核心微练39-40-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(三十九)　余弦定理与正弦定理的综合应用 　　　　　　　　　　　　　 1.在△ABC中,D是边BC上一点,AD=5,AC=7. (1)若DC=3,B=45°,求AB; (2)若D为BC中点,且AB=,证明:∠ADC=2∠ADB. 解　(1)在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,由余弦定理得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°.即∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理,得=,解得AB=. (2)证明:设BD=DC=x.在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=,在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC=.因为∠ADC+∠ADB=180°,所以+=0,解得x=3,所以cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,从而∠ADB=60°,故∠ADC=2∠ADB. 2.(2025·贵州遵义模拟)记△ABC的内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,且sin B+cos B=1. (1)求B; (2)若b=3,求△ABC的周长的取值范围. 解　(1)因为sin B+cos B=1,所以2sin=1,即sin=,因为B∈(0,π),所以B+=,即B=. (2)因为B=,b=3,由正弦定理得====2,则a=2sin A,c=2sin C,又A+B+C=π,则C=π-B-A=-A,且A∈(0,),所以a+b+c=2sin A+2sin+3=2sin A+3cos A-sin A+3=sin A+3cos A+3=2sin+3.因为A∈,所以A+∈,则sin∈,所以a+b+c∈,综上可知,三角形ABC的周长的取值范围是. 3.(2024·河南驻马店二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中c=,且=. (1)求C; (2)求a2+b2的取值范围. 解　(1)因为tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以=,由正弦定理得,=,则=====,因为sin A≠0,sin B≠0,所以2cos C=1,则cos C=,又C∈(0,π),所以C=. (2)由余弦定理得3=a2+b2-ab,因为≥ab,所以-≤-ab,所以a2+b2-ab≥a2+b2-=,即a2+b2≤6,当且仅当a=b=时等号成立,又a2+b2=3+ab,且ab>0,所以a2+b2>3,综上,a2+b2的取值范围为(3,6]. 4.已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=. (1)若C=,求B; (2)求的取值范围. 解　(1)因为=,由正弦定理可得,=,即c2=b2+ab.又C=,所以c2=a2+b2.所以b2+ab=a2+b2,解得a=b,即A=B.又C=,所以B=. (2)由(1),知c2=b2+ab,所以a=,c>b,由三角形三边关系可得代入化简可得b<c<2b,所以==+-1.令x=∈(1,2),f(x)=x2+x-1,1<x<2,所以f(x)=-∈(1,5),所以+-1∈(1,5),所以的取值范围是(1,5). 微练(四十)　三角函数模型及解三角形的实际应用 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1. 如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(D) A.北偏东10°方向上 B.北偏西10°方向上 C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上 解析　由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上. 2.沪苏通长江公铁大桥(如图①)是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥.已知主塔AB垂直于桥面,一辆小汽车在行驶过程中,车内乘客两次仰望塔顶A的仰角分别为∠ADE=30°,∠ACE=45°(如图②),设乘客眼睛离地面的距离为DM=CN=h,CD=a(h>0,a>0).若D,C,E在同一水平高度,且AD,AC,AB在同一竖直平面内,则根据以上数据可计算主塔AB高为(A) ① ② A.a+h B.a+h C.(+1)a+h D.(-1)a+h 解析　在Rt△ADE中,AE=DEtan 30°=DE,则DE=AE,在Rt△ACE中,AE=CEtan 45°=CE,CD=DE-CE=AE-AE=(-1)AE=a,解得AE==a,所以主塔AB=AE+BE=a+h.故选A. 3.(2024·太原模拟)已知一个足球场地呈南北走向.在一次进攻时,某运动员从点A处开始带球沿正北方向行进16米到达B处,再转向北偏东60°方向行进24米到达C处,然后起脚射门,则A,C两点间的距离为(D) A.8米 B.8米 C.32米 D.8米 解析　 如图,根据题意可知,AB=16米,BC=24米,∠ABC=120°,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=162+242-2×16×24×,解得AC=8(米). 4.一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离为12海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为12海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则此时灯塔C位于游轮的(C) A.正西方向 B.南偏西75°方向 C.南偏西60°方向 D.南偏西45°方向 解析　如图,在△ABD中,B=45°,由正弦定理得===24,AD=24,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°,因为AC=12,AD=24,所以解得CD=12,由正弦定理得=,sin∠CDA=,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,因为AD>AC,故∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向.故选C. 5.矗立在上饶市市民公园(如图①)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意,也象征着上饶四省通衢,连南接北,通江达海,包容八方.如图②,某中学研究性学习小组为测量其高度,在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A,B,C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为,,,且AB=BC=20 m,则四门通天的高度为(B) ①　　② A.15 m B.10 m C.6 m D.5 m 解析　设OP=h,则OA=h,OB=h,OC=h,在△ABO中,由余弦定理得cos∠ABO==,在△BCO中,由余弦定理得cos∠OBC==,因为∠ABO+∠OBC=π,所以+=0,即800-h2=0,解得h=10. 二、多项选择题 6. 如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测到,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(BC) A.∠CAD=60° B.A,D之间的距离为15海里 C.A,B两处岛屿间的距离为15海里 D.B,D之间的距离为30海里 解析　由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,由正弦定理得=,得AD==15(海里),故B正确;在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=30海里≠30海里,故D错误;在△ABD中,由余弦定理得,AB===15(海里),故C正确.故选BC. 三、填空题 7.甲船在A处观察到乙船在它北偏东60° 的方向,两船相距a海里,乙船正在向正北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,则甲船应取北偏东θ 方向前进,才能尽快追上乙船,此时θ= 30° .  解析　 如图所示,∠CAB=60°-θ ,∠B=120° ,设甲船追上乙船时乙船行驶的距离为x,则BC=x,AC=x.在△ABC 中,根据正弦定理=,即=,得 sin(60°-θ)=,又60°-θ 为锐角,所以60°-θ=30°,得θ=30° . 8.在气象台正西方向300 km处有一台风中心,它正向东北方向移动,移动速度的大小为40 km/h,距台风中心250 km以内的地区都将受到影响,若台风中心的这种移动速度不变,大约 2 h后气象台所在地开始受到影响.(结果取整数,参考数据:≈1.4,≈2.6)  解析　 如图,设气象台所在地为O,台风中心为A,约t h后气象台所在地开始受到影响,t h后台风中心移动至B处,∠BAO=45°,在△OAB中,AB=40t,OA=300,OB=250,由余弦定理得2502=(40t)2+3002-2×300×40t×,整理得16t2-120t+275=0,解得t1=,t2=,依题意保留t1=≈2,故约2 h后开始影响气象台所在地. 四、解答题 9. 如图,为了测量隧道口A,B间的距离,开车从A点出发,沿正西方向行驶400米到达D点,然后从D点出发,沿正北方向行驶一段路程后到达C点,再从C点出发,沿东南方向行驶400米到达隧道口B点处,测得B,D间的距离为1 000米. (1)若隧道口B在点D的北偏东θ度的方向上,求cos θ的值; (2)求隧道口A,B间的距离. 解　(1)在△BCD中,由正弦定理得=,即=,所以sin∠CDB=,由题可知,∠CDB<90°,所以cos∠CDB=,即cos θ=. (2)由(1)可知,cos∠ADB=sin∠CDB=.在△ABD中,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2·BD·ADcos∠ADB=1 0002+(400)2-2×1 000×400×=1 000 000,所以AB=1 000,故隧道口A,B间的距离为1 000米. 10. 如图,为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=千米, AN=千米. (1)求线段MN的长度; (2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值. 解　(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos 120°=3+3-2×××=9,得MN=3,所以线段MN的长度为3千米. (2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α,在△PMN中,由正弦定理,得====2,所以PM=2sin(120°-α),PN=2sin α,因此PM+PN=2sin(120°-α)+2sin α=2+2sin α=3sin α+3cos α=6sin(α+30°).因为0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°.所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN取到最大值6.所以两条观光线路PM与PN之和的最大值为6千米. B级　素能提升 11. 如图所示,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE= 200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF= - .  解析　 如图,作DM∥AC交BE于点N,交CF于点M,则DF===(m),DE===100(m),EF===130(m),在△DEF中,由余弦定理得cos∠DEF===-. 学科网（北京）股份有限公司 $$