第14讲：导数研究函数的单调性，极值与最值【7个题型】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第14讲：导数研究函数的单调性，极值与最值】 总览 题型梳理 一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题） 二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题） 三．函数在某点取得极值的条件（共5小题） 四．利用导数求解函数的极值（共7小题） 五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题） 六．利用导数求解函数的最值（共9小题） 七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题） 【知识点清单】 1．利用导数求解函数的单调性和单调区间 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 2．由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 3．函数在某点取得极值的条件 【知识点的认识】 极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反． 【解题方法点拨】 这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用． 4．利用导数求解函数的极值 【知识点的认识】 1、判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值． 2、求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）＝0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值． 【解题方法点拨】 ﹣求导：计算函数的导数f'（x）． ﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点． ﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型． 5．由函数的极值求解函数或参数 【知识点的认识】 1、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 2、判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值． 【解题方法点拨】 ﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数． ﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数． ﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题． 6．利用导数求解函数的最值 【知识点的认识】 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 ﹣求导：计算函数的导数f'（x）． ﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点． ﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题） 1．如图是函数f（x）＝ex（ax﹣1）的大致图象，则不等式f（x）f′（x）＜0的解集为（　　） A． B． C． D． 2．若，则以下不等式正确的是（　　） A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a 3．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx+1（a∈R），若∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，8] D．[0，8] 5．若函数，则函数f（x）的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（3，+∞） 6．已知函数在定义域内单调递增，则a的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（9，+∞） D．[9，+∞） 7．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝ex，（a＞0）在区间（1，2）单调递增，则a的最小值为（　　） A．e﹣1 B．e C．e2 D．e﹣2 二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题） 9．若函数f（x）＝aex﹣x3在区间（1，3）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．已知函数是增函数，则实数a的最小值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 11．若函数f（x）＝xsin2x+asinx在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A． B． C．[﹣1，1] D． 12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A．a≥1 B．a＞1 C． D． 13．已知函数，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞） 14．已知a，b∈R，函数f（x）＝xex+a﹣b（x+1）2在R上单调递增，则（　　） A．a≥2b B．a≤2b C．2a≥b D．2a≤b 15．若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D． 三．函数在某点取得极值的条件（共5小题） 16．导函数y＝f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y＝f（x）的极大值点为（　　） A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 17．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　） A．当x＝3时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数 C．当x＝1时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 18．已知f（x）＝x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 19．若函数y＝f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．设函数f（x）＝（x+a）（x﹣2）2，则“a＝﹣2”是“f（x）没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 四．利用导数求解函数的极值（共7小题） 21．在等比数列{an}中，a1，a5是函数f（x）＝（x2﹣7x+11）ex的极值点，则a3＝（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．1 22．关于x的函数f（x）＝x2+ax+blnx有两个极值点x1，x2，且f（x1）＝0．则x1的取值范围是（　　） A．（e，+∞） B．（e2，+∞） C． D． 23．若函数f（x）＝xlnx﹣（m﹣1）ln（2x）存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C． D． 24．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 25．若函数y＝x3﹣2ax在内无极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，0] C． D． 26．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，若f（x）在x＝﹣1处取得极大值7，在x＝3处取得极小值，则a+b+c的值为（　　） A．﹣10 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣20 27．已知函数，则下列结论错误的是（　　） A．函数f（x）存在两个不同的零点 B．函数f（x）既有极大值又有极小值 C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，+∞）时，，则t的最小值为2 五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题） 28．函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值﹣3，则a﹣b的值等于（　　） A．0 B．6 C．3 D．2 29．已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0） 30．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值2，则f（x）的极小值点为（　　） A．（1，0） B． C．﹣2 D． 31．若m∈R，函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则的最大值为（　　） A． B． C． D． 六．利用导数求解函数的最值（共9小题） 32．已知函数的值域为[﹣1，+∞），则a的值为（　　） A．e B．0 C．1 D．﹣1 33．已知实数x，y满足ln（2x+3y﹣6）+5﹣e（x﹣y﹣2）﹣x﹣4y≥0，则x﹣2y的值为（　　） A． B． C． D．