精品解析：2026届广东省深圳市罗湖区翠园中学高三开学分班考试数学试题

2026届翠园中学高三开学分班考 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法化简求复数，再求复数的模. 【详解】，故. 故选：A 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为，全集， 故. 故选：C. 3. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】，解方程可得到答案 【详解】由题可知 ,所以 ,解得 . 故选：C 4. 已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为 A. 或2 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论双曲线的焦点在x轴和y轴两种情况，利用求解即可. 【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，若渐近线方程是，则. 则离心率. 当双曲线的焦点在y轴上时，若渐近线方程是，则. 则离心率. 综上：离心率为或. 故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率公式，注意双曲线的焦点所在的轴是x还是y轴，属于易错题. 5. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. . 【答案】B 【解析】 【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 6. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f（x＋1）＝f（1－x），f(1)＝5，则f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝（ ） A. 5 B. 10 C. －5 D. －10 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出f(x)是周期为4 的周期函数，把待求式子转化为f（0）＋f（1）＋f（2），利用赋值法，即可求解. 【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以. 因为f（x＋1）＝f（1－x），所以f（x）＝f（2－x）， 所以f（x＋2）＝-f（x），所以f（x）＝-f（x-2）， 所以f（x＋2）＝f（x-2），即f（x＋4）＝f（x），所以f(x)是周期为4 的周期函数. 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 因为f（x＋1）＝f（1－x），令x=1得：所以f(2)＝f(0)＝0，， 所以f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝f（0）＋f（1）＋f（2）＝0+5+0=5. 故选：A 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则， 故， 当且仅当，则时取等号， 综上，目标式的最小值为3. 故选：B 8. 已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理，三角形内角和，两角和差公式将化简为，从而得到，解出角A，结合面积公式及余弦定理求出b. 【详解】由正弦定理：（为外接圆半径）可得： 联立可得：①. 因为，所以. 则①：， 即. 因为，所以，则， 即 又，所以， 由②， 由余弦定理可得：③， 联立②③可得：. 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，6，3，4，5，4，1，3，的第25百分位数为2 B. 若数据的标准差为，则的标准差为 C. 二项式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 对于随机事件与，若，则事件与独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由百分位数的计算，先将数据由小到大排列，再根据数据个数进行计算，可得其正误；对于B，根据数据方差的计算性质，以及标准差的概念，可得其正误；对于C，根据二项式定理写出展开式，进而求出指定项的系数，可得其正误；对于D，根据对立事件以及条件概率的公式，结合独立事件的概率公式，可得其正误. 【详解】对于A，数据由小到大排列为，共个数据，由，则第25百分位数为2，故A正确； 对于B，设数据的平均数为，则数据的平均数为， 由数据的标准差，则数据的标准差为，故B正确； 对于C，由二项式的展开式为， 则第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，故C错误； 对于D，由，则，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 为中点 【答案】BD 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标可求出的值，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，设，根据结合韦达定理，求出的值，求出点的纵坐标，求出，可判断B选项；求出点的纵坐标，求出、，可判断C选项；计算出、，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为抛物线的焦点，则，可得，A错； 对于B选项，如下图所示： 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由A选项可知抛物线的方程为， 设点、，联立可得，， 由韦达定理可得，， 不妨设，由图可知， ，则， 所以，，解得，则， 所以，，B对； 对于C选项，由B选项可知，， 直线的方程为，联立，解得，则， 所以，， ，则，C错； 对于D选项，因为，则为的中点，D对. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 11. 在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C. 当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的性得到，，由线面垂直的判定得面，再由面面垂直的判定，即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心，半径为，根据条件直接求出，即可求解；对于C，设，求出与，再利用线线角的向量法，即可求解；对于D，，根据条件，利用线线角的向量法，得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又面，面， 所以，又，面，所以， 连接，同理可证，又，面，所以面， 又面，所以平面平面，故选项A正确， 对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为， 则, 设四面体的外接球球心，半径为， 由，得到， 解得，则，则球的表面积为，所以选项B错误， 对于选项C，因为点在线段上，设， 因为，，，又， 设异面直线与所成的角为，则， 又，则，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，易知，设，则，又， 则， 整理得到，其轨迹为平面上，以为圆心，为半径的圆， 又是侧面内的动点， 所以点的轨迹长度为，所以选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知正项等比数列满足，，其公比q=_____ 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列的基本量关系求解即可. 【详解】由题意，，因为，故，解得. 故答案为：2 13. 2160有__________个不同的正因数． 【答案】40 【解析】 【分析】把2160进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算． 【详解】，它的正因数即为的幂的乘积， 因此正因数个数为， 故答案为：40. 14. 已知函数，，若恒成立，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行变形得，构造函数，原不等式等价于，利用导数研究的单调性，进而可得自变量之间的关系，再利用导数研究恒成立问题即可. 【详解】恒成立，即，即， 即， 令，则恒成立，所以单调递增， ， 令，则， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即．则的最小值是． 故答案为： 四、解答题 15. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 60 70 （1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1）的分布列为： 1 2 3 ，期望 （2）；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元． 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望， （2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可. 【小问1详解】 从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市， 则随机变量的可能取值为1，2，3 ，，， 的分布列为： 1 2 3 数学期望． 【小问2详解】 ，， ， ． 关于的线性回归方程为； 在中，取，得． 预测广告费支出10万元时的销售额为87万元． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有2个零点，则必须满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 当，则，， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为，因此曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，， 当时，，，此时在上单调递增； 当时，，，此时在上单调递减； 因此，若在上恰有2个零点， 则必须满足：，解得：， 所以实数a的取值范围为. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 （i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）略 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． （1）求和； （2）求和． （3）求数列的前项积． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【小问1详解】 由题意，，，. 【小问2详解】 ，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 【小问3详解】 要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届翠园中学高三开学分班考 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 4. 已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为 A. 或2 B. 或 C. D. 5. 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. . 6. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f（x＋1）＝f（1－x），f(1)＝5，则f（2020）＋f（2021）＋f（2022）＝（ ） A. 5 B. 10 C. －5 D. －10 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 8. 已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，6，3，4，5，4，1，3，的第25百分位数为2 B. 若数据的标准差为，则的标准差为 C. 二项式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 对于随机事件与，若，则事件与独立 10. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于、两点（其中），与的准线交于点，若，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 为中点 11. 在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C. 当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知正项等比数列满足，，其公比q=_____ 13. 2160有__________个不同的正因数． 14. 已知函数，，若恒成立，则的最小值是______． 四、解答题 15. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 60 70 （1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． （1）求和； （2）求和． （3）求数列的前项积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $