第8章 平面解析几何-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

第八章平面解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课标要求 三年考情 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T6 全国Ⅱ卷   重点提示:直线的倾斜角和斜率、直线的方程 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.直线的方向向量 设A,B为直线上的两点,则就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (3)取值范围:直线的倾斜角α的取值范围为[0°,180°). 3.直线的斜率 (1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,.  (2)计算公式 ①经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=. ②设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=. 微提醒　　如果y2=y1 且x2≠x1,则直线与x 轴平行或重合,斜率等于0;如果y2≠y1 且x2=x1,则直线与x 轴垂直,倾斜角等于90°,斜率不存在. 4.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、 斜率 y=kx+b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、 斜率 y-y0=k(x-x0) 两点式 过两点 =(其中x1≠x2,y1≠y2) 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横 截距 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 所有直线 微提醒　　识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴:y=0. (2)y轴:x=0. (3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0). (4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0). (5)过原点且斜率存在的直线:y=kx. 【常用结论】 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系: α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”. 2.直线Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若直线的倾斜角为α,则0°≤α≤180°.(×) 解析　错误.若直线的倾斜角为α,则0°≤α<180°. (2)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等.(×) 解析　当倾斜角为90°时,直线对应的斜率不存在,不能相等. (3)直线3x+y-2=0在y轴上的截距为-2.(×) 解析　令x=0,求得y=2,则直线3x+y-2=0在y轴上的截距为2,故错误. (4)截距不可以为负值.(×) 解析　截距是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可是零. 2.(人A选一P58T7改编)若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m=(A) A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 解析　由题意得=1,解得m=1. 3.(人A选一P67T7改编)已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为(D) A.2x-y=0 B. 2x+y-4=0 C.2x-y=0或x+2y-2=0 D. 2x-y=0或2x+y-4=0 解析　由题意设直线l 与x 轴的交点为(a,0),则与y 轴的交点为(0,2a),当a=0 时,直线l 过原点,斜率为=2,故直线l 的方程为2x-y=0;当a≠0 时,直线l 的斜率为=-2,故直线l 的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.故选D. 4.过点(1,2)且方向向量的坐标为(-1,2)的直线的方程为(A) A.2x+y-4=0 B. x+y-3=0 C. x-2y+3=0 D. x-2y-3=0 解析　由题意可知直线的斜率k==-2,由点斜式方程得,所求直线的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　直线的倾斜角与斜率 【例1】　(1)已知直线l的方程为:y=-x+2,则直线l的倾斜角为(C) A. B. C. D. 解析　由题意得直线l的斜率为k=-,设直线的倾斜角为θ,则tan θ=-,且θ∈[0,π).所以θ=.故C项正确.故选C. (2)已知经过A(2,c),B(4,3)两点的直线的方向向量为,则c=(C) A.-1 B.-2 C.2 D. 解析　依题意可知=,解得c=2,故选C. (3)已知点A(2,-3),B(-3,-2),若过点(1,1)的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是(C) A.∪[4,+∞) B. C.∪ D. 解析　 记(1,1)为点P,直线PA的斜率kPA==-4,直线PB的斜率kPB==,因为直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,如图,结合图象,可得直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-4]∪.故选C. [规律方法]　(1)斜率的三种求法:定义法、斜率公式法、方向向量法. (2)倾斜角和斜率范围求法:①图形观察(数形结合);②充分利用函数k=tan α的单调性. 【训练1】　(1) (2025·潍坊模拟)若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(D) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 解析　直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2. (2)若经过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角,则实数a的取值范围是 (-∞,-2)∪(1,+∞) .  解析　因为倾斜角为锐角,所以斜率大于0,设斜率为k,则k==>0,得a>1或a<-2. 考点二　求直线的方程 【例2】　求符合下列条件的直线方程: (1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-; (2)直线经过点M(2,4),N(3,2); (3)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍; (4)直线过点(2,1),且横截距为纵截距的两倍. 解　(1)因为所求直线过点A(-1,-3),且斜率为-,所以所求直线方程为y+3=-(x+1),即x+4y+13=0. (2)直线经过点M(2,4),N(3,2),所以MN 所在直线的方程为=,整理得2x+y-8=0. (3)由已知,设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α=3,所以tan 2α==-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0. (4)当横截距与纵截距都为0时,可设直线方程为y=kx,又直线过点(2,1),所以1=2k,解得k=,所以直线方程为y=x,即x-2y=0;当横截距与纵截距都不为0时,可设直线方程为+=1,由题意可得解得所以直线方程为+=1,即x+2y-4=0.综上,所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0. [规律方法]　求直线方程的两种方法 【训练2】　(1)经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是(A) A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0 解析　因为直线的方向向量为(1,2),所以直线的斜率k=2,又直线过点(1,1),所以直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. (2)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是(D) A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0 解析　设直线l的倾斜角为α,则tan α=k1=2,直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,所得直线的斜率k2=tan(α+45°)==-3,又点M(2,0),所以直线方程为y=-3(x-2),即3x+y-6=0. 【微点拓展】 直线系方程 直线系方程有以下三种: (1)平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C,λ是参数). (2)垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0(λ为参数). (3)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中A1B2-A2B1≠0,待定系数λ∈R.(它不能表示直线l2) 【典例】　(1)过点A(2,3)且与直线l:2x-4y+7=0平行的直线方程是(A) A.x-2y+4=0　　　　B.x-2y-4=0 C.2x-y+1=0 D.x+2y-8=0 解析　由题意,设所求直线方程为2x-4y+c=0(c≠7),因为直线经过点A(2,3),所以2×2-4×3+c=0,解得c=8,所以所求直线方程为x-2y+4=0.故选A. (2)经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为 x-2y=0 . 解析　因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0.又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,故所求直线方程为x-2y=0. (3)过直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点,且斜率为3的直线方程为 3x-y+3=0 . 解析　解法一:解方程组得所以两条直线的交点坐标为(-1,0).又所求直线的斜率为3,故所求直线的方程为y-0=3[x-(-1)],即3x-y+3=0. 解法二:设所求直线为l,因为l过已知两条直线的交点,所以直线l的方程可设为2x-y+2+λ(x+y+1)=0(其中λ为常数),即(λ+2)x+(λ-1)y+λ+2=0　①,又直线l的斜率为3,所以-=3,解得λ=,将λ=代入①,整理得3x-y+3=0. 【微练】　(1)已知直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2平行,则直线l的方程为(D) A.y=-4x-7　　　　　B.y=4x-7 C.y=4x+7 D.y=-4x+7 解析　过点(0,7)且与直线y=-4x+2平行的直线方程为y-7=-4x,即直线l的方程为y=-4x+7.故选D. (2)过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是(A) A.4x+3y-13=0 B.4x-3y-19=0 C.3x-4y-16=0 D.3x+4y-8=0 解析　与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程可设为4x+3y+m=0.把点P(4,-1)代入,得4×4-3+m=0,解得m=-13.故选A. (3)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,若点A(5,0)在直线l上,则直线l的方程为 x+3y-5=0 . 解析　经过两直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,将A(5,0)代入方程,解得λ=-1,所以直线l的方程为x+3y-5=0. 考点三　直线方程的综合运用 角度1　直线方程与不等式的结合 【例3】　已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,直线l的方程为 x+2y-4=0 .  解析　解法一:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A,B(0,1-2k),S△AOB=(1-2k)·=≥×(4+4)=4,当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立.故直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. 解法二:设直线l:+=1,且a>0,b>0,因为直线l过点M(2,1),所以+=1,则1=+≥2,故ab≥8,故S△AOB的最小值为×ab=×8=4,当且仅当==时取等号,此时a=4,b=2,故直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0. [规律方法]　直线方程与不等式相结合问题处理方法 (1)建立目标函数; (2)根据其结构求最值,如不等式的性质、基本不等式等. 角度2　直线方程与函数的结合 【例4】　 为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大? 解　 如图所示,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),所以直线EF的方程为+=1(0≤x≤30).易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时,草坪面积可取最大值,在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).又+=1(0≤m≤30),所以n=20-m.所以S=(100-m)=-(m-5)2+(0≤m≤30).所以当m=5时,S有最大值,这时|EP|∶|PF|=5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC,CD上,一个顶点 在线段EF上,且这个顶点分有向线段EF成5∶1时,草坪面积最大. [规律方法]　直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)或某一变量的函数,借助函数的性质解题. 【对点练】 1.