1.5等腰三角形（基础提升练习）（暑期自学课）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.5等腰三角形 （基础提升练习）（暑期自学课） 【题型一】利用等腰三角形的性质求长度 【例1】已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5 【例2】等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【例3】如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例4】一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．8.5cm C．10cm D．7cm或8.5cm 【例5】一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【例6】已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长． 【题型二】利用等腰三角形的性质求角度 【例1】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【例2】等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【例3】如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，，，，则的度数为 ；    【例5】如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【例6】如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． (1)求证：； (2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； (3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【题型三】等腰三角形的三线合一 【例1】△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3】如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【例5】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，．若，求的长． 【例6】如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证：    (1)平分：（2）是的垂直平分线． 证明：（1）平分 ① ∵   （② ） 在和中 （④ ） （⑤ ） 平分 (2)平分 ⑥    ⑦  ⑧ （三线合一） 是的垂直平分线 【题型四】等腰三角形的判定 【例1】如图，AB∥CD，AC平分∠BCD，求证：△ABC是等腰三角形． 【例2】如右图，在和中，与相交于点O．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【例4】已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E． (1)找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明； (2)如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？ 【例5】如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E． （1）求证：△BOD为等腰三角形； （2）若BD＝6，DE＝11，求EC的长． 【例6】在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)求证：； (2)连接，，如图所示，求证：； (3)延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系． 答案解析 【题型一】利用等腰三角形的性质求长度 【例1】已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5 【答案】A 【例2】等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．11cm C．16cm或9cm D．10cm或11cm 【答案】D 【例3】如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【例4】一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．7cm B．8.5cm C．10cm D．7cm或8.5cm 【答案】D 【例5】一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 【例6】已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长． 【答案】， ， ， 当这个等腰三角形的腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、3、5， ， 能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：； 当这个等腰三角形的腰长为5时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、5、5， ， 能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：； 综上，这个等腰三角形的周长为：11或13． 【题型二】利用等腰三角形的性质求角度 【例1】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 【答案】C 【例2】等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 【答案】C 【例3】如图，，，若，则的度数为（   ） B． B． C． D． 【答案】C 【例4】如图，在中，，，，则的度数为 ；    【答案】 【例5】如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【答案】， ， ， ， 是的外角， ， ． 【例6】如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． (1)求证：； (2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； (3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）证明：由图可知：， ， ； （2）解：时，理由如下： ， 为等腰三角形，， 又， 在与中： ， ， 此时； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， ， ③， ， 与点D为边上一动点产生矛盾， 故此类型不存在； 综上所述，的度数为或． 【题型三】等腰三角形的三线合一 【例1】△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【例2】如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） B． B． C． D． 【答案】A 【例3】如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） B． B． C． D． 【答案】D 【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【例5】如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，．若，求的长． 【答案】∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例6】如图，已知平分，，，垂足分别为，．求证：    (1)平分：（2）是的垂直平分线． 证明：（1）平分 ① ∵   （② ） 在和中 （④ ） （⑤ ） 平分 (2)平分 ⑥    ⑦  ⑧ （三线合一） 是的垂直平分线 【答案】（1）证明：（1）平分 ①， ∵   （②垂线的定义） 在和中 （④） （⑤全等三角形对应角相等） 平分 （2）平分，， ⑥ ， ⑦ ⑧（三线合一） 是的垂直平分线 【题型四】等腰三角形的判定 【例1】如图，AB∥CD，AC平分∠BCD，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠ACD， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴CB＝BA， ∴△ABC是等腰三角形． 【例2】如右图，在和中，与相交于点O．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】（1）在和中，， ． （2）由（1）可知，， ， ， 是等腰三角形． 【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝36°， ∴∠AEB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠DAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠AED＝∠CEB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠AED， ∴AD＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 【例4】已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E． (1)找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明； (2)如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？ 【答案】（1）解：∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DB＝DF，EF＝EC， ∴△BDF和△CEF是等腰三角形； （2）∵DB＝DF，EF＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE ＝AD+DF+EF+AE ＝AD+BD+EC+AE ＝AB+AC ＝3+2 ＝5， △ADE的周长是5． 【例5】如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E． （1）求证：△BOD为等腰三角形； （2）若BD＝6，DE＝11，求EC的长． 【答案】（1）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB＝∠OBC， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝DO， 即△BOD为等腰三角形； （2）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∴DE＝BD+CE， ∵BD＝6，DE＝11， ∴CE＝11﹣6＝5． 【例6】在中，，．将一个含角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示． (1)求证：； (2)连接，，如图所示，求证：； (3)延长交于点P，交于点Q．猜想并证明和的位置关系． 【答案】（1）证明：在中，∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，且， ∴， 又∵是直角三角尺， ∴，即， ∴ 在和中 ∴； （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； （3）解：猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$