核心微练43-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积及其应用核心考点，涵盖数量积运算、投影、夹角、模长及几何应用等高考重点，按基础巩固到综合提升的逻辑分层构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（如坐标法、几何意义）、真题训练（含2025年模拟题）等环节，帮助学生突破运算与几何结合难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用分层教学策略，A级基础题夯实运算能力，B级提升题强化综合应用，创新融合“数学眼光”（几何图形中抽象向量关系）与“数学思维”（推理运算建模）。如第11题矩形动态问题用坐标法转化为函数求范围，培养学生直观想象与逻辑推理能力。通过真题情境训练和即时反馈，助力学生高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微练(四十三)　平面向量数量积及其应用 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知向量a,b夹角的余弦值为-,且|a|=4,|b|=1,则(a-b)·(b-2a)=(A) A.-36 B.-12 C.6 D.36 解析　(a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4×1×-1-2×16=-36. 2.已知向量a=(1,2),b=(x,3),若a⊥(a+b),则实数x=(B) A.-4 B.-11 C.11 D.4 解析　由题a+b=(1+x,5),因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=1×(1+x)+2×5=0⇒x=-11.故选B. 3.已知|a|=6,|b|=8,a与b的夹角为60°,则向量b在a方向上的投影数量为(A) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析　向量|a|=6,|b|=8,a与b的夹角为60°,所以向量b在a方向上的投影数量为=|b|cos 60°=8×=4.故选A. 4.(2025·湖北联考)在圆的内接四边形ABCD中,AD=2,CD=4,BD是圆的直径,则·=(B) A.12 B.-12 C.20 D.-20 解析　由题知∠BAD=∠BCD=90°,AD=2,CD=4,所以·=(+)·=·+·=||·||cos∠BDA-||||cos∠BDC=||2-||2=4-16=-12.故选B. 5.平面向量a与b相互垂直,已知a=(6,-8),|b|=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角,则b=(D) A.(-3,-4) B.(4,3) C.(-4,3) D.(-4,-3) 解析　设b=(x,y),则由题意,得即解得或在平面直角坐标系中,表示出向量(4,3),(-4,-3),(1,0),如图,易知向量(-4,-3)与向量(1,0)的夹角是钝角,所以b=(-4,-3).故选D. 6.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=AB=2,·=-6,则∠BAD的余弦值为(D) A.- B.- C. D. 解析　如图,=-,=+=+,所以·= (-)·=-·-=4-4cos∠BAD-8=-6,所以cos∠BAD=.故选D. 二、多项选择题 7.(2025·山东济南模拟)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则下列结论正确的是(AD) A.|a|= B.(2a-b)⊥b C.a与b的夹角为钝角 D.向量a在向量b上的投影向量的模为 解析　由题得|a|==,所以A正确;(2a-b)·b=2a·b-b2=2×[1×(-2)+3×1]-[(-2)2+12]=-3≠0,所以B 不正确;因为a·b=1×(-2)+3×1=1>0,且a与b不平行,所以a与b的夹角为锐角,所以C不正确;向量a在向量b上的投影向量的模为==,所以D正确.故选AD. 8.已知向量a,b,c都是单位向量,a-b-c=0,则(AC) A.|a-b|= B.|a+b|= C.|a+b+c|= D.a+b-c与b共线 解析　对于A选项,向量a,b,c都是单位向量,a-b-c=0,则a-b=c,所以|a-b|=|c|=,A对;对于B选项,在等式|a-b|=|c|两边平方可得a2-2a·b+b2=2c2,即2-2a·b=2,则a·b=0,a⊥b,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=2,故|a+b|=,B错;对于C选项,因为a-b-c=0,则c=a-b,所以a+b+c=a+b,所以|a+b+c|2==a2+a·b+b2=+=3,故|a+b+c|=,C对;对于D选项,a+b-c=a+b-=a+b,若a+b-c与b共线,则存在λ∈R,使得a+b-c=λb,即a+b=λb,可得a=[(2+)λ-(3+2)]b,即a∥b,这与a⊥b矛盾,假设不成立,D错.故选AC. 三、填空题 9.已知a=(2,-1),b=(6,2),则b在a方向上的投影向量的坐标为 (4,-2) .  解析　·=·(2,-1)=(4,-2). 