(角度1)过点P(1,3)的直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A,B,则|OA|+|OB|的可能取值是(D) A.7 B.7.4 C.4+2 D.7.8 解析　设直线方程为+=1(a>0,b>0),由题意得+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=4++≥4+2=4+2>7.46. 2.(角度2)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4.当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,则实数a=  .  解析　由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=+.又0<a<2,所以当a=时,四边形的面积最小. 第二节　直线的交点坐标与距离公式 课标要求 三年考情 1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷   重点提示:两条直线的位置关系——平行、垂直、相交,距离公式 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.两条直线的位置关系 方程 条件(l1∥l2) 斜率存在 斜率不存在 斜截式 l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 k1=k2, 且b1≠b2 两直线均与x轴垂直且不重合 一般式 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0 =≠ B1=B2=0且≠ A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0 方程 条件(l1⊥l2) 斜率存在 斜率不存在 斜截式 l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 k1k2=-1 一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于0 一般式 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0 ·=-1 或 A1A2+B1B2=0 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.三种距离公式 点点距 点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|= 点线距 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d= 线线距 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 d= 微提醒　　(1)求距离时,必须先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,要注意x,y的系数对应相等. 【常用结论】 常见的五种对称 1.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). 2.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). 3.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). 4.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). 5.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(√) 解析　由直线交点坐标的概念可知,两直线交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解,正确. (2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(×) (3)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(×) 解析　当方程组有无数多组解时,两直线重合,错误. (4)点P1(0,a)和点P2(b,0)之间的距离为a-b.(×) 解析　|P1P2|=,错误. 2.(人A选一P102T2改编)若直线2x+my+1=0与直线3x+6y-1=0平行,则m=(A) A.4 B.-4 C.1 D.-1 解析　因为直线2x+my+1=0与直线3x+6y-1=0平行,所以=≠,解得m=4. 3.(人A选一P77T3改编)已知点P(-1,2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1,则C= 5或15 .  解析　利用点P(-1,2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1,得=1解得C=5或15. 4.点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点的坐标为 (-4,-1) .  解析　点P(2,5) 关于直线x+y=1 的对称点的坐标为(1-5,1-2),即(-4,-1). 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　两条直线的位置关系 【例1】　(1)下列直线l1与l2是平行位置关系的是(C) A.l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0 B.l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0 C.l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0 D.l1:x+2y+1=0,l2:2x-y=0 解析　A项,由解得所以交点坐标为(-1,-1),故l1与l2相交;B项,由显然==,即方程组有无数组解,故l1与l2重合;C项,由显然=≠,即方程组无解,故l1与l2平行;D项,因为k1=-,k2=2,k1·k2=-1.故l1与l2垂直.故选C. (2)“m=4”是“直线(m-2)x+(m+1)y+3=0与直线(2m+2)x-my+2=0垂直”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若直线(m-2)x+(m+1)y+3=0与直线(2m+2)x-my+2=0垂直,则(m-2)(2m+2)-m(m+1)=0,解得m=-1或m=4.所以由m=4能够推出两直线垂直,故充分性成立;由两直线垂直得到m=-1或m=4,故必要性不成立.故“m=4”是“直线(m-2)x+(m+1)y+3=0与直线(2m+2)x-my+2=0垂直”的充分不必要条件.故选A. [规律方法]　判定两直线平行与垂直的两种思路 (1)若直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则直线l1∥l2⇔l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1. 　　(2)设l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2的必要条件是A1B2=A2B1;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 【训练1】　已知两直线l1:(m-1)x-6y-2=0,l2:mx+y+1=0,若l1⊥l2,则m= 3或-2 ;若l1∥l2,则m=  .  解析　因为l1:(m-1)x-6y-2=0,l2:mx+y+1=0,所以,若l1⊥l2,则m(m-1)-6=0,解得m=3或m=-2,若l1∥l2,则m-1+6m=0,解得m=,经检验符合题意. 考点二　两条直线的交点与距离问题 角度1　交点问题 【例2】　(1)直线3x+2y-18=0和-2x+5y-7=0的交点坐标为(B) A.(-4,-3) B.(4,3) C.(-4,3) D.(3,4) 解析　解方程组得所以所求交点坐标为(4,3).故选B. (2)过两条直线l1:x+2y-4=0,l2:2x-y-3=0的交点,且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为(A) A.3x-y-5=0 B.6x-2y-3=0 C.x-3y+3=0 D.3x+y-7=0 解析　由得设与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,则3×2-1+m=0,得m=-5,所以所求直线方程为3x-y-5=0.故选A. [规律方法]　求过两条直线交点的直线方程的方法 (1)列方程组解出交点,根据条件求出直线方程. (2)采用过交点的直线系方程求解. 角度2　距离问题 【例3】　(1)已知直线l1:2x-y=0与l2:x+y-3=0交于点P,点P到直线x-y-1=0的距离为(D) A.1 B.2 C. D. 解析　由于直线l1:2x-y=0与l2:x+y-3=0交于点P,故解得点P(1,2)到直线x-y-1=0的距离d==.故选D. (2)若直线l1:x+ay+9=0与l2:(a-2)x+3y+3a=0平行,则直线l1,l2间的距离是(C) A. B. C.4 D.2 解析　由题设得a(a-2)=3,则(a+1)(a-3)=0,解得a=-1 或a=3,当a=-1 时,l1:x-y+9=0,l2:-3x+3y-3=0,满足题意;当a=3 时,l1:x+3y+9=0,l2:x+3y+9=0,l1与l2 显然重合,不满足题意.所以a=-1,此时直线l1:x-y+9=0 与l2:x-y+1=0 间的距离为=4.故选C. [规律方法]　两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离:可直接利用点到直线的距离公式来求解,但要注意此时直线方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离:①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程化为x,y的系数对应相等的一般式方程). 【对点练】 1.(角度1)经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是(D) A.2x-3y+5=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+1=0 解析　解法一:由解得所以直线l1与l2的交点为(-1,1),设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0(m≠7),所以3×(-1)+2×1+m=0,解得m=1,所以所求直线方程为3x+2y+1=0. 解法二:设所求直线方程为2x-y+3+λ(x+2y-1)=0,即(λ+2)x+(2λ-1)y+3-λ=0,又该直线与3x+2y+7=0平行,故(λ+2)·2-3·(2λ-1)=0,解得λ=,故所求直线方程为x+y+3-=0,即3x+2y+1=0. 2.(角度2)(2025·河北石家庄模拟)已知直线l1:2x-y-4=0,l2:x+y-5=0相交于点P,则P到直线l:x+2y+3=0的距离为(A) A.2 B. C. D. 解析　由题意,联立 可得故P(3,2).则P 到直线l:x+2y+3=0 的距离为d==2,故选A. 考点三　对称问题 角度1　点关于线对称 【例4】　一条光线从点P(-1,5)射出,经直线x-3y+1=0反射后经过点(2,3),则反射光线所在直线的方程为(C) A.2x-y-1=0 B.3x-y-3=0 C.x-2=0 D.4x-y-5=0 解析　设点P(-1,5)关于直线x-3y+1=0的对称点为P'(a,b),则解得故反射光线过点P'(2,-4)与点(2,3),则反射光线所在直线的方程为x-2=0. [规律方法]　点关于线的对称解题方法 点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况,斜率不存在或斜率为0时较简单). 角度2　点(或线)关于点对称 【例5】　直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为(B) A.4x+3y-4=0 B. 4x+3y-12=0 C. 4x-3y-4=0 D. 4x-3y-12=0 解析　设直线l:4x+3y-2=0 关于点A(1,1) 对称的直线上任意一点为P(x,y),则P(x,y) 关于点A(1,1) 对称的点为B(2-x,2-y),又因为B(2-x,2-y) 在直线4x+3y-2=0 上,所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.故选B. [规律方法]　点(或线)关于点的对称解题方法 (1)若点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点为P'(x',y'),则 (2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决. 角度3　线关于线对称 【例6】　直线2x-y+3=0关于直线y=x+1对称的直线方程是 x-2y=0 .  解析　联立方程组解得即两直线的交点为A(-2,-1),由方程2x-y+3=0,令x=0,可得y=3,即直线2x-y+3=0过点B(0,3),设点B关于直线y=x+1的对称点为B'(x1,y1),则满足解得即B'(2,1),所以kAB'=,所以对称直线的方程为y-(-1)=[x-(-2)],即x-2y=0. [规律方法]　线关于线的对称解题方法 一般要在线上取点,可在所求直线上任取一点,也可在已知直线上取特殊点对称. 【对点练】 1.(角度1)点P(-3,4)关于直线4x-y-1=0的对称点的坐标是 (5,2) .  解析　设P(-3,4) 的对称点P' 的坐标为(a,b),则 解得即所求对称点的坐标是(5,2). 2.(角度2)直线x-2y-3=0关于点M(-2,1)对称的直线方程是 x-2y+11=0 .  解析　设所求直线上任意一点的坐标为(x,y),则其关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0. 3.(角度3)已知直线l:2x-3y+1=0,直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程为 9x-46y+102=0 .  解析　在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在直线m'上.设对称点为M'(a,b),则解得即M'.设m与l的交点为N,则由得N(4,3).又m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0. 考点四　对称问题的应用 【例7】　(1)若点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,则(m-1)2+n2的最小值为(B) A.3 B.4 C.2 D.6 解析　由(m-1)2+n2的几何意义为点(m,n)到点(1,0)距离的平方,得其最小值为点(1,0)到直线l:3x+4y-13=0的距离的平方,即d2==4. (2)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,已知军营所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A处出发,河岸线所在直线方程为x+2y=3,则“将军饮马”的最短总路程为(A) A. B.5 C. D. 解析　如图,设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(m,n),则解得所以C(0,4),又点A. 故“将军饮马”的最短总路程为|AC|==.故选A. [规律方法]　解决直线上动点到两定点距离之和或差的取值范围的问题,关键是要能够通过对称变换,充分利用数形结合、转化等思想,借助直线及三角形的相关知识解决问题. 【训练2】　已知直线l:3x-y-1=0及点A(4,1),B(0,4),点Q在l上,当|AQ|-|BQ|的值最大时,点Q的坐标为 (2,5) ,|AQ|-|BQ|的最大值为  .  解析　 如图,设B关于l的对称点为B'(m,n),因为kl=3,则解得即B'(3,3).连接AB',则AB'所在的直线方程为y=(x-3)+3,即2x+y-9=0.由得AB'与l的交点为(2,5),记此点为Q,又在直线l任取一点M,连接BM,B'M,由对称性得,|BM|=|B'M|,则|AM|-|BM|=|AM|-|B'M|≤|AB'|.当A,B',M三点共线时,即M与Q重合时,此时|AQ|-|BQ|的值最大,为|AB'|==. 第三节　圆的方程 课标要求 三年考情 1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷   重点提示:圆的方程 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C(a,b) 半径为r 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标: 半径r= 微提醒　　方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,表示圆心为,半径r=的圆;当D2+E2-4F=0时,表示一个点;当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系: (1)|MC|>r⇔M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)|MC|=r⇔M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)|MC|<r⇔M在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 【常用结论】 1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 3.圆心在任一弦的垂直平分线上. 4.平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(√) (2)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(×) 解析　当a=0时,x2+y2=a2表示点(0,0);当a≠0时,表示半径为|a|的圆. (3)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆.(×) 解析　当(4m)2+(-2)2-4×5m>0,即m<或m>1时表示圆. (4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(√) 2.(人A选一P85T1改编)以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是(B) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.(x-2)2+(y-2)2=8 D.x2+y2= 3.(人A选一P85T2改编)下列各点中,在圆(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是(B) A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,1) 解析　由(0-1)2+(2+2)2=17<25知(0,2)在圆内;由(3-1)2+(3+2)2=29>25知(3,3)在圆外;由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上;由(4-1)2+(1+2)2=18<25知(4,1)在圆内. 4.(人A选一P84例3改编)已知圆C的圆心在x轴上,且过A(-1,1)和B(1,3)两点,则圆C的标准方程是 (x-2)2+y2=10 .  解析　圆C的圆心在x轴上,设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,可得|CA|2=|CB|2,即(a+1)2+1=(a-1)2+9,求得a=2,可得圆心为C(2,0),半径为|CA|=,故圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　圆的方程 【例1】　(1)以(1,-2)为圆心,为半径的圆的方程是(A) A.(x-1)2+(y+2)2=2 B.(x+1)2+(y-2)2=2 C.(x-1)2+(y+2)2= D.(x+1)2+(y-2)2= 解析　根据圆的标准方程可写出(x-1)2+(y+2)2=2,故选A. (2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x+y-1=0 上,点(3,0)和(0,1)均在☉M 上,则☉M 的方程为 (x-1)2+(y+1)2=5 .  解析　因为点M在直线2x+y-1=0 上,所以设点M 为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M 上,所以点M 到两点的距离相等且为半径r,所以==r,即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),r=,所以☉M 的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. [规律方法]　求圆的方程有两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质,求得圆的基本量(圆心、半径),圆的方程. (2)待定系数法: ①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式; ②利用条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 【训练1】　(1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为 (x+3)2+(y+1)2=1 .  解析　到两直线3x-4y=0,3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立解得又两平行线间的距离为2,所以圆M的半径为1,从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1. (2)(2025·郑州模拟)已知点A(-2,1),B(-1,0),C(2,3),M(a,2)四点共圆,则a= ± .  解析　设过A,B,C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,则解得所以过A,B,C的圆的方程为x2+y2-4y-1=0.又因为点M在此圆上,所以a2+4-8-1=0,解得a2=5,所以a=±. 考点二　与圆有关的轨迹问题 【例2】　(2025·宜昌模拟)已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程. 解　(1)设动点P的坐标为(x,y),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=|PM|,所以=·,整理得x2+y2=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2. (2)设点Q的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以=2,即(x-xA,y-yA)=2(6-x,-y),解得又点A在轨迹C上运动,由(1)有(3x-12)2+(3y)2=2,化简得(x-4)2+y2=,即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=. [规律方法]　求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法:利用圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 【训练2】　(1)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),若动点M满足=,则点M的轨迹方程是(D) A.x2+(y+2)2=2 B.x2+(y-2)2=2 C.x2+(y+2)2=8 D.x2+(y-2)2=8 解析　设M(x,y),因为=,A(0,-2),所以=,所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程. (2)已知曲线C:x2+y2=1,设曲线C上任意一点A与定点B(3,0)连线的中点为P,则动点P的轨迹方程为(B) A.+y2= B.+y2= C.+y2= D.+y2= 解析　设P(x,y),A(x0,y0),因为P为AB的中点,所以即又因为点A在曲线x2+y2=1上,所以+=1,所以(2x-3)2+4y2=1.所以点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1即+y2=.故选B. (3)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程. 解　 如图,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分,所以=,=,整理得又点N(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,直线OM与轨迹相交于两点和,不符合题意,舍去,所以点P的轨迹为(x+3)2+(y-4)2=4,除去两点和. 考点三　与圆有关的最值问题 角度1　利用几何性质求最值 【例3】　已知点(x,y)在圆x2+y2-4x+1=0上.求下列代数式的最值: (1);(2)y-x;(3)x2+y2. 解　(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆,的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±.所以的最大值为,最小值为-. (2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-. (3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4. [规律方法]　与圆有关的最值问题的三种几何转化法 角度2　利用函数关系求最值 【例4】　(2025·湘潭质检)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0).则·的最大值为 12 .  解析　由题意,得=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12. [规律方法]　根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的. 角度3　利用对称性求最值 【例5】　已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是 2 .  解析　因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心,为半径的圆.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),故解得故A'(-4,-2).连接A'C,线段A'C交圆C于Q,由对称性可知|PA|+|PQ|=|A'P|+|PQ|≥|A'Q|=|A'C|-r=2. [规律方法]　求解形如|PM|+|PN|(其中P,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:①动化定:把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;②曲化直:将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和. 【对点练】 1.(角度1)已知P是过O(0,0),M1(-1,3),M2(-3,-1)三点的圆上的动点,则|PO|的最大值为(B) A. B.2 C.5 D.20 解析　 如图,依题意,=(-1,3),=(-3,-1),则·=-1×(-3)+3×(-1)=0,因此线段M1M2是圆的直径,且|M1M2|=2,而点P是该圆上的点,所以|PO|的最大值为2.故选B. 2.(角度2)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|+|的最大值为 10 .  解析　由题意知=(-x,2-y),=(-x,-2-y),所以+=(-2x,-2y),由于点P(x,y) 是圆上的点,故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4,故y2=-(x-3)2+4,所以|+|==2.由圆的方程(x-3)2+y2=4,易知1≤x≤5,所以当x=5 时,|+|的值最大,最大值为2=10. 3.(角度3)已知圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(C) A.6-2 B.-1 C.5-4 D. 解析　圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为(-2,1),半径为1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心为(3,4),半径为3.如图,圆C1关于x轴的对称圆为圆C1':(x+2)2+(y+1)2=1.连接C1'C2,交x轴于点P,则P为使|PM|+|PN|最小的点,此时M点为线段PC1与圆C1的交点,N为线段PC2与圆C2的交点,最小值为|C1'C2|-(3+1),而|C1'C2|= =5,所以|PM|+|PN|的最小值为5-4.故选C. 【微点拓展】 圆的参数方程及其应用 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数. 【典例】　已知实数x,y满足(x-2)2+(y-3)2=3,则y-2x的最小值为 --1 . 解析　由(x-2)2+(y-3)2=3,则可设(θ为参数,0≤θ<2π),故y-2x=3+sin θ-4-2cos θ=sin θ-2cos θ-1=sin(θ+φ)-1,其中tan φ=-2,当sin(θ+φ)=-1时,y-2x取得最小值,最小值为--1. 【微练】　(2025·泉州模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.则x2+y2的最大值和最小值的和为 14 . 