核心微练7-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(七)　一元二次方程根的分布 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0有2个正根,则实数m的取值范围是(A) A.(0,1) B.(0,1] C.(-1,0) D.(-1,1) 解析　设f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-m,Δ=4(m+1)2+4m(m-1)=8m2+4m+4=8+.两根都大于0,应满足解得0<m<1.故选A. 2.关于x的方程x2+(m-2)x+6-m=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是(B) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-6,-2] C.(-6,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2) 解析　令f(x)=x2+(m-2)x+6-m,则即解得-6<m≤-2.故选B. 3.(2025·四川乐山调研)已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 024-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是(D) A.a>c>b>d B.a>b>c>d C.c>d>a>b D.c>a>b>d 解析　 f(x)=2 024-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2 024,又f(a)=f(b)=2 024,c,d为函数f(x)的零点,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示.由图可知c>a>b>d.故选D. 4.已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c为实数),f(-10)=f(12).若方程f(x)=0有两个正实数根x1,x2,则+的最小值是(B) A.4 B.2 C.1 D. 解析　因为函数f(x)=2x2+bx+c(b,c为实数),f(-10)=f(12),所以200-10b+c=288+12b+c,解得b=-4,所以f(x)=2x2-4x+c,因为方程f(x)=0有两个正实数根x1,x2,所以解得0<c≤2,所以+===≥2,当c=2时,等号成立,所以其最小值是2,故选B. 5.若关于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有两个不相等的正根,则实数a的取值范围是(B) A. B. C. D. 解析　原方程可化为(3x)2-(a+1)3x+a2-1=0,设t=3x>1,则t2-(a+1)t+a2-1=0有两个大于1的不相等实数根t1,t2,所以解得<a<.故选B. 二、多项选择题 6.已知函数f(x)=4ax2+4x-1,∀x∈(-1,1),f(x)<0恒成立,则实数a的取值可能是(CD) A.0 B.-1 C.-2 D.-3 解析　因为f(x)=4ax2+4x-1,所以f(0)=-1<0成立.当x∈(-1,0)∪(0,1)时,由f(x)<0恒成立可得4ax2<-4x+1,所以4a<,当x∈(-1,0)∪(0,1)时,∈(-∞,-1)∪(1,+∞),所以-=-4≥-4,当x=时,等号成立,所以4a<-4,解得a<-1.故选CD. 三、填空题 7.已知二次方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根,则实数m的取值范围是  .  解析　由题意知,2m+1≠0,设x1,x2是方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0的两个根,则解得-<m<1. 8.已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠⌀,则实数m的取值范围为 (-∞,-1] .  解析　由题意知方程x2-4mx+2m+6=0至少存在一个负实根.若方程x2-4mx+2m+6=0有实数根,满足Δ=(-4m)2-4×(2m+6)≥0,解得m≤-1或m≥.若方程无负根,则解得m≥.故方程x2-4mx+2m+6=0至少存在一个负数根时,m≤-1,即A∩B≠⌀时,则实数m的取值范围为(-∞,-1]. 四、解答题 9.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围. 解　(1)设函数f(x)=x2+2mx+2m+1,则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,由题意,得即解得-<m<-,即m的取值范围为. (2)由题意知函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点均落在区间(0,1)内,画出示意图如图,由题意,得即解得-<m≤1-,即m的取值范围为. 10.已知函数f(x)=x2+x-a,a∈R. (1)若关于x的方程f(x)=0有两个实数根x1,x2,且x1<0<x2,求实数a的取值范围; (2)若不等式f(x)>ax+2对∀a∈(0,1]恒成立,求实数x的取值范围. 解　(1)关于x的方程f(x)=0有两个实数根x1,x2, 则Δ=12-4×1×(-a)=1+4a>0,解得a>-,又x1<0<x2,则x1x2=-a<0,即a>0,综上所述,实数a的取值范围为(0,+∞). (2)解法一:不等式f(x)>ax+2可化为-(x+1)a+x2+x-2>0,令g(a)=-(x+1)a+x2+x-2,由题知g(a)>0对∀a∈(0,1]恒成立,则有得得x≤-2或x>,综上得x的取值范围是(-∞,-2]∪(,+∞). 解法二:不等式f(x)>ax+2可化为(x+1)a-x2-x+2<0(*).由题知不等式(*)对∀a∈(0,1]恒成立.①当x+1>0,即x>-1时,得到a<,使得对∀a∈(0,1]恒成立,所以>1,解得x>;②当x+1=0,x=-1时,不等式(*)显然不成立,此时不符合题意;③当x+1<0,即x<-1时,得到a>,使得对∀a∈(0,1]恒成立,则0≥,解得x≤-2,综上得x的取值范围是(-∞,-2]∪(,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$