核心微练12-13-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2027年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

该高中数学讲义围绕抽象函数、幂函数、指数与对数运算等高考核心考点，按函数性质（奇偶性、对称性、单调性）与运算规律（定义、性质、应用）的逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理、方法指导（如构造函数法）、真题训练（含2025年模拟题）等环节，帮助学生突破抽象函数性质转化、幂指对运算化简等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料采用分层练习设计（A级基础过关、B级素能提升），突出数学思维培养，如抽象函数中通过对称关系推理函数值，幂指对运算中利用符号转化简化问题。设置“性质辨析—实例应用—综合拓展”三步教学活动，配合即时反馈，确保学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供支撑，助力提升学生应考能力。

微练(十二)　抽象函数 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(3x)=4f(x)且f(1-x)+f(x)=2,则f=(A) A. B. C. D. 解析　由f(1-x)+f(x)=2,可知f(x)关于点(,1)对称,又f(0)=0,则f(1)=2,又f(3x)=4f(x),则f(x)=f(3x),所以f=f(1)=,所以f=2-f=2-=.故选A. 2.(2025·福建模拟)已知y=f(x+1)+1为奇函数,则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=(D) A.6 B.5 C.-6 D.-5 解析　由题y=f(x+1)+1为奇函数,则f(-x+1)+1=-f(x+1)-1,所以f(-x+1)+f(x+1)=-2⇒f(2-x)+f(x)=-2,所以f(x)关于点(1,-1)对称,所以f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=[f(-1)+f(3)]+f(1)+[f(0)+f(2)]=-2-1-2=-5,故选D. 3.若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为(A) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-2,0) D.(-1,0) 解析　由f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x,可得f(2x+1)+(2x+1)2>f(x-1)+(x-1)2.令g(x)=f(x)+x2,因为f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)也是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,从而|2x+1|>|x-1|,解得x<-2或x>0.故选A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)单调递增,且f(4)=0,则满足不等式x·f(x-1)<0的x的取值范围是(C) A.(-3,1) B.(1,5) C.(-3,0)∪(1,5) D.(-∞,-3)∪(1,5) 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,x>0时,f(x)单调递增,且f(4)=0,所以当x∈(-∞,-4)∪(0,4)时,f(x)<0,当x∈(-4,0)∪(4,+∞)时,f(x)>0,不等式xf(x-1)<0,则当x<0时,有f(x-1)>0,即-4<x-1<0或x-1>4,解得-3<x<1或x>5,又x<0,所以-3<x<0;当x>0时,有f(x-1)<0,即x-1<-4或0<x-1<4,又x>0,解得1<x<5.综上,不等式xf(x-1)<0的解集为(-3,0)∪(1,5).故选C. 5.(2025·陕西模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递减,则(D) A.f(f(x))是偶函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(f(-1))<f(f(-2)) D.g(-f(-1))>g(f(-2)) 解析　由f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),得f(f(x))是奇函数,且定义域(全体实数)关于原点对称,由f(g(-x))=f(g(x)),且定义域(全体实数)关于原点对称,得f(g(x))为偶函数,故A,B选项均错误;由题易知函数f(x)在R上单调递减,函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,由-1>-2,得f(-1)<f(-2),从而f(f(-1))>f(f(-2)),即C选项错误;由0=f(0)<f(-1)<f(-2),得|-f(-1)|<f(-2),从而g(-f(-1))>g(f(-2)),即D选项正确.故选D. 二、多项选择题 6.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,若f(x-1)为偶函数,g(x)为奇函数,且g(x)=f,则(CD) A.f=1 B.f(x)=f(x+1) C.f为奇函数 D.g为偶函数 解析　依题意,可设f(x)=cos πx,则f(x-1)=cos π(x-1)=-cos πx为偶函数,由g(x)=f=cos π=sin πx为奇函数,且函数f(x),g(x)的定义域均为R,对于A,f()=cosπ=0≠1,排除A;对于B,显然f(x)=cos πx的最小正周期是2,排除B;对于C,f=cosπ=-sin πx是奇函数,故C正确;对于D,g=sinπ=cos πx,显然是偶函数,故D正确.故选CD. 7.(2025·兰州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,则下列关于f(x)的结论中正确的有(AD) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x)在[0,1]上单调递增 C.f(x)在[1,2]上单调递减 D.f(2)=f(0) 解析　根据题意,若f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x),f(x)是周期为2的周期函数,则有f(2)=f(0),故D正确;若f(x+2)=f(x),且函数f(x)为偶函数,则有f(x+2)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;因为f(x)在[-1,0]上单调递增,且函数f(x)为偶函数,则函数f(x)在[0,1]上单调递减,故B错误;又f(x)是周期为2的周期函数,则函数f(x)在[1,2]上单调递增,故C错误. 三、填空题 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x+y)=f(x)+f(y)+1,则f(4)= 7 .  解析　令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)+1=3.令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)+1=7. 