解析　x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,令则x2+y2=(2+cos θ)2+(sin θ)2=7+4cos θ,因为cos θ∈[-1,1],所以(x2+y2)max=7+4,(x2+y2)min=7-4.所以x2+y2的最大值和最小值的和为14. 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课标要求 三年考情 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T14 T6 全国Ⅱ卷 T15 T15 T10   重点提示:直线与圆、圆与圆的位置关系,弦长问题 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下. 位置关系 图示 d与r1,r2的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 内含 0≤d<|r1-r2| (r1≠r2) (2)代数法:通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断. 微提醒　　两圆相切应注意是内切还是外切. 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2. (2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=·. 【常用结论】 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2. 2.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, (1)若两圆相交,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程. (2)若两圆相切,两式相减,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(×) (2)若两圆相切,则有且只有一条公切线.(×) (3)过圆外一点作圆的切线有两条.(√) (4)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.(√) 2.(人A选一P98练习T1改编)圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是(A) A.外切 B.相交 C.外离 D.内切 解析　圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2,圆C2可化为(x-4)2+(y-3)2=9,所以圆心C2(4,3),半径r2=3,所以|C1C2|==5=r1+r2,故两圆外切. 3.(人A选一P93T3改编)直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|=(B) A. B.2 C. D.2 解析　因为圆x2+y2=8的圆心为(0,0),半径为2,所以圆心到直线x-2y+5=0的距离d==,所以|AB|=2=2. 4.过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,则切线方程为 24x-7y-20=0或x=2 .  考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　直线与圆的位置关系 【例1】　直线kx-y+2-k=0 与圆x2+y2-2x-8=0 的位置关系为(C) A.相切 B.相交或相切 C.相交 D.相交、相切或相离 解析　解法一:直线kx-y+2-k=0 的方程可化为k(x-1)-(y-2)=0,该直线恒过定点(1,2).因为12+22-2-8<0,所以点(1,2)在圆x2+y2-2x-8=0 的内部,所以直线kx-y+2-k=0 与圆x2+y2-2x-8=0 相交.故选C. 解法二:联立 消去y,整理得(1+k2)x2-(2k2-4k+2)x+k2-4k-4=0　①,因为判别式Δ=36k2+20>0 恒成立,所以①式有两个不相等的实数根,所以直线kx-y+2-k=0 与圆x2+y2-2x-8=0 相交. 解法三:圆的方程可化为(x-1)2+y2=32,所以圆的圆心为(1,0),半径为3.圆心到直线kx-y+2-k=0 的距离为=≤2<3,所以直线与圆相交.故选C. [规律方法]　判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断. (2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组的解的个数)来判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 【训练1】　(1)直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=4的位置关系是(D) A.相交且直线过圆心 B.相交但直线不过圆心 C.相切 D.相离 解析　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离=5>2,所以直线与圆相离.故选D. (2)直线y=x+b与曲线x=恰有1个交点,则实数b的取值范围是(D) A.-1<b≤1 B.-≤b≤1 C.-<b≤-1 D.-1<b≤1或b=- 解析　 曲线x=,整理得x2+y2=1,x≥0,画出直线y=x+b与曲线x=的图象,如图,当直线y=x+b与曲线x=相切时,则圆心(0,0)到直线y=x+b的距离为=1,可得b=-(正根舍去),当直线y=x+b过(1,0),(0,-1)时,b=-1,直线与曲线恰有1个交点,则-1<b≤1或b=-.故选D. 考点二　圆的弦长、切线问题 角度1　圆的弦长问题 　 教考衔接14 教材题 [题源](人A选一P98T3)求直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长. 解　把圆C的方程化成标准形式为(x-1)2+(y-2)2=5.所以圆心的坐标是C(1,2),半径r=,圆心C到直线l的距离d==.弦AB的长|AB|=2=. 高考题 (2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(C) A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.2 解析　 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令得故直线恒过(1,-2),设P(1,-2),圆化为标准方程得C:x2+(y+2)2=5,设圆心为C,画出直线与圆的图形,如图,由图可知,当PC⊥AB时,|AB|最小,|PC|=1,|AC|=r=,此时|AB|=2|AP|=2=2=4.故选C. [规律方法]　圆的弦长的求法 (1)代数法:将直线和圆的方程联立,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长. (2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2. 角度2　圆的切线问题 【例2】　(1)已知圆C:x2+y2-2x=0,则过点P(3,0)的圆C的切线方程是(C) A.y=±(x-3) B.y=±2(x-3) C.y=±(x-3) D.y=±(x-3) 解析　将P(3,0)代入圆方程得32+02-2×3=3>0,则该点在圆外,C:x2+y2-2x=0,即C:(x-1)2+y2=1,则其圆心为(1,0),半径为1,当切线斜率不存在时,此时直线方程为x=3,显然不合题意,故舍去,则设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则有=1,解得k=±,此时切线方程为y=±(x-3).故选C. (2)过直线l:x+y-4=0上一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B.若∠APB=,则点P的坐标为(B) A. B.(2,-2)或(0,4) C.(,1) D.(+,1-3)或(-,1+3) 解析　因为点P在直线l:x+y-4=0上,可设P(a,4-3a),又PA,PB是圆的两条切线,且∠APB=,所以OA⊥PA,∠OPA=,|OA|=2,所以|OP|=4,即=4,化为a2-2a=0,解得a=0或a=2,所以点P坐标为(0,4)或(2,-2),故选B. [规律方法]　圆的切线方程的求法 (1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k. (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0,进而求出k. 注意检验切线斜率不存在的情况. 角度3　与圆有关的最值问题 【例3】　(1)(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(C) A.1+ B.4 C.1+3 D.7 解析　解法一:令x-y=k,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简得k2-2k-17≤0,解得1-3≤k≤1+3,故x-y 的最大值是3+1. 解法二:x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cos θ+2,y=3sin θ+1,其中θ∈[0,2π],则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos+1,因为θ∈[0,2π],所以θ+∈,则θ+=2π,即θ=时,x-y取得最大值3+1. 解法三:由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9,设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3,解得1-3≤k≤1+3.故选C. (2)已知P是直线l:x+y-1=0上一点,M,N分别是圆C1:(x-1)2+(y-8)2=1和C2:(x-5)2+(y-5)2=9上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是(C) A.7 B.8 C.9 D.10 解析　圆C1:(x-1)2+(y-8)2=1,则圆心C1(1,8),r=1,圆C2:(x-5)2+(y-5)2=9,则圆心C2(5,5),R=3,因为(1+8-1)×(5+5-1)>0,则两圆心在直线l的同侧.又圆心C1(1,8)到直线l的距离d1==4>1, 圆心C2(5,5)到直线l的距离d2==>3,则两圆在直线l的同侧且与直线相离,如图所示,圆心C1(1,8)关于直线l:x+y-1=0的对称点为E(a,b),则解得所以E(-7,0),所以|PC1|+|PC2|=|PE|+|PC2|≥|EC2|==13,当且仅当C2、P、E三点共线时等号成立;即|PM|+|PN|的最小值为|EC2|-R-r=13-3-1=9.故选C. [规律方法]　与圆有关的最值问题解题策略 结合圆的几何性质,利用切线的性质构造直角三角形,或者数形结合,转化所求线段,最终求出线段长度的范围(或最值). 【对点练】 1.(角度2)已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,过点A(-1,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= 4 .  解析　已知直线l:x+ay-1=0是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴,又圆心C(3,1),半径r=3,所以直线l过圆心C(3,1),故3+a-1=0,即a=-2,所以点A(-1,-2),|AC|==5,|AB|==4. 2.(角度1)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2+y2+2x-6y+6=0相交于A,B两点,则当|AB|=2时,直线l的方程为 3x+4y-4=0或x=0 .  解析　因为圆x2+y2+2x-6y+6=0可以化为(x+1)2+(y-3)2=4,所以圆心为(-1,3),半径为r=2,因为|AB|=2,所以圆心到直线的距离为d==1,当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时圆心(-1,3)到直线x=0的距离为1,满足条件;当直线l斜率存在时,设斜率为k,直线l的方程为y=kx+1,则圆心(-1,3)到直线l的距离d==1,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y-4=0,综上,所求直线的方程为3x+4y-4=0或x=0. 3.(角度3)已知直线l:3x-4y-15=0与圆O:x2+y2-2x-4y+1=0,P为直线l上一动点,直线AP与圆O相切于点A,则线段AP长度的最小值为 2 .  解析　圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心为(1,2),圆心到直线的距离为d==4>2,故直线l与圆相离,又直线AP为圆O的切线,则|OA|2+|AP|2=|OP|2,当|OP|最小时,|AP|最小,即OP⊥直线l,此时|AP|===2,故线段AP长度的最小值为2. 考点三　圆与圆的位置关系 【例4】　(1)(2025·齐齐哈尔模拟)已知圆M:x2+y2-4y=0与圆N:x2+y2-2x-3=0,则圆M与圆N的位置关系为(B) A.内含 B.相交 C.外切 D.外离 解析　圆M:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心M(0,2),半径R=2.圆N:x2+y2-2x-3=0,即(x-1)2+y2=4,圆心N(1,0),半径r=2,则|MN|==,故有|R-r|<|MN|<R+r.故两圆是相交关系. (2)圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为 x-2y+4=0 ,公共弦长为 2 .  解析　联立 两式相减并化简,得两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.设两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标满足方程组 解得或所以|AB|==2,即公共弦长为2. [规律方法]　圆与圆的位置关系的求解策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法. (2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差,消去x2,y2项得到. 【训练2】　(1)已知圆O1:(x-1)2+y2=4与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0交于A,B两点,则|AB|=(B) A. B.2 C.3 D.4 解析　两圆方程作差可得直线AB的方程为:2x-2y-6=0,即x-y-3=0;由圆O1方程可得其圆心O1(1,0),半径r=2,所以O1到直线AB的距离d==,所以|AB|=2=2.故选B. (2)(2025·武汉质检)若圆x2+y2+6x=0与圆x2+y2-2my+m2-16=0外离,则实数m的取值范围是 (-∞,-2)∪(2,+∞) .  