核心微练31-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(三十一)　两角和与差及倍角公式 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.cos 40°cos 20°-sin 40°sin 160°=(B) A.- B. C.- D. 解析　cos 40°cos 20°-sin 40°sin 160°=cos 40°cos 20°-sin 40°sin 20°=cos(40°+20°)=.故选B. 2.(2025·四川宜宾一诊)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,已知角α的终边上一点P的坐标为(-1,2),角β的终边与角α的终边关于x轴对称,则tan=(C) A.- B. C.-3 D.3 解析　因为角α的终边上一点P的坐标为(-1,2),角β的终边与角α的终边关于x轴对称,所以点(-1,-2)是角β的终边上的点,所以tan β=2,所以tan===-3.故选C. 3.=(D) A.- B.- C. D. 解析　==tan(105°-45°)=tan 60°=.故选D. 4.已知sin α+cos α=,则cos=(B) A.- B.- C. D. 解析　因为sin α+cos α=,所以sin α+cos α=2sin=,所以sin=,所以cos=1-2sin2=,所以-cos=cos=2cos2-1=,所以cos=-.故选B. 5.已知sincos=-,则cos=(D) A. B.- C. D.- 解析　因为sin=sin=cos,所以coscos=-,而-=,所以cos=cos=coscos+sin·sin,即-=-+sinsin,所以sinsin=-,所以cos=cos=coscos-sinsin=--=-.故选D. 6.定义运算=ad-bc,若cos α=,=,0<β<α<,则β=(D) A. B. C. D. 解析　由题意,得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=.又因为cos α=,所以sin α=,sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,所以β=. 二、多项选择题 7.下列各式中,值为的是(BC) A.cos2-sin2 B. C.2sin 195°cos 195° D. 解析　cos2-sin2=cos=cos=,A错误;=·=tan 45°=,B正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,C正确;==,D错误.故选BC. 8.已知sin(α+β)=,tan α-tan β=0,则(ACD) A.sin αcos β= B.tan(α+β)=2+ C.sin 2αsin 2β= D.cos(α-β)=± 解析　因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(α+β)=±=±,所以tan(α+β)==±(2+),故B错误;又tan α-tan β=0,即=,即sin αcos β=sin βcos α,所以sin αcos β=,解得sin αcos β=,所以sin βcos α=sin αcos β=,故A正确;sin 2αsin 2β=4sin αcos αsin βcos β=4(sin αcos β)(cos αsin β)=4××=,故C正确;因为cos(α+β)=±,cos2(α-β)-cos2(α+β)=(cos αcos β+sin αsin β)2-(cos αcos β-sin αsin β)2=4cos αcos βsin αsin β=sin 2αsin 2β=,所以cos2(α-β)=cos2(α+β)+=+=,所以cos(α-β)=±,故D正确.故选ACD. 三、填空题 9.已知sin=,x∈(0,π),则sin 2x= - .  解析　由题意知=(sin x+cos x),则=(sin x+cos x)2=(1+2sin xcos x),则sin 2x=2sin xcos x=-1=-. 10.求值:sin 220°(tan 10°-)= 1 .  解析　原式=-sin 40°=-sin 40°·=-sin 40°·===1. 11.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin=  .  解析　依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sin β=,所以sin β=-.又β是第三象限角,因此有cos β=-,所以sin=-sin=-sin βcos-cos βsin=. 四、解答题 12.已知α,β为锐角,cos=,cos(α+β)=-. (1)求sin的值; (2)求cos的值. 解　(1)因为α为锐角,cos=>0, 所以<α+<.所以sin===,则sin=2sincos=2××=. (2)由于α,β为锐角,则0<α+β<π.又cos(α+β)=-,则sin(α+β)===,所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-×+×=. 13.已知函数f(x)=2cos,x∈R. (1)求f(π)的值; (2)若f=,α∈,求f(2α)的值. 解　(1)f(π)=2cos=-2cos=-2×=-. (2)因为f=2cos=-2sin α=,所以sin α=-.又α∈,所以cos α===,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.所以f(2α)=2cos=2cos 2αcos+2sin 2αsin=2××+2××=. B级　素能提升 14.若α+β=,tan α=2,则=(B) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析　由题意得tan β=tan==3,则===tan α-tan β=-1.故选B. 15.已知tan 20°+λcos 70°=3,则实数λ=(D) A. B. 2 C. 3 D. 4 解析　由已知可得,+λsin 20°=3,则sin 20°+λsin 20°cos 20°=3cos 20° ,即sin 40°=3cos 20°-sin 20°=2sin(60°-20°)=2sin 40° ,所以λ=4.故选D. 16.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α= -4 .  解析　由已知得3cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0,因此3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0,整理得8cos(α+β)cos α+2sin(α+β)sin α=0,因此sin(α+β)sin α=-4cos(α+β)cos α,于是·=-4,即tan(α+β)tan α=-4. 学科网（北京）股份有限公司 $$