专题8.7 椭圆（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.7 椭圆（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解椭圆的定义、几何图形、标准方程 (2)掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) (3)掌握椭圆的简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 椭圆的方程与性质 新课标I卷：第16题，15分 新课标Ⅱ卷：第5题，5分 全国一卷：第18题，17分 全国二卷：第16题，15分 全国一卷：第18题，17分 全国二卷：第18题，17分 命题规律分析 1、椭圆 椭圆的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；对于解答题中椭圆的考查，椭圆方程的求解往往在解答题的第一小问中考查，复习时要加强这方面的训练. 与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解。 考点1 椭圆的方程与性质 知识点1 椭圆的方程及其性质 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 知识点2 椭圆方程的求解方法 1．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 知识点3 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 知识点4 椭圆离心率或其范围的解题策略 1．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 知识点5 椭圆中的最值问题的解题策略 1．椭圆中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 椭圆的定义及其应用】 【例1】（2026·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义可得，结合，求出，，结合即可判断各个选项. 【解答过程】由题意可知，，，所以， 由椭圆的定义可知，，又，所以，， 所以． 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程可知，结合椭圆定义即可得结果. 【解答过程】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 【变式1-2】（2026·湖南岳阳·二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，由椭圆定义，结合余弦定理求出，判断的形状，再利用三角形内角平分线的性质求解. 【解答过程】椭圆的焦点，，不妨令点在第一象限， 在中，， 则，解得，，则， 由平分，得，而，则， 所以. 故选：D. 【变式1-3】（2026·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则. 故选：D. 【题型2 椭圆的标准方程】 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【解答过程】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D. 【变式2-1】（2026·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【解答过程】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【解答过程】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 【变式2-3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【解答过程】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则 ，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 【题型3 曲线方程与椭圆】 【例3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的标准方程，曲线表示椭圆求解的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断即可. 【解答过程】若曲线表示椭圆，则，解得或， 则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-1】（2026·甘肃庆阳·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【解答过程】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得或. 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（2026·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【解答过程】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-3】（2026·江西上饶·一模）“”是“椭圆的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的几何性质可求解焦点在轴时，即可根据必要充分条件的定义求解. 【解答过程】椭圆的焦点在轴上,则，解得， 故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件， 故选：B. 【题型4 轨迹问题——椭圆】 【例4】（2026·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【解答过程】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A. 【变式4-1】（2026·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【解答过程】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式4-2】（2026·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用中点求出的坐标，利用相关点法即可求解. 【解答过程】设依题意有，即， 所以，即，所以， 故选：D. 【变式4-3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简. 【解答过程】设，则由已知得， 化简得. 故选：C． 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（2026·福建莆田·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解题思路】由椭圆方程求得椭圆的参数，结合椭圆的定义即可求焦点三角形的周长. 【解答过程】由题意得，，，所以， 因为在椭圆上，则有，且有， 则的周长为. 故选：D． 【变式5-1】（2026·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，是椭圆C：的左、右焦点，P是C上第一象限内一点，的平分线l经过点，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义得到，根据角平分线的性质得到，然后解方程得到，最后利用余弦定理和三角形面积公式计算. 【解答过程】 由题意得，，， 设，，则①， 因为的平分线经过，所以，即②， 由①②得，， 所以，， 所以. 故选：A. 【变式5-2】（2026·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解题思路】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    【变式5-3】（2026·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【解答过程】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知与可得，再由椭圆定义求解离心率． 【解答过程】由题意，为等腰三角形，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 故选：D． 【变式6-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是椭圆：的右焦点，直线交于，两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线和椭圆均关于原点对称，结合直角三角形中线性质，将两交点坐标表示成关于的式子，代入椭圆方程建立等量关系，化简求值即可. 【解答过程】解：由题意得，， 由，为直线与椭圆的交点，则，在直线上，且关于原点对称， 设，则为， 因为，则为直角三角形，又为中点， 所以，因此，解得， 所以点为，代入椭圆方程得，即， 又因为，，则，所以， 化简整理得，即，解得或（舍）， 又，所以. 故选：B. 【变式6-2】（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【解答过程】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 【变式6-3】（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可知四边形为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得，结合已知条件列不等式组，进而解得答案. 