第二十一章 一元二次方程 单元过关检测卷2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程单 元过关检测卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、，是一元一次方程，故A不符合题意； B、，是分式方程，故B不符合题意； C、，是一元二次方程，故C符合题意； D、，是一元二次方程，故D不符合题意； 故选：． 根据一元二次方程的一般形式：为常数且，逐一判断即可解答． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    ) A. B. C. D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，正确理解二次项系数不为是解题的关键由一元二次方程的定义，可知，再把方程的一个根是，代入可得，进而通过解方程即可求得的值． 【解答】 解：是关于的一元二次方程， ，即． 由方程的一个根是，代入， 可得， 解之得． 由得． 故选C． 3.把方程化成的形式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将二次项系数化为，得． 配方，得， 因此． 故选C． 4.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A  【解析】略 5.将转化为两个一元一次方程，这两个方程是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】略 6.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业月的营业额是万元，第一季度的总营业额是万元若设月平均增长率是，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 7.已知菱形的边长为方程的一个根，有一条对角线为，则这个菱形的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出边长是解决问题的关键． 解方程得出或，分两种情况：当时，，不能构成三角形；所以时，即可得出菱形的周长． 【解答】 解：如图所示： 四边形是菱形， ， ， 因式分解得：， 解得：或， 分两种情况： 当时，，不能构成三角形； 所以， 菱形的周长． 故选：． 8.若，则等于(    ) A. B. 或 C. D. 以上都不对 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用直接开平方法求解，保留符合题意的结果即可． 【解答】 解：可将看作一个整体， 则 ， 或．  ， ． 9.对于一元二次方程，下列说法：若，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则，其中正确的(    ) A. 只有 B. 只有 C. D. 只有 【答案】B  【解析】解：若，则方程有一个根为，则；故正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， 方程必有两个不相等的实根；故正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故错误； 若是一元二次方程的根，则：， ， ；故正确； 故选B． 10.欧几里得在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形纸片，先折出，的中点，，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接，，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是  (    ) A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B  【解析】解： 设，则． 由题意可知，≌，是的中点， ，． ， ． 正方形， ， ． 的解为， 取正值为， 这条线段是线段． 故选B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 12.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 13.在高度为的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户，现用长的铝合金条制成如图所示的窗框当矩形窗户的宽为          时，其透光面积为铝合金条的宽度忽略不计． 【答案】  【解析】略 14.规定：，如：，若，则          ． 【答案】或  【解析】解：依题意得， 整理，得， 因此，即， 直接开平方，得， 解得或． 15.设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为          ． 【答案】  【解析】略 16.若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得． 【解答】 解：，是方程的两个实数根， ，， 即， 则 ． 故答案为． 17.阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．解决问题：求方程的解为          ． 【答案】或或  【解析】解：， ． ． ． 或． 当时，； 时， ． 原方程组的解为或或． 首先把方程化为，再利用因式分解法把方程化为一个一次方程和一个二次方程，利用求根公式求解即可． 本题考查了解高次方程，理解题例掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 18.已知关于的一定二次方程，有两个实数根设则的最大值为           【答案】  【解析】考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意得出，，解得：，将，代入函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：关于的一定二次方程，有两个实数根． ， 解得： ，随的增大而增大， 当时，取得最大值为 故答案为：． 三、解答题：本题共小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.用指定的方法解一元二次方程： 直接开平方法； 配方法； 公式法； 因式分解法． 【答案】(1)原方程化为，，解得，  (2)，，，，，则，  (3)，，，..，  (4)原方程化为，，解得，  【解析】 略  略  略  略 20.本小题分 已知，是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： ； ； ； ． 【答案】(1)解：x1+x2＝3．  (2)x1x2＝-1．  (3)．  (4)．  【解析】 略  略  略  略 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； 设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】(1)，.