第三章 指数运算与指数函数（复习课件）数学北师大版2019必修第一册

单元复习课件 第三章 指数运算与指数函数 北师大版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握指数运算核心知识：理解整数指数幂、分数指数幂的概念及意义，能熟练运用指数运算的基本法则（如同底数幂相乘、相除，幂的乘方，积的乘方等）进行准确计算，包括对含有负指数幂、零指数幂的表达式化简与求值。 2.深化指数函数概念理解：清晰界定指数函数的定义，明确其解析式中底数的取值范围（a＞0且a≠1）及自变量的取值范围，准确判断给定函数是否为指数函数。 3.探究指数函数图像与性质：通过绘制不同底数（a＞1和0＜a＜1）的指数函数图像，观察并总结指数函数的单调性、奇偶性、定义域、值域、过定点等关键性质，能结合图像分析函数值随自变量变化的规律，理解底数大小对函数图像形态和性质的影响。 4.培养数学思维与转化能力：在学习过程中，体会从指数运算到指数函数的知识迁移过程，学会运用数形结合思想分析指数函数问题，通过对比、归纳等方法总结指数运算与指数函数的内在联系，提升抽象概括能力和逻辑推理能力。 单元学习目标 单元知识图谱 一、指数及指数运算 根式 定义 如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(其中n>1,n∈N*),记为,n称为根指数,a称为根底数 性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 微思考　等式()n=a以及=a一定成立吗? 提示 等式()n=a在有意义的前提下是一定成立的; 但=a不一定成立,事实上有 考点串讲 二、指数及指数运算 指数幂 指数 定义 指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角 有理 指数 幂的 分类 正整数指数幂an=a·a·a·…·a(n∈N*) 零指数幂a0=1(a≠0) 负整数指数幂a-n=(a≠0,n∈N*) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 有理指 数幂运 算性质 aman=am+n(a>0,m,n∈Q) (am)n=amn(a>0,m,n∈Q) (ab)m=ambm(a>0,b>0,m∈Q) 根式与有理 指数幂的关系 (a>0,m,n∈N*,n>1) 考点串讲 6 二、指数函数的图像与性质 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R. [教材知识深化] 形如y=kax,y=akx+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数. 考点串讲 7 二、指数函数的图像与性质 y=ax 0<a<1 a>1 图象 “撇增 捺减” 图象     定义域 R 值域 　　 　  性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1 当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1 比较幂值大小的重要依据 在定义域R上是　　　　　  在定义域R上是　　　　　  (0,+∞) 减函数 增函数 考点串讲 8 题型一、根式与指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 题型剖析 题型一、根式与指数幂的运算 题型剖析 题型一、根式与指数幂的运算 整体代换法 化简求值 变式训练 题型一、根式与指数幂的运算 变式训练 题型二、指数函数图像及其应用 从函数的三要素和三大性质出发，采用排除法解决函数的图像问题 题型剖析 题型二、指数函数图像及其应用 题型剖析 利用指数函数图像可解决的两类问题及求解思路 (1)求解指数型函数的图像与性质问题 对指数型函数的图像与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图像数形结合求解． 题型二、指数函数图像及其应用 题型剖析 题型二、指数函数图像及其应用 题型剖析 题型二、指数函数图像及其应用 题型剖析 题型二、指数函数图像及其应用 变式训练 题型三、比较指数式的大小 统一原则： 转化成相同底数或相同指数 题型剖析 题型三、比较指数式的大小 【教材知识深化】 1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象, 应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,). 2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”. 3.f(x)=ax与g(x)=a-x=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 4.指数函数的图象以x轴为渐近线. 题型剖析 题型三、比较指数式的大小 变式训练 题型四、指数函数单调性的运用 构造函数： 简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论 题型剖析 题型四、指数函数单调性的运用 题型剖析 题型四、指数函数单调性的运用 换元： 变式训练 题型五、指数函数的奇偶性 题型剖析 题型五、指数函数的奇偶性 题型剖析 题型五、指数函数的奇偶性 变式训练 题型五、指数函数的奇偶性 变式训练 题型六、指数函数的图像 丛函数的三要素和三大性质出发，采用排除法解决函数的图像问题 题型剖析 题型六、指数函数的奇偶性 变式训练 题型七、指数型函数的综合应用 若函数f(x)=(的图象经过点(3,1),则(　　) A.a=1 B.f(x)在(-∞,1)上单调递减 C.f(x)的最大值为81 D.f(x)的最小值为 解析 对于A,由题意得f(3)=()9a-6-3=1,得a=1,故A正确; 对于B,令函数u=x2-2x-3,则该函数在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,因为y=()u在定义域R上为减函数,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,故B错误; 对于C,D,因为f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=81,f(x)无最小值,故C正确,D错误,故选AC. 题型剖析 【探究1】本例中,若将条件“函数f(x)=(的图象经过点(3,1)”改为“函数f(x)=(的最小值为9”,则实数a=　　　　. 题型七、指数型函数的综合应用 【解析】令u=ax2-2x-3,则f(x)=()u.因为f(x)有最小值9, 所以u=ax2-2x-3必须有最大值-2,因此得解得a=-1. 题型剖析 题型七、指数型函数的综合应用 【变式探究2】本例中,若将条件“函数f(x)=(的图象经过点(3,1)”改为“函数f(x)=(在区间[-2,+∞)上单调递增”,则实数a的取值范围是　　　　. 【解析】令u=ax2-2x-3,由于f(x)=()u在区间[-2,+∞)上单调递增, 所以函数u=ax2-2x-3在区间[-2,+∞)上单调递减. 当a=0时,u=-2x-3符合题意;当a≠0时,应满足解得-a<0. 综上,实数a的取值范围是[-,0]. 题型剖析 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 课堂总结 感谢聆听! 【答案】(1)a≤eq \f(1,2) (2)a （3）eq \f(a,b) 【例1】（1）若eq \r(4a2－4a＋1)＝ ，则实数a的取值范围是_______ （2） ＝________ （3） ＝__________． 【解析】（1）左边＝eq \r(（2a－1）2)＝|2a－1|，右边＝1－2a，即|2a－1|＝1－2a,∴2a－1≤0，解得a≤eq \f(1,2). （2） ÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\r(3,\f(b,a))))·eq \r(3,a)＝ ÷ · ＝ ÷ · ＝ · · ＝ ＝ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ＝a. （3）原式＝ ＝ ＝ ＝eq \f(a,b). （1）若 ， 为方程x2－3x＋a＝0的两根，则 ＝____________． （2）已知xα＋x－α＝2eq \r(5)，x＞1，α＜0，则xα－x－α＝___________． （3）若10x＝3，10y＝4，则102x－y的值为____________． 【答案】(1)eq \f(1,3) (2)-4 （3）eq \f(9,4) 【解析】（1）∵ ， 为方程x2－3x＋a＝0的两根，∴ ＋ ＝3， ∴ ＋ ＝( ＋ )·(x＋x－1－1) ＝( ＋ )·[( ＋ )2－3]＝3×(32－3)＝18， x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝[( ＋ )2－2]　2－2＝(32－2)2－2＝47， ∴ ＝eq \f(18－3,47－2)＝eq \f(1,3). （2）由x＞1，α＜0，可得xα＜x－α.∵xα＋x－α＝2eq \r(5)， ∴x2α＋2＋x－2α＝20，∴x2α＋x－2α＝18， ∴xα－x－α＝－eq \r(（xα－x－α）2) ＝－eq \r(x2α－2＋x－2α)＝－eq \r(18－2)＝－4. （3）∵10x＝3，10y＝4， ∴102x－y＝eq \f(（10x）2,10y)＝eq \f(9,4). 【例2】(1)(2015·西安模拟)函数y＝ax－eq \f(1,a)(a>0，a≠1)的图像可能是(　　) A　 　　　　B　　　　 　　C　　 　　　　D (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)D 　(2)[－1，1] 【解析】当a>1时函数单调递增，且函数图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1－\f(1,a)))，因为0<1－eq \f(1,a)<1，故A，B均不正确；当0<a<1时，函数单调递减，且函数恒过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1－\f(1,a)))，因为1－eq \f(1,a)<0，所以选D. 【解析】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]． 【探究1】　若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围． 【探究2】　若将本例(2)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？ 【解析】曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得， 如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)． 【解析】因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0， 即k的取值范围为(－∞，0]． 【探究3】　若将本例(2)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是什么？ 【解析】：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折过来得到的． 当a>1时，两图像只有一个交点，不合题意，如图(1)； 当0<a<1时，要使两个图像有两个交点，则0<2a<1，得到0<a<eq \f(1,2)，如图(2)． 　　 图(1)　　　 　　　图(2)　　 综上可知，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). 函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0　 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 【解析】选D　由函数f(x)的图像特征知，0＜a＜1.又f(0)＝a－b＜1＝a0， 所以－b＞0，即b＜0. 【解析】a＝40.7＝(22)0.7＝21.4，b＝(23)0.45＝21.35， c＝0.5－1.5＝21.5，因为函数y＝2x为增函数， 所以21.5>21.4>21.35，所以c>a>b. 答案：A 【例3】已知a＝40.7，b＝80.45，c＝0.5－1.5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b　　　　　　　　B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b （1）设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a （2）a＝ee，b＝πe，c＝eπ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【解析】∵a＝ ，b＝ ，c＝ ，∴a，b，c为正实数． ∵a10－c10＝32－25＞0，∴a10＞c10，∴a＞c，∴b＞a＞c.故选C. 【解析】由幂函数的单调性可得πe＞ee，即b＞a；由指数函数的单调性可得eπ＞ee，即c＞a.下面比较b，c的大小，分别对b，c取以e为底的对数，则比较b，c的大小即比较elnπ与π的大小．设f(x)＝elnx－x，x>0，则f ′(x)＝eq \f(e－x,x)，x>0，易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(e)>f(π)，即elne－e>elnπ－π，即elnπ<π，∴πe＜eπ，即c＞b，∴c＞b＞a.故选C. 【例4】(1)函数 在区间 上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． (2)不等式 的解集为______． (3)不等式 的解集为 【解析】设 ，其图象开向上，对称轴为直线 ． 函数 在区间 上是减函数， 在区间 上是增函数， 又 在 上单调递增， ，解得 ．故选：C. 【解析】原式可化为 ， 因为 为减函数，所以 ，即 ，解得 或 ， 所以原不等式的解集为 .故答案为： . 【解析】构造函数 ，易知函数 在 上为单调递增函数． 因为不等式 等价于 ， 又 ，所以 ，所以由函数 的单调性知 ，即 ， 解得 或 ，所以原不等式的解集为 . 【解析】(1)设t＝ >0，又y＝t2－8t＋17=（t-4）2+1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增.令 ≤4，得x≥－2，令 >4，得x<－2.而函数t＝ 在R上单调递减，所以函数 的增区间为 [-2,+∞)，减区间为(-∞,-2). 【解析】(2)由 得， ，则 ，根据 在 上单调递增，所以 ，解得 ，即 的解集为 。 1.求函数 的单调区间 . 2.已知函数 ，则不等式 的解集是 【例5】(1)若函数 为奇函数，则 _________ (2)已知函数 为偶函数，则 （    ） A．-1 B．-2 C．2 D．1 【答案】 (1)±1 (2)A 【解析】因为函数 为奇函数，所以由 可得 ， 即 ，整理得 ，解得 ，经检验，当 或 时，满足 ，故答案为： 【解析】因为函数 为偶函数，所以 ， ， ， 所以 ，即得 可得 ， 成立，所以 .故选：A. 1．若 为奇函数，则实数 ______. 2．已知函数 ，则 （    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】(1)1 (2)C 【解析】若 为奇函数，则 ， 故 ，解得 .故答案为：1. 【解析】函数的定义域为R，因为 ， 所以函数 为奇函数，又因为函数 在R上都是减函数， 以函数所 在R上是减函数.故选：C. 【解析】 ， 的定义域均为 ，且 , ， 所以 为奇函数， 为偶函数.由图易知其为奇函数， 而 与 为非奇非偶函数，故排除AB. 当 时， ，排除C.故选:D． 【例6】已知函数 ， ，则大致图象如图的函数可能是（    ） A． B． C． D． 函数 的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 ，函数定义域为 ， ，函数为奇函数，排除BD； ， ，故 ，排除A.故选：C 1.函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 依题意，令 ，则 ， 因为 单调递减，且 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 .故选：A. 2.设 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】因为 ， ， ，又函数 在 上单调递增， ， 所以 所以 ，故选：C 3设函数 在定义域 上满足 ，若 在 上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】∵ ，即 ，故函数 在定义域 上奇函数， 若 在 上是减函数，则 在 上是减函数， ∵ ，且 ，若 ，则 ，解得 ， 故不等式 的解集为 .故选：A. 4.函数 的图像大致为（    ） A．B．C．D． 【解析】若函数有意义，则 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ； 因为 ，所以 ；所以 为定义域上的偶函数，图像关于 轴对称， 可排除选项A，C；当 时, ,排除选项B．故选：D． 已知函数 ，若不等式 在R上恒成立， 则实数m的取值范围是________. 【解析】令 因为 在区间 上是增函数， 所以 因此要使 在区间 上恒成立，应有 ， 即所求实数m的取值范围为 ．故答案为： . 6.已知函数 ，则 的图象（    ） A．关于直线 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于原点对称 【解析】对于A项，由已知可得， ， 所以 的图象关于直线 对称，故A项正确； 对于B项，因为 ，则 ，故B项错误； 对于C项， ，则 ，故C错误； 对于D项，因为 ，则 ，故D错误.故选:A. eq \a\vs4\al(1)个关系——分数指数幂与根式的关系 　根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． eq \a\vs4\al(2)个注意——应用指数函数性质时应注意的两点 (1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究． (2)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围． eq \a\vs4\al(3)个关键点——指数函数图像的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住 三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))). $$