核心微练78-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(七十八)　变量的相关性与一元线性回归模型 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.对变量x,y由观测数据得散点图①,对变量y,z由观测数据得散点图②.由这两个散点图可以判断(B) ①　② A.变量x与y负相关,x与z正相关 B.变量x与y负相关,x与z负相关 C.变量x与y正相关,x与z正相关 D.变量x与y正相关,x与z负相关 解析　由散点图可知,变量x与y负相关,变量y与z正相关,所以x与z负相关.故选B. 2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m,如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现A,B两个变量有更强的线性相关性?(D) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析　r的绝对值越大,m越小,线性相关性越强. 3.某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范,生产成本逐年降低,该公司对2011年至2023年的生产成本y(万元)进行统计,根据统计数据作出如下散点图: 由此散点图,判断下列四个经验回归方程类型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本y与时间变量x(x的值依次为1,2,…,13)的经验回归方程类型的是(C) A.y=ax2+b(a>0) B.y=ax+b(a>0) C.y=aln x+b(a<0) D.y=+b(a<0) 解析　根据图中散点图可知,散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围,而对于A选项是“抛物线型”的拟合函数,且是增加的;B选项是“直线型”的拟合函数,且是增加的;D选项是“幂函数型”的拟合函数,且是增加的,只有C选项的拟合函数符合题意.故选C. 4.白术是常见的大宗药材,最早记载于《神农本草经》,又叫于术、片术,具有补脾健胃,燥湿利水等功效.今年白术从1月份到5月份每公斤的平均价格y(单位:元)的数据如下表: 月份x 1 2 3 4 5 每公斤平均价格y 77 109 137 168 199 根据上表可得回归方程=30x+a,则实数a的值为(C) A.46 B.47 C.48 D.49 解析　依题意,得=(1+2+3+4+5)=3,=(77+109+137+168+199)=138,又回归直线方程=30x+a必过样本中心点(,),所以138=30×3+a,解得a=48.故选C. 5.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,8)组成的一个样本,得到经验回归方程为=2x+0.75,且=1.125,增加两个样本点(-2,5)和(1,3)后,得到新样本的经验回归方程为=3x+.在新的经验回归方程下,样本(3,8.7)的残差为(D) A.1.1 B.0.5 C.-0.5 D.-1.1 解析　因为xi=1.125×8=9,所以增加两个样本点后x的平均数为=0.8;因为=2×1.125+0.75=3,所以yi=3×8=24,所以增加两个样本点后y的平均数为=3.2,所以3.2=3×0.8+,解得=0.8,所以新的经验回归方程为:=3x+0.8,则当x=3时,=9.8,所以样本(3,8.7)的残差为8.7-9.8=-1.1.故选D. 6.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y(单位:百只)的数据,通过相关理论进行分析,知可用回归模型y=e1+at(a∈R)对y与t的关系进行拟合,则根据该回归模型,预测第6个月该物种的繁殖数量为(C) 第t个月 1 2 3 繁殖数量y e1.4 e2.2 e2.4 A.e3百只 B.e3.5百只 C.e4百只 D.e4.5百只 解析　由题意,y=e1+at两边取自然对数,得ln y=1+at,令u=ln y,则u=1+at.=(ln y1+ln y2+ln y3)×=2,=(t1+t2+t3)×=2,因为经验回归直线必过点(,),所以2=2a+1,解得a=,所以u=1+t,则y=.当t=6时,y=e4. 二、多项选择题 7.(2025·长沙模拟)6个数据(x,y)构成的散点图如图所示,采用一元线性回归模型建立经验回归方程,若在6个数据中去掉E(5,6)后,下列说法正确的是(AC) A.解释变量x与响应变量y的相关性变强 B.样本相关系数r变大 C.残差平方和变小 D.决定系数R2变小 解析　去掉E(5,6)后,解释变量x与响应变量y的相关性变强,故A正确;但由于散点的分布是从左上到右下,故变量x,y负相关,所以相关系数r变小,残差平方和变小,决定系数R2变大,故C正确,B,D错误. 8.(2025·广州模拟)中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措.在中欧班列带动下,某外贸企业出口额逐年提升,以下为该企业近6个月的出口额情况统计,若已求得y关于x的线性回归方程为y=28x+,则(AD) 月份编号x 1 2 3 4 5 6 出口额y/万元 16 25 43 77 102 159 A.y与x成正相关 B.样本数据y的第40百分位数为34 C.当x=3时,残差的绝对值最小 D.用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适 解析　A项,由图中表格数据可知,当x的值增加时,y的相应值也呈现增加的趋势,又由回归方程y=28x+中,x项的系数28>0,也可以看出y与x成正相关,故A正确;B项,样本数据y的6个取值从小到大依次是16,25,43,77,102,159,由6×40%=2.4,则第40百分位数为第3个数据43,故B错误;C项,==, ==,将(,)代入y=28x+,得=-,即y=28x-,令x=3,得=84-,所以相应残差的绝对值为=,令x=2,得=56-,所以相应残差的绝对值为=<,故C错误;D项,如下图作出散点图,可以看到相较“样本点分布在某一条直线模型y=bx+a的周围”,“样本点分布在某一条指数型函数y=enx+m曲线的周围”这样的描述更贴切,所以用模型y=enx+m描述y与x的关系更合适些,故D正确.故选AD. 三、填空题 9.(2025·山东青岛检测)已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得经验回归方程为=x+,其中=7,据此估计,当广告费支出为10万元时,销售额为 85 万元.  解析　由题表可知,==5,==50,得样本点的中心为(5,50),代入经验回归方程=7x+,得=50-7×5=15.所以经验回归方程为=7x+15,将x=10代入,可得=85. 10.从某大学中随机选取8名女大学生,其身高x(单位:cm)与体重y(单位:kg)的数据如下表: x 165 165 157 170 175 165 155 170 y 48 57 50 54 64 61 43 59 若已知y与x的线性回归方程为=0.85x-85.71,那么选取的女大学生身高为175 cm时,相应的残差为 0.96 kg .  解析　令x=175得=63.04,所以残差为64-63.04=0.96 kg. 11.某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中,将时间x分钟与温度y(摄氏度)的关系用模型y=c1(其中e为自然对数的底数)拟合.设z=ln y,变换后得到一组数据: x 2 2.5 3 3.5 4 z 4.04 4.01 3.98 3.96 3.91 由上表可得线性回归方程z=-0.06x+a,则c1= e4.16 .  解析　由表格中数据,得==3,==3.98,则3.98=-0.06×3+a,解得a=4.16,因此z=-0.06x+4.16,由y=c1两边取对数,得ln y=c2x+ln c1,又z=ln y,所以c2=-0.06,ln c1=4.16,即c2=-0.06,c1=e4.16. 四、解答题 12.某科研所为了研究土豆膨大素对土豆产量的影响,在某大型土豆种植基地随机抽取了10亩土质相同的地块,以每亩为单位分别统计了在土豆快速生长期使用的膨大素剂量xi(单位:g),以及相应的产量yi(单位:t),数据如下表: 膨大素 用量xi 8 12 8 16 16 10 10 14 14 12 亩产 量yi 2.5 4 2.2 5.4 5.1 3.4 3.6 4.6 4.2 4 并计算得=1 520,=161.58,xiyi=494.8. (1)估计该试验田平均每亩使用膨大素的剂量与平均每亩的土豆产量; (2)求该试验田每亩使用膨大素的剂量与土豆产量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现统计了该大型土豆种植基地所有地块(每块1亩)的膨大素使用剂量,并计算得总使用剂量为1 080 g.已知土豆的产量与其使用膨大素的剂量近似成正比.利用以上数据估计该基地土豆的产量. 附:样本相关系数r==,≈6.88. 解　(1)依题意,得=×(8+12+8+16+16+10+10+14+14+12)=12,=×(2.5+4+2.2+5.4+5.1+3.4+3.6+4.6+4.2+4)=3.9,所以该试验田平均每亩使用膨大素的剂量为12 g,平均每亩的土豆产量为3.9 t. (2)依题意,所求样本相关系数 r= = =≈0.97. (3)由已知及(1),得该基地的土豆产量的估计值为×1 080=351(t). 