无论实数取何值，此方程一定有两个实数根  (2)此方程的两个实数根分别为，，，.，，即，整理，得，解得，.的值为或  【解析】 略  略 22.本小题分 年月日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． 若每个模型降价元，平均每天可以售出          个模型，此时每天获利          元； 在每个模型盈利不超过元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】(1)30 ;1050  (2)设每个模型应降价x元．  根据题意，得(40-x)(20+2x)＝1200．  整理，得x2-30x+200＝0．  解得x1＝10，x2＝20．  又∵每个模型盈利不超过25元，∴x＝20．  答：每个模型应降价20元．  【解析】 略  略 23.本小题分 已知，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”根据“差根方程”的定义，解决下列问题： 通过计算，判断下面的方程是否是“差根方程”： ； ． 已知关于的方程是“差根方程”，求的值． 若关于的方程是常数，是“差根方程”，请探索与之间的数量关系． 【答案】(1)①设，是一元二次方程的两个实数根，，..方程不是“差根方程”  ②设，是一元二次方程的两个实数根，，..方程是“差根方程”  (2)解方程，得，.关于的方程是“差根方程”，.  (3)设，是一元二次方程（，是常数，）的两个实数根，，.关于的方程（，是常数，）是“差根方程”，.，即.  【解析】 略  略  略 24.本小题分 超市某商品的进价为元件，每天的销量件与售价元件的函数关系如图所示． 求与的函数解析式． 若超市出售该商品每天获得元的利润，且能让消费者减少花费，求此时的售价． 该超市能否保证出售该商品每天获得元的利润？并说明理由． 【答案】(1)设与的函数解析式为.将（25，250），（40，100）代入，得解得与的函数解析式为  (2)根据题意，得，整理，得，解得，.又能让消费者减少花费，.此时的售价为26元/件  (3)该超市不能保证出售该商品每天获得2500元的利润理由：假设该超市能保证出售该商品每天获得2500元的利润，根据题意，得，整理，得.，该方程没有实数根.假设不成立，即该超市不能保证出售该商品每天获得2500元的利润.  【解析】 略  略  略 25.本小题分 【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： 第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：，，第个图案中，“”的数量有：           第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：，，第个图案中，“”的数量有：           【规律应用】 第个图案中，“”和“”的数量之和为，求的值． 【答案】解：； ； 根据题意，得 ， 整理，得． 解得：，舍去． 的值为．  【解析】【分析】 本题主要考查的是图形规律问题，解一元二次方程，正确找出每种图案的变化规律是解题的关键． 根据题意找出规律进行求解即可； 根据题意找出规律进行求解即可； 根据找出的规律建立方程求解即可． 【解答】 解：第个图案中，“”的数量有：； 第个图案中，“”的数量有： 第个图案中，“”的数量有：， ， 第个图案中，“”的数量有； 故答案为：； 第个图案中，“”的数量有：； 第个图案中，“”的数量有：； 第个图案中，“”的数量有：，， 第个图案中，“”的数量有； 故答案为：； 见答案． 26.本小题分 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为          ； 已知关于的一元二次方程、、为常数，的两个实数根分别为、，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是、； 已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】(1)  (2)且，设所求方程的根为，则，即，则，化为一般形式为，该方程即为所求方程.  (3)设所求方程的根为，则，，代入原方程，得，去分母，得，，.，且根是整数，为偶数且为完全平方数，或，所求方程为，即或，即.  【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 单元过关检测卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    ) A. B. C. D. 或 3.把方程化成的形式为(    ) A. B. C. D. 4.关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 5.将转化为两个一元一次方程，这两个方程是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展某企业月的营业额是万元，第一季度的总营业额是万元若设月平均增长率是，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.已知菱形的边长为方程的一个根，有一条对角线为，则这个菱形的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 8.若，则等于(    ) A. B. 或 C. D. 以上都不对 9.对于一元二次方程，下列说法：若，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若是方程的一个根，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则，其中正确的(    ) A. 只有 B. 只有 C. D. 只有 10.欧几里得在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形纸片，先折出，的中点，，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接，，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是  (    ) A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为          ． 12.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是          ． 13.在高度为的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户，现用长的铝合金条制成如图所示的窗框当矩形窗户的宽为          时，其透光面积为铝合金条的宽度忽略不计． 14.规定：，如：，若，则          ． 15.设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为          ． 16.