3 34．若ex﹣ax≥﹣x+lnax（a＞0，x＞0），则实数a的取值范围为（　　） A． B．（0，e] C． D．（e，+∞） 35．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为（　　） A．1 B． C．e D．2 36．若函数f（x）＝x（ex﹣1）的图象恒在g（x）＝lnx+a图象的上方，则a的最大整数值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 37．已知实数x，y满足ln（4x+y﹣4）+4﹣e2x﹣3y﹣2﹣2x﹣4y≥0，则2x+3y的值为（　　） A． B． C． D． 38．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为（　　） A． B． C． D． 39．已知函数，若∀x＞0，f（x）≥0，则的最大值是（　　） A． B． C． D．1 40．已知alna＝beb，b＞0，则的最大值为（　　） A．e2 B． C． D． 七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题） 41．若函数在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣3，2） B．[﹣3，2） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2） 42．已知函数在（a，2﹣3a）内有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 43．已知定义在R上的函数（a∈R），设f（x）的最大值和最小值分别为m，n，则mn的取值范围是（　　） A． B． C． D． 44．已知函数f（x）＝|x|﹣aln（x+1）的最小值为0，则实数a的取值范围为 　 　 ． 45．已知函数f（x）＝（2﹣a）xlnx﹣2ax2﹣（a2﹣4a）x，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥1，则实数a的取值范围是 　 　 ． 课后针对训练 一、单选题 1．如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 2．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 4．当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 6．若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若函数在处取得极值4，则 ． 9．函数的最小值为 ． 10．已知函数，其中，若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是 ． 11．函数的极小值为 ． 12．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 13．若函数在单调递减，则a的取值范围是 ． 14．已知和分别是函数的极大值点和极小值点，且，则a的取值范围是 ． 三、解答题 15．已知函数的最小值和的最大值相同，求a． 16．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 18．已知函数在处的切线方程为，讨论的单调性． 19．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 20．求函数在区间的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第14讲：导数研究函数的单调性，极值与最值】 总览 题型梳理 一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题） 二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题） 三．函数在某点取得极值的条件（共5小题） 四．利用导数求解函数的极值（共7小题） 五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题） 六．利用导数求解函数的最值（共9小题） 七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题） 【知识点清单】 1．利用导数求解函数的单调性和单调区间 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 2．由函数的单调性求解函数或参数（导数法） 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 3．函数在某点取得极值的条件 【知识点的认识】 极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反． 【解题方法点拨】 这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用． 4．利用导数求解函数的极值 【知识点的认识】 1、判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值． 2、求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）＝0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值． 【解题方法点拨】 ﹣求导：计算函数的导数f'（x）． ﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点． ﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型． 5．由函数的极值求解函数或参数 【知识点的认识】 1、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 2、判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值． 【解题方法点拨】 ﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数． ﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数． ﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题． 6．利用导数求解函数的最值 【知识点的认识】 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）． 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． （4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤： 由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值． 【解题方法点拨】 ﹣求导：计算函数的导数f'（x）． ﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点． ﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8小题） 1．如图是函数f（x）＝ex（ax﹣1）的大致图象，则不等式f（x）f′（x）＜0的解集为（　　） A． B． C． D． 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】根据图象可得x是f（x）的极小值点，求得a＝2，再根据f（x）f'（x）＜0，即可求解． 【解答】解：由题意可得f′（x）＝ex（ax+a﹣1）， 又由图可知a≠0，且x是f（x）的极小值点， 则f′（）＝0，即（a+a﹣1）＝0，解得a＝2，经验证a＝2符合题意， 所以f′（x）＝ex（2x+1），由f（x）f′（x）＜0，ex＞0， 可得（2x﹣1）（2x+1）＜0，解得． 故选：D． 【点评】本题考查函数的极值，属于中档题． 2．若，则以下不等式正确的是（　　） A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】先构造函数判断出a最小，再依据函数单调性去比较b、c的大小即可解决． 【解答】解；令，则， 由f′（x）＞0，得x＞e，f（x）单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜e，f（x）单调递减， 当x＝e时f（x）取得最小值， 则有f（2）＞f（e），f（5）＞f（e），即b＞a，c＞a， 又， 综上c＞b＞a． 故选：A． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 3．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】根据题意可知f′（x）＜0在[1，2]上有解，整理可得，构建，利用导数求最值即可得结果． 【解答】解：由题意：已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间， 可知：， 因为函数f（x）在[1，2]上存在单调递减区间， 则f′（x）＜0在[1，2]上有解，可得， 所以． 令，则， 显然g′（x）＞0，可知函数g（x）单调递增，则， 即，所以实数b的取值范围是． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题． 4．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx+1（a∈R），若∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，8] D．