核心微练10-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(十)　函数的奇偶性、周期性 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列函数为偶函数的是(B) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析　A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B. 2.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(A) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 解析　函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,又y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1,2). 3.设f(x)是定义在R上周期为2的函数,当x∈(-1,1)时,f(x)=则f=(B) A.-7 B.1 C. D.7 解析　因为f(x)在R上的周期为2,所以f=f=-4×+2=1. 4.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+,若f(3)=-8,则a=(B) A.-3 B.3 C. D.- 解析　因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3)=-8,故f(-3)=8,故f(-3)=(-3)2+=8,解得a=3.故选B. 5.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=2-|x|+,则使得不等式f(2m)<f(m+1)成立的实数m的取值范围是(C) A. B. C.∪(1,+∞) D.∪(1,+∞) 解析　因为f(-x)=2-|x|+=f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,又因为当x>0时,y=2-x和y=单调递减,所以f(x)=2-|x|+在(0,+∞)上单调递减,因为f(2m)<f(m+1),所以|m+1|<|2m|,即(m+1)2<(2m)2,展开可得3m2-2m-1>0,解得m∈∪(1,+∞). 6.(2024·广东茂名一模)函数y=f(x)和y=f(x-2)均为R上的奇函数,若f(1)=2,则f(2 027)=(A) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析　因为y=f(x-2)为奇函数,所以y=f(x)的图象关于点(-2,0)对称,即f(-x)+f(x-4)=0,又y=f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则f(x)=f(x-4),即f(x+4)=f(x),所以y=f(x)的周期为4,故f(2 027)=f(-1+2 028)=f(-1)=-f(1)=-2.故选A. 二、多项选择题 7.若函数f(x)同时满足:①对于定义域内的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域内的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0.则称函数f(x)为“理想函数”.下列四个函数为“理想函数”的有(BD) A.f(x)= B.f(x)=-x3 C.f(x)=x D.f(x)= 解析　对于①,对于定义域内的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数;对于②,对于定义域内的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0,所以f(x)在定义域内是减函数.对于A,f(x)=,f(1)=,f(-1)=3,故不是奇函数,所以不是“理想函数”;对于B,f(x)=-x3是奇函数,且是减函数,所以是“理想函数”;对于C,f(x)=x是奇函数,且是增函数,所以不是“理想函数”;对于D,f(x)=即f(x)=-x|x|,则f(-x)=x|x|=-f(x),所以f(x)=是奇函数,根据二次函数的单调性可知,f(x)=在R上是减函数,所以是“理想函数”.故选BD. 8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)满足(ABD) A.f(0)=0 B.y=f(x)为奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1} 解析　由题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),对于A,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,故A正确;对于B,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以y=f(x)为奇函数,故B正确;对于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2),因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减,故C错误;对于D,由f(x-1)+f(x2-1)>0,可得f(x-1)>-f(x2-1)=f(1-x2),由C知函数f(x)在R上单调递减,所以x-1<1-x2,解得-2<x<1,所以f(x-1)+f(x2-1)>0的解集为{x|-2<x<1},故D正确. 三、填空题 9.(2025·太原模拟)写出一个最小正周期为3的偶函数 f(x)=cosx(答案不唯一) .  解析　由最小正周期为3的偶函数,可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)=Acos ωx+b(A≠0),满足f(-x)=Acos ωx+b=f(x),即是偶函数.根据最小正周期T==3,可得ω=.令A=1,b=0,f(x)=cosx. 10.设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 [-5,-2)∪(2,5] .  解析　由题图可知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0.又f(x)是偶函数,所以当-2<x<0时,f(x)>0;当-5≤x<-2时,f(x)<0.综上所述,不等式f(x)<0的解集为[-5,-2)∪(2,5]. 11.若f(x)为定义在R上的偶函数,且f(2x-3)为奇函数,f(2)=1,则f(3)+f(8)= -1 .  解析　令g(x)=f(2x-3),可得g(0)=f(-3)=f(3)=0,因为f(2)=1,所以g=f(2)=1,g=f(-8)=f(8)=-1,所以f(3)+f(8)=-1. 四、解答题 12.设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积. 解　(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又4-π∈(0,1),所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点中心对称,则f(x)在[-4,4]上的图象如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4. 13.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式. 解　(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. B级　素能提升 14.(2025·江苏宿迁调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log212)=(A) A.- B.- C. D. 解析　在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),则f(x)=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),于是函数f(x)是周期为4的周期函数,而8<12<16,则3<log212<4,-1<log212-4<0,又当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,所以f(log212)=f(log212-4)=f=-f=-(-1)=-.故选A. 15.已知函数f(x)=是定义在R上的偶函数,则m-n的值为(D) A.2 B.0 C.-2 D.-4 解析　当x>0时,因为f(x)是偶函数,所以有f(x)=f(-x)⇒21+x-21-x=m·2-x+n·2x⇒(2x)2(2-n)=m+2,要想x>0上式恒成立,只需⇒m-n=-4,当x<0时,因为f(x)是偶函数,所以有f(x)=f(-x)⇒21-x-21+x=m·2x+n·2-x⇒(2-x)2(2-n)=m+2,要想x<0上式恒成立,只需⇒m-n=-4,综上所述,m-n=-4. 16.已知函数f(x)满足:对于任意x1,x2∈(-∞,+∞),且x1≠x2,不等式<2恒成立.若f(x)是奇函数,且f(a)>2a,则实数a的取值范围是 (-∞,0) .  解析　因为对于任意的x1,x2∈(-∞,+∞),且x1≠x2,都有<2,可转化为<0,所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递减(此处是解题的关键步骤,也可通过不妨设x1>x2,则f(x1)-f(x2)<2x1-2x2,即f(x1)-2x1<f(x2)-2x2,得到g(x)=f(x)-2x在R上单调递减).又y=f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,则g(0)=f(0)-0=0,因为f(a)>2a,所以f(a)-2a>0,即g(a)>g(0),因为g(x)=f(x)-2x在R上单调递减,所以a<0,即不等式f(a)>2a的解集为{a|a<0},故实数a的取值范围为(-∞,0). 学科网（北京）股份有限公司 $$