核心微练45-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学讲义聚焦平面向量与三角形“四心”高考核心考点，系统整合外心、内心、重心、垂心的向量表示及性质，通过考点梳理、方法指导（如外心用中点垂线性质）、真题训练（含2025模拟题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破向量与几何结合的难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出“数学思维”与“几何直观”素养，设计单位向量分析角平分线方向、重心分点解决共线问题等教学活动，配合分层练习（单选、多选、填空）和即时解析，确保学生高效掌握解题策略，助力提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微练(四十五)　平面向量与三角形的“四心” 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知点O为△ABC的外心,AB的边长为2,则·=(C) A.-1 B.1 C.2 D.4 解析　 因为点O为△ABC的外心,设AB的中点为D,连接OD,则OD⊥AB,如图,所以·=·(+)=·+·=+0=×22=2.故选C. 2.已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个不共线.若·=·,则直线AD一定经过三角形ABC的(D) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析　因为·=·,所以·=(-)·=·-·=0,所以AD⊥CB,即直线AD一定经过三角形ABC的BC边上的高,即直线AD一定经过三角形ABC的垂心.故选D. 3.已知△ABC,平面内一动点P满足=+λ,则动点P一定过△ABC的(A) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析　因为,分别表示,方向上的单位向量,所以+的方向与∠BAC的平分线一致.因为=+λ,所以=λ,所以的方向与∠BAC的平分线一致,所以动点P一定过△ABC的内心.故选A. 4.在△ABC中,点O为△ABC的外心,AB=3,·=,·=6,则△ABC的面积为(A) A.3 B.2 C.4 D.3 解析　设D,E分别是AB,AC的中点,根据△ABC外心性质可得到·=(+)·=·=,同理可得·=,又因·=,可得·(-)=·-·=,可解得||=4,cos∠BAC===,所以sin∠BAC=,则S△ABC=||||·sin∠BAC=×4×3×=3.故选A. 5.(2025·江苏无锡模拟)点G,O分别是△ABC的重心和外心,且·=6,||=2,则边BC的长为(A) A.6 B.5 C.7 D.3 解析　 如图,延长AG交BC于D,连接OD,过点O作OH⊥AC于H,则D,H分别是BC,CA的中点,==×(+)=(+),所以·=(+)·=(·+·).由点O是△ABC的外心得·=||||·cos∠OAC=||||=||2=,同理·=||2=,所以·=(·+·)=(+)=6,所以+=36.易知||=||=3,所以|+|=3,即|+|=6.|+|2=(+)2=++2·=36,所以·=0,即AB⊥AC.由∠BAC=90°且D为BC的中点得,||=2||=6.故选A. 6.△ABC的重心为O,过点O的直线与AB,BC所在直线交于点E,F,若=-x,=y(x,y>0),则xy的最小值为(C) A. B. C. D.4 解析　 由O为△ABC的重心,得BO延长线必过AC的中点D,则==+,由=-x,=y,得=,=,即=+=+,又E,O,F三点共线,因此+=1,即x+y=3xy,又x>0,y>0,则3xy=x+y≥2,即xy≥,当且仅当x=y=时取等号,则xy的最小值是.故选C. 二、多项选择题 7.在等腰△ABC中,已知AB=4,CA=CB=8,若H、W、G、I分别为△ABC的垂心、外心、重心和内心,则下列四种说法正确的有(ABC) A.·=0 B.·=24 C.·=16 D.·=12 解析　A选项:H为垂心,为高线的交点,则·=0,选项A正确;B选项:·=·-·=||2-||2=32-8=24,选项B正确;C选项:·=(+)·(-)=(||2-||2)=16,选项C正确;D选项:·=·-·=2·||-2·||=8,选项D错误.故选ABC. 三、填空题 8.(2025·四川成都模拟)在△ABC中,AB=5,AC=6,D是BC的中点,H是△ABC的垂心,则·= - .  解析　连接AH,AD,因为H是△ABC的垂心,所以·=0.又D是BC的中点,所以=(+).所以·=(-)·=·-·=-·=-(+)·(-)=(-)==-. 9.如图,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC分别交于M,N两点,=x,=y,则=  .  解析　由M,G,N三点共线得,存在实数λ使得=λ+(1-λ)=xλ+y(1-λ),且0<λ<1.因为G是△ABC的重心,则=(+),所以则故xy=,x+y=,则=×3λ(1-λ)=. 10.已知O是△ABC的重心,∠BAC=120°,△ABC的面积是18,则|+|的最小值是 2 .  解析　如图,取BC的中点D,连接AD.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为O是△ABC的重心,所以O在线段AD上,且AO=2OD.因为∠BAC=120°,△ABC的面积是18,所以bcsin∠BAC=18,解得bc=72.因为D是BC的中点,所以2=+,所以4=+2·+=b2+c2-bc≥bc,即4≥72,当且仅当b=c时,等号成立,则||≥3.因为D是BC的中点,所以+=2=,所以|+|=||≥2. 学科网（北京）股份有限公司 $$