解析　设圆C1:x2+y2+6x=0,即(x+3)2+y2=9,所以圆心C1(-3,0),半径r1=3;圆C2:x2+y2-2my+m2-16=0,即x2+(y-m)2=16,所以圆心C2(0,m),半径r2=4.因为圆C1和圆C2外离,所以|C1C2|>r1+r2,即>7,解得m<-2或m>2,所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(B) A.1 B. C. D. 解析　因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=,过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,因为|PC|==2,则|PA|==,可得sin∠APC==,cos∠APC==,则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2××=,cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=-=-<0,即∠APB为钝角,所以sin α=sin(π-∠APB)=sin∠APB=.故选B. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l:x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足 “△ABC面积为”的m的一个值 2 .  解析　设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|=2,所以S△ABC=×d×2=,解得d=或d=,由d==,所以=或=,解得m=±2或m=±. 3.(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是  .  解析　A(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为A'(-2,2a-3),B(0,a)在直线y=a上,所以A'B所在直线即为直线l,所以直线l为y=x+a,即(a-3)x+2y-2a=0;圆C:(x+3)2+(y+2)2=1,圆心C(-3,-2),半径r=1,依题意圆心到直线l的距离d=≤1,即(5-5a)2≤(a-3)2+22,解得≤a≤,即a∈. 4.(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 3x+4y-5=0或7x-24y-25=0或x=-1(只需答出一条即可) .  解析　 如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,连接OA,所以|OA|=5,又r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:①易知公切线l1的方程为x=-1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y= x,由得由对称性可知公切线l2的斜率存在且过点,设公切线l2的方程为y+=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=,解得k=,所以公切线l2的方程为y+=(x+1),即7x-24y-25=0.③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直,设公切线l3的方程为y=-x+t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=,解得t=或t=-(舍去),所以公切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 第五节　椭圆 课标要求 三年考情 1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 4.了解椭圆的简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T16 T5 T16 全国Ⅱ卷 T16 T5 T5   重点提示:椭圆的标准方程、几何性质、弦长公式、中点弦 第1课时　椭圆及其简单几何性质 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数,当a>c时,则集合P表示椭圆. 微提醒　　(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆. (2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段. (3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 性质 范围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|=2c 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 离心率 e=∈(0,1) a,b,c 的关系 c2=a2-b2 微提醒　　焦点在x 轴上⇔ 标准方程中x2 项的分母较大;焦点在y 轴上⇔ 标准方程中y2 项的分母较大. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都满足a2=b2+c2.(√) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.(√) (3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲线是椭圆.(×) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(×) 2.(人A选一P109T1改编)若椭圆+=1上一点P与焦点F1的距离为4,则点P与另一个焦点F2的距离为(A) A.6 B.3 C.4 D.2 解析　由椭圆方程+=1,得a2=25,即a=5,则|PF1|+|PF2|=2a=10,因为|PF1|=4,所以|PF2|=6,即点P与另一个焦点F2的距离为6. 3.(人A选一P116T12改编)若椭圆C:+=1,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(A) A.3 B.2+ C.2 D.+1 解析　由题意知a=2,b=,所以c=1,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3. 4.若方程+=1表示椭圆,则实数k的取值范围是 (3,4)∪(4,5) .  解析　由已知得 解得3<k<5 且k≠4. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　椭圆的定义及应用 【例1】　(1) 如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(A) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析　连接QA(图略).由已知得|QA|=|QP|,所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义知,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.故选A. (2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|=(B) A.1 B.2 C.4 D.5 解析　解法一:因为·=0,所以PF1⊥PF2,则=|PF1|·|PF2|=b2tan,得|PF1|·|PF2|=1×tan=1,所以|PF1|·|PF2|=2. 解法二:因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以+|PF2|2==(2c)2=16.因为|PF1|+|PF2|=2a=2,所以(|PF1|+|PF2|)2=20,即+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2.故选B. [规律方法]　椭圆的定义及应用 (1)求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|;通过整体代入可求其面积等. 【训练1】　(1)已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P是椭圆上第一象限的点,若cos∠F1PF2=,则|PF1|·|PF2|=(A) A. B. C. D. 解析　 不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,如图.由题意|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2.在△PF1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-|PF1|·|PF2|,即4=16-|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=. (2)(2025·郑州模拟)若F为椭圆C:+=1的右焦点,A,B为C上两动点,则△ABF周长的最大值为 20 .  解析　 如图,设F1为椭圆C的左焦点,则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF1|+2a-|BF1|+|AB|=4a+|AB|-|AF1|-|BF1|=20+|AB|-|AF1|-|BF1|,当A,B,F1共线时,|AB|-|AF1|-|BF1|=0,当A,B,F1不共线时,|AB|-|AF1|-|BF1|<0,所以△ABF周长的最大值为20. 考点二　椭圆的标准方程及应用 　 教考衔接15 教材题 [题源] (人A选一P108例2)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?(当点P经过圆与x轴的交点时,规定点M与点P重合.) 解　设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则点D的坐标为(x0,0).由点M是线段PD的中点,得x=x0,y=.因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以+=4　①.把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=4,即+y2=1.所以点M的轨迹是椭圆. 高考题 (2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(A) A.+=1(y>0)　B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 解析　设点M(x,y),则P(x,y0),P'(x,0),因为M为PP'的中点,所以y0=2y,即P(x,2y),又P在圆x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2=16(y>0),即+=1(y>0),即点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A. 【例2】　分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0); (2)两个焦点分别是F1(0,-4),F2(0,4),并且椭圆经过点(,-); (3)过点(-3,2)且与+=1有相同焦点的椭圆的方程; (4)经过点P,Q. 解　(1)若焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(3,0),所以=1得a=3,因为2a=3×2b,所以b=1,所以方程为+y2=1;若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(3,0),所以=1得b=3,又2a=3×2b,所以a=9,所以方程为+=1.综上,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为+=1(a>b>0).由已知得c=4,又因为c2=a2-b2,所以a2=b2+16.因为点(,-)在椭圆上,所以+=1,即+=1.从而有+=1,解得b2=4或b2=-12(舍去).因此a2=4+16=20,从而所求椭圆的标准方程为+=1. (3)由题意得椭圆+=1的焦点坐标为(,0),(-,0),设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由于椭圆经过过点(-3,2),则可将点代入方程得到,+=1.因为所求椭圆与椭圆+=1有相同的焦点,所以所求椭圆的半焦距c=,a2-b2=5,联立解得a2=15,b2=10,所求椭圆的标准方程为+=1. (4)根据题意,设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),又由椭圆经过P和Q,则有解得m=5,n=4,则所求的椭圆方程为5x2+4y2=1,即其标准方程为+=1. [规律方法]　求椭圆方程的方法 (1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义. (2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可. 【训练2】　(1)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是常数,则动点M的轨迹方程是(B) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　设d是点M到直线l:x=的距离,根据题意,动点M的轨迹就是集合P=.由此得=,将上式两边平方并化简,得9x2+25y2=225,即+=1.所以动点M的轨迹方程为+=1.故选B. (2)已知M、N两点的坐标分别为(-2,0),(2,0).直线MK、NK相交于点K,且它们的斜率之和是3,则点K的轨迹方程为(A) A.3x2-2xy-12=0(x≠±2) B.3y2-2yx-12=0(x≠±2) C.+=1(x≠±2) D.-=1(x≠±2) 解析　设K(x,y),则直线KM的斜率为kKM=,直线KN的斜率为kKN=,依据题意可知,kKM+kKN=+=3,化简得3x2-2xy-12=0,因为直线KM、KN的斜率存在,所以x≠±2,所以3x2-2xy-12=0(x≠±2),故选A. 考点三　椭圆的简单几何性质 角度1　椭圆的长轴、短轴、焦距 【例3】　(1)已知椭圆+=1,则椭圆的焦点坐标为(C) A.(±3,0) B.(±4,0) C.(0,±4) D.(0,±3) 解析　方程+=1可化为+=1,则椭圆的焦点在y轴上,且a2=25,b2=9,则c===4,故其焦点坐标为(0,±4).故选C. (2)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(B) A. B. C. D. 解析　依题意a=3,b=,c==. 如图,不妨令F1(-,0),F2(,0).设|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中,cos∠F1PF2==　①,由椭圆的定义可得m+n=2a=6　②.由①②,解得mn=. 解法一:设|OP|=x.在△F1OP和△F2OP中,∠F1OP+∠F2OP=π,由余弦定理得=-,得x2===,所以|OP|=. 