[0，8] 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】将化为f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2，由此令m（x）＝f（x）+2x，则m（x）＝ax2﹣ax+lnx+1，则原问题转化为m（x）在（0，+∞）上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解． 【解答】解：不妨设0＜x1＜x2， 若∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，恒成立， 此时f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2对一切0＜x1＜x2都成立， 令m（x）＝f（x）+2x， 此时m（x）＝ax2﹣ax+lnx+1，函数定义域为（0，+∞）， 此时问题转化成m（x）在（0，+∞）上单调递增； ， 当a＝0时，， 所以函数m（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a≠0时， 此时需满足m′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立， 易知函数y＝2ax2﹣ax+1过定点（0，1），对称轴为， 此时需满足a＞0且， 解得0＜a≤8， 综上所述，a的取值范围为[0，8]． 故选：D． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题． 5．若函数，则函数f（x）的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（3，+∞） 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】求出导函数，通过导函数的符号转化求解函数的单调减区间即可． 【解答】解：，函数的定义域为：{x|x＞0} 可得f′（x）＝x﹣2， ∵x＞0⇒f′（x）＜0，解得x∈（0，3）； 所以函数f（x）的单调递减区间为：（0，3）； 故选：C． 【点评】本题考查函数的单调性的求法，求出导函数，求解不等式组是解题的关键，是中档题． 6．已知函数在定义域内单调递增，则a的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（9，+∞） D．[9，+∞） 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在（0，+∞）上恒成立，参变分离可得a≥﹣x2+6x在（0，+∞）上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得． 【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（0，+∞）， 因为f（x）在定义域内单调递增， 所以在（0，+∞）上恒成立， 所以a≥﹣x2+6x在（0，+∞）上恒成立，因为函数y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9， 所以当x＝3时，y＝﹣x2+6x取得最大值9， 所以a≥9，即a的取值范围是[9，+∞）． 故选：D． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题． 7．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；函数图象趋势与导数大小的关系．版权所有 【分析】根据题意，由导函数的图象分析f（x）的单调性，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，由导函数的图象，在区间（﹣∞，﹣2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 在区间（﹣2，0）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数， 在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 分析选项：B选项符合． 故选：B． 【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题． 8．已知函数f（x）＝ex，（a＞0）在区间（1，2）单调递增，则a的最小值为（　　） A．e﹣1 B．e C．e2 D．e﹣2 【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】根据f′（x）≥0在（1，2）上恒成立，再根据分离参数求最值即可求出． 【解答】解：因为（a＞0），定义域为（0，+∞）， 所以， 则函数）在区间（1，2）上单调递增， 即f′（x）≥0在（1，2）上恒成立， 又a＞0，所以问题转化为在（1，2）上恒成立， 设g（x）＝xex，x∈（1，2）， 则g'（x）＝ex+xex＝（1+x）ex＞0， 所以g（x）在（1，2）上单调递增， 则g（x）＞g（1）＝e， 故，即a≥e﹣1，所以a的最小值为：e﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题． 二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7小题） 9．若函数f（x）＝aex﹣x3在区间（1，3）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】先对函数f（x）求导，根据函数单调性与导数的关系得到a的不等式，再通过构造函数求其最大值，进而得到a的最小值． 【解答】解：已知f（x）＝aex﹣x3，可得f′（x）＝aex﹣3x2． 因为f（x）在区间（1，3）上单调递增，所以f′（x）≥0在区间（1，3）上恒成立， 即aex﹣3x2≥0在区间（1，3）上恒成立，移项可得在区间（1，3）上恒成立， 令，x∈（1，3），则a≥g（x）max． 对求导，可得， 令g′（x）＝0，即，因为ex＞0恒成立，所以3x（2﹣x）＝0，解得x＝0或x＝2． 当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当2＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）在x＝2处取得极大值，也是最大值，， 因为，所以实数a的最小值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题． 10．已知函数是增函数，则实数a的最小值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】求出函数f（x）的导数，利用导数不小于0建立不等式并分离参数求出最大值即可． 【解答】解：由，得0＜x＜2， 即函数f（x）的定义域为（0，2）， 由f（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）+ax， 则， 由函数f（x）在（0，2）上单调递增， 得∀x∈（0，2），， 而， 则a≥﹣2， 所以实数a的最小值为﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了导数的综合应用，属中档题． 11．若函数f（x）＝xsin2x+asinx在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A． B． C．[﹣1，1] D． 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】由题意可得f′（x）＝1cos2x+acosx≥0恒成立，利用二倍角公式及换元法可得t2+at0对t∈[﹣1，1]恒成立，令g（t）t2+at，结合二次函数的图象与性质即可求解a的范围． 【解答】解：因为函数f（x）＝xsin2x+asinx在R上单调递增， 所以f′（x）＝1cos2x+acosx≥0恒成立， 故1（2cos2x﹣1）+acosx≥0，即acosxcos2x0恒成立， 令t＝cosx∈[﹣1，1]， 则t2+at0对t∈[﹣1，1]恒成立， 设g（t）t2+at，t∈[﹣1，1]，图象开口向下， 则，解得a， 即a的取值范围是[，]． 故选：A． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题． 12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A．a≥1 B．a＞1 C． D． 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解． 【解答】解：因为f（x）＝lnx﹣ax，所以， 因为f（x）在区间[1，3]上单调递减， 所以f′（x）≤0，即，则在[1，3]上恒成立， 因为在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1． 故选：A． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题． 13．已知函数，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总能使得，则实数a的取值范围为（　　） A．[4，+∞） B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．（1，+∞） 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）；定义法求解函数的单调性．版权所有 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围． 