核心微练87-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(八十七)　二项分布与超几何分布 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若随机变量X~B,则P(X=3)=(B) A. B. C. D. 解析　随机变量X~B,则P(X=3)==.故选B. 2.某党支部有10名党员,7男3女,从中选取2人做汇报演出,若X表示选中的女党员人数,则P(X<2)=(C) A. B. C. D.1 解析　由题意知,X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,故P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=.故选C. 3.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X=0)=,则D(Y)=(D) A. B. C. D. 解析　因为随机变量X~B(2,p),所以P(X=0)=(1-p)2=,解得p=或p=(舍去),所以Y~B,D(Y)=4××=. 4.已知随机变量X~B(n,0.5),当且仅当k=4时,P(X=k)取得最大值,则n=(B) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　由题得P(X=k)=,k=0,1,…,n,由题知在,,…,中,最大值只有,即在,,…,中,最大值只有,由二项式系数的对称性可知n=8.故选B. 5.(2024·邢台二模)已知在的二项展开式中,第6项为常数项,若在展开式中任取3项,其中有理项的个数为ξ,则E(ξ)=(C) A. B. C. D. 解析　的二项展开式为Tr+1=()n-r·=(r=0,1,2,…,n),由题意知=0,解得n=10,若要取到有理项,则需要10-2r能被3整除,则r=2,5,8,即在的二项展开式中,有理项有3项,无理项有8项,若在展开式中任取3项,其中有理项的个数为ξ,可知ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×==.故选C. 二、多项选择题 6.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)袋中装有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6和4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是(BD) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则总得分最大的概率为 解析　对于A,根据超几何分布的定义,要把总体分为两类,再依次选取,由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义,无法用超几何分布的数学模型计算概率,故A错误;对于B,取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义,将黑球视作第一类,白球视作第二类,可以用超几何分布的数学模型计算概率,故B正确;对于C,取出2个白球的概率为=,故C错误;对于D,若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则取出四个黑球的总得分最大,所以总得分最大的概率为=,故D正确.故选BD. 7.某中学组织了足球射门比赛.规定每名同学有5次射门机会,踢进一球得8分,没踢进得-4分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会,每次踢进的概率为,每次射门相互独立.记X为小明的得分总和,ξ为小明踢进球的次数,则下列结论正确的是(ABD) A.E(ξ)= B.D(ξ)= C.P(X=4)=× D.E(X)=20 解析　AB选项,由题可得ξ~B.则E(ξ)=5×=,D(ξ)=5××=,故AB正确;CD选项,因为X=8ξ-4(5-ξ)=12ξ-20,则P(X=4)=P(ξ=2)=×,故C错误;则E(X)=12E(ξ)-20=20,故D正确.故选ABD. 8.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,则下列说法正确的是(AD) A.从中任取3球,恰有2个白球的概率是 B.从中有放回地取球六次,每次任取1球,设取到红球次数为X,则E(X)=2 C.现从中不放回地取球两次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为 D.从中有放回地取球三次,每次任取1球,则至少有一次取到白球的概率为 解析　对于A,从中任取3球,恰有2个白球的概率是==,故A正确;对于B,易知X服从二项分布,即X~B,所以E(X)=6×=4,故B错误;对于C,第一次取到红球后,第二次取球时,袋子中还有3个红球和2个白球,再次取到红球的概率为,故C错误;对于D,有放回地取球,每次取到白球的概率为,没有取到白球的概率为,所以取球3次没有取到白球的概率为=,所以至少有一次取到白球的概率为1-=,故D正确. 三、填空题 9.某一零件加工厂在最后包装的环节中,由于操作失误,在8个装盒的零件中不慎混入了2个次品.现从中不放回地任选2个零件,则取到次品零件个数的期望为  .  解析　由题意:设取到次品零件个数为ξ,ξ的可能取值为0,1,2,且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以取到次品零件个数的期望为E(ξ)=0×+1×+2×=. 10.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5位乘客,且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率都为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)=  .  解析　每位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故ξ~B,即有P(ξ=k)=×,k=0,1,2,3,4,5.故P(ξ=4)=×=. 11.设随机变量X~B(2,p),且P(X=0)=,则p=  ;若Y=2X-1,则Y的方差为  .  解析　X~B(2,p),则P(X=k)=pk(1-p)2-k,则P(X=0)==p0(1-p)2,解得p=,则X~B,则D(X)=np(1-p)=2××=.Y=2X-1,则D(Y)=4D(X)=4×=. 四、解答题 12.某试验机床生产了12个电子元件,其中8个合格品,4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本,用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取,求X的分布列; (2)若不放回的抽取,求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 解　(1)有放回的抽取时,P(取到合格品)==,P(取到次品)==,根据题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,4,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)===,P(X=3)==,P(X=4)==.X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (2)由题意得总体中合格品的比例为=,因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过,所以样本中合格品的比例大于等于且小于等于,即样本中合格品的个数为2或3,P(X=2)==,P(X=3)==,所以P(样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过)=+=. 13.(2025·九江模拟)为保护学生视力,让学生在学校专心学习,促进学生身心健康发展,教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》,对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习调查研究“中学生每日使用手机的时间”,从该校中随机调查了100名学生,得到如下统计表: 时间 t/min [0, 12) [12, 24) [24, 36) [36, 48) [48, 60) [60, 72] 人数 10 38 32 10 7 3 (1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表); (2)以频率估计概率,若在该校学生中随机挑选3人,记这3人每日使用手机的时间在[48,72]的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X). 解　(1)由题意得,该校100名学生每日使用手机的时间的平均数为=6×+18×+30×+42×+54×+66×==27(min).所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27 min. (2)由题意知该校学生每日使用手机的时间在[48,72]内的概率估计为=,则X~B,所以P(X=0)==,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)==,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. B级　素能提升 14.(多选题)(2024·武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),其中n∈N*,0<p<1.记X为奇数的概率为a,X为偶数的概率为b,则下列说法中正确的有(ABC) A.a+b=1 B.当p=时,a=b C.当0<p<时,a随着n的增大而增大 D.当<p<1时,a随着n的增大而减小 解析　对于A,由概率的基本性质可知a+b=1,故A正确;对于B,当p=时,离散型随机变量X服从二项分布B,则P(X=k)=(k=0,1,2,3,…,n),所以a=(+++…)=×2n-1=,b=(+++…)=×2n-1=,所以a=b,故B正确;对于C,D,a=p1(1-p)n-1+p3(1-p)n-3+…==,当0<p<时,a=为正项,且a随着n的增大而增大,故C正确;当<p<1时,(1-2p)n正负交替,故D不正确. 15.(2025·辽宁抚顺模拟)为防控某种变异性传染疾病的传播,某药企组织了甲、乙、丙三个研发团队研发防控这种疾病的疫苗,每个团队各有一个研发任务,甲、乙、丙团队研发成功的概率分别为,,,且每个团队研发成功与否互不影响. (1) 在三个团队中恰有两个团队研发成功的前提下,求甲团队研发成功的概率; (2)记X表示甲、乙、丙三个团队中研发成功的团队数目与未成功的团队数目之差,求X的分布列. 解　(1)记“甲、乙、丙团队研发成功”分别为事件A,B,C,“三个团队中恰有两个团队研发成功”为事件D,P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC) =××+××+××=,P(AD)=P(AB)+P(AC)=××+××=,所以P(A|D)===,所以所求概率为. (2)由题意可知,X的所有可能取值为-3,-1,1,3,则P(X=-3)=××=,P(X=-1)=××+××+××=,P(X=1)=××+××+××=,P(X=3)=××=,所以X 的分布列为 X -3 -1 1 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $$