核心微练32-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(三十二)　简单的三角恒等变换 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.sin 15°cos 45°+sin 105°sin 135°=(C) A. B. C. D.1 解析　因为sin 105°=sin(90°+15°)=cos 15°,sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°,所以sin 15°cos 45°+sin 105°sin 135°=sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°=sin(15°+45°)=sin 60°=. 2.已知tan α=,则=(D) A.-2 B.- C. D.2 解析　因为tan α=,所以====2. 3.已知α,β为钝角,且cos α=-,sin β=,则α+β=(D) A. B. C. D. 解析　由于α,β为钝角,且cos α=-,sin β=,所以sin α=,cos β=-,且α∈,β∈,所以α+β∈(π,2π),所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-×-×=,所以α+β=,故选D. 4.(2025·江西宜春模拟)已知α∈,tan=tan,则=(A) A.6+4 B.6-4 C.17+12 D.17-12 解析　因为α∈,tan=tan,所以=×,tan α<-1,解得tan α=-3-2或tan α=-3+2(舍),则==(tan2α-2tan α+1)=(tan α-1)2=(-3-2-1)2=6+4.故选A. 5.(2025·河北联考)若α∈,=,则cos=(C) A. B. C. D.0 解析　由=,得3(1+tan2α)=8×=8×,则3(1+tan2α)2=8-8tan2α,解得tan2α=(负值舍去).因为α∈,所以tan α=,所以α=,所以cos=cos=. 6.若α∈,β∈,且tan(α-β)=-,tan β=,则2α-β的值为(B) A.- B.- C. D. 解析　因为α∈,β∈,则-π<α-β<0,又因为tan(α-β)=->-1,则-<α-β<0,由二倍角正切公式可得tan[2(α-β)]===-,所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]===-1,因为-<α-β<0,0<β<,则-<2(α-β)+β<,即-<2α-β<,因此2α-β=-.故选B. 二、多项选择题 7.(2025·合肥模拟)下列计算结果正确的是(BD) A.cos(-15°)= B.sin 15°sin 30°sin 75°= C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=- D.2sin 18°cos 36°= 解析　对于A,cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=,所以A错误;对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B正确;对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,所以C错误;对于D,2sin 18°cos 36°=2cos 72°cos 36°=2××==,所以D正确.故选BD. 8.已知α,β满足0<α<<β<π,且sin α=,cos β=-,则(BCD) A.α+β<π B.β-α< C.β-2α=0 D.tan 2α+tan 2β>0 解析　因为0<α<<β<π,且sin α=,cos β=-,所以cos α=,sin β=,<α+β<,则sin(α+β)=×+×=-,所以π<α+β<,故A错误;由0<α<<β<π,得0<β-α<π,cos(β-α)=-×+×=,所以0<β-α<,故B正确;由0<β-α<,0<α<,得-<β-2α<,sin(β-α)=,sin(β-2α)=sin=×-×=0,所以β-2α=0,故C正确;因为tan α==2,tan β==-,所以tan 2α===-,tan 2β===,故tan 2α+tan 2β=-+=>0,故D正确.故选BCD. 三、填空题 9.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin 18°,若m2+n=4,= 2 .  解析　因为m=2sin 18°,m2+n=4,所以n=4cos218°,==2. 10.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α= - .  解析　因为<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,故π<α+β<,0<α-β<,故sin(α-β)==,cos(α+β)=-=-,则sin 2α=sin=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-×+×=-. 11.设α,β为锐角,且2α-β=,=1,则x= 1 .  解析　因为2α-β=,所以β=2α-.所以cos β=cos=sin 2α,sin β=sin=-cos 2α.又因为=1,所以x=tan αcos β-sin β=tan αsin 2α+cos 2α=2sin2α+1-2sin2α=1,故x=1. 四、解答题 12.已知tan=2,α∈. (1)求sin α的值; (2)求的值. 解　(1)因为tan=2,所以=2,解得tan α=.因为α∈,所以α∈,又解得sin α=或sin α=-(舍去). (2) = ==1. 13.已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x. (1) 求f的值; (2) 若f=,α∈,求cos α 的值. 解　(1)因为f(x)=2cos2x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x=1+2sin,所以f=1+2sin=1+2sin=2. (2)由f=,α∈,得sin=,又α+∈,所以cos=,所以cos α=cos=coscos+sinsin=×+×=. B级　素能提升 14.筒车是一种水利灌溉工具(如图①所示),筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动,筒车转轮的中心为O,筒车的半径为r,筒车转动的周期为24 s,如图②所示,盛水桶M在P0处距水面的距离为h0.4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为h1,若h1-h0=r,则直线OP0与水面的夹角为(A) ①　②　 A. B. C. D. 解析　如图,过O作直线l与水面平行,过 P0作P0A⊥l,垂足为点A,过 P1作P1B⊥l,垂足为点B,设∠AOP0=α,∠BOP1=β,则β-α=×2π=,其中0<α<, 则sin α=,sin β=,所以sin β-sin α===,所以sin-sin α=sin α+cos α-sin α=-=-sin=,整理可得sin=-,因为0<α<,则-<α-<,所以α-=-,解得α=.故选A. 15.(2025·哈尔滨模拟)已知2cos(α-β)+cos(α+β)=,其中α,β均为锐角,则tan(α-β)的最大值为(C) A. B. C. D. 解析　由2cos(α-β)+cos(α+β)=,得3cos αcos β+sin αsin β=,得3cos αcos βsin β+sin αsin2β=sin α,3cos αcos βsin β=sin α(1-sin2β),即3cos αcos βsin β=sin αcos2β,即=,得3tan β=tan α,由α,β均为锐角可知tan α>0,tan β>0.所以tan(α-β)===≤=,当且仅当=3tan β,即tan β=时取等号,所以tan(α-β)的最大值为.故选C. 16.已知2sin α=2sin2-1. (1)求sin αcos α+cos 2α的值; (2)已知α∈(0,π),β∈,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值. 解　(1)由已知得2sin α=-cos α,所以tan α=-.sin αcos α+cos 2α===. (2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β==-,则tan(α+2β)===-1.因为β∈,所以2β∈(0,π),又tan 2β=->-,则2β∈,因为α∈(0,π),tan α=->-,所以α∈,则α+2β∈,所以α+2β=. 学科网（北京）股份有限公司 $$