【解答】解：由已知得x1＞x2＞0，则化为f（x1）﹣f（x2）＞4x1﹣4x2， 即f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2， 令函数， 有∀x1＞x2＞0，g（x1）＞g（x2）， 则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数， 等价于∀x∈（0，+∞），，即a≥﹣x2+4x， 当x＞0时，﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当且仅当x＝2时取等号，则a≥4， 所以实数a的取值范围是[4，+∞）． 故选：A． 【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围，属于中档题． 14．已知a，b∈R，函数f（x）＝xex+a﹣b（x+1）2在R上单调递增，则（　　） A．a≥2b B．a≤2b C．2a≥b D．2a≤b 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】借助导数将函数的单调性问题转化为恒成立问题，从而挖掘出a与b之间的等量关系．要比较2a与b，a与2b之间的大小关系，可以作差构造函数，再利用导数来判断． 【解答】解：题意等价于f′（x）＝（x+1）（ex+a﹣2b）≥0对任意x∈R恒成立， 因为y＝x+1和y＝ex+a﹣2b在R上都单调递增，则f′（x）有唯一零点， 所以它们有相同的零点x＝﹣1，故ea﹣1＝2b， 设函数， 因为，， 所以h（a）的正负不确定，即2a与b的大小关系不确定； 设函数g（a）＝a﹣2b＝a﹣ea﹣1，则g′（a）＝1﹣ea﹣1， 由g′（a）＜0，得a＞1，由g′（a）＞0，得a＜1， 所以g（a）在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， 故g（a）≤g（1）＝0，即a≤2b． 故选：B． 【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围，属于中档题． 15．若函数在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C． D． 【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】根据条件得出存在x∈[1，4]，使成立，即存在x∈[1，4]，使成立，构造函数，x∈[1，4]，求出G（x）的最值即可解决问题． 【解答】jie：因为函数在[1，4]上存在单调递增区间， 所以存在x∈[1，4]，使成立，即存在x∈[1，4]，使成立， 令，x∈[1，4]，变形得， 因为x∈[1，4]， 所以， 所以当，即x＝4时，， 所以． 故选：D． 【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 三．函数在某点取得极值的条件（共5小题） 16．导函数y＝f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y＝f（x）的极大值点为（　　） A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求解函数的极值．版权所有 【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性即可． 【解答】解：根据题中所给图象，当x∈（﹣∞，x1），（x3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（x1，x3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以函数f（x）的极大值点为x1． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题． 17．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　） A．当x＝3时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数 C．当x＝1时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 【考点】函数在某点取得极值的条件．版权所有 【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD． 【解答】解：如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象， 对于A，f′（3）≠0，不满足取极值的必要条件，故A错误； 对于B，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，这表明f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，故B错误； 对于C，f′（1）≠0，不满足取极值的必要条件，故C错误； 对于D，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0， 所以f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查导函数与原函数的关系，属于基础题． 18．已知f（x）＝x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数在某点取得极值的条件．版权所有 【分析】求导函数，利用f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，可得f′（x）＝0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1，由此可得结论． 【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2﹣2ax+4 ∵f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值， ∴f′（x）＝0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1 ∴f′（0）＝4＞0，f′（1）＝7﹣2a＜0， 解得 故选：A． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，正确理解极值的含义是关键． 19．若函数y＝f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】函数在某点取得极值的条件．版权所有 【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）＝0外，还的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立． 【解答】解：如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点． 若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0 所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件 故选：B． 【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x0）＝0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0 20．设函数f（x）＝（x+a）（x﹣2）2，则“a＝﹣2”是“f（x）没有极值点”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】函数在某点取得极值的条件；充分条件必要条件的判断．版权所有 【分析】根据函数在某点处取得极值的条件分别对充分性和必要性进行判断，得出结论． 【解答】解：若a＝﹣2，则f（x）＝（x﹣2）3，f'（x）＝3（x﹣2）2， 则f'（x）≥0在R上恒成立，故f（x）没有极值点，故充分性成立； 若f（x）没有极值点，则f（x）＝0没有变号零点， 因为f'（x）＝（x﹣2）2+2（x+a）（x﹣2）＝（x﹣2）（3x+2a﹣2）， 所以2，解得a＝﹣2，故必要性成立， 所以“a＝﹣2”是“f（x）没有极值点”的充分必要条件． 故选：C． 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和充分必要条件的判断，属于中档题． 四．利用导数求解函数的极值（共7小题） 21．在等比数列{an}中，a1，a5是函数f（x）＝（x2﹣7x+11）ex的极值点，则a3＝（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．1 【考点】利用导数求解函数的极值．版权所有 【分析】根据函数的极值点的定义求得a1a5＝4，再运用等比中项即可求得a3． 【解答】解：根据题目f′（x）＝（x2﹣5x+4）ex， 依题意a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两根，因此a1+a5＝5＞0，a1a5＝4＞0， 又数列{an}是等比数列，设公比为q， 因此，， 故a1＞0，，故a3＝2． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题． 22．关于x的函数f（x）＝x2+ax+blnx有两个极值点x1，x2，且f（x1）＝0．则x1的取值范围是（　　） A．（e，+∞） B．（e2，+∞） C． D． 【考点】利用导数求解函数的极值．版权所有 【分析】求出f（x）的定义域，得到x1，x2均大于0．f′（x）＝0得到二次方程2x2+ax+b＝0，结合韦达定理、根的判别式得到a、b的范围．最后代入f（x1）＝0、f′（x1）＝0化简得答案． 【解答】解：因为f（x）＝x2+ax+blnx，所以， 令f′（x）＝0，，即2x2+ax+b＝0， 因为f（x）的定义域为（0，+∞），且x1，x2在定义域内， 因此， ， 因为b＞0，因此①， 由得，因此， 整理得：，因此，配方得：， 因此，代入得：，因此， 解得：②， 由①②得：x1的取值范围是． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题． 23．若函数f（x）＝xlnx﹣（m﹣1）ln（2x）存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C． D． 【考点】利用导数求解函数的极值．版权所有 【分析】由极值点的定义，将问题等价于导函数求零点，利用导数与函数单调性的关系，可得答案． 【解答】解：由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），， 因为函数f（x）存在唯一极值点， 所以函数f′（x）存在唯一变号零点，则方程f′（x）＝0存在唯一解， 即方程m﹣1＝xlnx+x存在唯一解， 令g（x）＝xlnx+x，则g′（x）＝lnx+2，由g′（x）＝0，解得， 当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0， 所以函数g（x）在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，lnx+1＜0，则g（x）＜0，当时，g（x）＞0， 易知当，即时，方程f′（x）＝0存在唯一解， 当时，，易知方程f′（x）＝0的解为， 由当时，lnx＜﹣2，，则f′（x）＞0，同理可得当时，f′（x）＞0， 所以此时函数f（x）无极值点，不符合题意； 当m∈[1，+∞）时，m﹣1≥0，易知函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增，符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题． 24．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】利用导数求解函数的极值．版权所有 【分析】令f′（x）＝0，根据极值点可得y＝a与在内有2个交点，利用导数判断g（x）的单调性和最值，结合图象分析求解． 【解答】解：因为f′（x）＝aex﹣x，可知f′（x）在内有2个变号零点， 由f′（x）＝0可得，可知：y＝a与在内有2个交点， 又因为， 当x∈（，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题． 25．若函数y＝x3﹣2ax在内无极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，0] C． D． 【考点】利用导数求解函数的极值．版权所有 【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解． 【解答】解：由函数y＝x3﹣2ax在内无极值，得y′＝3x2﹣2a在内无变号零点， 即函数y′＝3x2﹣2a在上单调递增，则﹣2a≥0或9﹣2a≤0，解得a≤0或． 故选：C． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题． 26．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，若f（x）在x＝﹣1处取得极大值7，在x＝3处取得极小值，则a+b+c的值为（　　） A．﹣10 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣20 【考点】利用导数求解函数的极值．版权所有 【分析】利用极值点处的导数值为0，及极值可求a，b，c，进而求a+b+c． 【解答】解：f'（x）＝3x2+2ax+b， 而x＝﹣1和x＝3是极值点， 所以，解之得：a＝﹣3，b＝﹣9， 又f（﹣1）＝﹣1+a﹣b+c＝﹣1﹣3+9+c＝7，故得c＝2， 所以a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2，经检验知符合题意．， 所以a+b+c＝﹣10． 故选：A． 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题． 27．已知函数，则下列结论错误的是（　　） A．函数f（x）存在两个不同的零点 B．函数f（x）既有极大值又有极小值 C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，+∞）时，，则t的最小值为2 【考点】利用导数求解函数的极值；判定函数零点的存在性．版权所有 【分析】由f（x）＝0，得到x2+x﹣1＝0，可判定A正确；求得，得出函数f（x）的单调区间，可判定B正确；根据函数的最小值是f（﹣1）＝﹣e，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定t＝﹣1时，，可判定D错误． 【解答】解：函数， 由f（x）＝0，可得x2+x﹣1＝0，由于Δ＝1+4＝5＞0，故f（x）＝0有两异根，即f（x）存在两个不同的零点，A正确； 又， 令f′（x）＜0时，得x＜﹣1或x＞2，f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜2， 所以函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），单调递增区间是（﹣1，2）， 所以f（﹣1）是函数的极小值，f（2）是函数的极大值，即f（x）既有极大值又有极小值，B正确； 当x→+∞时，f（x）→0，根据B可知，函数的最小值是f（﹣1）＝﹣e， 可得函数的大致图象， 所以当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根，C正确； 由B知函数f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），单调递增区间是（﹣1，2）， 其中，当t＝﹣1时，即在区间[﹣1，+∞）时，可得，D错误． 故选：D． 【点评】本题考查利用导数求解函数的极值与零点，考查数形结合思想及综合运算能力，属于中档题． 五．由函数的极值求解函数或参数（共4小题） 28．函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值﹣3，则a﹣b的值等于（　　） A．0 B．6 C．3 D．2 【考点】由函数的极值求解函数或参数．版权所有 【分析】首先求出函数的导函数，再依题意可得f'（1）＝0，即可得到a+b＝6，再根据f（1）＝﹣3联立即可． 【解答】解：∵函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值， 所以f'（x）＝12x2﹣2ax﹣2b， 则f′（1）＝12﹣2a﹣2b＝0，即a+b＝6， 又f（1）＝4﹣a﹣2b+2＝﹣3，即a+2b＝9， 联立即b＝3，a＝3， 故a﹣b＝0． 故选：A． 【点评】本题考查由函数的极值求解参数，属于中档题． 29．已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0是f（x）的极小值点，则a的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0） 【考点】由函数的极值求解函数或参数．版权所有 【分析】令g（x）＝f′（x），求出g′（x），要使0是f（x）的极小值点，则g′（0）＞0，由此可得a的取值范围． 【解答】解：由题意，f′（x）＝aex+（ax﹣a﹣1）ex+1＝（ax﹣1）ex+1， 若0是f（x）的极小值点， 则x＝0的左侧，f′（x）＜0，在x＝0的右侧，f′（x）＞0， 令g（x）＝f′（x）＝（ax﹣1）ex+1，则g（0）＝0， g′（x）＝（ax+a﹣1）ex，g′（0）＝a﹣1， 要使0是f（x）的极小值点，则g′（0）＞0，即a﹣1＞0，a＞1， 即a的取值范围为（1，+∞）． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题． 30．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值2，则f（x）的极小值点为（　　） A．（1，0） B． C．﹣2 D． 【考点】由函数的极值求解函数或参数．版权所有 【分析】由题意得，从而可求得，所以f（x）＝x3﹣4x2+5x，f′（x）＝3x2﹣8x+5，令f′（x）＝0求出极值点，再判断出极小值点即可 【解答】解：由已知可得f′（x）＝3x2+2ax+b， 因为函数f（x）在x＝1处有极值2， 所以，即，解得， 所以f（x）＝x3﹣4x2+5x，则f′（x）＝3x2﹣8x+5， 由f′（x）＝0，得x＝1或， 因为当x＜1或时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0， 所以f（x）的极小值点为． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题． 31．若m∈R，函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】由函数的极值求解函数或参数．版权所有 【分析】对函数求导结合导函数和韦达定理得出的表达式，再构造函数判断求解即可． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）． 对f（x）求导，可得． 因为函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）， 所以方程x2﹣x+m＝0在（0，+∞）上有两个不同的正实根． 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），这里a＝1，b＝﹣1，c＝m，其判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4m＞0，即1﹣4m＞0，解得． 由韦达定理得，x1x2m， 且0＜x1＜x2，又x1+x2＝1，则0． 将x1＝1﹣x2代入x1x2＝m，可得m＝（1﹣x2）x2． ， 设g（x）＝x2﹣x3，x， 对g（x）求导，g'（x）＝2x﹣3x2＝x（2﹣3x）． 