核心微练37-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学高考复习讲义聚焦余弦定理、正弦定理核心考点，按定理应用、解三角形计算、面积求解等逻辑层次组织知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解三角形问题的解题框架，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用分层练习设计，A级夯实基础如简单定理应用，B级提升能力如综合公式推导，融入2025八省联考等真题训练。通过引导学生用数学思维分析题目条件，用数学语言规范解题步骤，培养推理能力和模型意识，帮助学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微练(三十七)　余弦定理、正弦定理 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知在△ABC中,A=,B=,a=1,则b=(D) A.2 B.1 C. D. 解析　由正弦定理=,得=,所以=,所以b=. 2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin A+bsin B-csin C=asin B,则cos C=(C) A. B. C. D. 解析　因为asin A+bsin B-csin C=asin B,由正弦定理可得a2+b2-c2=ab,由余弦定理可得cos C===. 3.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(C) A.6 B.8 C.24 D.48 解析　由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos A,即64=100+AB2-2AB×10×,所以AB2-12AB+36=0,所以AB=6,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC.所以S△ABC=AB·BC=×6×8=24,故选C. 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,tan B=,a=,则b=(A) A.2 B. C.3 D. 解析　由tan B=,可得=,又sin2B+cos2B=1,所以+cos2B=1,解得cos B=±,又因为tan B=>0,0<B<π,所以0<B<,cos B=,所以sin B=cos B=,由正弦定理可得=,所以=,解得b=2.故选A. 5.(2025·河南调研)在△ABC中,若 A=,AB=1,AC=,则BC边上的高为(C) A.1 B. C. D.2 解析　解法一:由余弦定理得BC==1,所以cos B===-,解得B=.设BC边上的高为h,则h=AB·sin B=1×=.故选C. 解法二:由余弦定理得BC==1,设BC边上的高为h,则S△ABC=AB·AC·sin=×1×h,解得h=.故选C. 6.(2025·石家庄质检)在△ABC中,若2cos2A-cos A=2cos2B+2cos2C-2+cos(B-C),则A=(B) A. B. C. D. 解析　因为2cos2A-cos A=2cos2B+2cos2C-2+cos(B-C),所以2(1-sin2A)-cos[π-(B+C)]=2(1-sin2B)+2(1-sin2C)-2+cos(B-C),则2-2sin2A+cos Bcos C-sin Bsin C=2-2sin2B-2sin2C+cos Bcos C+sin Bsin C,整理得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,再由余弦定理得cos A===.因为A∈(0,π),故A=. 二、多项选择题 7.(2025·张家口质检)下列命题中正确的是(BCD) A.在△ABC中,A>B,则sin A<sin B B.在锐角△ABC中,sin A>cos B恒成立 C.若==,则△ABC必是等边三角形 D.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=60°,b2=ac,则△ABC必是等边三角形 解析　对于A,由A>B,可得a>b,利用正弦定理可得sin A>sin B,错误;对于B,在锐角△ABC中,A,B∈,因为A+B>,所以>A>-B>0,所以sin A>sin=cos B,所以sin A>cos B恒成立,正确;对于C,==,由正弦定理==,得tan A=tan B=tan C,又A,B,C为三角形内角,所以A=B=C,△ABC为等边三角形,正确;对于D,由于B=60°,b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,可得A=C=B=60°,正确.故选BCD. 8.由下列条件解△ABC,其中有一解的是(ABC) A.b=20,A=45°,C=80° B.a=30,c=28,B=60° C.a=11,b=6,A=45° D.a=9,c=10,A=30° 解析　对于A,由b=20,A=45°,C=80°,B=180°-A-C=55°,由正弦定理可得==,由a=和c=可知a和c只有唯一解,所以△ABC只有唯一解,因此A正确;对于B,因为a=30,c=28,B=60°,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B可知b只有唯一解,所以三角形的三个边唯一确定,即△ABC只有唯一解,因此B正确;对于C,因为a=11,b=6,A=45°,由正弦定理得=,即sin B==×=<,又b<a,所以B<45°,所以角B只有唯一解,即△ABC只有唯一解,因此C正确;对于D,因为a=9,c=10,A=30°,由正弦定理得=,所以sin C==×=>,又c>a,所以C>A=30°,所以角C有两个解,即△ABC有两个解,因此D不正确.故选ABC. 三、填空题 9.在△ABC中,CD为角C的平分线,若B=2A,3AD=4BD,则cos A=  .  