解法二:因为=(+),所以||2=(m2+n2+2mncos∠F1PF2)==,所以|PO|=. [规律方法]　求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系. 角度2　椭圆的离心率 【例4】　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a=(A) A. B. C. D. 解析　由e2=e1,得=3,即=3·,解得a=.故选A. (2)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使得|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率的取值范围是(A) A. B. C. D. 解析　由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,解得|PF1|=,|PF2|=.因为a-c≤|PF1|≤a+c,所以a-c≤≤a+c,又a>0,得0<a≤3c,解得≤e<1.故选A. [规律方法]　求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解. (2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解. (3)构造a,c的方程.可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e. 角度3　与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 【例5】　(1)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.则|PA|+|PF|的最大值与最小值的和为(A) A.12 B.6+ C.6- D.2 解析　 如图所示,设椭圆右焦点为F1,连接PF1,则|PF|+|PF1|=6.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.因为-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),所以6-≤|PA|+|PF|≤6+.故|PA|+|PF|的最大值为6+,最小值为6-.|PA|+|PF|的最大值与最小值的和为12. (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(A) A. B. C. D.2 解析　由P在C上,设P(x0,y0),则+=1,又B(0,1),所以|PB|2=+(y0-1)2,由+=1,得=5-5,y0∈[-1,1],代入上式,得|PB|2=5-5+(y0-1)2,化简,得|PB|2=-4+,y0∈[-1,1].因此当且仅当y0=-时,|PB|取得最大值为.故选A. [规律方法]　与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 【对点练】 1.(角度2)椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a=(A) A. B. C. D.2 解析　由题意e===,解得a=.故选A. 2.(角度1)设P为椭圆+=1上的任意一点,F1,F2为其上、下焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是(C) A.4 B.6 C.9 D.12 解析　椭圆+=1,故|PF1|+|PF2|=6≥2,故|PF1|·|PF2|≤9,当且仅当|PF1|=|PF2|=3时,等号成立.故选C. 3.(角度3)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(C) A.2 B.3 C.6 D.8 解析　由椭圆+=1可得F(-1,0),设P(x,y)(-2≤x≤2).则·=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,-2≤x≤2,当且仅当x=2时,·取得最大值6. 第2课时　直线与椭圆的位置关系 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.点与椭圆的位置关系 已知点P(x0,y0),椭圆+=1(a>b>0),则 (1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1. (2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1. (3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1. 2.直线与椭圆位置关系的判断 已知直线y=kx+m,椭圆+=1,联立得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0, 若该一元二次方程的判别式为Δ,则 Δ>0⇔有两个交点⇔相交; Δ=0⇔有一个交点⇔相切; Δ<0⇔无交点⇔相离. 3.弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=|x1-x2| = 或|AB|=|y1-y2| =, k为直线的斜率且k≠0. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)过点的直线一定与椭圆+y2=1相交.(√) (2)直线-y=1被椭圆+y2=1截得的弦长为.(√) 解析　由-y=1得y=-1,代入+y2=1,即x2-2x=0,解得两交点坐标A(0,-1),B(2,0).|AB|==. (3)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.(√) 解析　由椭圆的对称性知,直线过椭圆的中心时,相交弦长最大. (4)无论k为何值,直线y=kx+2和椭圆+=1都有一个交点.(×) 解析　因为y=kx+2过定点(0,2),且椭圆+=1的上顶点也为(0,2),所以当直线的斜率为0时,此时直线与椭圆相切,仅有一个公共点,当直线的斜率不为零时,此时直线与椭圆有两个交点. 2.(人A选一P114例7改编)直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是(C) A. B.- C.± D.± 解析　由得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±. 3.(人A选一P108例3改编)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为M,N,点P在C上,且直线PN的斜率为-,则直线PM的斜率为(B) A. B.3 C.- D.-3 解析　因为椭圆C:+=1的左、右顶点分别为M,N,所以点M的坐标为(-2,0),点N的坐标为(2,0),又直线PN的斜率为-,所以直线PN的方程为y=-(x-2),代入椭圆C的方程+=1,得13x2-4x-44=0,设点P的坐标为(x,y),则x+2=,解得x=-,y=,故直线PM的斜率k==3,故选B. 4.设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M(1,1)为线段AB的中点.则直线AB的方程为 2x+y-3=0 .  解析　设A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则+=1,+=1,两式作差可得×=-2,因为点M坐标为(1,1),M为线段AB的中点,则×k=-2,则kAB=-2,又AB过点(1,1),则直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0为所求. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　直线与椭圆的位置关系 【例1】　(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0,3)和P为椭圆C:+=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程. 【规范解答】　(1)由题意得解得 思维点1:利用待定系数法将方程组表达出来. 所以椭圆的离心率e===. (2)由(1)知椭圆C的方程为+=1. 当直线l的斜率不存在时, 思维点2:分类讨论,讨论斜率不存在的特殊情况. 直线l的方程为x=3,B,|PB|=3,点A到直线PB的距离为3,此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件, 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-3), 思维点3:讨论直线l斜率存在的情况. 联立直线l与椭圆C的方程,得消去y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0. 设点B(x0,y0),则 所以|PB|=|x0-3|=·=. 又点A到直线l的距离d=, 思维点4:求解△APB底边PB长度及高的表达式. 所以△ABP的面积 S=··=9, 思维点5:构造△APB的面积,列出方程. 解得k=或k=. 所以直线l的方程为y=x或y=x-3, 即x-2y=0或3x-2y-6=0. 　　本题以直线与椭圆的位置关系为载体,考查求直线方程,体现了综合性.通过将面积问题转化为距离问题考查学生分析、推理和表达的逻辑思维能力.通过联立直线与椭圆的方程将几何条件代数化,考查学生函数与方程思想、转化与化归思想.通过方程(组)的求解,考查学生的运算求解能力. 【训练1】　(1)直线y=kx-k+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是  .  解析　直线y=kx-k+1,即y=k(x-1)+1,直线恒过定点P(1,1),直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上.所以+≤1,即m≥,又0<m<5,故m∈. (2)已知点P(x,y)是椭圆+=1上任意一点,则点P到直线l:y=x+2的最大距离为  .  解析　设直线y=x+m与椭圆相切,由得13x2+18mx+9m2-36=0,所以Δ=(18m)2-4×13(9m2-36)=0,解得m=±,则所求切线方程为y=x+和y=x-,与l距离较远的是y=x-,所以所求最大距离为d==. 考点二　弦长问题 【例2】　(1)已知点F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过F2作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点,则弦AB的长为  .  解析　椭圆+y2=1的右焦点F2(1,0),因为直线AB的倾斜角为且过点F2(1,0),所以直线AB:y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y得3x2-4x=0,所以x1=0,x2=,所以y1=-1,y2=,所以A(0,-1),B,所以|AB|==. (2)(2022·新课标Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 13 .  解析　 如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以=,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程+=1,得13x2+8cx-32c2=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以|DE|====6,解得c=,所以a=2c=,所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13. [规律方法]　弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种: ①|AB|=|x1-x2|= . ②|AB|=|y1-y2|= (k≠0). 【训练2】　(1)已知直线l:mx-y+1=0与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,当|AB|取最大值时m的值为(C) A.± B.± C.± D.± 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y整理得(1+4m2)x2+8mx=0,解得x1=0或x2=,则y1=1,y2=,则A(0,1),B,所以|AB|= =8= 8= 8= 8,所以当=,即m=±时|AB|取最大值.故选C. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍,则m=(C) A. B. C.- D.- 解析　将直线y=x+m与椭圆联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于A,B点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2,设F1到AB的距离为d1,F2到AB距离为d2,易知F1(-,0),F2(,0),则d1=,d2=,===2,解得m=-或-3(舍去),故选C. 考点三　中点弦问题 【例3】　(1)已知M(4,2)是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点,则直线l的方程为(B) A.2x+y-8=0 B.x+2y-8=0 C.x-2y-8=0 D.2x-y-8=0 解析　解法一:(二级结论直接用)结合选项,直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l的斜率k==-·=-,直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0. 解法二:(通性通法直接算) 当直线l斜率不存在时,由对称性可知,此时直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点在x轴上,而已知M(4,2)是线段AB的中点,不在x轴上,不满足题意.故直线斜率存在,可设斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x-4),即kx-y+2-4k=0,代入椭圆的方程化简得(1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0,所以x1+x2==8,解得k=-,故直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.故选B. (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为 x+y-2=0 .  解析　解法一:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n),设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,所以即因为kAB=kMN,所以==-.将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,得相减得+=0,由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以·=-,即·=-,整理得m2=2n2　①.