第5章 平面向量与复数-（Word练习）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

第一节　平面向量的概念及线性运算 课标要求 三年考情 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示． 2．掌握平面向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 3．掌握平面向量的数乘运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义． 4．了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T3 全国Ⅱ卷 重点提示：平面向量几何意义、相等(反)向量、向量加法、减法、数乘运算 回|归|教|材 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________． (2)零向量：长度为________的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于________的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或______的非零向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有________． (5)相等向量：长度相等且方向________的向量． (6)相反向量：长度相等且方向________的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝________； 结合律：(a＋b)＋c＝________ 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝______，当λ>0时，λa的方向与a的方向______； 当λ<0时，λa的方向与a的方向________； 当λ＝0时，λa＝________ λ(μa)＝________________________________________________________________________； (λ＋μ)a＝________________________________________________________________________； λ(a＋b)＝________________________________________________________________________ 微提醒 向量加法的多边形法则：多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从起点指向终点的向量. 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________． 微提醒 只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性. 【常用结论】 1．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 2．若G为△ABC的重心，则有＋＋＝0；＝(＋)． 3．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 基|础|自|测 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量就是有向线段．(　　) (2)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关．(　　) (3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)当两个向量a，b共线时，一定有b＝λa成立．(　　) 2．(人A必二P10T4改编)(多选题)下列各式化简结果正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＋＝ C．＋－＝0 D．－－＝ 3．(人A必二P14例6改编)在平行四边形ABCD中，BC的中点为M，且＝a，＝b，用a，b表示＝________. 4．(人A必二P16T3改编)已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________. 考点一 平面向量的概念 【例1】　(1)下列结论正确的是(　　) A．温度含零上和零下，所以温度是向量 B．向量的模是一个正实数 C．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．若|a|>|b|，则a>b (2) 如图，在⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 [规律方法]　平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与a同方向的单位向量． 【训练1】　(1)下列命题中，正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝0，则a＝0 C．若a＝b，则a∥b D．若a∥b，b∥c，则 a∥c (2)(多选题)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是(　　) A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．＝ 考点二 平面向量的线性运算 角度1　向量加、减法的几何意义 【例2】　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋＝(　　) A． B．2 C．3 D．4 (2)已知||＝6，||＝3，则||的取值范围是(　　) A．[3,6] B．(3,6) C．[3,9] D．(3,9) [规律方法]　向量模长与向量运算的注意点 当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|恒成立，其他情况下，根据三角形三边关系有|a＋b|≤|a|＋|b|，同理向量减法的不等式为||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 角度2　向量的线性运算 【例3】　(1)(2025·太原模拟)在矩形ABCD中，E为AB边的中点，线段AC和DE交于点F，则＝(　　) A．－＋ B．－ C．－ D．－＋ (2)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n [规律方法]　平面向量的线性运算问题的求解策略 角度3　利用向量的线性运算求参数 【例4】　(1)在△ABC中，D为AC的中点，连接BD，若＝2，＝x＋y，则x＋y的值为(　　) A． 　　 B． 　　 C． 　　 D．1 (2)在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________． [规律方法]　利用向量的线性运算求参数的策略 一般是构造三角形或者平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值. 【对点练】 1. (角度2)如图，在△ABC中，＝4，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 2. (角度3)如图，四边形ABCD为平行四边形，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．1 　　B． 　　C． 　　 D． 3．(角度1)若向量a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是________．(用弧度表示) 考点三 共线向量定理及其应用 【例5】　(1)(2025·长沙质检)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c与d共线，则实数x的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ (2) 如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋，则实数m的值是________． [规律方法]　利用共线向量定理解题的策略 1．a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． 2．若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 3．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 【训练2】　(1)a，b是不共线的两个向量，但a＋kb与(k＋1)a＋12b是共线向量，则k＝________. (2)(2025·枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C．若＝x＋y，则x－y的值为(　　) A．－1 　　B．0 　　 C．1 　　D．2 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 三年考情 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 4．能用坐标表示平面向量共线的条件. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T3 全国Ⅱ卷 T4 T13 T3 重点提示：平面向量基本定理、平面向量坐标运算 回|归|教|材 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a，________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内________向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________，a－b＝____________，λa＝________________，|a|＝__________________. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________，||＝__________________. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔________. 【常用结论】 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．向量共线的充要条件的两种形式 ①a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)； ②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． 3．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 4．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 基|础|自|测 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在△ABC中，{，}可以作为基底．(　　) (2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　) 2．下列向量组中，能作为它们所在平面内所有向量的一个基底{a，b}的是(　　) A．a＝(1,2)，b＝(0,0) B．a＝(1，－2)，b＝(3,5) C．a＝(3,2)，b＝(9,6) D．a＝，b＝(3，－2) 3．(人A必二P31例7改编)若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m＝(　　) A．－ 　　B． 　　C．－ 　　 D． 4．(人A必二P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________． 考点一 平面向量基本定理 【例1】　(1)设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．4e1＋2e2和2e2－4e1 C．2e1＋e2和e1＋e2 D．e1－2e2和4e2＋2e1 (2)(2025·湖北武汉模拟)在正六边形ABCDEF中，用和表示，则＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－＋ [规律方法]　平面向量基本定理解决问题的思路 (1)选择一个基底； (2)运用该基底将条件和结论表示成向量的形式； (3)通过向量的运算来解决问题. 【训练1】　(1)(2024·山东滨州二模)在△ABC中，点G为△ABC的重心，点M为AC上一点，且满足＝3，则(　　) A．＝＋ B．＝－－ C．＝－＋ D．＝－ (2) 如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且＝m(m∈R)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且λ＋2μ＝0，则m＝________. 考点二 平面向量的坐标运算 【例2】　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　) A． B． C． D． (2)设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为________． [规律方法]　利用向量的坐标运算解题的方法 (1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则． (2)根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解. 【训练2】　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 考点三 向量共线定理的坐标表示 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 【例3】　(1)已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A． B．(7,2) C．或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2) (2)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________． [规律方法]　利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ 的方程(组)，求出λ 的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值. 角度2　利用向量共线求参数 【例4】　(1)已知向量a＝(m,2)与b＝(－2，－4)共线，则2a－b＝(　　) A．(10,8) B．(4,8) C．(0,0) D．(1,2) (2)(2025·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ [规律方法]　利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题. 【对点练】 1．(角度2)已知O为坐标原点，点A(1，－2)，B(－1，3)，若向量－k与向量a＝(2,3)共线，则实数k的值为(　　) A． 　　B．－ 　　C． 　　D．－ 2．(角度1)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________． 第三节　平面向量数量积及其应用 课标要求 三年考情 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与投影向量的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角． 5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 6．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T3 T3 全国Ⅱ卷 T4 T13 T3 重点提示：平面向量数量积的概念、运算 回|归|教|材 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． (2)范围：向量夹角θ的范围是________． 微提醒 当a与b同向时，θ＝0；a与b反向时，θ＝π；a与b垂直时，θ＝. 2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________. 规定：零向量与任一向量的数量积为_____________． (2)投影向量 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则________就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝________. (3)运算律 ①a·b＝b·a.(交换律) ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(结合律) ③(a＋b)·c＝________.(分配律) 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 【常用结论】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线． (2)向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线． 基|础|自|测 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　　) (2)向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量．(　　) (3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) 2．(人A必二P60T8改编)已知向量m＝(2x,1)与向量n＝垂直，则x＝(　　) A． B．－ C． D．－ 3．(苏教必二P24T3改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ等于(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 4．(人B必三P79T5改编)已知|a|＝3，|b|＝5，且〈a，b〉＝45°，则a在b上的投影向量的模为________． 考点一 平面向量的数量积运算 【例1】　(1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． 　　B．3 　　C．2 　　D．5 (2)在△ABC中，B＝，AB＝BC＝1，则·＝(　　) A．1 　　B． 　　C． 　　 D．