第二十二章 二次函数 单元过关检测卷2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元过关检测卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是关于的二次函数，那么的值为(    ) A. B. C. D. 2.对于抛物线，下列结论正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 3.若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 4.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.二次函数的图象与轴交于点，，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 8.若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为(    ) A. B. 或 C. 或 D. ，或 9.如图，矩形中，，，动点从点出发以的速度沿折线运动到点停止连接，作交于点设点运动时，长为，则关于的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 且 D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.二次函数，当时，随的增大而          填“增大”或“减小” 12.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第          象限． 13.在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为          ． 14.已知函数的图象与轴只有一个交点，则的值是          ． 15.已知抛物线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是          ． 16.已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为          ． 17.如图，点在抛物线：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，则点移动的最短路程是          ． 18.如图，矩形中，，，为的平分线，为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知二次函数． 写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； 当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ 当取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值． 20.本小题分 如图，直线和抛物线相交于点和点． 求点和点的坐标； 直接写出不等式的解集． 21.本小题分 根据条件，分别求出对应的二次函数的解析式． 已知二次函数图象的对称轴为直线，顶点在轴上，并与轴交于点； 已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点； 已知二次函数在时有最小值，且函数图象经过点． 22.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点． 求该抛物线的解析式； 求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； 设该抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足？并求出此时点的坐标． 23.本小题分 商场将进价为每件元的某商品以每件元的价格售出，平均每月能售出件调查表明：每件商品的售价在元至元范围内，售价每上涨元，其销售量就将减少件，设商场决定每件商品的售价为元 该商场平均每月可售出          件商品用含的代数式表示． 当每件商品的售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 该商场决定每销售一件商品就捐赠元利润给希望工程，通过销售记录发现，当每件商品的售价大于元时，扣除捐款后每天的利润随的增大而减小求的取值范围． 24.本小题分 已知二次函数，其中为常数． 求证：不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点； 若，是该二次函数图象上的两个点，请判断，的大小关系． 25.本小题分 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 观察函数图象，写出两条函数的性质． 进一步探究函数图象发现： 函数图象与轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； 方程有______个实数根； 关于的方程有个实数根时，的取值范围是______． 26.本小题分 如图，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．   求抛物线对应的函数解析式． 当时，请在图中过点作于点，交抛物线于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 如图，当点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，当点停止运动时，点也停止运动连接，，求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数单元 过关检测卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是关于的二次函数，那么的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.对于抛物线，下列结论正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C  【解析】略 3.若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 4.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 5.二次函数的图象与轴交于点，，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】解：二次函数的图象经过点，， 关于的方程的根为，． 故选：． 6.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 7.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 由抛物线对称轴的位置判断，的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】 解：由抛物线开口向下可知， 抛物线与轴交点在轴上方可知：， 对称轴在轴的右侧， 即，， ， 故不正确； 当时，， ， 故正确； 由对称知，当时，函数值大于， 即， 故正确； ， ， ， ， ， 故不正确； 当时，的值最大，此时，， 而当时，， 所以， 故，即， 故正确． 故正确． 故选：． 8.若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为(    ) A. B. 或 C. 或 D. ，或 【答案】D  【解析】解：分为两种情况： 当函数是二次函数时， 函数的图象与轴只有一个交点， 对于方程且， 解得：， 当函数是一次函数时，， 此时函数解析式是，和轴只有一个交点， 故选． 本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．解决本题的关键是讨论函数为一次函数或是二次函数． 分类讨论：当函数是二次函数时，当，利用，解方程即可；当函数是一次函数时，，根据一次函数的性质易得一次函数与轴只有一个交点，从而得到答案． 9.如图，矩形中，，，动点从点出发以的速度沿折线运动到点停止连接，作交于点设点运动时，长为，则关于的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：当点在边上时，即， ， 四边形为矩形， ， 即； 当点在边上时，即，则，， 如图所示： ， ， ， ， ， ， ∽， ， 即， ，，，， ， 综上， 故选： 分点在和上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可． 本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，根据题意确定函数解析式是解答本题的关键． 10.在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】A  【解析】【分析】 本题以二次函数和直线模型为背景，考查学生的数学转化思想，把几何问题转化为方程组和不等式组的问题，解出不等式即可得出答案． 数形结合，把图形问题转化为不等式问题是解决本题的关键． 【解答】 解：设直线为：，把，两点代入得，解得：， 直线为：，令，则， 直线与抛物线有两个交点， ，则， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上的取值范围为：． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.二次函数，当时，随的增大而          填“增大”或“减小” 【答案】减小  【解析】解：在平面直角坐标系中画出二次函数的图象如下： 抛物线的对称轴为直线，由图象可以看出： 当时，即在对称轴的左侧，随的增大而减小， 故答案为：减小． 利用二次函数的解析式画出图象，根据图象解答即可． 本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答即可． 12.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第          象限． 【答案】一  【解析】略 13.在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为          ． 【答案】  【解析】略 14.已知函数的图象与轴只有一个交点，则的值是          ． 【答案】或  【解析】略 15.已知抛物线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 16.已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为          ． 【答案】或  【解析】解：， 对称轴为直线， 当时， 当时有最小值， 当时，有最大值是， 的最大值与最小值的差为， ， 解得： 当时， 当时有最大值， 当时，有最小值是， 的最大值与最小值的差为， ， 解得： 17.如图，点在抛物线：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，则点移动的最短路程是          ． 【答案】  【解析】略 18.如图，矩形中，，，为的平分线，为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键． 建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，可求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值． 【解答】 解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ，， 点，点，点， 为的角平分线， ， ， ， 点， 设直线的解析式为， 将点，代入上式，得： 解得： 直线解析式为， 设点， 为的中点， 点， ， ， 当时，的最小值为， 故答案为． 三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知二次函数． 写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； 当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ 当取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值． 【答案】(1)解：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，-8)．  (2)当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．  (3)当x＝3时，y有最小值，最小值是-8．  【解析】 略  略  略 20.本小题分 如图，直线和抛物线相交于点和点． 求点和点的坐标； 直接写出不等式的解集． 【答案】(1)解：由  解得或 ​​​​​​​∴点A(1，0)，点B(3，2)；  (2)解：由（1）得出点A，B的横坐标分别为1，3．  由图可得，当x≤1或x≥3时，  x2-3x+2≥x-1． ​​​​​​​  故其解集为x≤1或x≥3．  【解析】 本题考查一次函数和二次函数的综合． 联立方程组，求出，的值，即可解答．  本题考查一次函数和二次函数的综合． 根据函数图像得出不等式的解集． 21.本小题分 根据条件，分别求出对应的二次函数的解析式． 已知二次函数图象的对称轴为直线，顶点在轴上，并与轴交于点； 已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点； 已知二次函数在时有最小值，且函数图象经过点． 【答案】(1)由题意，可设.将（0，3）代入，得，解得.  (2)由题意，可设.将（1，-14）代入，得，解得.  (3)由题意，可设.将（0，2）代入，得，解得.  【解析】 略  略  略 22.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点． 