【解答过程】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得， 所以，结合A在第一象限，可知， 所以， 由椭圆的对称性可知，由可得， 即，所以，整理得， 所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. 故选：C. 【题型7 与椭圆有关的最值问题】 【例7】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【解答过程】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 【变式7-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【解答过程】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【解答过程】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 【变式7-3】（2026·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 【答案】A 【解题思路】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【解答过程】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A. 【题型8 椭圆的实际应用】 【例8】（2026·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，求出离心率. 【解答过程】如图，是的平分线，则⊥， 设，则， 根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为， 故点到的距离分别为， ， ∵为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点到点处切线的距离为 ， ∴，故，， 又，由余弦定理，可得 ， ∴，即，故， ∴ 的离心率为. 故选：C． 【变式8-1】（25-26高二上·福建福州·期末）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用长轴长为，近地点离焦点距离为，即可得椭圆参数的取值，从而可得椭圆方程. 【解答过程】由题意知，卫星的运行轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题可知， 近地点到焦点距离为：， 即，所以椭圆方程可以为：， 故选：B． 【变式8-2】（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【解答过程】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是 ， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A. 一、单选题 1．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据离心率建立等量关系即可求出. 【解答过程】解：由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以. 故选：C. 2．（2026·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【解答过程】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【解答过程】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 故选：B． 4．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【解答过程】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即 . 所以椭圆的离心率为. 故选：D． 5．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【解题思路】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【解答过程】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D. 6．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【解答过程】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 故选：C． 7．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【解答过程】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 故选：B． 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等边的边长为，根据椭圆的定义，求得和，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合椭圆离心率的定义，即可求解. 【解答过程】设等边的边长为，可得的周长为， 由椭圆的定义，可得，所以，解得， 则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：A． 二、多选题 9．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【解答过程】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD． 10．（2026·海南儋州·二模）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 【答案】AC 【解题思路】由题意可得，将椭圆方程与直线方程联立，结合韦达定理及中点坐标公式，可求得，，进而可判断A，B；求出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算，可判断C；求出关于直线的对称点，利用,求解后可判断D. 【解答过程】由题意可得，所以，所以， 所以椭圆方程为， 由，可得， 设，则有，解得， 所以，所以， 所以椭圆的离心率，故A正确； 因为，所以，所以椭圆的短轴长为，故B错误； 因为，所以直线与椭圆联立后所得方程为：， 解得，所以，即， 所以，所以，故C正确； 因为椭圆的两焦点分别为，又因为在直线上， 设关于直线的对称点为， 则有，解得，所以， 所以,, 当三点共线时，等号成立， 又因为， 即到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为，故D错误. 故选：AC． 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（    ） A．C的短轴长为 B．四边形的周长为8 C．的最小值为 D． 【答案】BCD 【解题思路】选项A，椭圆短轴长为，直接排除；选项B，利用椭圆定义和中心对称，四边形周长为；选项C，由，用均值不等式可求最小值为；选项D，利用椭圆对称性设点，通过斜率关系结合椭圆方程推导的值，再由推出，从而证. 【解答过程】选项A，由题意知椭圆的短轴长为，A错误； 选项B，根据椭圆定义，，因为Q是P关于原点的对称点，所以， 则四边形的周长为，B正确； 选项C，由选项B，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，C正确； 选项D，设，则，，， 所以，， 又， 所以，故，D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则___________． 【答案】 【解题思路】根据题意，结合椭圆的定义即可求解 【解答过程】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 故答案为：. 13．（2026·安徽·模拟预测）已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为____________． 【答案】 【解题思路】设点，写出向量坐标，利用向量点积公式建立方程；结合椭圆方程消元求出，再代入椭圆求，即为点到轴的距离． 【解答过程】椭圆：，，，，左焦点． 设，则，， ， 整理得：，由椭圆方程得：， 代入上式得：，整理得， 解得或．又因，则， 将其代入椭圆方程：，解得， 即点到轴的距离为． 故答案为：． 14．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为____________． 【答案】/ 【解题思路】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【解答过程】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【解答过程】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 16．（2026·重庆江津·三模）已知椭圆E经过点且直线 过椭圆E的焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)斜率为的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）易得为椭圆的焦点，得到，再由椭圆经过点，代入椭圆方程求解； （2）设直线平行的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）因为椭圆E经过点且直线 过椭圆E的焦点， 所以   ∴， ∴， ∵椭圆经过点      解得. 故椭圆的标准方程为. （2） ∴设直线的方程为，点，. 将直线的方程代入椭圆的方程得， ，解得， 由韦达定理得. ∴. 