2 [规律方法]　计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积. 【训练1】　(2024·八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝________. 考点二 平面向量数量积运算的应用 角度1　向量的模　 教考衔接⑩ 教材题 [题源]　(人A必二P60T9)已知向量a与b的夹角为30°，|a|＝，|b|＝2，求|a＋b|，|a－b|的值． 高考题 (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A．　 　B．　 　C．　 　D．1 [规律方法]　求平面向量模的两种方法 (1)公式法：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝； ②|a±b|＝＝； ③若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 角度2　向量夹角 【例2】　(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ 　　 B．－ 　　 C． 　　 D． [规律方法]　求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：利用向量数量积的定义得，cos〈a，b〉＝，其中两向量的夹角〈a，b〉的取值范围为[0，π]． (2)坐标法：若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝. 角度3　向量的垂直 【例3】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 　　 B．－1 　　 C．1　　 D．2 (2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝________. [规律方法]　证明向量垂直的方法 (1)当向量a与b是坐标形式，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，若要证明a⊥b，则只需证明a·b＝0，即证明x1x2＋y1y2＝0. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且要知道不共线的向量的模与夹角，进行运算证明a·b＝0. (3)有时也可以借助于向量的几何意义，运用几何关系判断垂直. 角度4　向量的投影 【例4】　(1)已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为(　　) A．b 　　 B．b 　　C．a 　　 D．a (2) 如图，△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·＝(　　) A．0 　　 B．4 　　 C．8 　　 D．－4 [规律方法]　向量数量积的几何定义 设|a|cos θ为向量a在向量b上的投影，a·b＝|a||b|cos θ可变形为a·b＝|a|(|b|cos θ)＝|b|(|a|cos θ)，则a与b的数量积等于其中一个向量的模长乘另一个向量在该向量上的投影。 【对点练】 1．(角度1)设a，b为单位向量，且|a－b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A．3　　 B． 　　C．7 　　D． 2．(角度2)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|，(2a＋3b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A．　　 B． 　　 C． 　　D． 3．(角度3)(多选题)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝1，则|a－b|＝ B．若a⊥b，则m＝2 C．“m<－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件 D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为 4．(角度4)已知△ABC的外接圆的圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　) A．－ B． C．－ D． 【微点拓展】 极化恒等式 [证明过程]：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. ||2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，||2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2， 两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，此即极化恒等式． [几何意义]：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. [微提醒]：当问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，取BC的中点D，然后使用极化恒等式＋＝2，·＝|AD|2－|DB|2解决问题． 【典例】　(1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________. (2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2　　B．－　　C．－　　D．－1 【微练】　(1)如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·值为________． (2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是________. 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 2．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 4．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 第四节　平面向量的综合应用 课标要求 三年考情 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 2．会用向量的方法解决简单的力学问题与其他实际问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 重点提示：平面向量在平面几何、物理中的应用 回|归|教|材 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mν是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ是F与s的夹角)． 基|础|自|测 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)，不共线，且＝t，t∈R，则＝t＋(1－t).(　　) (2)向量a与b夹角为θ，a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(　　) (3)已知一个物体在三个力F1＝(1,2)，F2＝(－1，－3)，F3的作用下，处于静止状态，则F3＝(0，－1)．(　　) (4)一物体在力F的作用下，由点A(15,6)移动到点B(4,1)，若F＝(1，－6)，则F对物体所做的功为19.(　　) 2．若a，b是非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，是非零向量且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为(　　) A．等腰(非直角)三角形 B．等边三角形 C．直角(非等腰)三角形 D．等腰直角三角形 4．(人A必二P52T1)若非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 考点一 平面向量在平面几何中的应用 【例1】　(1) 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝4，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ (2)在四边形ABCD中，＝＝(3，)，且满足＋＝，则||＝(　　) A．2 B．6 C． D．2 [规律方法]　用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 【训练1】　(2025·厦门模拟)已知O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝6，＝＋，则△ABC的面积为(　　) A．12 　　B．12　　 C．6 　　 D．6 考点二 平面向量在物理中的应用 【例2】　(多选题)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，下列结论中正确的是(　　) A．θ越小越省力，θ越大越费力 B．|F1|的最小值为|G| C．当θ＝时，|F1|＝|G| D．当θ＝时，|F1|＝|G| [规律方法]　平面向量在运动学、力学等方面的应用要首先把问题向量化，建立基底或平面坐标系，把相关向量表示出来，运用平面向量的线性运算或数量积运算解决. 【训练2】　(多选题)长江某处的南北两岸平行，江面宽度为2 km，一艘船从江南岸边的A处出发到江北岸．