求该抛物线的解析式； 求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； 设该抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足？并求出此时点的坐标． 【答案】(1)解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，∴方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝-1，x2＝3．∴-1+3＝-b，-1×3＝c．∴b＝-2，c＝-3．∴该抛物线的解析式是y＝x2-2x-3．  (2)∵y＝x2-2x-3＝(x-1)2-4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，-4)．  (3)设点P的纵坐标为|yP|，∵S△PAB＝8，∴．∵AB＝3+1＝4，∴yP＝±4．把yP＝4代入y＝x2-2x-3，得4＝x2-2x-3，解得．把yP＝-4代入y＝x2-2x-3，得-4＝x2-2x-3，解得x1＝x2＝1．∴点P的坐标为或或(1，-4)时，满足S△PAB＝8．  【解析】 略  略  略 23.本小题分 商场将进价为每件元的某商品以每件元的价格售出，平均每月能售出件调查表明：每件商品的售价在元至元范围内，售价每上涨元，其销售量就将减少件，设商场决定每件商品的售价为元 该商场平均每月可售出          件商品用含的代数式表示． 当每件商品的售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 该商场决定每销售一件商品就捐赠元利润给希望工程，通过销售记录发现，当每件商品的售价大于元时，扣除捐款后每天的利润随的增大而减小求的取值范围． 【答案】(1)  (2)设每月销售利润为元.由题意，得.，，当时，有最大值，最大值为16000.当每件商品的售价定为80元时，每月销售利润最大  (3)根据题意，得，对应二次函数图象的对称轴为直线.，当时，随的增大而减小.每件商品的售价大于85元时，扣除捐款后每天的利润随的增大而减小，，解得.又，  【解析】 略  略  略 24.本小题分 已知二次函数，其中为常数． 求证：不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点； 若，是该二次函数图象上的两个点，请判断，的大小关系． 【答案】(1)，在方程中，.方程有两个实数根.不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点  (2)，易得该函数图象的对称轴为直线，且开口向上.易得  【解析】 略  略 25.本小题分 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． 观察函数图象，写出两条函数的性质． 进一步探究函数图象发现： 函数图象与轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； 方程有______个实数根； 关于的方程有个实数根时，的取值范围是______． 【答案】解：； 如图所示， 由函数图象知：函数的图象关于轴对称； 当时，随的增大而减小或当时，随的增大而增大； ；； ； ．  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键． 把代入函数解析式即可得的值； 描点、连线即可得到函数的图象； 根据函数图象得到性质：函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而减小或当时，随的增大而增大； 根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论； 根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论； 根据函数的图象即可得到的取值范围是． 【解答】 解：把代入，得，即， 故答案为： 见答案； 见答案； 由函数图象知：函数图象与轴有个交点， 所以对应的方程有个实数根； 的图象与直线有两个交点， 有个实数根； 由函数图象知：关于的方程有个实数根， 的取值范围是， 故答案为：；；；． 26.本小题分 如图，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．   求抛物线对应的函数解析式． 当时，请在图中过点作于点，交抛物线于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 如图，当点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，当点停止运动时，点也停止运动连接，，求的最小值． 【答案】(1)抛物线过点，，解得，抛物线对应的函数解析式为  (2)补全图形如图①所示四边形是平行四边形  理由：点在直线上，易得，.如图①，连接.易得，，.，.易得.当时，，..易得轴，轴，.四边形是平行四边形.  ​​​​​​​  (3)由题意，得，.如图②，连接，在上方作，使得，，连接.，，..，，，...的最小值为的长.，，即的最小值为   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第二十二章 二次函数单元 过关检测卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知� = (� + 2)�|�| + 2 是关于�的二次函数，那么�的值为( ) A. −2 B. 2 C. ±2 D. 0 2.对于抛物线� =− �2 − 2� + 2，下列结论正确的是( ) A.开口向上 B.对称轴为直线� = 1 C.顶点坐标为( − 1,3) D.当� > 1 时，�随�的增大而增大 3.若� −1, �1 ，� 1, �2 ，� 4, �3 三点都在二次函数� =− � − 2 2 + �的图象上，则�1，�2，�3的大小关系 为( ) A. �1 < �2 < �3 B. �1 < �3 < �2 C. �3 < �1 < �2 D. �3 < �2 < �1 4.在同一平面直角坐标系中，函数� = ��2 + �与� = �� + �(� ≠ 0)的图象可能是( ) A. B. C. D. 5.二次函数� = ��2 + �� + � � ≠ 0 的图象与�轴交于点 1,0 ， 3,0 ，则关于�的方程��2 + �� + � = 0 的解 为( ) A. �1 = 1，�2 = 3 B. �1 = 1，�2 =− 3 C. �1 =− 1，�2 = 3 D. �1 =− 1，�2 =− 3 6.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高��为 14��的奖杯， 杯体轴截面���是抛物线� = 49� 2 + 5 的一部分，则杯口的口径��为( ) A. 7�� B. 8�� C. 9�� D. 10�� 7.如图，已知二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的图象如图所示，有下列 5 个结 论：①��� > 0；②� − � > �；③4� + 2� + � > 0；④3� >− �；⑤� + � > �(�� + �)(� ≠ 1).