第二章 机械振动 第四节 用单摆测量重力加速度(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册（粤教版）

第四节　用单摆测量重力加速度 一、本版教材实验理清楚 　　◉实验目的 1.用单摆测量重力加速度。 2.会使用秒表测量时间。 3.能分析实验误差的来源,并能采用适当方法减小测量误差。 　　◉实验器材 长约1 m的细丝线、球心开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、长约1 m的毫米刻度尺、秒表、游标卡尺等。 　　◉实验原理与设计 　　单摆做简谐运动时,由周期公式T=2π,可得g=。因此,测出单摆摆长和振动周期,便可计算出当地的重力加速度。 用秒表测量30~50次全振动的时间,计算平均做一次全振动的时间,得到的便是振动周期。 　　◉实验步骤 1.取长约1 m的细丝线,细丝线的一端连接小球,另一端用铁夹固定在铁架台上,让摆球自由下垂,如图所示。 2.用米尺测摆线长度L0,用游标卡尺测小球的直径d。测量多次,取平均值,计算摆长L=L0+。 3.将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放,使其在竖直面内振动。待振动稳定后,从小球经过平衡位置时开始用秒表计时,测量N次全振动的时间t,则周期T=。如此重复多次,取平均值。 4.改变摆长,重复实验多次。 　　◉数据处理 1.平均值法:每改变一次摆长,将相应的L和T代入公式g=中求出g值,最后求出g的平均值。 实验 次数 摆长 L/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2) 1 g= 2 3 2.图像法:由T=2π得T2=L,作出T2-L图像,即以T2为纵轴,以L为横轴。其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g=。 　　 ◉误差分析 　 系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定,摆球是否可看作质点,球、线是否符合要求,摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题,就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度。 偶然误差 主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此,要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时,并采用倒计时计数的方法,即4,3,2,1,0,1,2,…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差,应进行多次测量后取平均值。 ◉注意事项 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸缩的线,长度一般在1 m左右,摆球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超过2 cm。 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上,应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度不超过5°,可通过估算振幅的办法掌握。 4.摆球振动时,要使之保持在同一个竖直平面内,不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的振动次数时,应从摆球通过最低位置时开始计时,为便于计时,可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数,且在数“零”的同时按下秒表,开始计时、计数。 二、他版教材实验多融通 (一)鲁科版教材实验方案 　 　　[差异解读] 1.实验原理与实验方案与粤教版实验方案相同。 2.用刻度尺测量线长,不同于粤教版用米尺测量。 (二)人教版教材实验方案 　 　　[差异解读] 1.没有在平衡位置处做记号。 2.用停表测量周期,不同于粤教版的秒表。 3.用刻度尺测量线长,不同于粤教版用米尺测量。 命题视角(一) 实验原理与操作 　　[典例]　在“用单摆测量重力加速度”的实验中: (1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆,你认为他应选用　　　　图所示的单摆来做实验。  (2)实验过程中小博同学分别用了图(a)、(b)所示的两种不同方式悬挂小球,你认为　　　　[选填“(a)”或“(b)”]悬挂方式较好。  (3)某同学用停表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示,则单摆的周期为　　　　s。  (4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T=T0,式中T0为摆角趋近于0°时的周期,a为常数。为了用图像法验证该关系式,需要测量的物理量有　　　　;某同学在实验中得到了如图所示的图线,则图线的斜率表示　　　　。  [解析]　(1)单摆在摆动过程中,空气等对它的阻力要尽量小,甚至忽略不计,所以摆球选铁球;摆线要尽可能细一些,摆长不能过短,一般取1 m左右的细线,选乙。 (2)如果选(a)所示悬挂方式,摆动过程中,摆长在不断变化,无法准确测量,故选(b)悬挂方式较好。 (3)由图可知,单摆完成40次全振动的时间t=60 s+15.6 s=75.6 s,所以单摆的周期为T= s=1.89 s。 (4)根据T=T0可知,需要测量的物理量有T(或t、n)、θ。由T=T0,可得sin2=T-,所以图示图线的斜率为。 [答案]　(1)乙　(2)(b)　(3)1.89　(4)T、θ　 命题视角(二) 数据处理和误差分析 　　[典例]　(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有:铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题: (1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置,使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),由静止释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至　　　　(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。  (2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为　　　　　m/s2(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)。  (3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图2所示。 l(m) t(s) T2(s2) 0.800 54.17 3.26 0.900 57.54 3.68 1.000 60.60 4.08 1.100 63.55 4.49 1.200 66.34 4.89 设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g=　　　　　　(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为　　　　　　m/s2(结果保留3位有效数字)。  (4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是______________________________ ________________________________________。  　　[解析]　(1)摆球经过最低点时速度最大,在相等的距离误差上引起的时间误差最小,测得周期的误差最小,所以为了减小计时误差,应该在摆球摆至最低点时开始计时。 (2)根据题意可知摆球摆动的周期T==2.02 s,根据单摆周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入数据解得g≈9.68 m/s2。 (3)根据单摆周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l-T2图线的斜率k=,则重力加速度可表示为g=4π2k;由题图2求得当地的重力加速度大小为g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。 (4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,其原因是用图像法处理数据时,无论是否考虑摆球的半径,l-T2图像的斜率均为,对重力加速度g的测量没有影响。 [答案](1)最低点　(2)9.68　(3)4π2k　9.69　(4)见解析 [微点拨] 　　(1)重力加速度g与摆球质量无关。 (2)忽略摆球的大小,用悬线长作为摆长,会产生误差。摆长偏小则重力加速度测量值偏小。 (3)l-T2图像的斜率不是重力加速度的值,但和重力加速度有关。 命题视角(三) 创新考查角度和创新思维 1.[实验器材的创新]某小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后,为进一步探究,将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知,这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T=2π ,式中Ic为由该摆决定的常量,m为摆的质量,g为重力加速度,r为转轴到重心C的距离。如图甲所示,实验时在杆上不同位置打上多个小孔,将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上,使杆做简谐运动,测量并记录r和相应的运动周期T;然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验,实验数据见表,并测得摆的质量m=0.50 kg。 r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64 (1)由实验数据得出如图乙所示的拟合直线,图中纵轴表示　　　　。  (2)Ic的国际单位为　　　　,由拟合直线得到Ic的值为　　　　(保留到小数点后两位)。  (3)若摆的质量测量值偏大,重力加速度g的测量值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。  解析:(1)由T=2π, 可得T2r=+r2, 所以图中纵轴表示T2r。 (2)Ic单位与mr2单位一致,因为mr2的国际单位为kg·m2,所以Ic的国际单位为kg·m2;结合T2r=+r2和题图中的截距和斜率,解得Ic的值约为0.17。 (3)重力加速度g的测量值是通过求T2r-r2图线的斜率得到的,与质量无关,所以若摆的质量测量值偏大,重力加速度g的测量值不变。 答案:(1)T2r　(2)kg·m2　0.17　(3)不变 2.[数据处理的创新]如图甲所示,某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验。 (1)若用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出周期的表达式T=　　　　。  (2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系,由图乙可知,该单摆的周期T=　　　　 s。  (3)在多次改变摆线长度测量后,根据实验数据,利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T2-L)图线,并根据图线拟合得到方程T2=kL+b,由此可知当地的重力加速度g=　　　　,摆球半径r=　　　　(用k、b、π表示)。  解析:(1)单摆完成n次全振动所用的时间为t,则周期的表达式T=。 (2)单摆摆动过程中,每次经过最低点时拉力最大,每次经过最高点时拉力最小,拉力变化的周期为1.0 s,故单摆的周期为2.0 s。 (3)根据T=2π 得:T2=L',知图线的斜率:k=,因此g=;而L'=L+r,图线拟合得到方程T2=kL+b,因此摆球半径r=。 答案:(1)　(2)2.0　(3)　 1.某同学在实验室利用单摆测量当地的重力加速度。 (1)他在组装单摆时,应选择　　　　。  (2)在摆球自然悬垂的状态下,用毫米刻度尺量取从悬点到摆球最顶端的长度l;用游标卡尺测量摆球的直径d,示数如图,则d=　　　　mm。  (3)该同学测出不同摆长L和对应的周期T,并在坐标纸上作出T2-L图线,由图线可精确求出重力加速度g为　　　　m/s2(已知π2≈9.86,结果保留3位有效数字)。  (4)另一同学由单摆周期公式直接求得的g值偏小,则可能是　　　　。  A.测量悬线长度作为摆长,没有加上摆球的半径 B.把N次全振动误计为(N+1)次全振动 C.摆线上端未固定牢,摆动过程中出现松动,使摆线变长 解析:(1)由于摆线越长测量误差越小,所以摆线应适当长些;为减小空气阻力对实验的影响,应选择质量大而体积小的小钢球。故选D。 (2)由题图读出摆球的直径d=18 mm+7×0.1 mm=18.7 mm。 (3)根据T=2π得T2=L,图线的斜率k= s2/m=,解得重力加速度g≈9.76 m/s2。 (4)根据T=2π得g=。测量悬线长度作为摆长,没有加上摆球的半径,L偏小,则所得g值偏小,故A正确;把N次全振动误计为(N+1)次全振动,则测得的周期偏小,则所得g值偏大,故B错误;摆线上端未固定牢,摆动过程中出现松动,使摆线变长,摆长测量值偏小,则所得g值偏小,故C正确。 答案:(1)D　(2)18.7　(3)9.76　(4)AC 2.(2024·广西高考)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。 (1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变;  (2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为　　　　cm;  (3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 　。  解析:(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。 (2)摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。 (3)根据单摆的周期公式T=2π,可得单摆的摆长为L= 从平衡位置拉开5°的角度释放,可得振幅为A=Lsin 5° 以该位置为计时起点,根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x=Acos ωt=cos。 答案:(1)摆长　(2)1.06　(3)x=cos 3.如图甲所示为采用光电门和示波器进行单摆实验来测量当地的重力加速度的装置示意图,两根长度相等的轻细线一端连接小球,另一端固定在铁架台的水平横杆上。用游标卡尺测量小球直径,测量结果如图乙所示。在小球摆动的最低点处装有光电门,并和示波器相连,当小球通过光电门时,示波器上将显示被挡光的电压脉冲图像。把摆球从平衡位置拉开一个小角度(小于5°)由静止释放,使其在竖直平面内摆动,示波器上显示的电压脉冲图像如图丙所示。 (1)本实验中单摆的有效摆长用L表示,周期用T表示,则重力加速度的表达式为g=　　　　。  (2)图乙中用游标卡尺测得的小球直径为　　　　cm。  (3)若实验中测得轻细线的长度为84.10 cm,横杆上两固定点之间的距离为8.20 cm,则此单摆的有效摆长为　　　　cm。  (4)由图丙可知该单摆的周期为　　　　s。  解析:(1)由T=2π可得g=。 (2)由题图乙读得小球直径为2.000 cm。 (3)此单摆的有效摆长为cm+cm=85.00 cm。 (4)单摆完成一次全振动需要的时间等于周期,一个周期内单摆两次经过平衡位置,结合题图丙可知该单摆的周期为1.85 s。 答案:(1)　(2)2.000　(3)85.00　(4)1.85(1.84~1.86都正确) 4.一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先,调节螺旋测微器,拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时,发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐,如图(a)所示,该示数为　　　 　mm;螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示,该示数为　　　　　mm,则摆球的直径为　　　　 　mm。  (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示,其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处,摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方,则摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角　　　　 　5°(填“大于”或“小于”)。  (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为　　　　 　cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s,则此单摆周期为　　　　 　s,该小组测得的重力加速度大小为　　　　 　m/s2。(结果均保留3位有效数字,π2取9.870)  解析:(1)测量前测微螺杆和测砧相触时,题图(a)的示数为d0=0.8×0.01 mm=0.008 mm 螺旋测微器读数是固定刻度读数加可动刻度读数,题图(b)中读数为d1=20.0 mm+3.5×0.01 mm=20.035 mm 则摆球的直径为d=d1-d0=20.027 mm。 (2)角度盘的大小一定,即在规定的位置安装角度盘,测量的摆角准确,但将角度盘固定在规定位置上方,即角度盘到悬挂点的距离变短,同样的角度,摆线在角度盘上扫过的弧长变短,故摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角大于5°。 (3)单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为l=l0+=81.50 cm+cm≈82.5 cm 一次全振动单摆经过最低点两次,故此单摆的周期为T==s=1.82 s 由单摆的周期表达式T=2π,可得重力加速度 g=≈9.83 m/s2。 答案:(1)0.008(0.007~0.009均可)　20.035(20.034~20.036均可)　20.027(20.025~20.029均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83 45 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $$