核心微练77-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(七十七)　用样本估计总体 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知数据12,14,18,23,27,32,b(b>32)的极差和平均数相等,则实数b的值为(B) A.34 B.35 C.36 D.37 解析　依题意可得极差为b-12,平均数为,所以=b-12,解得b=35.故选B. 2.从某中学抽取10名同学,他们的数学成绩如下:82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位:分),则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(B) A.92,85 B.92,88 C.95,88 D.96,85 解析　数据92出现了3次,出现的次数最多,所以众数是92;这组数据已经按照由小到大的顺序排列,计算10×25%=2.5,取第三个数,所以第25百分位数是88. 3.(2025·武汉调研)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,方差为,则另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数、方差分别为(D) A.2, B.2,1 C.4, D.4, 解析　因为一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为2,方差为,所以另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数为3×2-2=4,方差为32×=. 4.(2025·黑龙江大庆一模)为弘扬奥运精神,某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度,在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩(满分100分),按从低到高的顺序排列,得到下表中的样本数据: 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法错误的是(D) A.男生样本数据的25%分位数是86 B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数 C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 解析　对于A:10×25%=2.5,所以男生样本数据的25%分位数是86,故A正确;对于B:男生样本数据的中位数为=89,男生样本数据的众数为90,故B正确;对于C:女生样本数据的平均数为(82+84+85+87×3+88×2+90+92)=87,女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为(84+85+87×3+88×2+90)=87,故C正确;对于D:女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变,但是极差变小,所以方差变小,故D错误.故选D. 5.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关,在下图两种分布形态中,a,b,c,d分别对应平均数和中位数之一,则可能的对应关系是(A) A.a为中位数,b为平均数,c为平均数,d为中位数 B.a为平均数,b为中位数,c为平均数,d为中位数 C.a为中位数,b为平均数,c为中位数,d为平均数 D.a为平均数,b为中位数,c为中位数,d为平均数 解析　在频率分布直方图中,中位数两侧小矩形的面积相等,平均数是每组数值的中间值乘频率再相加之和,结合两个频率分布直方图得,a为中位数,b为平均数,c为平均数,d为中位数.故选A. 6.(2024·T8联考)某同学掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据5次的统计结果,可以判断一定没有出现点数6的是(C) A.中位数是3,众数是2 B.平均数是3,中位数是2 C.方差是2.4,平均数是2 D.平均数是3,众数是2 解析　对于A,当掷骰子出现的结果为2,2,3,5,6时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故选项A不正确;对于B,当掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故选项B不正确;对于C,若平均数为2,且出现点数6,则方差s2>(6-2)2=3.2>2.4,所以当平均数为2,方差为2.4时,一定不会出现点数6,故选项C正确;对于D,当掷骰子出现结果为2,2,2,3,6时,满足平均数为3,众数为2,可以出现点数6,故选项D不正确.故选C. 二、多项选择题 7.(2024·武汉调研)某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气,当地气象部门统计进入八月份以来(8月1日至8月10日)连续10天中每天的最高温和最低温,得到如下的折线图: 根据上图,关于这10天的气温,下列说法中正确的是(AC) A.最低温的众数为29 ℃ B.最高温的平均值为37.7 ℃ C.第4天的温差最大 D.最高温的方差大于最低温的方差 解析　对于A,由折线图可知最低温的众数为29 ℃,A正确;对于B,由折线图得最高温的平均值为 =37.9(℃),B错误;对于C,由折线图得这10天的温差分别为9 ℃,7 ℃,9 ℃,12 ℃,9 ℃,10 ℃,10 ℃,7 ℃,8 ℃,8 ℃,其中温差最大的为第4天,C正确;对于D,由折线图可知最高温的方差=×[3×(38-37.9)2+4×(37-37.9)2+3×(39-37.9)2]=0.69,最低温的平均值为=29(℃),方差=×[4×(29-29)2+2×(30-29)2+2×(28-29)2+(27-29)2+(31-29)2]=1.2>0.69,D错误.故选AC. 8.(2025·山东检测)某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12,成绩位于[90,100]内的同学成绩方差为10.则(BCD) A.a=0.004 B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 解析　A项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1,则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005,故A错误;B项,前两个矩形的面积之和为(2a+3a)×10=50a=0.25<0.5,前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5.设该年级学生成绩的中位数为m,则m∈(70,80),根据中位数的定义可得0.25+(m-70)×0.035=0.5,解得m≈77.14,所以,估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,故B正确;C项,估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为×85+×95=87.5分,故C正确;D项,估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为[12+(87.5-85)2]+[10+(87.5-95)2]=30.25,故D正确.故选BCD. 三、填空题 9.已知30个数据的60%分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是 8.6 .  解析　由30×60%=18,设第19个数据为x,则=8.2,解得x=8.6,即第19个数据是8.6. 10.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为 16.5 秒.  解析　设成绩的70%分位数为x,因为=0.55,=0.85,所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×=0.70,解得x=16.5(秒). 11.(2024·广东珠海一模)甲、乙两班参加了同一学科的考试,其中甲班50人,乙班40人.甲班的平均成绩为72分,方差为90;乙班的平均成绩为90分,方差为60.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 80 分,方差是  .  解析　甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为=80(分),方差为×[90+(72-80)2]+×[60+(90-80)2]=×154+×160=. 四、解答题 12.甲、乙两人在相同条件下各射击10次,每次中靶环数情况如图所示. (1)请填写下表(写出计算过程); 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 甲 乙 (2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析: ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定); ②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩更好些); ③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力). 解　由题图知,甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10. (1)=×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7(环),=×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=7(环),=×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]=×(4+2+0+2+4)=1.2, =×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4. 填表如下: 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 甲 7 1.2 1 乙 7 5.4 3 (2)①因为平均数相同,<,所以甲的成绩比乙稳定. ②因为平均数相同,甲命中9环及9环以上的次数比乙少,所以乙的成绩比甲好些. ③因为甲的成绩在平均数附近上下波动,而乙的成绩处于上升趋势,且从第四次射击开始就没有比甲成绩低的情况发生,所以乙更有潜力. 13.某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下: 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2. (1)求,s2; (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高). 解　(1)由题意,求出zi的值如表所示, 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. (2)因为2=2=,=11=>,所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. B级　素能提升 14.(多选题)(2024·四川二模)下图是某地区2016~2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图,则下列说法正确的是(ACD) A.该地区2016~2019年旅游收入逐年递增 B.该地区2016~2023年旅游收入的中位数是4.30亿元 C.该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D.该地区2016~2023年旅游收入的极差是3.69亿元 解析　A:由题图可知该地区2016~2019年旅游收入逐年递增,故A正确;B:由题图可知,2016~2023年旅游收入的中位数为=4.255(亿元),故B错误;C:从题图可知2023年旅游收入为4.91亿元,接近2018年的5.13亿元,故C正确;D:2016~2023年 旅游收入的极差是5.73-2.04=3.69(亿元),故D正确.故选ACD. 15.某产品的标准质量是50克/袋,抽取8袋该产品,称出各袋的质量(单位:克)如下:48,49,50,50,50,50,51,52.这8袋产品中,质量在以平均数为中心,1倍标准差范围内的有(B) A.4袋 B.6袋 C.7袋 D.8袋 解析　这8袋产品的平均质量==50,方差s2=×[(48-50)2+(49-50)2+4×(50-50)2+(51-50)2+(52-50)2]=1.25,标准差s=.质量在以平均数为中心,1倍标准差范围内,即在(50-,50+)内的产品有6袋.故选B. 16.已知某工厂有三条流水线用于生产某产品,三条流水线的产量之比为2∶1∶2,根据抽样,有: 流水线1 流水线2 流水线3 总计 方差 0.825 0.634 0.810 均值 9.0 9.4 9.2 则流水线2的均值为 9.2 ,流水线3的方差为 0.803 .  解析　根据题意,设三条流水线的产量为2a,a,2a,流水线2的均值为m,则=9.2,解得m=9.2,设流水线3的方差为s2,则{2a[0.825+(9.0-9.2)2]+a[0.634+(9.2-9.2)2]+2a[s2+(9.4-9.2)2]}=0.810,解得s2=0.803. 学科网（北京）股份有限公司 $$