核心微练80-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(八十)　两个计数原理 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.以下运算结果为34的是(D) A.3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法 B.4个运动员争夺3个项目的冠军(每个项目只有一个冠军) C.3块地种植4种不同的蔬菜的种法 D.4个同学购买3种不同的书籍,每人购买1本的种数 解析　对于A,3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法有4×4×4=43=64种,故A错误;对于B,4个运动员争夺3个项目的冠军(每个项目只有一个冠军),共有4×3×2=24种可能,故B错误;对于C,3块地种植4种不同的蔬菜的种法有4×4×4=43=64种,故C错误;对于D,4个同学购买3种不同的书籍,每人购买1本的种数有3×3×3×3=34=81种,故D正确.故选D. 2.(2025·四川模拟)某高中运动会设有8个项目,甲、乙两名学生每人随机选取3个项目,则至少选中2个相同项目的报名情况有(D) A.420种 B.840种 C.476种 D.896种 解析　由题意可知,可以分两种情况,第一种情况所选取3个项目恰有2个相同,第一步,在8个项目中选取2项,共有28种,第二步,甲在剩下的6个项目中选取1项,共有6种,第三步,乙在剩下5个项目中选取1项,共有5种,由分步乘法计数原理可知,共有28×6×5=840种;第二种情况所选取的3个项目完全相同,则有56种;由分类加法计数原理可知,总情况一共有840+56=896种.故选D. 3.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有(A) A. 12种 B. 24种 C. 72种 D. 216种 解析　先填第一行,有3×2×1=6 种不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理可知,共有6×2=12 种不同的填法. 4.从数字1,2,3,4中取出3个数字(允许重复)组成三位数,各位数字之和等于6,则这样的三位数的个数为(C) A.7 B.9 C.10 D.13 解析　其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形:①由1,1,4三个数字组成的三位数:114,141,411,共3个;②由1,2,3三个数字组成的三位数:123,132,213,231,312,321,共6个;③由2,2,2三个数字可以组成1个三位数,即222.所以共有3+6+1=10(个). 5.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成该集合的子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有(A) A.32个 B.34个 C.36个 D.38个 解析　先把数字分成5组:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于选出的5个数中,任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数字即可,故共可组成2×2×2×2×2=32(个)这样的子集. 6. (2025·济南模拟)如图所示的几何体由三棱锥P⁃ABC与三棱柱ABC⁃A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有(C) A.6种 B.9种 C.12种 D.36种 解析　先涂三棱锥P⁃ABC的三个侧面,有3×2×1种情况,然后涂三棱柱的三个侧面,有2种情况,由分步乘法计数原理知,共有3×2×1×2=12种不同的涂色方案.故选C. 7.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(B) A.60 B.48 C.36 D.24 解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6=36,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48. 8.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为(D) A.3 B.4 C.6 D.8 解析　以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9;把这四个数列顺序颠倒,又得到4个新数列,所以所求的数列共有2×(2+1+1)=8(个).故选D. 二、多项选择题 9.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画,下列说法正确的有(ABC) A.从中任选一幅画布置房间,有14种不同的选法 B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有70种不同的选法 C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有59种不同的选法 D.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,共有12种不同的挂法 解析　对于选项A,根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14(种)不同的选法,故A正确.对于选项B,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法,故B正确.对于选项C,可分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画.由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法;第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法;第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法,所以共有10+35+14=59(种)不同的选法,故C正确.对于选项D,可以分两个步骤完成:第一步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种选法;第二步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2种选法.根据分步乘法计数原理,知不同挂法的种数是N=3×2=6,故D错误. 10.有6名同学参加3个智力竞赛项目,则下列说法正确的是(ACD) A.若每人报名参加一项,每项的人数不限,则共有729种不同的报名方案 B.若每人报名参加一项,每项的人数不限,则共有216种不同的报名方案 C.每项只报一人,每人报名参加的项目不限,则共有216种不同的报名方案 D.每项只报一人,且每人至多报名参加一项,则共有120种不同的报名方案 解析　对于A、B项,按照6名同学参加的项目,分为6步,每步均有3种选择,根据分步乘法计数原理可知,共有36=729种不同的报名方案,故A正确、B错误.对于C项,根据3个智力竞赛项目,分为3步,每步均有6种选择,根据分步乘法计数原理可知,共有63=216种不同的报名方案,故C正确.对于D项,根据3个智力竞赛项目,分为3步.第1步,6种选择;第2步,5种选择;第3步,4种选择.根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×4=120种不同的报名方案,故D正确.故选ACD. 11.现有4个兴趣小组,第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人,则下列说法正确的是(ABC) A.选1人为负责人的选法种数为30 B.每组选1名组长的选法种数为3 024 C.若推选2人发言,这2人需来自不同的小组,则不同的选法种数为335 D.若另有3名学生加入这4个小组,可自由选择小组,且第一组必有人选,则不同的选法有35种 解析　对于A,选1人为负责人的选法种数:6+7+8+9=30,故A正确;对于B,每组选1名组长的选法:6×7×8×9=3 024,故B正确;对于C,2人需来自不同的小组的选法:6×7+6×8+6×9+7×8+7×9+8×9=335,故C正确;对于D,依题意:若不考虑限制,每个人有4种选择,共有43种选择,若第一组没有人选,每个人有3种选择,共有33种选择,所以不同的选法有:43-33=37,故D错误.故选ABC. 三、填空题 12.A,B两篮球运动员在球衣号分别为6,8,9,18的四件球衣中各随机选一件,则A选的是偶数号球衣的不同选法共有 9 种.  解析　A选的是偶数号球衣的选法有3种,B从A选完后剩余的3件球衣中选1件的选法有3种,则A选的是偶数号球衣的不同选法共有3×3=9种. 13.如图所示,在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有 40 个(用数字作答).  解析　把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形,共有8×4=32(个);第二类,有两条公共边的三角形,共有8个.由分类加法计数原理可知,共有32+8=40(个). 14.(2025·青岛调研)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为 80 .  解析　5日至9日,日期尾数分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有2×2=4(种)用车方案;第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12(种)用车方案,第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有23=8(种)用车方案,共计12+8=20(种)用车方案.根据分步乘法计数原理可知,不同的用车方案种数为4×20=80. B级　素能提升 15.(2025·广东深圳检测)小明在某一天中有七个课间休息时段,为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌,但他希望任意两个练习的时间段之间都至少有两个课间不唱歌让他休息,则小明练习的方案一共有(B) A.31种 B.18种 C.21种 D.33种 解析　将七个课间编号为1,2,3,4,5,6,7.①若仅有一个课间练习,则每个课间都可以,有7种方案;②若有两个课间练习,则选法有{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,5},{2,6},{2,7},{3,6},{3,7},{4,7},共10种方案;③若有三个课间练习,则选法有{1,4,7},仅1种方案.所以练习的方案一共有7+10+1=18(种).故选B. 16.集合U={1,2,3,…,10},则U的元素两两互素的三元子集个数为 42 .  解析　符合题意的三元子集可分为两类,第一类:子集中的三个元素为三个奇数,此时有1+3×2=7(个);第二类:子集中的三个元素为两个奇数一个偶数,按照选择的偶数分类可得(3+3×2)×3+3+5=35(个).由计数原理可得,共有7+35=42(个). 学科网（北京）股份有限公司 $$