核心微练38-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角形三线（高线、中线、角平分线）核心考点，以正弦定理、余弦定理为基础，融合面积公式、向量工具及角平分线定理，构建从单一知识点到综合应用的递进式知识网络。通过考点梳理（如中线向量表示）、方法指导（面积法求高）、真题训练（解答题综合应用）等环节，帮助学生突破定理应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与数学语言的培养，创新采用“定理应用情境化”教学策略，如解答题第9题通过角平分线分面积建立方程，引导学生用数学思维推理关系，用规范公式语言表达过程。设置分层练习（单选基础、解答综合），配合即时方法总结，确保学生在有限时间内掌握三线问题通法，有效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微练(三十八)　三角形的三线——高线、中线、角平分线 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.在△ABC中,已知B=,BC上的高为BC,则cos A为(A) A.- B. C.- D. 解析　因为B=,BC边上的高等于BC,所以AB==BC,AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos 45°=BC2,所以cos A==-. 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0,若D是BC的中点,AD=,b=3,则c=(B) A.3 B.4 C.5 D.6 解析　因为asin B+bcos A=0,所以sin Asin B+sin Bcos A=0,因为sin B≠0,所以tan A=-,因为0<A<π,所以A=,若D是BC的中点,则=(+),两边平方可得=(c2+b2-bc),即c2+b2-bc=13,若b=3,则c2-3c-4=0,解得c=4或c=-1(舍去).故选B. 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,BC边上的高AD=,则++=(A) A.3 B.2 C.5 D.1 解析　在△ABC中,BC边上的高AD=,由S△ABC=a×a=bcsin,得a2=bc.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc,所以b2+c2-bc=bc,得b=c,所以a=b=c.所以++=1+1+1=3. 4.在斜△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A+bsin B-csin C=3bsin Bcos C,若CD是∠ACB的平分线,且CD=AC=2,则cos∠ACB=(B) A. B. C. D. 解析　 如图,asin A+bsin B-csin∠ACB=3bsin Bcos∠ACB,由正弦定理可得a2+b2-c2=3b2cos∠ACB,由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcos∠ACB,由于∠ACB≠,所以cos∠ACB≠0,所以2a=3b,由于CD=AC=2,所以b=2,a=3,由于====,所以BD=AD,由余弦定理可得BD2=32+22-2×3×2×cos=13-12cos,AD2=22+22-2×2×2×cos=8-8cos,因为BD=AD,所以4BD2=9AD2,所以52-48cos=72-72cos,所以cos=,所以cos∠ACB=2cos2-1=2×-1=,故选B. 二、多项选择题 5.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,则(ACD) A.△ABC的周长是5+ B.BC边上的中线长为 C.BC边上的角平分线长为 D.BC边上的高长为 解析　因为在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,所以由余弦定理得BC===,所以△ABC的周长是2+3+=5+,故A正确;设BC边上的中线为AD,则2=+,两边平方,可得4=++2·=22+32+2×2×3×,解得||=,故B错误;设BC边上的角平分线为AE,则∠BAE=∠CAE==30°,则由S△ABC=S△BAE+S△CAE得,×2×3×sin60°=×2×AEsin 30°+×3×AEsin 30°,解得AE=,故C正确;设BC边上的高为AH,因为AB=2,AC=3,∠BAC=60°,BC=,所以S△ABC=×2×3×=××AH,解得AH=,故D正确.故选ACD. 三、填空题 6.已知△ABC的面积为2,AB=2,AC=4,则△ABC的中线AD的长为 或 .  解析　由题意得S△ABC=AB·ACsin A=4sin A=2⇒sin A=,故A=或A=.当A=时,由=(+),得=(+)2=(++2·cos A)==7,所以AD的长为.当A=π时,同上过程,得==3,所以AD的长为. 7.已知三角形ABC中,BC=6,角A的平分线交BC于点D,若=,则三角形ABC面积的最大值为 12 .  解析　设AB=x,∠BAC=θ,则在△ABD中,由正弦定理可得=　①,在△ACD中,由正弦定理可得=　②,又∠ADB+∠ADC=π,所以sin∠ADB=sin∠ADC,又=,联立①②式可得=,则AC=2x,设三角形ABC的面积为S,则S=AB·AC·sin∠BAC=x·2x·sin θ=x2·sin θ,在△ABC中,由余弦定理可得cos∠BAC==,则S2=x4·sin2θ=x4·(1-cos2θ)=x4·=x4-=-(9x4-360x2+362)=-(x4-40x2+144)=-,当x2=20时,S2有最大值,(S2)max=×256=144,所以Smax=12. 8.在△ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足A=,a=,·=3,AD是△ABC的中线,则AD=  .  解析　由平面向量数量积的定义可得·=-·=-bccos A=bc=3,可得bc=6,由余弦定理可得a2=19=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=b2+c2+6,可得b2+c2=13,因为AD是△ABC的中线,则=(+),即2=+,所以,4||2=++2·=b2+c2+2bccos=b2+c2-bc=13-6=7,所以,2AD=,故AD=. 四、解答题 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+acos C=csin(B+C). (1)求角C的大小; (2)若点D在AB上,CD平分∠ACB,a=2,c=,求CD的长. 解　(1)依题意,得a+acos C=csin A,根据正弦定理得sin A+sin Acos C=sin Csin A,因为0<A<π,所以sin A>0,则1+cos C=sin C,即sin C-cos C=1,即sin C-cos C=,所以sin=.又0<C<π,则C-=,所以C=. (2)在△ABC中,根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab,即7=4+b2-2b,解得b=3或b=-1(舍去),依题意,得S△ACD+S△BCD=S△ABC,即a·CD·sin+b·CD·sin=ab·sin,化简得(a+b)·CD=ab,则CD=. 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2csin B=(2a-c)tan C. (1)求角B; (2)若c=3a,D为AC的中点,BD=,求△ABC的周长. 解　(1)因为2csin B=(2a-c)tan C,所以2sin Csin B=(2sin A-sin C)·,sin C≠0,则2sin Bcos C=2sin A-sin C=2sin(B+C)-sin C=2(sin Bcos C+cos Bsin C)-sin C,整理得2sin Ccos B=sin C.又sin C≠0,所以cos B=,而B∈(0,π),所以B=. (2)由c=3a,及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+9a2-2a×3a×cos=7a2,b=a.又D是AC的中点,则AD=CD=a.在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ADB=.在△CBD中,由余弦定理,得cos∠CDB=.因为∠CDB+∠ADB=π,cos∠CDB+cos∠ADB=0,所以+=0,解得a=2,所以△ABC的周长为a+b+c=a+a+3a=8+2. 学科网（北京）股份有限公司 $$