核心微练6-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(六)　一元二次不等式及其解法 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列不等式中解集为R的是(C) A.-x2+2x+1≥0 B.x2-2x+>0 C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0 解析　在C中,函数图象开口向上,且Δ=36-40=-4<0,所以不等式解集为R. 2.不等式|x|(1-2x)>0的解集为(A) A.(-∞,0)∪ B. C. D. 解析　由题意得x≠0,当x>0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x<;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所以x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪.故选A. 3.已知两个集合A={x|y=ln(-x2+x+2)},B=,则A∩B=(B) A. B. C.(-1,e) D.(2,e) 解析　由题意得A={x|-x2+x+2>0}={x|-1<x<2},B=,故A∩B=. 4.(2025·成都诊断)已知不等式组的解集是关于x的不等式x2-3x+a<0的解集的子集,则实数a的取值范围为(A) A.(-∞,0] B.(-∞,0) C.(-∞,-1] D.(-∞,-2) 解析　由解得x∈(2,3),因为(2,3)是不等式x2-3x+a<0的解集的子集,故f(x)=x2-3x+a要满足解得a≤0. 5.(2025·宝鸡调研)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(D) A.0<a<1 B.a>1 C.0<a< D.0<a<2 解析　不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立,只需Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1,因为集合{a|0<a<1}是集合{a|0<a<2}的真子集,所以“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是“0<a<2”,故选D. 6.(2025·重庆诊断)若关于x的不等式x2+px+q<0的解集是{x|-1<x<2},则关于x的不等式>0的解集是(B) A.(-3,-2)∪(4,+∞) B.(-3,2)∪(4,+∞) C.(-∞,-3)∪(2,4) D.(-∞,-2)∪(3,4) 解析　因为关于x的不等式x2+px+q<0的解集是{x|-1<x<2},所以x2+px+q=0的两根是-1,2,由根与系数的关系可得p=-1,q=-2,所以>0可转化为>0,解得-3<x<2或x>4.所以原不等式的解集为(-3,2)∪(4,+∞). 二、多项选择题 7.下列说法正确的有(BCD) A.不等式2x2-x-1>0的解集是{x|x>2或x<1} B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是 C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1},那么a的值是3 D.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为-1 解析　对于A,由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,所以不等式的解集为,故A错误;对于B,因为-6x2-x+2≤0,所以6x2+x-2≥0,即(2x-1)(3x+2)≥0,所以x≥或x≤-,故B正确;对于C,由题意可知-7和-1是方程ax2+8ax+21=0的两个根,所以-7×(-1)=,所以a=3,故C正确;对于D,依题意知q,1是方程x2+px-2=0的两根,所以q+1=-p,即p+q=-1,故D正确.故选BCD. 8.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可以是(AB) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　 画出函数f(x)=x2+5x+m的大致图象,关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标 x的集合,由函数f(x)=x2+5x+m的图象的对称轴为直线x=-,所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数,必须且只需使得解得4≤m<6. 三、填空题 9.不等式>2的解集为  .  解析　因为>2,则-2=>0,等价于(1-2x)(x+2)>0,解得-2<x<,即不等式>2的解集为. 10.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(-3,+∞),则关于x的不等式ax2+bx<0的解集为 (-3,0) .  解析　由ax+b>0的解集为(-3,+∞),可得a>0,且方程ax+b=0的解为-3,所以-=-3,即b=3a.所以ax2+bx=a(x2+3x)<0,又因为a>0,所以x2+3x<0,解得-3<x<0,即关于x的不等式ax2+bx<0的解集为(-3,0). 11.(2025·福州一模)在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则a的取值范围是 [-2,-1)∪(3,4] .  解析　由题意得,原不等式化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时,解得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,则3<a≤4;当a<1时,解得a<x<1,此时解集中的整数为0,-1,则-2≤a<-1,故a∈[-2,-1)∪(3,4]. 四、解答题 12.已知关于x的不等式ax2-x-b>0(a,b∈R)的解集为{x|x>2或x<-1}. (1)求a,b的值; (2)若c∈R,解关于x的不等式ax2-(ac+b-1)x+(b-1)c<0. 解　(1)由题意得,方程ax2-x-b=0的根为2,-1,则解得 (2)由(1)得关于x的不等式x2-(c+1)x+c<0,即(x-1)(x-c)<0,当c>1时,解得1<x<c;当c=1时,不等式的解集为⌀;当c<1时,解得c<x<1.综上所述,当c>1时,不等式的解集为(1,c);当c=1时,不等式的解集为⌀;当c<1时,不等式的解集为(c,1). 13.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于a的不等式f(1)>0; (2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值. 解　(1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2<a<3+2.所以不等式的解集为{a|3-2<a<3+2}. (2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以解得故a的值为3±,b的值为-3. B级　素能提升 14.(多选题)已知函数f(x)=x2-ax-1,当x∈[0,3]时,|f(x)|≤5恒成立,则实数a的值可以是(CD) A.-1 B.0 C.1 D.3 解析　因为|f(x)|≤5⇔-5≤x2-ax-1≤5,①当x=0时,a∈R;②当x≠0时,由-5≤x2-ax-1≤5,及x∈(0,3],得x-≤a≤x+,=2+=4,=3-2=1,所以1≤a≤4.综上,1≤a≤4. 15.若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是  .  解析　不等式可变形为a>=-对一切x∈R恒成立,令=t,则t>0.所以y=-=t-t2=-+,因此当t=时,y取得最大值,故实数a的取值范围是a>. 16.(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=ax2+x+2-4a(a≠0),且对任意的x∈R,f(x)≥2x恒成立. (1) 求函数f(x)的解析式; (2) 若对任意的x∈[-1,1],不等式f(x+t)<f恒成立,求实数t的取值范围. 解　(1)由题意得ax2-x+2-4a≥0 对任意的x∈R恒成立,所以即解得a=,所以f(x)=x2+x+1. (2)由f(x+t)<f得(x+t)2+(x+t)+1<×++1,即3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0,所以对任意的x∈[-1,1],不等式3x2+(8t+8)x+4t2+16t<0 恒成立.令m(x)=3x2+(8t+8)x+4t2+16t,x∈[-1,1],则解得-<t<-,所以实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$