令g'（x）＝0，即x（2﹣3x）＝0，解得x＝0或， 当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减． 所以g（x）在处取得最大值为． 故选：B． 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题． 六．利用导数求解函数的最值（共9小题） 32．已知函数的值域为[﹣1，+∞），则a的值为（　　） A．e B．0 C．1 D．﹣1 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】利用导数求得x＜0时，函数f（x）的值域为（0，+∞），再分a≤1和a＞1，求出f（x）在[0，+∞）上的最小值．根据函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），即可求得a的值． 【解答】解：函数的值域为[﹣1，+∞）， 当x＜0时，f（x）＝sinx﹣x，f′（x）＝cosx﹣1≤0，f（x）是单调减函数． ∴f（x）＞f（0）＝0，f（x）的值域为（0，+∞）； 当x≥0时，f（x）＝ex﹣ax﹣1，f′（x）＝ex﹣a． 若a≤1，则f′（x）＝ex﹣a＞0，f（x）是单调增函数，f（x）min＝f（0）＝0， f（x）的值域为[0，+∞），不符合题意， 当a＞1时，令f′（x）＝ex﹣a＜0，得0≤x＜lna，令f′（x）＝ex﹣a＞0，得x＞lna， 函数f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， ， 由题意知f（x）min＝﹣1，即a﹣alna﹣1＝﹣1，解得lna＝1， 所以a＝e． 故选：A． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题． 33．已知实数x，y满足ln（2x+3y﹣6）+5﹣e（x﹣y﹣2）﹣x﹣4y≥0，则x﹣2y的值为（　　） A． B． C． D．3 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】构造函数f（m）＝lm﹣m和h（n）＝en﹣n﹣2，即可求导，得函数的最值，进而根据f（m）≥h（n），得m＝1，n＝0求解． 【解答】解：由题意可得ln（2x+3y﹣6）﹣ex﹣y﹣2≥x+4y﹣6， 设m＝2x+3y﹣6，n＝x﹣y﹣2，则m﹣n＝x+4y﹣4， 故lnm﹣en≥m﹣n﹣2，即lnm﹣m≥en﹣n﹣2， 令f（m）＝lm﹣m，则， 当0＜m＜1时，f′（m）＞0，m＞1，f'（m）＜0， 故f（m）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， 所以f（m）＝f（1）＝﹣1，∴f（m）≤﹣1， 令h（n）＝en﹣n﹣2，则h'（n）＝en﹣1， 故n＞0，h′（n）＞0，当n＜0，h′（n）＜0，故h（n）在（﹣∞，0）单调递减，在（﹣0，+∞）单调递增， 故h（n）min＝h（0）＝﹣1，∴h（n）≥﹣1， 由题意可知f（m）≥h（n），故m＝1，n＝0， 此时2x+3y﹣6＝1且x﹣y﹣2＝0，解得，故． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，属于中档题． 34．若ex﹣ax≥﹣x+lnax（a＞0，x＞0），则实数a的取值范围为（　　） A． B．（0，e] C． D．（e，+∞） 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】由题设可得ex+x≥elnax+lnax，设g（x）＝ex+x，求导分析单调性，而g（x）≥g（lnax），则x≥lnax＝lna+lnx，只需lna≤x﹣lnx恒成立，即可得出答案． 【解答】解：因为ex﹣ax≥﹣x+lnax（a＞0，x＞0）， 所以ex+x≥elnax+lnax， 设g（x）＝ex+x， 则g′（x）＝ex+1＞0，即g（x）在x＞0上单调递增， 而g（x）≥g（lnax）， ∴x≥lnax＝lna+lnx， 要使ex+x≥ax+lnax，只需lna≤x﹣lnx恒成立， 令f（x）＝x﹣lnx，则， ∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∴f（x）≥f（1）＝1， ∴只需lna≤1，即0＜a≤e． 故选：B． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 35．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为（　　） A．1 B． C．e D．2 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】原等式变形为ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x，构造函数f（t）＝tet，t＞0，分析单调性可得ln（3xy）＝3x，等价变形为，根据函数单调性可得y的最小值． 【解答】解：由yln（3xy）＝e3x，得3xyln（3xy）＝3xe3x，故ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x． 由题意得，3x＞0，3xy＞0，eln（3xy）＞0， 由ln（3xy）•eln（3xy）＝3xe3x得，ln（3xy）＞0． 设f（t）＝tet，t＞0，则f′（t）＝（t+1）et＞0， ∴f（t）在（0，+∞）上单调递增， ∵f（ln（3xy））＝f（3x），∴ln（3xy）＝3x， ∴3xy＝e3x，即，x＞0， ∴， 当时，y′＜0，在上单调递减， 当时，y′＞0，在上单调递增， ∴当时，y取极小值也是最小值，最小值为e． 故选：C． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题． 36．若函数f（x）＝x（ex﹣1）的图象恒在g（x）＝lnx+a图象的上方，则a的最大整数值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】根据给定条件，建立不等式并分离参数，构造函数h（x）＝xex﹣x﹣lnx，利用导数求出最小值即可． 【解答】解：因为函数f（x）＝x（ex﹣1）的图象恒在g（x）＝lnx+a图象的上方， 所以∀x＞0，f（x）＞g（x）⇔a＜xex﹣x﹣lnx恒成立， 令h（x）＝xex﹣x﹣lnx， 则， 因为函数在（0，+∞）上单调递增， ， 则存在，使得φ（x0）＝0， 即， 当0＜x＜x0时，h′（x）＜0； 当x＞x0时，h′（x）＞0， 函数h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增， 由，得， 因此， 则a＜1，所以a的最大整数值为0． 故选：B． 【点评】本题考查导数的应用，属于中档题． 37．已知实数x，y满足ln（4x+y﹣4）+4﹣e2x﹣3y﹣2﹣2x﹣4y≥0，则2x+3y的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】设m＝4x+y﹣4，n＝2x﹣3y﹣2，题设转化为lnm﹣m≥en﹣n﹣2，进而构造函数f（m）＝lnm﹣m和h（n）＝en﹣n﹣2，即可求导，得函数的最值，进而根据f（m）≥h（n），得m＝1，n＝0，进而求解即可． 【解答】解：根据题目：已知实数x，y满足ln（4x+y﹣4）+4﹣e2x﹣3y﹣2﹣2x﹣4y≥0， 可得ln（4x+y﹣4）﹣e2x﹣3y﹣2≥2x+4y﹣4， 设m＝4x+y﹣4，n＝2x﹣3y﹣2，则m﹣n＝2x+4y﹣2， 故lnm﹣en≥m﹣n﹣2，即lnm﹣m≥en﹣n﹣2， 令f（m）＝lnm﹣m，则， 当0＜m＜1时，f′（m）＞0，f（m）在（0，1）单调递增； 当m＞1，f′（m）＜0，f（m）在（1，+∞）单调递减． 所以f（m）max＝f（1）＝﹣1，所以f（m）≤﹣1， 令h（n）＝en﹣n﹣2，则h′（n）＝en﹣1， 当n＞0，h′（n）＞0，h（n）在（0，+∞）单调递增； 当n＜0，h′（n）＜0，h（n）在（﹣∞，0）单调递减． 故h（n）min＝h（0）＝﹣1，所以h（n）≥﹣1． 由题意可知若f（m）≥h（n），则f（m）＝h（n）＝﹣1，故m＝1，n＝0， 此时4x+y﹣4＝1且2x﹣3y﹣2＝0，解得，故． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题． 38．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．版权所有 【分析】求出导函数，表示出切线方程，再求出k﹣b的表达式，最后借助导数即可作答． 【解答】解：由题意可得f′（x）＝ex﹣1，则， 函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为， 整理得：，从而得，， 令g（x）＝xex﹣1，则g′（x）＝（x+1）ex，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0， 于是得g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，则， 所以k﹣b的最小值为． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题． 39．已知函数，若∀x＞0，f（x）≥0，则的最大值是（　　） A． B． C． D．1 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】由已知不等式构造函数，求导分析其单调性得到最小值，再次构造函数，求导分析单调性得到最大值即可． 【解答】解：根据题目，若∀x＞0，f（x）≥0，即， 令，则， 令g′（x）＝0，解得， 当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 所以，即， 所以， 令，则， 由h′（a）＝0⇒a＝1， 所以当0＜a＜1时，h′（a）＞0，h（a）单调递增； 当a＞1时，h′（a）＜0，h（a）单调递减； 所以，即的最大值为． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数求解函数的最值，属于中档题． 40．已知alna＝beb，b＞0，则的最大值为（　　） A．e2 B． C． D． 【考点】利用导数求解函数的最值．版权所有 【分析】令f（x）＝xex，求导分析，结合题意可得a＝eb，再令g（x）（x＞0），利用导数与函数的单调性与极值的关系可求得答案． 【解答】解：令f（x）＝xex， 则f′（x）＝（x+1）ex， ∴当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增． ∵alna＝lnaelna＝beb， ∴f（lna）＝f（b），又b＞0，故lna＞0， ∴lna＝b，故a＝eb， ∴（b＞0）， 令g（x）（x＞0）， 则g′（x）， 当x∈（0，2）时，g′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0， ∴当x＝2时，g（x）取得极大值，也是最大值g（2）.∴的最大值为． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数求解函数的单调性与极值、最值，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题． 七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5小题） 41．若函数在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣3，2） B．[﹣3，2） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2） 【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】求导可知一定是在x＝2处取得最小值，由此可建立关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：令f′（x）＝x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，在开区间（a，a+5）内的最小值一定是， 又，故，解得﹣1≤a＜2． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理能力，属于基础题． 42．已知函数在（a，2﹣3a）内有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】利用函数的定义域，结合区间的含义，求解a的范围；利用函数的导数求解函数的最小值点，然后求解a的范围． 【解答】解：∵函数在（a，2﹣3a）内有最小值，所以a≥0，并且a＜2﹣3a，可得0≤a， ∴f′（x）， 由f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣4（舍去）， x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，1）时，f′（x）＜0； ∴f（x）的增区间是（1，+∞），减区间是（0，1）， ∴f（x）的极小值点也是最小值点为x＝1． ∴a＜1＜2﹣3a， 解得x＝1，x＝﹣2， ∴a， 即实数a的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属中档题． 43．已知定义在R上的函数（a∈R），设f（x）的最大值和最小值分别为m，n，则mn的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】求出函数f（x）的导数，利用导数求出m，n，结合韦达定理用a的函数表示mn，再求出指数函数的值域得解． 【解答】解：由，得f'（x）x（﹣2x+a）（﹣2x2+ax+1）， 令g（x）＝﹣2x2+ax+1，显然函数g（x）的图象开口向下，且g（0）＝1＞0， 则函数g（x）必有两个异号零点x1，x2，不妨设x1＜0＜x2，有，， 而恒成立，则当x＜x1或x＞x2时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0， 因此函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增， 又当x＜0时，f（x）＜0恒成立，当x＞0时，f（x）＞0恒成立，且f（0）＝0， 于是f（x）的最大值m＝f（x2），最小值n＝f（x1）＝x1， 则， 由a∈R，得，则， 所以mn的取值范围是． 故选：A． 【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题． 44．已知函数f（x）＝|x|﹣aln（x+1）的最小值为0，则实数a的取值范围为 　[0，1]　 ． 【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）；求对数函数及对数型复合函数的单调性；利用导数求解函数的单调性和单调区间．版权所有 【分析】带有绝对值型函数，先从定义域进行分类，分为﹣1＜x＜0和x≥0两种情况，当﹣1＜x＜0时，又分为a≥0和a＜0两种情况，再结合复合函数的单调性讨论即可；当x≥0时，构造函数g（x），利用导数分析单调性，然后再分a≤1和a＞1两种情况讨论即可． 【解答】解：函数f（x）＝|x|﹣aln（x+1）定义域为（﹣1，+∞），显然f（x）min＝0＝f（0）． ①当x≥0时，f（x）＝x﹣aln（x+1）． 令g（x）＝x﹣ln（x+1），，得x≥0，即g（x）在[0，+∞）上单调递增． ∀x∈[0，+∞），g（x）≥g（0）＝0，即有x≥ln（x+1）≥0． 当a≤1时，x≥ln（x+1）≥aln（x+1），即f（x）＝x﹣aln（x+1）≥0， 当且仅当x＝0时取等号； 当a＞1时，．显然当0＜x＜a﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）在[0，a﹣1]上单调递减， f（a﹣1）＜f（0）＝0，不符合题意． ②当﹣1＜x＜0时，f（x）＝﹣x﹣aln（x+1）， 当a≥0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，f（x）＞f（0）＝0； 当a＜0时，函数y＝﹣x在（﹣1，0）上单调递减，其取值集合为（0，1）． 函数y＝﹣aln（x+1）在（﹣1，0）上单调递增，其取值集合为（﹣∞，0）． 因此存在x0∈（﹣1，0），使得﹣aln（x0+1）＜﹣1．于是f（x0）＝﹣x0﹣aln（x0+1）＜0，不符合题意； 综上，0≤a≤1， 所以实数a的取值范围为[0，1]． 故答案为：[0，1]． 【点评】本题考查函数综合应用，属于中档题． 45．已知函数f（x）＝（2﹣a）xlnx﹣2ax2﹣（a2﹣4a）x，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥1，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，2]　 ． 【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）．版权所有 【分析】由题意，分别讨论当a≤0，0＜a≤2和a＞2这三种情况进行讨论，进而可解． 【解答】解：设h（t）＝（t﹣2）lnt﹣t2+3t，函数定义域为（0，+∞）， 可得，， 当时，h″（t）＞0，h′（t）单调递增； 当时，h″（t）＜0，h′（t）单调递减， 又，h′（）＞0，h′（2）＝ln2﹣1＜0， 所以存在，使得h′（u）＝0， 当t∈（0，1）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减； 当t∈（1，u）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增； 当t∈（u，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减， 所以当0＜t≤u时，h（t）≥h（1）＝2， 当u＜t≤2时，h（t）≥h（2）＝2， 当t＞2时，h（t）＜h（2）＝2， 则对任意0＜t≤2，都有h（t）≥2， 所以对任意t＞2，都有h（t）＜2， 下面对a进行分类讨论： 若a≤0， 当时，x＞e＞0，， 所以， 又xlnx≥1， 所以f（x）＝（2﹣a）xlnx﹣2ax2﹣（a2﹣4a）x≥（2﹣a）xlnx≥2xlnx≥2＞1，符合条件； 若0＜a≤2， 此时，满足条件； 若a＞2， 设， 可得， 当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以， 则对任意x＞0，都有，不满足条件， 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，2]． 故答案为：（﹣∞，2]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题． 课后针对训练 一、单选题 1．如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 2．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 4．当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 6．若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若函数在处取得极值4，则 ． 9．函数的最小值为 ． 10．已知函数，其中，若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是 ． 11．函数的极小值为 ． 12．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 13．若函数在单调递减，则a的取值范围是 ． 14．已知和分别是函数的极大值点和极小值点，且，则a的取值范围是 ． 三、解答题 15．已知函数的最小值和的最大值相同，求a． 16．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数m的取值范围． 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 18．已知函数在处的切线方程为，讨论的单调性． 19．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 20．求函数在区间的最大值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A A D C A B 1．A 【分析】根据导函数图象得出各区间导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解. 【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确. 故选：A. 2．A 【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围. 【详解】由已知有两个解， 即有两个解， 设， 则直线与函数有两个公共点， 又， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，， 作出函数图象如图所示， 所以当直线与函数有两个公共点， 则， 故选：A. 3．A 【分析】根据题意分析得出，构造新函数利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，， 由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为， 所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，， 由，， 所以要使得恒成立，则即， 所以， 设， 则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值， 所以的最小值是， 故选：A. 4．D 【分析】根据题意利用导数先求，再验证在处取得最大值，进而求解. 【详解】由题得，故，， 则，故，即， 因此，且， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，满足题设，所以． 故选：D. 5．C 【分析】根据给定条件，利用导数确定的范围，再逐项分析判断. 【详解】对于A，函数，求导得，函数在R上单调递增， 由，，得，，，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，C正确： 对于D，由，得，则，D错误. 故选：C 6．A 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 7．B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 8． 【分析】利用导数和极值点的关系列出方程组即可求解. 【详解】因为在处取得极值4， 所以且. 又，所以①， 又②， 联立①②，解得，经验证符合题意， 所以. 故答案为：. 9． 【分析】对利用导数判断函数单调性进而求得函数的最小值，构造函数，结合导数判断函数单调性，比较大小求得最小值. 【详解】定义域为，当时，，， 则在上单调递减，此时； 当时，，， 则在上单调递减，在上单调递增，此时． 由于与的大小难以直接比较，但可转化为与的大小关系，从而构造函数利用单调性解决． 设，，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即， 综上的最小值为． 故答案为：. 10． 【分析】令，根据条件，将问题转化成在有两个变号零点，利用导数，求出的单调区间，进而求出极值和端点值，再建立方程，即可求解. 【详解】令， 因为在恰有一个极大值和一个极小值，则在有两个变号零点， 又，由，得到，由，得或． 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取到极小值；在处取到极大值； 又，；若恰好有两个变号零点， 则或，即或，解得， 故答案为：． 11．/ 【分析】先求导得，利用导数研究单调性进而求极值即可. 【详解】由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为. 故答案为：. 12． 【分析】先求导，由在上恒成立，进而得，即，利用单调性求的最大值即可求解. 【详解】由题意有在上恒成立， 又，所以，即， 所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立，即， 又在上单调递减，所以， 故答案为：. 13． 【分析】求出定义域，求出，求出的单调递减区间，列关于的不等式即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 14． 【分析】利用参变量分离将用表示出来，从而得到新函数，再利用其导数画出该函数的图像， 结合图像并通过比值换元将转化为只含一个变量的函数，从而利用导数分析其取值范围． 【详解】由题得，令，得， 令，则， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 又时，，又时，，且，如图所示， 故要使有极大值点和极小值点，则需满足， 因为所以，令， 因为，所以，联立解得， 令，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 故，所以，所以在单调递减， 所以，又时，0， 所以，又知在单调递增， 所以， 故答案为：. 15．1 【分析】利用导数研究单调性求的最小值，再求，根据的情况分类讨论求的最大值，利用即可求解. 【详解】由题得， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则． 又， 当时，，在单调递减，无最大值，不符合题意； 当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 又，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以方程有唯一实数根为， 综上所述，． 16．(1)在上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】(1)利用导数，再构造函数二次求导，即可判断一次导数的正负，确定原函数的单调性； (2)求导数，再分四类进行讨论，即可判断处是否取到极小值点，最终可得参数取值范围. 【详解】（1）当时，函数， 则， 令，易知函数在上是减函数，且， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）由已知得：，且， 令，则， 当时，，则在上是减函数，又， 所以当时，有，即，当时，有，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即在时取到极大值，不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递减， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去； 当时，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在时取到极小值，也是最小值，所以， 从而有，所以在上单调递增， 又不符合题意，故舍去； 当时，则，令得，， 故在上单调递增， 又，且， 所以当时，有，从而，即在上单调递增， 当时，有，从而，即在上单调递减， 即在时取到极小值，符合题意，故； 综上所述可得实数m的取值范围是 17．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，判断导数正负，即可得出结论； （2）结合（1）中分类讨论的结果，可确定函数极值点，进而列出相应不等式，求得答案. 【详解】（1）由题可得，的定义域为， 求导可得， 令，解得或， ①若，即， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减； ②若，即，则在单调递减； ③若，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在和单调递减，在单调递增． （2）由（1）可知， ①当时，在和单调递减，在单调递增， 为的极小值点，此时极小值，不符合题意； ②当时，在单调递减，没有极小值，不符合题意； ③当时，在和单调递减，在单调递增， 为的极小值点， 所以， 由的极小值小于0可得， 设，则， 所以在上单调递减，， 即可知成立，满足题意． 综上，的取值范围是． 18．答案见解析 【分析】由切线方程的斜率和在处的函数值得到的值，分类讨论得到函数的单调性. 【详解】求导得， 因为在处的切线方程为， 所以，解得或， ①当时，， ，且不恒为，所以在上单调递增． ②当时，， ， 所以当或时，；当时，． 所以在，单调递增，在单调递减． 综上所述，当，时，在上单调递增； 当，时，在，单调递增，在单调递减． 19．(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 20． 【分析】法1：利用导数结合三角恒等变换得导数零点，讨论导数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值； 法2：利用三角恒等变换可得，结合换元法和导数求函数的最大值. 【详解】法1：. 因为，所以，故， 当时，，即；当时，即， 所以在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：因为 . 所以 设，因为，所以，则，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取得最大值，且. 所以函数的最大值为，当且仅当即时取“”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$