13.(2025·四川模拟)当前,人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展,并逐步影响生活的方方面面,人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入,以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据统计表. x(百万) 1 2 3 4 5 y(千件) 0.5 1 1.5 3 5.5 (1)若该公司科研团队计划用方案①=x+作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,请根据统计表的数据及参考公式,确定该经验回归方程; (2)若该公司科研团队计划用方案②=e0.59x-1.27作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,=e0.59x-1.27的残差平方和(yi-)2=0.112 2,请根据统计表的数据及参考公式,比较两种模型的拟合效果哪种更好?并选择拟合精度更高的模型,预测年投入额为6百万元时,产品的销售量约为多少?(计算结果保留到小数点后两位) 参考公式及数据:==,=-,R2=1-,e2.27≈9.68,e2.28≈9.78. 解　(1)由题意,得==3, ==2.3, ==1.2, =2.3-1.2×3=-1.3, 所以经验回归方程为=1.2x-1.3. (2)按(1)可得=1.2x-1.3,根据题意可得如下数据: x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 3 5.5 -0.1 1.1 2.3 3.5 4.7 方案①的残差平方和为0.62+(-0.1)2+(-0.8)2+(-0.5)2+0.82=1.9,由于1.9>0.112 2,故方案②非线性回归方程拟合效果更好.当x=6时,y=e0.59×6-1.27=e2.27≈9.68(千件),故当年投入额为6百万元时,产品的销售量约为9.68千件. B级　素能提升 14.(多选题)针对某疾病,各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示,由表格可得y关于x的经验回归方程为=6x2+,则下列说法正确的是(BC) 周数(x) 1 2 3 4 5 治愈人数(y) 2 17 36 93 142 A.=4 B.=-8 C.此回归模型第4周的残差为5 D.估计第6周治愈人数为220 解析　设t=x2,则=6t+,由已知得=×(1+4+9+16+25)=11,=×(2+17+36+93+142)=58,所以=58-6×11=-8,故A错误,B正确;在=6x2-8中,令x=4,得=6×42-8=88,所以此回归模型第4周的残差为y4-=93-88=5,故C正确;在=6x2-8中,令x=6,得=6×62-8=208,故D错误.故选BC. 15.(多选题)(2025·长沙适应性考试)自然环境中,大气压受到各种因素的影响,如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变,都将导致大气压发生相应的变化,其中以海拔的影响最为显著.如图是根据一组观测数据得到海拔6千米~15千米的大气压强散点图,根据一元线性回归模型得到经验回归方程为=-4.0x+68.5,决定系数为=0.99;根据非线性回归模型得到经验回归方程为=132.9e-0.163x,决定系数为=0.99,则下列说法正确的是(ACD) A.由散点图可知,大气压强与海拔高度负相关 B.由方程=-4.0x+68.5可知,海拔每升高1千米,大气压强必定降低4.0 kPa C.由方程=-4.0x+68.5可知,样本点(11,22.6)的残差为-1.9 D.对比两个回归模型,结合实际情况,方程=132.9e-0.163x的预报效果更好 解析　对于A,由题图知,海拔高度越高,大气压强越小,所以大气压强与海拔高度负相关,故A正确;对于B,经验回归直线得到的数据为估计值,而非精确值,故B错误;对于C,当x=11时,=-4.0×11+68.5=24.5,又由散点图知观测值为22.6,所以样本点(11,22.6)的残差为22.6-24.5=-1.9,故C正确;对于D,随着海拔高度的增加,大气压强越来越小,但不可能为负数,因此方程=132.9e-0.163x的预报效果更好,故D正确. 16.用模型y=a·ekx拟合一组数据,令z=ln y,将模型转化为经验回归方程z=0.1x+3,则a·k= 0.1e3 .  解析　因为y=a·ekx,两边取自然对数可得ln y=ln(a·ekx)=kx+ln a,令z=ln y,可得z=kx+ln a,又z=0.1x+3,所以k=0.1,ln a=3,所以a=e3,所以a·k=0.1e3. 学科网（北京）股份有限公司 $$