核心微练5-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

微练(五)　二次函数及其性质 A级　基础过关 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知二次函数y=-2(x+1)2+3,下列结论正确的是(C) A.图象开口向上 B.图象的对称轴为直线x=1 C.当x>-1时,y随x的增大而减小 D.函数有最小值3 解析　二次函数y=-2(x+1)2+3的图象开口向下,A错误;二次函数y=-2(x+1)2+3图象的对称轴为直线x=-1,B错误;二次函数y=-2(x+1)2+3,当x>-1时,y随x的增大而减小,C正确;当x=-1时,函数有最大值3,该函数无最小值,D错误.故选C. 2.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为(B) A.g(x)=2x2-3x　 B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x　 D.g(x)=-3x2-2x 解析　二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,设二次函数为g(x)=ax2+bx(a≠0),可得则a=3,b=-2,所求的二次函数为g(x)=3x2-2x. 3.(2025·成都模拟)若函数f(x)=4x2-kx-8在[4,5]上是单调函数,则k的取值范围是(B) A.[32,40] B.(-∞,32]∪[40,+∞) C.(-∞,32] D.[40,+∞) 解析　因为f(x)=4x2-kx-8的对称轴为直线x=,且其图象开口向上,所以≤4或≥5,解得k≤32或k≥40,所以k的取值范围是(-∞,32]∪[40,+∞). 4.已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0,m]上的值域为[5,6],则实数m的取值范围是(D) A.(0,1] B.[1,3] C.(0,2] D.[1,2] 解析　 f(x)=-x2+2x+5=-(x-1)2+6,f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,画出f(x)的图象如图所示,由于f(x)在区间[0,m]上的值域为[5,6],由图可知,m的取值范围是[1,2]. 5.已知函数f(x)=2x2-mx-3m,则“m>2”是“f(x)<0在x∈[1,3]恒成立”的(C) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若f(x)<0在x∈[1,3]恒成立,则解得m>3,又{m|m>3}是{m|m>2}的真子集,所以“m>2”是“f(x)<0在x∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件. 6.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是(C) A.(-∞,0] B.[0,3] C.(-∞,0]∪[3,+∞) D.[3,+∞) 解析　二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1,因为对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),即f(x)在区间[-1,2]上是单调函数,所以a-1≤-1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为(-∞,0]∪[3,+∞).故选C. 二、多项选择题 7.已知函数f(x)=ax2-2ax+2(a>0),则(AC) A.f(2)<f(3) B.f(2)>f(3) C.f(0)<f(-1) D.f(0)>f(-1) 解析　f(x)=ax2-2ax+2=a(x-1)2+2-a,因为a>0,所以f(x)开口向上,对称轴为直线x=1,故f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(2)<f(3),A正确,B错误;f(0)<f(-1),C正确,D错误.故选AC. 8.已知函数f(x)=x2-2x+a有两个零点x1,x2,以下结论正确的是(ABC) A.a<1 B.若x1x2≠0,则+= C.f(-1)=f(3) D.函数y=f(|x|)有四个零点 解析　易知二次函数对应的二次方程根的判别式Δ=(-2)2-4a=4-4a>0,解得a<1,故A正确;由根与系数的关系,得x1+x2=2,x1x2=a,+==,故B正确;因为f(x)图象的对称轴为直线x=1,点(-1,f(-1)),(3,f(3))关于对称轴对称,故C正确;当a=0时,y=f(|x|)有3个零点,故D不正确. 三、填空题 9.若函数y=x2+bx+2b-5在(-∞,2)上不单调,则实数b的取值范围为 (-4,+∞) .  解析　函数y=x2+bx+2b-5的图象是开口向上,以直线x=-为对称轴的抛物线,所以此函数在上单调递减.若此函数在(-∞,2)上不单调,只需-<2,解得b>-4.所以实数b的取值范围为(-4,+∞). 10.已知函数f(x)=x2-ax+2,x∈[1,3],图象上任意两点连线都不与x轴平行,则实数a的取值范围是 (-∞,2]∪[6,+∞) .  解析　由题意知,f(x)=x2-ax+2在[1,3]上单调.因为二次函数f(x)图象开口向上,对称轴为直线x=-=.当f(x)在[1,3]上单调递增时,有≤1,解得a≤2;当f(x)在[1,3]上单调递减时,有≥3,解得a≥6.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 11.已知y=(cos x-a)2-1,当cos x=-1时,y取最大值,当cos x=a时,y取最小值,则a的取值范围是 [0,1] .  解析　 解法一:设cos x=t(-1≤t≤1),y=f(t)=(t-a)2-1,画出f(t)的图象如图,由图易知0≤a≤1. 解法二:设cos x=t(-1≤t≤1),y=f(t)=(t-a)2-1,由题意知即所以0≤a≤1. 四、解答题 12.已知二次函数f(x)满足f(0)=-1,顶点为(1,-2). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间[a-1,4]上单调递增,求实数a的取值范围. 解　(1)设f(x)=a(x-1)2-2,则由f(0)=-1,得a-2=-1,所以a=1,所以f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1. (2)由(1)知f(x)=x2-2x-1,开口向上,对称轴为直线x=1,则若函数f(x)在区间[a-1,4]上单调递增,需满足所以2≤a<5,所以实数a的取值范围为[2,5). 13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足条件:①不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2};②函数y=f(x)的图象过点(3,2). (1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值. 解　(1)条件①:因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2},所以1,2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,所以即条件②:函数y=f(x)的图象过点(3,2),所以9a+3b+c=2.所以则此时f(x)=x2-3x+2. (2)由(1)知g(x)=x2-(m+3)x+2,其对称轴为直线x=,当≤1,即m≤-1时,g(x)min=g(1)=3-(m+3)=-m=3,解得m=-3;当≥2,即m≥1时,g(x)min=g(2)=6-(2m+6)=-2m=3,解得m=-(舍去);当1<<2,即-1<m<1时,g(x)min=g=-+2=3,无解.综上所述,所求实数m的值为-3. B级　素能提升 14.(2025·海淀一模)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a的值为(B) A.1 B.-1 C. D. 解析　由题知b>0,a≠0,所以二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象不关于y轴对称,故排除第一、二个函数图象.当a>0时,该二次函数的对称轴为x=-<0,故第四个图象也不满足题意.当a<0时,该二次函数的对称轴为x=->0,开口向下,故第三个函数图象满足题意.此时函数图象过坐标原点,故a2-1=0,解得a=±1,由于a<0,故a=-1. 15.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(B) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 解析　由题意a≤2.(否则有f(a)=-2a2<0不符合题意).则x>2时,f(x)=x2-ax-2a2对称轴x=≤1.f(x)>f(2)=4-2a-2a2≥0,解得-2≤a≤1.故选B. 16.若函数f(x)=x2+ax+b(a>1)的值域为[0,+∞),则的最小值为 3 .  解析　由题意得Δ=a2-4b=0,得b=,所以====·=·=[(a-1)++6]≥(2+6)=3,当且仅当a=4时,等号成立,所以的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$