9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0,则m的取值范围为 (1,+∞) .  解析　当x≥0时,f(x)=x2+2x,故f(x)在[0,+∞)上单调递增.函数在x=0处连续,又f(x)是定义域为R的奇函数,故f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x),由f(3+m)+f(3m-7)>0,可得f(3+m)>f(7-3m),又因为f(x)在R上单调递增,所以3+m>7-3m,解得m>1. 10.设奇函数f(x)满足f(1)=0,且对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则不等式xf(x)<0的解集为 (-∞,-1)∪(1,+∞) .  解析　由题意知,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)为奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,因为f(1)=0,则有f(-1)=0,由xf(x)<0可得,当x>0时,不等式可化为f(x)<0=f(1),解得x>1;当x<0时,不等式可化为f(x)>0=f(-1),解得x<-1.综上,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 微练(十三)　幂函数、指数与对数的运算 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.(2025·保定检测)已知a=,b=,c=2,则(A) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　由题意得b=<==a,a==<4<5=2=c,所以b<a<c.故选A. 2.已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(C) A.25 B.5 C. D. 解析　因为2a=5,b=log83,即23b=3,所以4a-3b====. 3.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f=(C) A.3 B. -3 C. D. - 解析　设f(x)=xα ,则=2α=3,所以f==(2α)-1=. 4.(2025·天津质检)计算2log32-log3+(-1)0+log38-2的结果为(D) A.-7 B.-3 C.0 D.-6 解析　2log32-log3+(-1)0+log38-2=log34-log3+log38+1-=log3+1-=log39+1-9=-6.故选D. 5. 已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=,x=与y=xa,y=xb的图象分别交于A,B,C,D四点,且|AB|=|CD|,则+=(B) A. B.1 C. D.2 解析　由|AB|=|CD|,得-=-,即=-≠0,所以+=1. 6.已知0<m<1,0<n<1,且2log4m=log2(1-n),则+的最小值是(B) A.18 B.16 C.10 D.4 解析　因为0<m<1,0<n<1,且2log4m=log2(1-n),所以log2m=log2(1-n),所以m+n=1,所以+=·(m+n)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立,所以+的最小值是16. 二、多项选择题 7.已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是(ABC) A.a+2b=1 B.ab< C.10a+b>4 D.a>b 解析　因为10a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,A正确;易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b=时取等号,又10a≠102b,即a≠2b,所以ab<,B正确;10a+b=2>4,C正确;由(10a)2=102a=4<5=102b,得a<b,D错误.故选ABC. 8.下列运算中,正确的是(AB) A.-=-2 B.若a+=14,则+=4 C.若log73=a,log74=b,则log742=1++ D.若4a=6b=9c,则+= 解析　对于A,-=-=-=-2,正确;对于B,因为a+=14,所以+===4,正确;对于C,因为log73=a,log74=b,所以log742=log77+log73+log72=1+log73+log74=1+a+,不正确;对于D,当a=b=c=0时,4a=6b=9c成立,但+=无意义,不正确.故选AB. 三、填空题 9.设5x=4,5y=2,则52x-y= 8 .  解析　因为5x=4,所以52x=16,所以52x-y=52x÷5y=16÷2=8. 10.已知函数f(x)=(m2-m-1)·x4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2)= 211 .  解析　由题意可知解得m=2,所以f(x)=x11,f(2)=211. 11.若lg 2=a,10b=3,则log2415=  .  解析　因为10b=3,所以b=lg 3,所以log2415====. 四、解答题 12.化简与求值: (1)×10××; (2)log2×log5[-(3+]; (3)(a>0,b>0). 解　(1)原式=(23×(102×(2-2)-3×=22×10-1×26×=. (2)原式=log2×log5[-+]=×log5(-3+3)=-×=-. (3)原式===. 13.某工厂产生的废气,过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物,请解决下列问题: (1)10 h后还剩百分之几的污染物? (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)?(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 解　(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%)P0,于是有(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9,那么P=P0·0.,所以当t=10时,P=0.81P0,即10 h后还剩下81%的污染物. (2)当P=50%P0时,0.5P0=P00.,解得t=5log0.90.5=-5log0.92=-5×=-5×≈33,即污染物减少50%大约需要花33 h. B级　素能提升 14.定义矩阵运算=,则=(B) A. B. C. D. 解析　===.故选B. 15.幂函数f(x)=xα(α∈R)满足:任意x∈R有f(-x)=f(x),且f(-1)<f(2)<2,请写出符合上述条件的一个函数f(x)= (答案不唯一) .  解析　取f(x)=,则定义域为R,且f(-x)=(-x==f(x),f(-1)=1,f(2)==,满足f(-1)<f(2)<2. 16.若3a-loa=8,3b+1+b=8,则(2b-loa)2 025= 0 .  解析　依题意,3b+1+b=3·3b+log33b=8.而3a-loa=8,则3a+log3a=8.因为函数y=3x+log3x在定义域内单调递增,故a=3b,即=1,则lo=lo3b-loa=2b-loa=0,故(2b-loa)2 025=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$