已知如图，船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流方向自西向东，且速度v2的大小为|v2|＝6 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π)，北岸的点A′在A的正北方向，则(　　) A．当船的航行距离最短时，cos θ＝－ B．当船的航行时间最短时，θ＝ C．当θ＝时，船航行到达北岸的位置在A′的左侧 D．当θ＝时，船的航行距离为km. 考点三 平面向量的最值问题 【例3】　(1)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点．若|PO|＝，则·的最大值为(　　) A． B． C．1＋ D．2＋ (2)在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为线段BE上任一点(不含端点)，若＝x＋y，则＋的最小值是(　　) A．8 B．10 C．13 D．16 [规律方法]　求向量模的最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)． (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值(范围). 【训练3】　已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) 微突破八 平面向量与三角形的“四心” 三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心和垂心，当且仅当三角形是正三角形时，这四心合为一心，称为正三角形的中心．在高考中常将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查，这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上理解向量的几何意义． 　　　 　　　 目标一 三角形的重心 【例1】　点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则直线OP经过△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 [规律方法]　重心的相关概念 (1)重心——三角形的三条中线的交点． (2)重心的向量表示：如图，若G为△ABC内部一点，则＋＋＝0⇔G为△ABC的重心． 目标二 三角形的外心 【例2】　已知点O是△ABC的外心，AC＝3，AB＝4，A＝，若＝m＋n，则12m－9n＝(　　) A．－4　　 B．－1 　　C．1 　　 D．7 [规律方法]　外心的相关概念 (1)外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． (2)外心的向量表示：如图，若O为△ABC所在平面内一点，则(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0⇔O为△ABC的外心． 目标三 三角形的内心 【例3】　(2025·四川南充模拟)已知点P在△ABC所在平面内，若·＝·＝0，则点P是△ABC的(　　) A．外心　　 B．垂心 　　C．重心 　　D．内心 [规律方法]　内心的相关概念 (1)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； (2)内心的向量表示：如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为△ABC所在平面内一点，则a＋b＋c＝0⇔I为△ABC的内心． 目标四 三角形的垂心 【例4】　已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 [规律方法]　垂心的相关概念 (1)垂心——三角形的三条高线的交点； (2)垂心的向量表示：如图，H为△ABC所在平面上一点，则·＝·＝·⇔H为△ABC的垂心． 增|分|训|练 1．(2025·哈尔滨模拟)已知点M在△ABC所在平面内，在△ABC中，2－2＝2·(－)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 2．在△ABC中，AB＝4，AC＝6，点D，E分别在线段AB，AC上，且D为AB的中点，＝，若＝＋，则直线AP经过△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 4．若H是△ABC的垂心，且2＋2＋3＝0，则tan C的值为________． 第五节　复数 课标要求 三年考情 1.通过方程的解，认识复数． 2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T2 T2 T2 全国Ⅱ卷 T2 T1 T1 重点提示：复数的概念、复数的四则运算 回|归|教|材 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是________，虚部是________． (2)复数的分类． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，分类如下： (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________； ④除法：＝＝＝________(c＋di≠0)． (2)复数的运算律． 对任意z1，z2，z3∈C， ①复数的加法满足交换律、结合律，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________. ②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，有z1z2＝________，(z1z2)z3＝________，z1(z2＋z3)＝________. 【常用结论】 1．i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 3．复数的模与共轭复数的关系z·＝|z|2＝||2. 基|础|自|测 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)已知i为虚数单位，i＋i3＋i5＋i7是纯虚数．(　　) (2)复数可以比较大小．(　　) (3)z(1＋i)＝2，则z是方程x2－x＋1＝0的一个复数根．(　　) (4)若z∈C，则|z2|＝|z|2.(　　) 2．已知复数z满足(2－3i)z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(人A必二P95T7改编)复数z＝，则z的虚部为(　　) A．i 　　B． 　　C．－ 　　 D．－i 4．(人A必二P73习题T2改编)若m2－3m＋2＋(m2－1)i(m∈R)为纯虚数，则m＝________. 考点一 复数的概念 【例1】　(1)(多选题)下面是关于复数z＝－1－i(i为虚数单位)的命题，其中真命题为(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 (2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当z为纯虚数时，m的取值是________． [规律方法]　解决复数概念问题的两个注意事项 【训练1】　(1)已知复数z＝2－i，且－az＋b＝i，其中a，b为实数，则a－b＝(　　) A．－2 　　 B．0　　 C．2 　　D．3 (2)(2023·全国乙卷)|2＋i2＋2i3|＝(　　) A．1 　　B．2 　　 C． 　　 D．5 考点二 复数的运算 【例2】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i (2)(2023·全国甲卷)＝(　　) A．－1 　　B．1　　 C．1－i 　　D．1＋i [规律方法]　复数代数形式运算的策略 【训练2】　(1)(2025·八省联考)|2－4i|＝(　　) A．2 B．4 C．2 D．6 (2)(2025·宁波调研)已知i为虚数单位，则＝________. 考点三 复数的几何意义 【例3】　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2025·广州模拟)复数z＝(a＋2)－(a＋3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－3，－2) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－3) [规律方法]　(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔＝(a，b)． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 【训练3】　(1)已知复数z＝，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的一个整数值为________． (2)若复数z满足1≤|z|≤，则复数z对应的点所构成的图形面积为________． 1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 4．(2022·新课标Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 5．(2022·新课标Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 学科网（北京）股份有限公司 $$