＝x+4 ∴x＝﹣4 ∴C（﹣4，0） ∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC ∴S△AOB4×34×1＝4 （3）∵，即kx+b， ∴一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴﹣3＜x＜﹣1 故答案为﹣3＜x＜﹣1． 20．【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0）则： ， ∴抛物线对称轴为直线； （2）∵对称轴为直线，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2， ∴ax2+bx+2＜2的解集为x＜0或x＞1． 21．【解答】解：（1）∵A（4，1）在函数y的图象上， ∴m＝4×1＝4， ∴反比例函数解析式为：y2， 当x时，a＝8， ∴B（，8）， ∵一次函数y1＝kx+b过A（4，1）B（，8），可得 ， 解得， ∴一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9． （2）①根据函数图象，当y1﹣y2＞0时，x的取值范围为：x＜4． 故答案为：x＜4． ②当x＝2时，y1＝﹣2×2+9＝5，y2， ∴P（2，5）， ∴S△POQ＝S△POM﹣S△QOM2＝3． 22．【解答】解：（1）根据题意可得y2＝x+3； 故答案为：x+3； （2）作出函数y2的图象如下： （3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2， ∴不等式x2+3x＞x+3的解集为x＜﹣3或x＞1． 23．【解答】解：（1）将A（3，4）代入，得：m＝3×4＝12， ∴反比例函数的表达式为． 将点B（a，﹣2）代入，可得a＝﹣6， ∴B（﹣6，﹣2）． 把A（3，4），B（﹣6，﹣2）代入y1＝kx+b，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令y＝0，则，x＝﹣3． ∴点C坐标为（﹣3，0）， ∵点P在反比例函数的图象上， 设P点坐标为， ∵S△POC＝18， ∴， 解得：n＝﹣1或n＝1， 又∵点P在第三象限， ∴点P坐标为（﹣1，﹣12）． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$