又|MN|=2,所以由勾股定理,得m2+n2=12　②,由①②并结合m>0,n>0,得所以直线l的方程为+=1,即x+y-2=0. 解法二:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q,则kAB==-,kOQ==.由椭圆中点弦的性质,知kAB·kOQ=-=-,即·=-,整理得m2=2n2　①.又|MN|=2,所以由勾股定理,得m2+n2=12　②,由①②并结合m>0,n>0,得所以直线l的方程为+=1,即x+y-2=0. [规律方法]　解决椭圆“中点弦”问题的方法 (1)根与系数的关系法:联立直线与椭圆的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法:设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入椭圆的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量. 【训练3】　(1)直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为1,则m等于(A) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　因为x+4y+m=0,所以y=-x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得=-=-.因为AB中点的横坐标为1,则纵坐标为,将代入直线y=-x-,解得m=-2. (2)(2025·安徽芜湖模拟)已知椭圆+=1,一组斜率为的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为(C) A.y=x B.y=-2x C.y=-x D.y=2x 解析　设斜率为的平行直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),且中点为M(x,y),可得x1+x2=2x,y1+y2=2y.由两式相减得+=0,整理得=-=-=,可得y=-x,即这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y=-x.故选C. 【微点拓展】 椭圆的常用结论及应用 (1)椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ. ①当P为短轴端点时,θ最大,最大. ②|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c. ③|PF1|·|PF2|≤=a2. ④4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. ⑤焦点三角形的周长为2(a+c). ⑥S=|PF1||PF2|sin θ=b2tan=c|y0|,当|y0|=b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc. (2)椭圆周角定理的推广:已知A,B为椭圆+=1(a>b>0)上关于原点对称的两点,P为椭圆上异于A,B的任一点,若直线PA,PB的斜率存在且不为零,则kPA·kPB=-. 【典例】　已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆半径为r=,则该椭圆的长轴长为(D) A.2　 　　B.4　 　　C.6　 　　D.12 解析　由e=,得=,即a=2c　①,在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,得=b2tan=r(2a+2c),即b2=(a+c)　②,又a2=b2+c2　③,联立①②③,得c=3,a=6,b=3,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.故选D. 【微练】　设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为A,B,直线AF2与该椭圆交于A,M两点,若∠F1AF2=90°,则直线BM的斜率为 . 解析　因为∠F1AF2=90°,所以△F1AF2为等腰直角三角形,所以b=c,所以a2=2b2=2c2,所以=,且∠AF2O=45°,所以kMA=-1,又kMA·kMB=-=-,所以kMB=. 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(B) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析　依题意得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,所以C的方程为+=1. 2.(2022·全国甲卷)椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(A) A. B. C. D. 解析　设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==　(*).因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,所以e===. 3.(2024·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴. 解　(1)设F(c,0),由题设有c=1且=,故=,故a=2,故b=,故椭圆方程为+=1. (2) 证明:直线AB的斜率必定存在,设AB:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),由可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,故Δ=1 024k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,故-<k<,又x1+x2=,x1x2=,而N,故直线BN:y=,故yQ==,所以y1-yQ=y1+== = k= k= k=0, 故y1=yQ,即AQ⊥y轴. 第六节　双曲线 课标要求 三年考情 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T21 T16 T12 全国Ⅱ卷 T21 T21 T19   重点提示:双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线 第1课时　双曲线及其简单几何性质 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2)其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. ①若a<c,则集合P表示双曲线. ②若a=c,则集合P表示两条射线. ③若a>c,则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 ±=0 ±=0 离心率 e=,e∈(1,+∞) 性质 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系 c2=a2+b2 微提醒　　①实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=;②若焦点在x 轴上,渐近线斜率为±;若焦点在y 轴上,渐近线斜率为±. 【常用结论】 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则=a+c,|PF2|min=c-a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a. 4.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为(焦点在x轴)或(焦点在y轴). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线.(×) 解析　“平面内到两定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹”才表示双曲线. (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(×) 解析　由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (3)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(×) 解析　双曲线只有两个顶点,是双曲线与实轴的交点. (4)若双曲线的离心率e=,则该双曲线一定为等轴双曲线.(√) 2.(人A选一P120例1改编)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是(D) A.-=1 B.-=1(x≥4) C.-=1 D.-=1(x≥3) 解析　由双曲线的定义知,点M 的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C;又由题意可知焦点在x 轴上,且c=5,a=3,所以b==4,故点M 的轨迹方程为-=1(x≥3).故选D. 3.(人A选一P121T3改编)已知曲线C的方程为+=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是(C) A.(-1,5) B.(5,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(-1,5)∪(5,+∞) 解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得k<-1. 4.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线C的渐近线的斜率为(D) A.±1 B.± C.± D.± 解析　因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以=2,即c2=4a2,因为c2=a2+b2,所以b2=3a2,即=.因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以双曲线C的渐近线的斜率为±.故选D. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　双曲线的定义及应用 【例1】　(1)已知定点A(0,-3),B(0,3),动点P满足|PA|-|PB|=4,则动点P的轨迹为(A) A.双曲线的上支 B.双曲线的下支 C.双曲线的左支 D.y轴负半轴上的射线 解析　由定点A(0,-3),B(0,3),可得|AB|=6,因为|PA|-|PB|=4,即|PA|-|PB|=4<|AB|=6,根据双曲线的定义得,点P的轨迹为双曲线的上支.故选A. (2)(2025·济南模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为C的左、右焦点,过F1的直线与C的左支交于A,B两点,若|AB|的最小值为4,则△ABF2周长的最小值为(C) A.8 B.12 C.16 D.24 解析　因为双曲线的离心率为,所以e2=1+=2,得a=b.当弦AB与实轴垂直时,|AB|的值最小,所以=4,所以a=b=2.由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+4a=|AB|+4a,所以△ABF2的周长为2|AB|+4a,因为a=2,|AB|的最小值为4,所以△ABF2周长的最小值为2×4+4×2=16. [规律方法]　利用定义求动点的轨迹方程注意点 (1)距离之差的绝对值. (2)2a<|F1F2|. (3)焦点所在坐标轴的位置. 【训练1】　(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(B) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析　 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线. (2)设F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为 1 .  解析　由双曲线方程可得a=,b=1,c==,不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a=2,|F1F2|=2c=2,若∠F1PF2=90°,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,可得(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2,即8+2|PF1|·|PF2|=12,则|PF1|·|PF2|=2,所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=1. 【微点拓展】 双曲线的第二定义 平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e(e>1)的点的轨迹为双曲线. ①定点为焦点,定直线l叫准线,左焦点对应左准线,右焦点对应右准线. ②焦点在x轴上的双曲线的准线方程为x=±. 【典例】　双曲线x2-=1的右支上一点P到左焦点F1与右焦点F2的距离之比为2∶1,则点P的坐标为 . 解析　设点P(x0,y0)(x0>0),双曲线的左准线为l1:x=-,右准线为l2:x=,点P到l1,l2的距离分别为d1=x0+,d2=x0-,所以===,解得x0=,将其代入双曲线方程得y0=±,因此点P的坐标为. 【微练】　已知双曲线-=1的右焦点为F2,M是双曲线右支上一点,定点A(9,2),则|MA|+|MF2|的最小值为 . 解析　设M到直线x==的距离为d,由双曲线第二定义,知=e=,所以d=|MF2|,所以|MA|+|MF2|=|MA|+d,如图,可知(|MA|+d)min=xA-=9-=. 考点二　双曲线的标准方程 【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两焦点坐标为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5); (2)焦距为20,离心率为,顶点在x轴上; (3)经过点P(-3,2)和Q(-6,-7); (4)与双曲线-=1共渐近线,且经过点(-5,2). 解　(1)由题意,焦点在y轴上,c=6,又经过点(2,-5),所以2a=|-|=4,所以a2=20,又b2=c2-a2=16,所以所求双曲线方程为-=1. (2)因为焦距为20,离心率为,所以c=10,a=8,故b2=c2-a2=100-64=36,又顶点在x轴上,所以所求双曲线方程为-=1. (3)设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),因为点P,Q在双曲线上,所以解得m=-,n=-,所以双曲线的标准方程为-=1. (4)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0), 又双曲线经过点(-5,2),所以-=λ,解得λ=,所以所求双曲线方程为-=1. [规律方法]　求双曲线方程常用方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为Ax2+By2=1(AB<0),根据条件确定A,B即可.