核心微练41-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念及线性运算核心考点，涵盖向量线性运算、共线与共面判定、几何图形中的向量应用等高考重点，按概念理解、运算技能、几何应用的逻辑层次组织知识点，通过考点梳理、方法指导（如反证法判断共线）、真题训练（2025年调研题）和分层练习（A级基础、B级提升），帮助学生构建知识网络，突破向量几何意义理解难点。 资料以分层设计和真题融合为特色，通过几何图形直观分析（如四边形中点向量关系）培养数学眼光，逻辑推理（如共线向量充要条件推导）发展数学思维，向量语言描述图形性质（如判断矩形、重心）提升数学语言应用能力。基础题强化运算规范，提升题整合三角形、四边形综合应用，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

微练(四十一)　平面向量的概念及线性运算 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.化简3(a+b)+b-4(a-b)的结果是(D) A.2b-a B.-a C.6a-b D.8b-a 解析　3(a+b)+b-4(a-b)=3a+3b+b-4a+4b=8b-a. 2. (2025·渭南调研)如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,若=a,=b,则=(A) A.a+b B.a-b C.a+b D.a-b 解析　由题意知=++=++,因为E,F分别为AB,CD的中点,所以=-,=-,所以2=+,即=+,因为=a,=b,所以=a+b. 3.已知两非零向量e1,e2,且e1与e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R,且λ,μ≠0),则下列结论正确的是(C) A.a∥e1 B.a∥e2 C.a与e1,e2共面 D.以上三种情况均有可能 解析　假设a与e1共线,则a=ke1,k≠0,所以ke1=λe1+μe2,即(k-λ)e1=μe2,又λ,μ≠0,所以e1与e2共线,这和e1与e2不共线相矛盾,故假设不成立,则A不正确,同理B不正确,则D不正确;因为λ,μ≠0,a=λe1+μe2,所以a与e1,e2共面,故C正确.故选C. 4.在四边形ABCD中,若=-,且|-|=|+|,则四边形ABCD为(C) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 解析　因为=-,可得=,所以四边形ABCD 是平行四边形.又|-|=|+|,可得||=||,所以平行四边形ABCD 的对角线相等,因此四边形ABCD是矩形.故选C. 5.(2025·武汉质检)已知a,b是平面内两个不共线的向量,=a+λb,=μa+b,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是(C) A.λ-μ=1 B.λ+μ=2 C.λμ=1 D.=1 解析　若A,B,C三点共线,则存在不为0的实数m,使得=m,即a+λb=m(μa+b),可得所以λμ=1.故选C. 6.(2025·山东临沂调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于(A) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由++=0,得+=.又O为△ABC的外接圆的圆心,根据加法的几何意义,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,因此∠CAB=30°.故选A. 7. 已知在▱ABCD中,点E为CD的中点,=m,=n(mn≠0),若∥,则=(B) A.1 B.2 C. D.-2 解析　依题意设=λ,则=+=-m+n=λ(+)=λ,即-m+n=-λ+λ,所以 故=2.故选B. 8. 如图所示,设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△ABC与△AOC的面积之比为(B) A.4∶1 B.2∶1 C.3∶2 D.4∶3 解析　 如图,取AC的中点D,连接OD,则+=2,所以=-,所以O是AC边上的中线BD的中点,所以S△ABC=2S△AOC,所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1. 二、多项选择题 9.下列能化简为的是(ABC) A.-+ B.+(+) C.(+)+(-) D.+- 解析　对于A,-+=+=,符合题意;对于B,+(+)=(+)+=+=,符合题意;对于C,(+)+(-)=(+)+(-)=0+=,符合题意;对于D,+-=-≠,不符合题意. 10.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(ACD) A.若=+,则点M是边BC的中点 B.若=2-,则点M在边BC的延长线上 C.若=--,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 解析　 若=+,则点M 是边BC 的中点,故A正确;若=2-,即有-=-,即=,则点M 在边CB 的延长线上,故B错误;若=--,即++=0,则点M是△ABC 的重心,故C正确;如图,若=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,设=2,则B,C,N三点共线,且M 为AN 的中点,则△MBC 的面积是△ABC 面积的,故D正确. 三、填空题 11.在矩形ABCD中,||=2,||=4,则|+-|= 4 ,|++|= 8 .  解析　 如图,在矩形ABCD中,因为+-=++=+,所以|+-|=2||=4.因为++=++=+,所以|++|=2||=8. 12.已知向量a,b不共线,且c=λa+2b,d=a+(2λ-3)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为 - .  解析　由于c与d反向共线,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+2b=k[a+(2λ-3)b],整理得λa+2b=ka+(2λk-3k)b.由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-3λ-2=0,解得λ=2或λ=-.又因为k<0,所以λ<0,故λ=-. 13.在△ABC中,P是BC上一点,若=2,=λ+μ,则2λ+μ=  .  解析　在△ABC中,=2,则=+=+=+(-)=+,又=λ+μ,且,不共线,则λ=,μ=,所以2λ+μ=. B级　素能提升 14.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=(2++),则点P一定为(B) A.BC边中线的中点 B.BC边中线的三等分点(非重心) C.△ABC的重心 D.BC边的中点 解析　设BC的中点为M,则+=,所以=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,因为,有公共点P,所以P,M,A三点共线,且点P是线段AM上靠近A点的三等分点. 15.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|-|a-b|的取值范围是 [-2,2] .  解析　|a|=1,|b|=2⇒1=|b|-|a|≤|a±b|≤|a|+|b|=3.所以⇒-2≤|a+b|-|a-b|≤2,a,b反向共线,左侧等号成立,a,b同向共线,右侧等号成立,所以|a+b|-|a-b|的取值范围是[-2,2]. 16.(2025·佛山模拟)等腰直角△ABC中,点P是斜边BC上一点,若=+,则△ABC的面积为  .  解析　 如图,过点P作AB,AC的垂线交AB,AC分别于点E,F,由于=+,所以=,=,则||=4,||=1,所以在等腰直角△ABC中,PE=1,BE=1,所以AB=5,故△ABC的面积S=×5×5=. 学科网（北京）股份有限公司 $$