核心微练44-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学讲义聚焦平面向量综合应用高考核心考点，涵盖数量积运算、几何图形向量关系及物理应用，按基础过关到素能提升分层架构。通过考点梳理（如梯形、三角形向量问题）、方法指导（坐标法与基向量法）、真题训练（含2024模考题）等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以情境化设计和分层练习为特色，用数学眼光观察引体向上拉力合成等物理情境，数学思维推理正八边形向量关系，数学语言表达坐标运算过程。设置基础与提升分层练习，配合多解法对比，培养运算能力与应用意识，助力教师精准把控节奏，提升学生应考效率。

微练(四十四)　平面向量的综合应用 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.在梯形ABCD中,AB∥CD,·=0,||=||=||=1,则·=(A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　解法一:由AB∥CD,·=0可知,梯形ABCD是直角梯形,如图①所示,易得<,>=45°,||=,||=1,则·=||·||cos 45°=1.故选A. 解法二:由AB∥CD,·=0可知,梯形ABCD是直角梯形,如图②,以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,可知B(2,0),C(1,1),D(0,1),所以=(-1,1),=(-1,0),所以·=-1×(-1)+1×0=1.故选A. ①　　② 2.若O为△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为(B) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析　在△ABC中,|-|=|+-2|,即||=|(-)+(-)|,即|-|=|+|,所以(-)2=(+)2,即||2-2·+||2=||2+2·+||2,得4·=0.因为与均为非零向量,则⊥,即∠BAC=90°,所以△ABC是直角三角形. 3.(2025·绵阳诊断)如图,在边长为2的等边△ABC中,点E为中线BD的三等分点(靠近点B),点F为BC的中点,则·=(B) A.- B.- C. D. 解析　由题意,以点D为坐标原点,,分别为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,则D(0,0),C(-1,0),B(0,),E,F,则=,=,所以·=×+×=-,故选B. 4. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(参考数据:重力加速度大小g≈10 m/s2,≈1.732)(B) A.64 B.62 C.76 D.60 解析　设两只胳膊的拉力分别为f1,f2,则|f1|=|f2|=360 N,<f1,f2>=60°,所以|f1+f2|====360≈624(N),所以mg≈624,所以m≈62.故选B. 5.(2024·江西鹰潭二模)在Rt△ABC中,角A,B,C所对应的边为a,b,c,A=,C=,c=2,P是△ABC外接圆上一点,则·(+)的最大值是(A) A.4 B.2+ C.3 D.1+ 解析　 如图,设Rt△ABC的外心为O,则点O是AB的中点,由·(+)=2·=2(+)·=2+2·,因为c=2,故||=||=1,而·=cos<,>,故·(+)≤2+2=4,当且仅当与同向时取等号.故选A. 6.设向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,c·(a+b-c)=0,则|c|的最大值等于(D) A.1 B.2 C.1+ D. 解析　向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,不妨设a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y),因为c·(a+b-c)=0,所以(x,y)·(1-x,2-y)=x(1-x)+y(2-y)=0,即x2+y2-x-2y=0,整理可得+(y-1)2=,则|c|表示圆心为,半径为的圆上的点到原点的距离,则|c|的最大值为+=.故选D. 7.若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知|F1|=4 N,|F2|=2 N,F1与F2的夹角为120°,则下列说法正确的是(A) A.|F3|=2 N B.F1与F3的夹角为90° C.F2与F3的夹角为120° D.(F1+F3)·F2=4 解析　 如图所示,设F1,F2,F3分别为,,,将向量进行平移,平移至,将反向延长至点D,则∠AOB=120°,∠OAB'=∠DOB=180°-∠AOB=60°,在△OAB'中,由余弦定理得,OB'2=OA2+AB'2-2AB'·OAcos 60°=16+4-2×4×2×=12,所以OB'=2,即|F3|=2 N,故A正确;显然,在△OAB'中,OB'2+AB'2=12+4=16=OA2,即∠AB'O=90°,所以∠COD=∠AOB'=30°,所以F1与F3的夹角∠AOC=180°-∠COD=150°,故B错误;F2与F3的夹角∠BOC=∠DOB+∠COD=60°+30°=90°,故C错误;(F1+F3)·F2=(+)·=(+)·=·=-=-4,故D错误.故选A. 8.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为(D) A. B. C.4 D.5 解析　 如图,以直线DA,DC分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,b)(0≤b≤a),则=(2,-b),=(1,a-b),所以+3=(5,3a-4b),所以|+3|=≥5,即当3a=4b时,取得最小值5.故选D. 二、多项选择题 9.在△ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列命题正确的是(ACD) A.若·=·=·,则P是△ABC的垂心 B.若=λ,则直线AP必过△ABC的外心 C.若||=||=||,则O为△ABC的外心 D.若++=0,则N是△ABC的重心 解析　 对于A,由题意可得·-·=·(-)=·=0,所以PB⊥AC,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,故P为△ABC的垂心,故A正确;对于B,如图,设=,=,则||=||=1,以AE,AF为邻边作平行四边形AEQF,则平行四边形AEQF为菱形,则=+=+,所以=λ=λ,又因为AQ平分∠BAC,故AP必经过△ABC的内心,故B错误;对于C,因为||=||=||,所以O到△ABC的三个顶点距离相等,所以O为△ABC的外心,故C正确;对于D,记AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,由题意+=2=-,则NC=2ND,同理可得NA=2NE,NB=2NF,则N是△ABC的重心,故D正确. 三、填空题 10.已知F1=(5,4),F2=(-2,1)作用于同一质点,由点A(8,0)移动到点B(20,15),合力F对质点所做的功为 111 .  解析　合力F=F1+F2=(5,4)+(-2,1)=(3,5),=(20,15)-(8,0)=(12,15),合力F对质点所做的功为F·=3×12+5×15=111. 11.已知△ABC的三边长AC=3,BC=4,AB=5,P为AB边上任意一点,则·(-)的最大值为 9 .  解析　解法一(坐标法):由已知得AC⊥BC,所以以C为原点,建立平面直角坐标系如图所示,设P点坐标为(x,y),且0≤y≤3,0≤x≤4,则=(x,y),=(0,3).所以·(-)=·=(x,y)·(0,3)=3y,当y=3时,·(-)取得最大值9. 解法二(基向量法):因为=+,-=,所以·(-)=(+)·=+·=9-·=9-||||cos∠BAC=9-3||·cos∠BAC.因为cos∠BAC为正且为定值,所以当||最小,即||=0时,·(-)取得最大值9. 12. 在如图所示的天平中,左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品,在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码,天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1,F2,F3),若3根细绳两两之间的夹角均为,不考虑秤盘和细绳本身的重量,则F1的大小为 10 N.  解析　依题意,|F1|=|F2|=|F3|且|F1+F2+F3|=60,所以|F1+F2+F3|2=|F1|2+|F2|2+|F3|2+2F1·F2+2F2·F3+2F3·F1=3 600,即3|F1|2+3×2|F1|2×=3 600,解得|F1|=10. B级　素能提升 13.《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心,则·=(D) A.-1 B.1 C. D.1+ 解析　 在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,如图,则HC∥AB,而∠ABC=135°,即∠BCH=45°,于是∠HCD=90°,在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+,所以·=1×||·cos∠CHD=||=1+.故选D. 14. (多选题)如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为以A为圆心、AB为半径的圆弧(包含B,D)上的任意一点,且=x+y,则下列结论正确的是(ACD) A.x+y的最大值为 B.x+y的最小值为 C.·的最大值为4 D.·的最小值为4-4 解析　 分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,2).设P(2cos θ,2sin θ),θ∈,则=(2,0),=(0,2),=(2cos θ,2sin θ),所以=cos θ+sin θ,=(2-2cos θ,-2sin θ),=(-2cos θ,2-2sin θ),由条件知x=cos θ,y=sin θ,x+y= sin∈[1,],故A正确,B错误;·=4sin θ∈[0,4],·=4-4sin∈[4-4,0],故C,D正确. 15.如图,某人用1.5 m长的绳索,施力25 N,把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 30 J.  解析　因为绳索长1.5 m,拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m,斜面坡度为30°,所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sin θ==,所以cos θ===,记沿斜面向上方向的单位向量为e,则位移s=6e,W=F·s=25×6×=30. 学科网（北京）股份有限公司 $$