10.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=-3e1+2e2与b=2e1+e2的夹角为 120° .  解析　因为e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,所以a·b=(-3e1+2e2)·(2e1+e2)=-6+e1·e2+2=-6+1×1×+2=-,|a|===,|b|===.设a=-3e1+2e2与b=2e1+e2的夹角为θ,可得cos θ===-,又θ∈[0°,180°],所以θ=120°. 11.(2025·重庆调研)已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E为边AB的中点,点F为线段BC上的动点,则·的取值范围是 [8,20] .  解析　解法一:=+=+.设=λ(0≤λ≤1),则=λ,则=+=+λ.所以·=(+)·(+λ)=λ+=12λ+8.因为0≤λ≤1,所以12λ+8∈[8,20],即·∈[8,20]. 解法二: 如图所示,以D为坐标原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则D(0,0),E(2,2),=(2,2),设F(a,4),则0≤a≤2,=(a,4),则·=2a+8.因为0≤a≤2,所以2a+8∈[8,20],即·∈[8,20]. 四、解答题 12.已知向量a=(2,-1),b=(1,x). (1)若a⊥(a+b),求|b|的值; (2)若a+2b=(4,-7),求向量a与b的夹角的大小. 解　(1)由题意得a+b=(3,-1+x),由a⊥(a+b),可得a·(a+b)=6+1-x=0,解得x=7,即b=(1,7),所以|b|==5. (2)由题意,得a+2b=(4,2x-1)=(4,-7),故x=-3,所以b=(1,-3),所以cos<a,b>===,因为<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角是. 13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3),B(1,5),P(1,2),M为直线OP上的动点. (1)若四边形APBQ是平行四边形,求点Q的坐标; (2)求·的取值范围. 解　(1)设Q(m,n),由A(3,3),B(1,5),P(1,2),则=(2,1),=(m-1,n-5),由四边形APBQ是平行四边形,则=,即解得即点Q的坐标是(3,6). (2)由P(1,2),故直线OP的方程为y=2x,设M(t,2t),则=(3-t,3-2t),=(1-t,5-2t),故·=(3-t)(1-t)+(3-2t)(5-2t)=t2-4t+3+4t2-16t+15=5t2-20t+18=5(t-2)2-2≥-2,故·∈[-2,+∞). B级　素能提升 14. (多选题)已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形边上任意一点,则下列说法正确的是(ACD) A.·=4+2 B.在方向上的投影向量为2 C.若函数f(x)=|+x|,则函数f(x)的最小值为2+ D.·∈[-2,4+2] 解析　对于A,延长AB,DC交于点M,如图①,正八边形内角为,因此BM=CM=,·=·(+)=4+2,故A正确;对于B,由图①可知=+,因此投影向量即为=,故B错误;对于C,由图①可知,||2=||2=||2+||2=8+4,·=-2,所以由题意可知函数f(x)=|+x|==,当x=时,f(x)取得最小值,f==2+,故C正确;对于D,过点P作直线AB的垂线,垂足为N,如图②,因此· =·(+)=·,易知当点P在线段CD上时,·取得最大值4+2,当点P在线段HG上时,·取得最小值-2,故选项D正确.故选ACD. 　　　　①　　　　　 　　　② 15.(2025·石家庄质检)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,若∃t∈R,|a+tb|<|a+b|,则向量a与b的夹角不等于(C) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　设向量a与b的夹角为θ,0°≤θ≤180°,由向量数量积的运算律可将原问题转化为∃t∈R,(a+tb)2<(a+b)2,即a2+2ta·b+t2b2<a2+2a·b+b2,根据题意整理得t2+4tcos θ-4cos θ-1<0有解,所以Δ=(4cos θ)2-4(-4cos θ-1)=16cos2θ+16cos θ+4=4(2cos θ+1)2>0,解得θ≠120°. 16.平面四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠A=120°,点N是DC边上的点,且=3,点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点,则·的最大值为  .  解析　 如图所示,根据数量积的几何意义知,当点M在C点时,在上的投影向量与同向,且长度最长,所以此时·最大.因为=+=+=+,=+,所以·=·(+)=++·=×4+4+×2×2×=.所以·的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$