核心微练79-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(七十九)　列联表与独立性检验 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼,用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生,得到如下2×2列联表: 男 女 合计 喜欢 a b 73 不喜欢 c 25 合计 74 则a-b-c=(C) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　根据题意,可得c=120-73-25=22,a=74-22=52,b=73-52=21,所以a-b-c=52-21-22=9. 2.某市“乡间小屋”驿站对30位游客的游玩意向进行了一次调查,列出如下2×2列联表: 单位:人 年龄 游玩意向 合计 都市游 乡村游 35岁以下 4 8 12 35岁及以上 16 2 18 合计 20 10 30 下列说法正确的是(D) A.根据小概率值α=0.001的独立性检验,认为游客的游玩意向与年龄无关 B.根据小概率值α=0.001的独立性检验,认为游客的游玩意向与年龄有关 C.根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为游客的游玩意向与年龄无关 D.根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为游客的游玩意向与年龄有关 解析　因为χ2==10>7.879=x0.005,所以根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为游客的游玩意向与年龄有关.故选D. 3.古语云:“朝霞不出门,晚霞行千里”,其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话,今天的天气可能不佳,会下雨,要引起重视,若是傍晚看到天边的晚霞,第二天很有可能有一个好天气,天气晴朗.某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计,得到如下2×2列联表. 有朝霞 无朝霞 合计 当天有雨 8 8 16 当天无雨 2 12 14 合计 10 20 30 参考公式:χ2=. 临界值参照表: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则下列说法正确的是(B) A.如果有朝霞,当天下雨的概率超过95% B.根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为有朝霞与当天下雨有关 C.根据小概率值α=0.005的独立性检验,认为有朝霞与当天下雨有关 D.连续三天中必有一天出现朝霞 解析　对A,由题中2×2列联表知,如果有朝霞,则当天下雨的概率约为80%,故A选项错误;对BC,由题得χ2==≈4.286>3.841,但小于7.879,故B选项正确,C选项错误;对D,有朝霞的天数占总天数的,但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞,故D选项错误.故选B. 4.为考察某种营养品对儿童身高增长的影响,选取部分儿童进行试验,根据100个有放回简单随机样本的数据,得到如下列联表,由表可知下列说法正确的是(D) 单位:名 营养品 身高 合计 有明显增长 无明显增长 食用 a 10 50 未食用 b 30 50 合计 60 40 100 参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.a=b=30 B.χ2≈12.667 C.从样本中随机抽取1名儿童,抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是 D.根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为该营养品对儿童身高增长有影响 解析　由题可知a=50-10=40,b=50-30=20,所以A错误;χ2=≈16.667>10.828=x0.001,所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,可以认为该营养品对儿童身高增长有影响,所以B错误,D正确;从样本中随机抽取1名儿童,抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是=,所以C错误.故选D. 5.(2024·黑龙江哈尔滨二模)针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办,校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查,其中被调查的男、女生人数相同,男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的,女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的,若依据α=0.05的独立性检验,认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关,则被调查的学生中男生的人数不可能是(A) 附:χ2=. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.48 B.54 C.60 D.66 解析　设男生人数为6n(n∈N*),因为被调查的男、女生人数相同,所以女生人数也为6n(n∈N*),根据题意列出列联表: 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 5n 4n 9n 不喜欢冰雪运动 n 2n 3n 合计 6n 6n 12n 则χ2====,因为依据α=0.05的独立性检验,认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关,所以χ2≥3.841,即≥3.841,解得6n≥51.854,又n∈N*,所以B、C、D正确,A错误. 二、多项选择题 6.2023年10月全国多地医院出现较多的支原体肺炎感染患者,患者多以儿童为主.某研究所在某小学随机抽取了46名儿童,得到他们是否接种流感疫苗和是否感染支原体肺炎的情况的相关数据,如下表所示,则(AD) 接种情况 感染情况 合计 感染支原 体肺炎 未感染支 原体肺炎 接种流感疫苗 a=12 b a+b 未接种流感疫苗 c d=13 c+d 合计 a+c b+d=28 46 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.