解析　 因为CD为角C的平分线,所以==,因为3AD=4BD,所以=,不妨设AC=4x,BC=3x,x>0,如图,在△ABC中,=,B=2A,所以=⇒=,因为sin A≠0,x≠0,所以=3,所以cos A=. 10.(2025·江西部分学校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若cos B=,且△ABC的周长和面积分别是10和2,则b= 3 .  解析　因为cos B=,所以sin B=,所以acsin B=ac=2,所以ac=16.因为a+b+c=10,所以a+c=10-b,所以a2+c2+2ac=100-20b+b2,所以a2+c2-b2=68-20b.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,即b2=a2+c2-8,所以a2+c2-b2=8,则68-20b=8,解得b=3. 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,(1+)c=2b,则B=  .  解析　解法一:在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,又b=c,所以a=c.由正弦定理得=,所以sin C=sin A=·sin=.因为c<b,所以C为锐角,C=,所以B=π--=. 解法二:在△ABC中,由(1+)c=2b及正弦定理得(1+)·sin C=2sin B.因为A=,所以(1+)sin=2sin B,展开得cos B+sin B=2sin B,化简整理得tan B===tan,所以B=. 四、解答题 12.(2025·沧衡联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin=asin B. (1)求A的大小; (2)若a=4,且△ABC的面积是,求b+c的值. 解　(1)因为bsin=asin B,所以sin Bsin=sin Asin B.因为0<B<π,所以sin B≠0,所以sin=sin A,所以sin A-cos A=sin A,即sin A=-cos A,所以tan A=-,又0<A<π,所以A=. (2)因为△ABC的面积是,所以bcsin A=bc=,解得bc=4.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即b2+c2+bc=16,则(b+c)2-bc=16,即(b+c)2=16+bc=20,故b+c=2. 13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知=,a=3. (1)求角A; (2)若点D在边AC上,且=+,求△BCD面积的最大值. 解　(1)因为=,由正弦定理得=,整理得到2sin Bcos A-sin Ccos A=cos Csin A,即2sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A=sin(C+A)=sin B,又B∈(0,π),所以sin B≠0,得到cos A=,又A∈(0,π),所以A=. (2)如图,因为=+,所以=+=++=+=,又S△BCD=S△ABC=×bcsin A=bcsin=bc,又由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得32=b2+c2-2bccos≥2bc-bc=bc,所以bc≤9,所以S△BCD=bc≤×9=,当且仅当b=c=3取等号,所以△BCD面积的最大值为. B级　素能提升 14.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若sin2C=2sin2A-3sin2B,则tan B的最大值为(A) A. B. C. D. 解析　由题意sin2C=2sin2A-3sin2B,由正弦定理得c2=2a2-3b2,化简得b2=a2-c2,由余弦定理得cos B====×≥×=,当且仅当a=2c时等号成立,从而可得B为锐角,所以≤cos B<1,得≤cos2B<1,则1<≤,所以tan2B===-1∈,所以tan B的最大值为,故选A. 15.剪纸,又叫刻纸,是一种镂空艺术.如图,原纸片为一圆形,直径AB=20 cm,需要剪去四边形ACDC1,可以通过对折、沿DC,AC裁剪、展开实现.已知点C在圆上,且AD=5 cm,∠DCA=45°,则四边形ACDC1的面积为 30 cm2.  解析　 如图所示,设圆心为O,连接BC,OC,∠DCA=45°,∠BCA=90°,故CD平分∠BCA,==.又AC2+BC2=202,解得AC=2,BC=6,CD≥=6,在△ACD中,AD2=CD2+AC2-2CD·ACcos 45°,即CD2-4CD+15=0,解得CD=3或CD=(舍去).故S△ACD=CD·CAsin 45°=×3×2×=15,故四边形ACDC1的面积为30. 16.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,bsin C-ccos B=c. (1)BD是边AC上的中线,BD=2,且a2+c2=10,求AC的长度; (2)若△ABC为锐角三角形,且a=2,求△ABC面积的取值范围. 解　(1)bsin C-ccos B=c,由正弦定理,得sin Bsin C-sin Ccos B=sin C,因为0<C<π,sin C>0, 所以sin B-cos B=1,所以sin=,因为0<B<π,所以B-=,解得B=,因为=(+),所以4=(+2·+),16=c2+2accos B+a2=c2+ac+a2,又因为c2+a2=10,所以ac=6,在△ABC中,由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=10-6=4,所以b=2,即AC=2. (2)由题设S=acsin B=c=sin C====+,因为△ABC为锐角三角形,所以0<A<,0<C=-A<,从而<A<,可得tan A>,所以0<<,则△ABC面积的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$