其中正确结论的有( ) A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤ 8.若函数 y = mx2 + (m + 2)x + 12m+ 1 的图象与�轴只有一个交点，那么�的值 为( ) A. 0 B. 0 或 2 C. 2 或−2 D. 0，2 或−2 9.如图，矩形����中，�� = 5��，�� = 4��，动点�从点�出发以 1��/�的速度 沿折线�� − ��运动到点�停止.连接��，作�� ⊥ ��交��于点�.设点�运动� �时， 第 2页，共 6页 ��长为� ��，则�关于�的函数图象大致为( ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，已知点�( − 2,2)，�(2,1)，若抛物线� = ��2 − 2� + 1(� ≠ 0)与线段��有两个不 同的交点，则�的取值范围是( ) A. − 4932 < � ≤− 3 4或� ≥ 1 B. � ≥− 3 4或� <− 49 32 C. − 34 ≤ � ≤ 1 且� ≠ 0 D. � ≤− 3 4或� ≥ 1 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.二次函数� = (� − 1)2，当� < 1 时，�随�的增大而 . (填“增大”或“减小”) 12.二次函数� = � � + � 2 + �的图象如图所示，则一次函数� = �� + �的图象不经过第 象限． 13.在平面直角坐标系中，若抛物线� = 3�2不动，而把�轴、�轴分别向上、向右平移 1 个单位长度，则在 新坐标系下，抛物线的函数解析式为 ． 14.已知函数� = (� − 1)�2 − 4� + 4 的图象与�轴只有一个交点，则�的值是 ． 15.已知抛物线� = (� − �)2 + 3，当� > 1 时，�随�的增大而增大，则�的取值范围是 ． 16.已知抛物线� = �(� − 1)2 − 2(� ≠ 0)，当−1 ≤ � ≤ 2 时，�的最大值与最小值的差为 3，则�的值为 ． 17.如图，点�(�, 3)在抛物线�：� =− (� − 6)2 + 4 上，且在�的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片， 并在胶片上描画出点�及�的一段，分别记为�′，�′.平移该胶片，使�′所在抛物线对应的函数恰为� =− �2 + 6� − 9，则点�′移动的最短路程是 ． 18.如图，矩形����中，�� = 2，�� = 4，��为∠���的平分线，�为��上一动点，点�为��的中点，连 接��，则��的最小值是 ． 第 3页，共 6页 三、解答题：本题共 8 小题，共 96 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 12 分) 已知二次函数� = 2(� − 3)2 − 8． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当�取何值时，�随�的增大而增大？当�取何值时，�随�的增大而减小？ (3)当�取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值． 20.(本小题 12 分) 如图，直线� = � − 1 和抛物线� = �2 − 3� + 2 相交于点�和点�． (1)求点�和点�的坐标； (2)直接写出不等式�2 − 3� + 2 ≥ � − 1 的解集． 21.(本小题 12 分) 根据条件，分别求出对应的二次函数的解析式． (1)已知二次函数图象的对称轴为直线� =− 2，顶点在�轴上，并与�轴交于点(0,3)； (2)已知二次函数图象的顶点坐标为( − 2, − 5)，且过点(1, − 14)； (3)已知二次函数在� = 32时有最小值− 1 4，且函数图象经过点(0,2)． 第 4页，共 6页 22.(本小题 12 分) 如图，抛物线� = �2 + �� + �与�轴交于�( − 1,0)，�(3,0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； (3)设该抛物线上有一个动点�，当点�在该抛物线上滑动到什么位置时，满足� △ ��� = 8？并求出此时点� 的坐标． 23.(本小题 12 分) 商场将进价为每件 40 元的某商品以每件 50 元的价格售出，平均每月能售出 700 件.调查表明：每件商品的 售价在 50 元至 100 元范围内，售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 件，设商场决定每件商品的售价为 � 50 < � < 100 元. (1)该商场平均每月可售出 件商品(用含�的代数式表示)． (2)当每件商品的售价定为多少元时，每月销售利润最大？ (3)该商场决定每销售一件商品就捐赠� � ≥ 1 元利润给希望工程，通过销售记录发现，当每件商品的售价 大于 85 元时，扣除捐款后每天的利润随�的增大而减小.求�的取值范围． 第 5页，共 6页 24.(本小题 12 分) 已知二次函数� = � − � � + � + 4 ，其中�为常数． (1)求证：不论�为何值，该二次函数的图象与�轴总有公共点； (2)若� −1, � ，� 1, � 是该二次函数图象上的两个点，请判断�，�的大小关系． 25.(本小题 12 分) 某班“数学兴趣小组”对函数� = �2 − 2|�|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量�的取值范围是全体实数，�与�的几组对应值列表如下： � … −3 − 5 2 −2 −1 0 1 2 5 2 3 … � … 3 5 4 � −1 0 −1 0 5 4 3 … 其中，� =______． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象 的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与�轴有______个交点，所以对应的方程�2 − 2|�| = 0 有______个实数根； ②方程�2 − 2|�| = 2 有______个实数根； ③关于�的方程�2 − 2|�| = �有 4 个实数根时，�的取值范围是______． 第 6页，共 6页 26.(本小题 12 分) 如图①，抛物线� =− �2 + ��与�轴交于点�，与直线� =− �交于点� 4, − 4 ，点� 0, − 4 在�轴上.点�从点� 出发，沿线段��方向匀速运动，运动到点�时停止． (1)求抛物线� =− �2 + ��对应的函数解析式． (2)当�� = 2 2时，请在图①中过点�作�� ⊥ ��于点�，交抛物线于点�，连接��，��.请判断四边形���� 的形状，并说明理由． (3)如图②，当点�从点�开始运动时，点�从点�同时出发，以与点�相同的速度沿�轴正方向匀速运动，当 点�停止运动时，点�也停止运动.连接��，��，求�� + ��的最小值．