> B.χ2>2.706 C.认为是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联,此推断犯错的概率不大于0.1 D.没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联 解析　由表中数据易得a=12,b=15,c=6,d=13,a+b=27,c+d=19,a+c=18,b+d=28,对于A,=>=.故A正确;对于B,χ2=≈0.775<2.706=x0,1,故B错误;对于C,D,依据α=0.1的独立性检验,没有充分的证据推断是否接种流感疫苗与是否感染支原体肺炎有关联,故C错误,D正确.故选AD. 三、填空题 7.收集数据,利用2×2列联表,分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时,提出的零假设为:学习成绩好与上课注意力集中 无关 (填:有关或无关).  解析　零假设等价于两个变量相互独立,所以此题中的零假设为:学习成绩好与上课注意力集中无关. 8.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行,组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作,在下面“性别与会法语”的2×2列联表中,a+b+d= 88 .  会法语 不会法语 总计 男 a b 40 女 12 d 总计 36 100 解析　根据表格中的数据,因为志愿者的总人数为100,所以a+b+d+12=100,解得a+b+d=88. 9.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性,随机抽取了若干名员工,所得数据统计如下表所示,其中x∈N*,且x<20,若依据小概率值α=0.1的独立性检验,认为性别与对工作的满意程度具有相关性,则x的值可以是 14(答案不唯一) .(横线上给出一个满足条件的x的值即可)  对工作满意 对工作不满意 男 5x 5x 女 4x 6x 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析　由题意得χ2==>2.706,故x>13.394 7,所以14≤x<20,x∈N*. 四、解答题 10.某地区政府部门大力开发旅游等产业,建设幸福家园,实现农旅融合,以创建国家全域旅游示范区为牵引,构建“农业+文创+旅游”发展模式,真正把农村建设成为“望得见山、看得见水、记得住乡愁”的美丽乡村,在新政策的影响下,游客越来越多.当地旅游局统计了景区2024年1月份到5月份的接待游客人数y(单位:万人),统计结果如下: 月份x 1 2 3 4 5 接待游客人数 y(单位:万人) 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 (1)求样本相关系数r的值,当r>0.75时,线性关系为较强,请说明2024年1~5月份x与接待游客人数y之间线性关系的强弱;若线性相关,求出y关于x的线性回归方程; (2)为打造群众满意的旅游区,该地旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,下表是从接待游客中随机抽取的30位游客的满意度调查表,请将下述2×2列联表补充完整,并依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联. 报团游 自助游 合计 满意 3 18 不满意 5 合计 10 30 附:线性回归方程=x+的斜率及截距的最小二乘法估计分别为=,=-,相关系数r=,χ2=,参考数据:≈6.603. 附表: α 0.10 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解　(1)由题中数据可得===3,===2.5,所以(xi-)(yi-)=(-2)×(-1.3)+(-1)×(-0.7)+0+1×0.7+2×1.3=6.6,又(xi-)2=10,(yi-)2=4.36,r===≈≈1>0.75.故2024年1~5月份x与接待游客人数y之间有较强的线性相关程度.由上可知,===0.66,所以=-=2.5-0.66×3=0.52,所以y关于x的线性回归方程为=0.66x+0.52. (2)零假设为H0:游客对本地景区满意度与报团游或自助游无关联,依题意,完善表格如下: 报团游 自助游 合计 满意 15 3 18 不满意 5 7 12 合计 20 10 30 根据列联表中的数据,经计算得到χ2==5.625>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为游客对本地景区满意度与报团游或自助游有关联. 11.某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,A,B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图,记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗. (1)求图中a的值,并求综合评分的中位数; (2)填写下面的2×2列联表,并根据小概率值α=0.01的独立性检验,分析优质花苗与培育方法是否有关,请说明理由. 单位:株 培育法 花苗质量 合计 优质花苗 非优质花苗 甲 20 乙 10 合计 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)由直方图的性质可知,0.005×10+0.010×10+0.025×10+10a+0.020×10=1,解得a=0.040,因为(0.02+0.04)×10=0.6>0.5,所以中位数位于[80,90)内,设中位数为x,则有0.020×10+0.040×(90-x)=0.5,解得x=82.5.故综合评分的中位数为82.5. (2)由(1)得优质花苗的频率为0.6,所以样本中优质花苗的数量为60,得如下列联表: 单位:株 培育法 花苗质量 合计 优质花苗 非优质花苗 甲 20 30 50 乙 40 10 50 合计 60 40 100 零假设为H0:优质花苗与培育方法无关,χ2=≈16.667>6.635=x0.01,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为优质花苗与培育方法有关. 学科网（北京）股份有限公司 $$