若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于          ． 17.阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解．解决问题：求方程的解为          ． 18.已知关于的一定二次方程，有两个实数根设则的最大值为           三、解答题：本题共小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.用指定的方法解一元二次方程： 直接开平方法； 配方法； 公式法； 因式分解法． 20.本小题分 已知，是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： ；；；． 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论实数取何值，此方程一定有两个实数根； 设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 22.本小题分 年月日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低元，平均每天可以多售出个． 若每个模型降价元，平均每天可以售出          个模型，此时每天获利          元； 在每个模型盈利不超过元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 23.本小题分 已知，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”根据“差根方程”的定义，解决下列问题： 通过计算，判断下面的方程是否是“差根方程”： ； ． 已知关于的方程是“差根方程”，求的值． 若关于的方程是常数，是“差根方程”，请探索与之间的数量关系． 24.本小题分 超市某商品的进价为元件，每天的销量件与售价元件的函数关系如图所示． 求与的函数解析式． 若超市出售该商品每天获得元的利润，且能让消费者减少花费，求此时的售价． 该超市能否保证出售该商品每天获得元的利润？并说明理由． 25.本小题分 【观察思考】 将大小形状完全相同的“”和“”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含的式子填空： 第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：，，第个图案中，“”的数量有：           第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：；第个图案中，“”的数量有：，，第个图案中，“”的数量有：           【规律应用】 第个图案中，“”和“”的数量之和为，求的值． 26.本小题分 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为          ； 已知关于的一元二次方程、、为常数，的两个实数根分别为、，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是、； 已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第二十一章 一元二次方程 单元过关检测卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于�的一元二次方程的是( ) A. 2� = � − 1 B. � + 1� − 3 = 0 C. �(� − 2) = 0 D. �� 2 + �� + � = 0 2.关于�的一元二次方程(� − 2)�2 + � + �2 − 4 = 0 的一个根是 0，则�的值是( ) A. 0 B. 2 C. −2 D. 2 或−2 3.把方程13 � 2 − � − 5 = 0 化成((� + �)2 = �的形式为( ) A. � − 32 2 = 272 B. � − 3 2 2 = 294 C. � − 3 2 2 = 694 D. � − 3 2 2 = 514 4.关于�的一元二次方程�2 +�� − 8 = 0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.无实数根 5.将 2� − 1 2 = 10� − 5 转化为两个一元一次方程，这两个方程是( ) A. 2� − 1 = 0，2� + 1 =− 5 B. 2� + 1 = 5，2� − 1 = 0 C. 2� − 1 = 0，2� − 1 = 5 D. 2� + 1 = 0，2� − 1 =− 5 6.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展.某企业 1 月的营业额是 1000 万元，第一季度的总营业额是 3990 万元.若设月平均增长率是�，则可列方程为( ) A. 1000 1 + � 2 = 3990 B. 1000 + 1000 1 + � + 1000 1 + � 2 = 3990 C. 1000 1 + 2� = 3990 D. 1000 + 1000 1 + � + 1000 1 + 2� = 3990 7.已知菱形����的边长为方程�2 − 7� + 10 = 0 的一个根，有一条对角线为 5，则这个菱形的周长为( ) A. 8 B. 20 C. 8 或 20 D. 10 8.若(�2 + �2 − 5)2 = 64，则�2 + �2等于( ) A. 13 B. 13 或−3 C. −3 D.以上都不对 9.对于一元二次方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)，下列说法：①若� + � + � = 0，则�2 − 4��⩾0；②若方程��2 + � = 0 有两个不相等的实根，则方程��2 + �� + � = 0 必有两个不相等的实根；③若�是方程��2 + �� + � = 0 的一个根，则一定有�� + � + 1 = 0 成立；④若�0是一元二次方程��2 + �� + � = 0 的根，则�2 − 4�� = (2��0 + �)2，其中正确的( ) 第 2页，共 6页 A.只有①② B.只有①②④ C.①②③④ D.只有①②③ 10.欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程�2 + �� = �2的方法，类似地我们可以用折纸的方 法求方程�2 + � − 1 = 0 的一个正根．如图，一张边长为 1 的正方形纸片����，先折出��，��的中点�， �，再折出线段��，然后通过沿线段��折叠使��落在线段��上，得到点�的新位置�，并连接��，��， 此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程�2 + � − 1 = 0 的一个正根，则这条线段是 ( ) A.线段�� B.线段�� C.线段�� D.线段�� 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.关于�的一元二次方程�2 + (2� + 1)� + �2 = 0 的两个实数根为�1，�2，且满足(1 + �1)(1 + �2) = 3，则 �的值为 ． 12.若关于�的方程��2 − 2� − 1 = 0 有实数根，则实数�的取值范围是 ． 13.在高度为 2.8�的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户，现用 9.5�长的铝合金条制成如图所示的窗框.当矩 形窗户的宽��为 �时，其透光面积为 3�2(铝合金条的宽度忽略不计)． 14.规定：�⊗ � = (� + �)�，如：2⊗ 3 = (2 + 3) × 3 = 15，若 2⊗ � = 3，则� = ． 15.设�，�是一个直角三角形两条直角边的长，且(�2 + �2)(�2 + �2 − 1) = 6，则这个直角三角形的斜边长 为 ． 16.若�1，�2是方程�2 − 4� − 2020 = 0 的两个实数根，则代数式�12 − 2�1 + 2�2的值等于 ． 17.阅读理解：对于�3 − (�2 + 1)� + �这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：�3 − (�2 + 1)� + � = �3 − �2� − � + � = �(�2 − �2) − (� − �) = �(� − �)(� + �) − (� − �) = (� − �)(�2 + �� − 1).理解运用：如 果�3 − (�2 + 1)� + � = 0，那么(� − �)(�2 + �� − 1) = 0，即有� − � = 0 或�2 + �� − 1 = 0，因此，方程� − � = 0 和�2 + �� − 1 = 0 的所有解就是方程�3 − (�2 + 1)� + � = 0 的解．解决问题：求方程�3 − 10� + 3 = 0 的解为 ． 18.已知关于�的一定二次方程�2 − � + 2� = 0，有两个实数根�, �.设� = � − 2 � − 2 则�的最大值 为 三、解答题：本题共小题，共 96 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 3页，共 6页 19.用指定的方法解一元二次方程： (1) 12 3� − 1 2 = 8(直接开平方法)； (2)2�2 − 3� − 3 = 0(配方法)； (3)3�2 + 3� − 1 = 0(公式法)； (4) � − 1 � + 2 = 2 � + 2 (因式分解法)． 20.(本小题 8 分) 已知�1，�2是一元二次方程�2 − 3� − 1 = 0 的两根，不解方程求下列各式的值： (1)�1 + �2；(2)�1�2；(3)�12 + �22；(4) 1 �1 + 1�2 ． 21.(本小题 8 分) 已知关于�的一元二次方程�2 + 2� + 1 � + 2� = 0． (1)求证：无论实数�取何值，此方程一定有两个实数根； (2)设此方程的两个实数根分别为�1，�2，若�12 + �22 = 13，求�的值． 22.(本小题 8 分) 2024 年 4 月 25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号�遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空 航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出 20 个，每个盈利 40 元．为 了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低 1 元，平均每天可以多售出 2 个． (1)若每个模型降价 5 元，平均每天可以售出 个模型，此时每天获利 元； (2)在每个模型盈利不超过 25 元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利 1200 元，每个模型应降价多 少元？ 第 4页，共 6页 23.(本小题 8 分) 已知�1，�2是一元二次方程��2 + �� + � = 0 � ≠ 0 的两个实数根，若满足 �1 − �2 = 1，则此类方程称为 “差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)通过计算，判断下面的方程是否是“差根方程”： ①�2 − 4� − 5 = 0； ②2�2 − 2 3� + 1 = 0． (2)已知关于�的方程�2 + 2�� = 0 是“差根方程”，求�的值． (3)若关于�的方程��2 + �� + 1 = 0(�, �是常数，� > 0)是“差根方程”，请探索�与�之间的数量关系． 24.(本小题 8 分) 超市某商品的进价为 20 元/件，每天的销量�(件)与售价�(元/件)的函数关系如图所示． (1)求�与�的函数解析式． (2)若超市出售该商品每天获得 1440 元的利润，且能让消费者减少花费，求此时的售价． (3)该超市能否保证出售该商品每天获得 2500 元的利润？并说明理由． 第 5页，共 6页 25.(本小题 8 分) 【观察思考】 将大小形状完全相同的“▲”和“⋆”按如图所示的规律依次摆放，归纳图形中的规律，解决下列问题． 【规律发现】 请用含�的式子填空： (1)第 1 个图案中，“▲”的数量有：12 × 1 × 2 + 1；第 2 个图案中，“▲”的数量有： 1 2 × 2 × 3 + 1；第 3 个图案中，“▲”的数量有： 1 2 × 3 × 4 + 1，⋯，第�个图案中，“▲”的数量有： ; (2)第 1 个图案中，“⋆”的数量有：12 × 2 × 3 − 1；第 2 个图案中，“⋆”的数量有： 1 2 × 3 × 4 − 1；第 3 个图案中，“⋆”的数量有：12 × 4 × 5 − 1，⋯，第�个图案中，“⋆”的数量有： ; 【规律应用】 (3)第�个图案中，“▲”和“⋆”的数量之和为 225，求�的值． 26.(本小题 8 分) 问题：已知方程�2 + � − 1 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍． 解：设所求方程的根为�，则� = 2�，所以� = �2，把� = � 2代入已知方程，得 � 2 2 + �2 − 1 = 0． 化简，得�2 + 2� − 4 = 0，故所求方程为�2 + 2� − 4 = 0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)． 第 6页，共 6页 (1)已知方程�2 + 2� − 1 = 0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程 为 ； (2)已知关于�的一元二次方程��2 + �� + � = 0(�、�、�为常数，� ≠ 0)的两个实数根分别为 3、−2，利用 “换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是−1、−6； (3)已知关于�的一元二次方程 �2 + 4 �2 + 4� + 8 � + 4 = 0 0 ≤ � ≤ 15 有两个不等于零的实数根，求 一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数．