17．（2026·四川自贡·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 【答案】(1) (2)定值为 【解题思路】(1)根据短轴长求，根据右焦点为，，求； (2) 分直线斜率为 0和直线斜率不为 0两种情况讨论. 【解答过程】（1）因为右焦点为，故半焦距， 因为短轴长为，所以， 由，得， 因此，椭圆的标准方程为； （2） 证明: 设，，点， 直线的斜率分别为，， 情况 1：当直线斜率为 0时， 此时直线为 x 轴，方程为，与椭圆的交点为，， ，故 ，成立； 情况 2：当直线斜率不为 0时， 设直线 的方程为，与椭圆方程联立， 消去 并整理：， 故方程有两个不等实根，由韦达定理得 , 由，， 得 ，，代入得： 将代入分子 因此 ， 综上，无论直线的斜率是否为 0，直线与的斜率之和恒为定值. 18．（2026·天津·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若三角形的面积等于四边形的面积，求的值； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆的长轴长及离心率求即可得出椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的坐标，令求得点坐标，利用三角形的面积公式计算出和的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得的值. 【解答过程】（1）因为椭圆的短轴长为2，所以，即， 又，所以， 所以椭圆的方程为. （2） 设直线方程为， 则由，可得， ∴，∴， ∴，令，∴， ∴， ∴， 由题意可知，， 解得. 19．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii） 【解题思路】（1）由短轴长得，离心率，结合求出，得标准方程； （2）（ⅰ）设，联立椭圆得韦达定理，由代入化简，得，解得，故直线恒过定点； （ⅱ）中固定，面积最大等价于到距离最大，即为椭圆左右顶点，由 求斜率，得的斜率为. 【解答过程】（1）由离心率，得．又短轴长为，故． 由，代入得：，故． 所以椭圆的标准方程：． （2）（ⅰ）证明：由（1）得：, 当直线的斜率不存在时，易知直线，的斜率同号，不合题意； 所以直线的斜率存在，设直线． 联立，消去得：． 则，化简得：． 设，，由韦达定理得：，． 因为，则． 代入，，得：． 展开整理得：， 将韦达定理代入，化简得：． 解得（舍去，直线过点）或． 故直线方程为，恒过定点． （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，直线可写为 点到直线的垂足为． 当时，在轴上显然不合，则． 由于，直线的方程为 与联立，得所以 因为，且在轴上，所以 由得 当且仅当时取等号． 因此，当面积取得最大值时，直线的斜率为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.7 椭圆（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解椭圆的定义、几何图形、标准方程 (2)掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) (3)掌握椭圆的简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 椭圆的方程与性质 新课标I卷：第16题，15分 新课标Ⅱ卷：第5题，5分 全国一卷：第18题，17分 全国二卷：第16题，15分 全国一卷：第18题，17分 全国二卷：第18题，17分 命题规律分析 1、椭圆 椭圆的方程及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；对于解答题中椭圆的考查，椭圆方程的求解往往在解答题的第一小问中考查，复习时要加强这方面的训练. 与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解。 考点1 椭圆的方程与性质 知识点1 椭圆的方程及其性质 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 知识点2 椭圆方程的求解方法 1．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 知识点3 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 知识点4 椭圆离心率或其范围的解题策略 1．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 知识点5 椭圆中的最值问题的解题策略 1．椭圆中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 椭圆的定义及其应用】 【例1】（2026·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1-2】（2026·湖南岳阳·二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【题型2 椭圆的标准方程】 【例2】（2026高二·全国·专题练习）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【题型3 曲线方程与椭圆】 【例3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2026·甘肃庆阳·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2026·江西上饶·一模）“”是“椭圆的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4 轨迹问题——椭圆】 【例4】（2026·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 【例5】（2026·福建莆田·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式5-1】（2026·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，是椭圆C：的左、右焦点，P是C上第一象限内一点，的平分线l经过点，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式5-2】（2026·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式5-3】（2026·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是椭圆：的右焦点，直线交于，两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 与椭圆有关的最值问题】 【例7】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式7-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 【题型8 椭圆的实际应用】 【例8】（2026·江西景德镇·二模）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·福建福州·期末）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式8-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（2026·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 4．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 6．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．（2026·海南儋州·二模）已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C． D．到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（    ） A．C的短轴长为 B．四边形的周长为8 C．的最小值为 D． 三、填空题 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则___________． 13．（2026·安徽·模拟预测）已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为____________． 14．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为____________． 四、解答题 15．（2026·福建漳州·模拟预测）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 16．（2026·重庆江津·三模）已知椭圆E经过点且直线 过椭圆E的焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)斜率为的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为求的值. 17．（2026·四川自贡·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 18．（2026·天津·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为． (1)求椭圆的方程； (2)若三角形的面积等于四边形的面积，求的值； 19．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $