3.3二次根式的加法和减法（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

3.3二次根式的加法和减法 （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减 题型三 分母有理化 题型四 比较二次根式的大小 题型五 二次根式的混合运算 题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值 能力提升题 题型一 二次根式混合运算的实际应用 题型二 二次根式中的新定义类问题 题型一 同类二次根式 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，理解其定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A：，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B：，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C：，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D：，与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B ． 2．下列各式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义(几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式)是解此题的关键．先将各选项化简为最简二次根式后，若被开方数相同则可合并，否则不能． 【详解】解：， A：，能与合并； B：，能与合并； C：，能与合并； D：，不能与合并； 故选：D． 3．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．两个最简二次根式能够合并的条件是它们的被开方数相同，先将化简为最简形式，再令的被开方数与之相等，结合最简二次根式的定义求解． 【详解】解：，被开方数为3， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴． 故选：C． 4．判断下列二次根式是否为同类二次根式． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1)不是； (2)不是； (3)不是； (4)是． 【分析】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （3）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （4）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴和不是同类二次根式； （2）解：∵； ∴和不是同类二次根式； （3）解：∵； ∴和不是同类二次根式； （4）解：∵，， ∴和是同类二次根式． 5．若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）根据同类二次根式的定义可得，直一步计算即可解答； （2）代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得， 解得； （2）解：∵， ∴． 6．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 7．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 题型二 二次根式的加减 8．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据二次根式的性质将化简为，再与合并即可．掌握相应的运算法则、性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴的值是． 故选：B． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的加减法，二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题关键． 分别根据运算法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A.不是同类项不能合并，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 10．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，除法运算，以及二次根式的化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的加减法，除法运算法则和二次根式的化简性质求解即可． 【详解】解：A：，计算正确，故此选项符合题意； B：，显然，原计算错误，故此选项不符合题意； C：，故，显然，原计算错误，故此选项不符合题意； D：，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 11.计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 题型三 分母有理化 13．在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，能找出分母的有理化因式是解题的关键． 根据分母有理化计算法则解答即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 14．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 15．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式，二次根式的混合运算，二次根式的化简，利用有理化因式进行变形计算后即可一一判断，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：①，故①错误，不合题意； ②，故②正确，符合题意； ③ ， 若， 则， 解得， ∴，故③错误， ④∵， 又∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个， 故选：． 16. 的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理化因式的定义，平方差公式，根据有理化因式的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：C． 17．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 18．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小，二次根式的加减计算，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）分母有理化得到，，利用作差法可得，则； （3）分母有理化得到，再把所求式子的每一项按照此方法分母有理化，并计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． ， ， ， ． ， ； （3）解： ， ∴原式 ． 题型四 比较二次根式的大小 19．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 20．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 21．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 22．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 23．已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 24．设，，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分母有理化，代数式之间大小关系的比较．根据题意先计算出，再利用作差法即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 25．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 题型五 二次根式的混合运算 26．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减乘除及乘法公式的应用．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，故错误． 选项B：，而非，故错误． 选项C：利用平方差公式，，结果应为，故错误． 选项D：将除法分配至每一项：结果与选项一致，故正确． 故选：D． 27．下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，包括加法，减法，乘法、除法和平方差公式的应用等，灵活运用相关法则是解题的关键．通过逐一计算各选项，判断其正确性． 【详解】解：选项A： 左边， 右边，故正确； 选项B： 左边， ，即左边≠右边，故错误； 选项C： 左边，故正确； 选项D： 左边，故正确． 综上，选项B计算错误． 故选：B． 28．计算：． 【答案】 【分析】先利用乘法分配律和平方差公式进行计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 29．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．计算： (1)； (2)． (3)． (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，化简绝对值，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先化简算术平方根，然后按照加减运算即可求解； （2）先计算乘方，再化简算术平方根，然后按照加减运算即可求解； （3）先计算零指数幂，负整数幂并化简绝对值，然后再按照加减运算即可求解； （4）先化简算术平方根并用平方差公式进行计算，然后即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 31．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 32．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用二次根式的性质及去括号法则先化简，再相加减即可； （）利用二次根式的性质先化简，再进行除法运算，最后进行减法运算即可； （）利用完全平方公式和平方差公式展开，再相加减即可； （）根据乘方的定义、绝对值的性质及二次根式的除法法则先化简，再相加减即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 33．嘉桐同学准备完成题目：计算：，发现系数“■”印刷不清楚． (1)她把“■”猜成4，计算：； (2)她后面翻看了答案，看到标准答案是0，请你通过计算说明原题中的“■”是几． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式的加减计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算加减法，最后根据标准答案是0得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是， ， ∵标准答案是0 ， ∴， 解得：． 题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 34．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 35．若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 36．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题可先利用平方差公式将进行因式分解，再代入、的值分别计算和，最后将结果相乘得出答案．本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：D． 37．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 当即时， 原式=， 故选：C． 38．若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 39．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 40．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；将分母有理化，化简为，仿照例题进行计算得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先对括号内式子进行通分计算，再将除法转化为乘法并约分化简，最后将代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 42．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)18 【分析】此题考查了二次根式的化简求值及完全平方公式，掌握二次根式的加减法则和乘法法则是解题关键． （1）直接利用已知得出的值即可； （2）直接利用已知得出的值，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， 则． 43．已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 44．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式 45．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ； ； 题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值 46．若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，由题意得出，，再根据二次根式的性质化简得到原式，然后通分后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 47．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 48．如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：由题意可知，， ， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 49．若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【答案】A 【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 50．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 51．若实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，首先根据二次根式有意义的条件求得x的值，然后求得y的值，然后把x，y的值代入即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 当，时，． 52．如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． ． 题型一 二次根式混合运算的实际应用 53．若正方形的边长为，则此正方形的面积约是（    ） A．0.20 B．0.19 C．0.18 D．0.17 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，完全平方公式及无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法法则结合完全平方公式求出正方形的面积为，再估算即可． 【详解】解：根据题意正方形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此正方形的面积约是． 故选：D． 54．在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查二次根式混合运算的运用，先由题中正方形的面积得到各个正方形的边长，再表示出两个空白图形的长与宽即可得到空白部分的面积为，运用二次根式混合运算法则计算即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式乘法及加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 面积为10的正方形边长为、面积为12的正方形边长为、面积为3的正方形边长为， 空白的长为，宽为；空白的长为，宽为； 空白部分的面积为， 故选：A． 55．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 56．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 57．【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键．根据风筝的面积为，得到，再根据题中公式即可解答． 【详解】解：四边形的面积 ； ∴， 根据题意可得：， ∴用来做对角线的竹条至少要长． 故选：C． 58．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 59．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 题型二 二次根式中的新定义类问题 60．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 61．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【详解】解：若是“最美实数”， 则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 62.对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______， ______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴ ； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 63.定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则　 　； (2)若与是关于的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为： （2）由题意，得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． 64.定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 65．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： (1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【详解】（1）解： ； ． 的有理化因式是；后分母有理化的结果为． （2）， ． ， ． （3） ． 66．阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； （2）若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 67．《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 【答案】(1)1 (2)5 (3)12 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值、算术平方根的应用等知识点，理解阅读材料并掌握整体思想和倒数变形整体代入是解题的关键． （1）由题意可得，然后代入所求代数式式中可求值即可； （2）将代入代数式进行变形求值即可可； （3）设此长方形的边长为a，b，则、，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． 故答案为：1． （2）解：∵，且 ∴ ． （3）解：设此长方形的边长为a，b，则 ∵， ∴，即， ∴， ∴该矩形的周长的最小值为12． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3二次根式的加法和减法 （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减 题型三 分母有理化 题型四 比较二次根式的大小 题型五 二次根式的混合运算 题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值 能力提升题 题型一 二次根式混合运算的实际应用 题型二 二次根式中的新定义类问题 题型一 同类二次根式 1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．判断下列二次根式是否为同类二次根式． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 5．若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． (1)求、的值； (2)求的值． 6．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 7．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 题型二 二次根式的加减 8．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 11.计算结果为 ． 12．计算：． 题型三 分母有理化 13．在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 14．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 15．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 16. 的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 17．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 18．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用． 如： (1)化简：______； (2)比较和的大小； (3)化简：． 题型四 比较二次根式的大小 19．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 20．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 21．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 23．已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 24．设，，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D． 25．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型五 二次根式的混合运算 26．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 27．下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 28．计算：． 29．计算． (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)． (3)． (4)； 31．计算： (1)； (2) 32．计算： (1) (2) (3) (4) 33．嘉桐同学准备完成题目：计算：，发现系数“■”印刷不清楚． (1)她把“■”猜成4，计算：； (2)她后面翻看了答案，看到标准答案是0，请你通过计算说明原题中的“■”是几． 题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 34．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 35．若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 36．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 37．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 39．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 40．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 41．先化简，再求值：，其中． 42．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 43．已知，，满足，求代数式的值． 44．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 45．已知，，求的值． 题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值 46．若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 47．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 48．如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 49．若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 50．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 51．若实数，满足，求的值． 52．如果，试求的值． ． 题型一 二次根式混合运算的实际应用 53．若正方形的边长为，则此正方形的面积约是（    ） A．0.20 B．0.19 C．0.18 D．0.17 54．在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 55．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 56．如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 57．【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 58．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 59．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 题型二 二次根式中的新定义类问题 60．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　） A．4 B．2 C．-4 D．2 61．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 62.对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______， ______； (2)若，求x的值． 63.定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则　 　； (2)若与是关于的因子二次根式，求m的值． 64.定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 65．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： (1)直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 66．阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 67．《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想方法发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求下列各式的值： ____________； (2)若，求的值； (3)已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； 学科网（北京）股份有限公司 $$