核心微练42-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(四十二)　平面向量基本定理及坐标表示 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若向量a=(1,-3),b=(-2,4),则a+2b的坐标是(D) A.(3,-7) B.(-1,1) C.(5,-11) D.(-3,5) 解析　因为a=(1,-3),b=(-2,4),所以a+2b=(1,-3)+2(-2,4)=(-3,5).故选D. 2. (2025·广西模拟)如图,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=,则向量a的坐标为(A) A. B. C. D. 解析　由题意得, a=i+j=.故选A. 3.已知a=(x,-1),b=(2,1),若(a-2b)∥b,则x=(A) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　依题意a-2b=(x-4,-3),又(a-2b)∥b,所以x-4+6=0,解得x=-2.故选A. 4.在△ABC中,已知A(2,3),B(6,-4),G(4,-1)是中线AD上一点,且||=2||,那么点C的坐标为(C) A.(-4,2) B.(-4,-2) C.(4,-2) D.(4,2) 解析　由题意知,G是△ABC的重心,设C(x,y),则有解得故点C的坐标为(4,-2). 5.(2025·银川模拟)在平行四边形ABCD中,M,N分别是AD,CD的中点,=a,=b,则=(B) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析　 如图所示,设=m,=n,且=xa+yb,则=xa+yb=x+y=n-m,又因为=n-m,所以解得所以=a+b. 6.(2025·石家庄质检)在△ABC中,点M是BC的中点,点N为AB上一点,AM与CN交于点D,且=,=λ,则λ=(A) A. B. C. D. 解析　 如图,因为点M是BC的中点,所以==×(+)=(+).因为N,D,C三点共线,所以=μ+(1-μ),又=λ,所以(+)=μ+(1-μ)λ,由平面向量基本定理可知解得 二、多项选择题 7.已知向量a=(2,0),b=(1,1),则(BC) A.|a|=|b| B.4a-3b=(5,-3) C.{a,b}可以作为平面向量的一个基底 D.(a-b)∥b 解析　选项A,|a|=2,|b|=,即|a|≠|b|,A错误;选项B,4a-3b=(5,-3),B正确;选项C,2×1-0×1≠0,即a,b不共线,则{a,b}可以作为平面向量的一个基底,C正确;选项D,a-b=(1,-1),由1×(-1)-1×1≠0,即a-b与b不共线,D错误. 8.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则(AB) A.λ+μ= B.λ=4μ C.μ=4λ D.λ-μ=-1 解析　 如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),则M.故=(1,1),=,=(-1,1),由(1,1)=λ+μ(-1,1)得解得故λ+μ=,λ=4μ,λ-μ=1,故选AB. 三、填空题 9.若=(6,5),=(3,1),则与向量同向的单位向量是  .  解析　因为=(6,5),=(3,1),所以=-=(6,5)-(3,1)=(3,4),所以与向量同向的单位向量为=(3,4)=. 10.已知向量a=(1,2),b=(m,3).若(a-b)∥(a+2b),则m=  .  解析　a-b=(1-m,-1),a+2b=(1+2m,8),因为(a-b)∥(a+2b),所以8(1-m)+(1+2m)=0,即9-6m=0,解得m=. 11.已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且||=||,则点P的坐标为 (8,-15) .  解析　因为点P在线段AB的延长线上,且||=||,所以=,所以=+2=(4,-3)+2×(2,-6)=(8,-15),所以点P的坐标为(8,-15). 四、解答题 12. 如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,B,C在第一象限,||=2||=2,∠OAB=,=(-1,). (1)求点B,C的坐标; (2)判断四边形OABC的形状,并求出其周长. 解　(1)在平面直角坐标系中,由||=2,知A(2,0),设B(xB,yB),又∠OAB=,||=1,则xB=2+||cos=,yB=||sin=,所以B.又=(-1,),所以=+=+(-1,)=,所以C. (2)由(1)可得=,=,所以=3.所以∥,||=3||=3.又||==2,||=2,所以四边形OABC为等腰梯形.因为||=2,||=1,||=2,||=3,所以四边形OABC的周长为8. 13.已知向量a=(1,2),b=(-1,3),c=(4,3). (1)求|a|; (2)求满足c=ma+nb的实数m,n的值; (3)若(a+kc)∥(b-a),求实数k的值. 解　(1)|a|==. (2)由c=m(1,2)+n(-1,3)=(4,3),得解得 (3)a+kc=(1,2)+k(4,3)=(4k+1,3k+2),b-a=(-1,3)-(1,2)=(-2,1),因为(a+kc)∥(b-a),所以(4k+1)×1-(-2)×(3k+2)=0,解得k=-. B级　素能提升 14.已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),若∥,则x+2y的值为(B) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　因为=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),所以=++=(4+x,y-2),所以=(-x-4,2-y),因为∥,所以x(2-y)=y(-x-4),所以2x+4y=0,即x+2y=0. 15.(2025·河北联考)已知向量=(m,2),=(1,3),=(-4,-2).若B,C,D三点共线,则m= -1 .  解析　因为向量=(m,2),=(1,3),则=-=(1-m,1),而=(-4,-2),又B,C,D三点共线,则有∥,因此-2(1-m)+4=0,解得m=-1. 16.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义a􀱋b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1).按此运算法则,若a=(1,2),b=(2,3),则a􀱋b= (-4,7) ;若a=(1,2),a􀱋b=(6,5),则b=  .  解析　因为a=(1,2),b=(2,3),a􀱋b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1),所以a􀱋b=(1×2-2×3,1×3+2×2)=(-4,7);设b=(x,y),因为a=(1,2),a􀱋b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1),所以a􀱋b=(x-2y,2x+y),因为a􀱋b=(6,5),所以(x-2y,2x+y)=(6,5),解得即b=. 学科网（北京）股份有限公司 $$