特别地,①与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);②与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2<k<a2). 【训练2】　(1)与椭圆C:+=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为(C) A.x2-=1 B.y2-2x2=1 C.-=1 D.-x2=1 解析　椭圆C的焦点坐标为(0,±2),设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由双曲线的定义可得2a=|-|=(+)-(-)=2,所以a=,因为c=2,所以b==,因此双曲线的方程为-=1. (2)双曲线的一个焦点为(0,6),渐近线方程为y=±x,则其标准方程为 -=1 .  解析　因为焦点为(0,6),渐近线方程为y=±x,所以c=6,=,解得b=2,a=4,所以所求双曲线方程为-=1. 考点三　双曲线的几何性质 角度1　双曲线的实轴、虚轴、焦距 【例3】　(1)(多选题)已知F是双曲线-=1的右焦点,P为其左支上一点,点A(0,-6),则(AC) A.双曲线的焦距为6 B.点F到渐近线的距离为2 C.|PA|+|PF|的最小值为3+4 D.若|PF|=8,则△OPF的面积为3 解析　 如图,由双曲线的标准方程-=1,可知a=2,b=,所以c==3,所以双曲线的焦距为2c=6,故A正确;双曲线的渐近线为y=±x,即x±2y=0,点F(3,0)到渐近线的距离为d==,故B错误;设双曲线的左焦点为F',根据双曲线的定义得|PF|-|PF'|=4,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+4≥|AF'|+4=+4=3+4,故C正确;在△PFF'中,由|PF|=8,|PF'|=8-4=4,|FF'|=6,由余弦定理得cos∠FPF'===,所以sin∠FPF'=,所以S△FPF'=×8×4×=3,所以S△OPF=S△FPF'=,故D错误.故选AC. (2)(多选题)已知双曲线C:-y2=1的焦点在x轴上,且实轴长是虚轴长的3倍,则下列说法正确的是(AB) A.双曲线C的实轴长为6 B.双曲线C的虚轴长为2 C.双曲线C的焦距为2 D.双曲线C的离心率为 解析　由题设2a=3×2b=6b⇒a=3b,而b=1,故a=3,则m=a2=9,所以双曲线方程为-y2=1,实轴长为2a=6,虚轴长为2b=2,焦距为2c=2,离心率为,故A,B对,C,D错.故选AB. [规律方法]　求解与双曲线几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系. 角度2　渐近线 【例4】　(1)(2025·八省联考)双曲线x2-=1的渐近线方程为(C) A.y=±x B.y=±2x C.y=±3x D.y=±4x 解析　由题知,a=1,b=3,所以渐近线方程为y=±x=±3x,故选C. (2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2-=1(m>0) 的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=  .  解析　双曲线y2-=1(m>0) 的渐近线方程为y=±,即x±my=0,不妨取x+my=0.圆x2+y2-4y+3=0,即x2+(y-2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r=1,依题意圆心(0,2) 到渐近线x+my=0 的距离d==1,解得m= 或m=- (舍去). [规律方法]　求双曲线的渐近线方法 (1)先判断焦点位置. (2)令-=0,即得两渐近线方程±=0. 角度3　离心率 【例5】　(1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(C) A.4 B.3 C.2 D. 解析　由题意,设F1(0,-4)、F2(0,4)、P(-6,4),则|F1F2|=2c=8,|PF1|==10,|PF2|==6,则2a=|PF1|-|PF2|=10-6=4,则e===2.故选C. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点.若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为  .  解析　由题可知A,B,F2三点横坐标相等,设A在第一象限,将x=c代入-=1,得y=±,即A,B,故|AB|==10,|AF2|==5,又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入=5得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===. [规律方法]　求双曲线的离心率的步骤 (1)将双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式. (2)利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式). (3)通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 【对点练】 1.(角度1)方程|-|=4的化简结果为(A) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析　根据|-|=4,可得点(x,y)到点F1(-,0),F2(,0)的距离差的绝对值等于2a=4<2,结合双曲线的定义知,点(x,y)的轨迹是以F1(-,0),F2(,0)为焦点的双曲线,2a=4,则a=2,c=,所以b2=c2-a2=2,a2=4,故方程为-=1,故选A. 2.(角度2)已知双曲线C与椭圆D:+y2=1的焦距相等,且其中一个顶点坐标为(-2,0),则C的渐近线方程为 y=±x .  解析　在D:+y2=1中,a=,b=1,所以c=,因为双曲线C与椭圆D:+y2=1的焦距相等,所以在双曲线C中,c1=c=,因为其中一个顶点坐标为(-2,0),所以a1=2,故b1=1,所以C的渐近线方程为y=±x. 3.(角度3)设双曲线C:-=1(a>0,b>0),M,N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点,P为双曲线C上的一动点,若kPM·kPN=4,则双曲线C的离心率为(C) A.2 B. C. D.5 解析　解法一(第三定义):由题知kPM·kPN==e2-1=4,所以e=.故选C. 解法二(直接法):由题意,设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(-x1,-y1),所以kPM·kPN=·=,因为-=1,-=1,所以两式相减可得+=0,即=,因为kPM·kPN=4,所以=4,则e===.故选C. 第2课时　直线与双曲线的位置关系 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.直线与双曲线的位置关系 设直线l:y=kx+m(m≠0),　① 双曲线C:-=1(a>0,b>0),　② 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线l与双曲线C的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点. (2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有2个公共点; Δ=0⇒直线与双曲线有1个公共点; Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点. 2.直线与双曲线的相交弦 设直线y=kx+m交双曲线-=1(a>0,b>0)于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则 |P1P2|= = =|x1-x2|, 同理可得|P1P2|=|y1-y2|(k≠0). 这里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根与系数的关系,需作以下变形: |x1-x2|=, |y1-y2|=. 3.双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. 在双曲线-=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=. 【常用结论】 1.与双曲线只有一个公共点的直线有两种:一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线;另一种是与双曲线相切的直线. 2.当直线经过双曲线的焦点且与实轴垂直时,此时的弦是双曲线的通径,长为,是所有的同支的焦点弦中最短的弦. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(√) (2)直线与双曲线有唯一公共点,则直线与双曲线相切.(×) (3)存在过点P(1,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A、B两点,且P为线段AB的中点.(×) (4)直线y=x-1被双曲线-y2=1截得的弦长为.(×) 2.过点P(-1,2)的直线与双曲线-y2=1的公共点只有1个,则满足条件的直线有(C) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 解析　当直线l的斜率不存在时,显然x=-1与双曲线-y2=1没有公共点.当直线l的斜率存在时,设方程为y-2=k(x+1),与双曲线方程联立得(1-4k2)x2-8(k2+2k)x-4k2-16k-20=0,若1-4k2=0即k=±,此时直线和双曲线的公共点只有1个.当k=时,x=-;当k=-时,x=.当1-4k2≠0时,Δ=64-4(1-4k2)(-4k2-16k-20)=0,整理可得3k2-4k-5=0,因为Δ=76>0,所以3k2-4k-5=0有两个不等的实数根,又k=±不是3k2-4k-5=0的根,且此时直线和双曲线的公共点只有1个.综上可知,直线和双曲线的公共点只有1个时,对应直线l有4条.故选C. 3.(人A选一P128T13改编)已知点A,B是双曲线C:-=1上的两点,线段AB的中点是M(3,2),则直线AB的斜率为(D) A. B. C. D. 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点A,B是双曲线C上的两点,所以-=1,-=1,两式相减得=,因为M(3,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=4,所以=,所以kAB==.故选D. 4.(人A选一P127T8改编)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)满足=,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的方程为(A) A.-=1 B. -=1 C. -=1 D.-=1 解析　由椭圆的标准方程+=1,得c2=12-3=9,即c=3,因为双曲线C 的焦点与椭圆+=1 的焦点相同,所以双曲线C 中,半焦距c=3,由题意,知b=a,又由a2+b2=c2,即a2+=9,解得a2=4,b2=5,所以双曲线C 的方程为-=1.故选A. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　直线与双曲线的位置关系 【例1】　(1)过双曲线C:x2-=1左焦点F和点A(0,2)的直线l与双曲线C的交点个数是(B) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　 由题意得双曲线C:x2-=1左焦点为F(-2,0),则直线l的斜率为k==,故直线l的方程为y=x+2,而双曲线的渐近线方程为y=±x,故直线l与y=x平行,且l过双曲线的左焦点,故直线l与双曲线C的交点个数是1,故选B. (2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 (1,]内的任意值均可 .  解析　双曲线C的渐近线方程为y=±x,若直线y=2x与双曲线C无公共点,则2≥,所以≤4,所以e2==1+≤5,又e>1,所以e∈(1,],所以填写(1,]内的任意值均可. [规律方法]　直线与双曲线位置关系的解题策略 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定. (2)直线与双曲线的两个交点的位置都在左支上⇔x1+x2<0,x1x2>0;都在右支上⇔x1+x2>0,x1x2>0;在两支上⇔x1x2<0.双曲线焦点在y轴上时,可类似讨论. 【训练1】　(1)已知点F是双曲线C:x2-y2=1的一个焦点,直线l:y=kx,则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由双曲线C:x2-y2=1,可设F(,0),且渐近线方程为y=±x,若点F到直线l的距离d=>1,得k<-1,或k>1,如图,由双曲线性质可知,直线l与双曲线C没有公共点;反之,若直线l与双曲线C没有公共点,因为直线l过原点, 由图可知,k≤-1,或k≥1,则k2≥1⇒2k2≥k2+1⇒≥1⇒≥1,即点F到直线l的距离大于或等于1,所以,“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的充分不必要条件.故选A. (2)若直线y=2x与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线离心率的取值范围为(D) A.(1,) B.(1,] C.[,+∞) D.(,+∞) 解析　由题意:y=2x的斜率要小于双曲线渐近线y=x的斜率,所以>2⇒b2>4a2⇒c2-a2>4a2⇒>5⇒e=>.故选D. 考点二　弦长问题 【例2】　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为2,右焦点为(,0). (1)求双曲线C的方程; (2)已知直线y=x+2与双曲线C交于不同的两点A,B,求|AB|. 解　(1)由已知2a=2,a=1,又c=,则b==2,所以双曲线方程为x2-=1. (2)由得3x2-4x-8=0,则Δ=(-4)2-4×3×(-8)=112>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=×=. [规律方法]　 若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=·|x1-x2|=·或|AB|=·|y1-y2|=·. 【训练2】　(1)已知F是双曲线C:x2-=1的左焦点,过点F的直线与C交于A,B两点(点A,B在C的同一支上),且|BF|=2|AF|,则|AB|=(D) A.6 B.8 C. D. 解析　 由C:x2-=1可得F(-2,0).根据对称性,不妨设过点F的直线为x=my-2(m>0),联立可得(3m2-1)y2-12my+9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=　①.由|BF|=2|AF|,则=2,又=(-2-x2,-y2),=(x1+2,y1),所以-y2=2y1　②.由①②可得y1=-,y2=,所以-×=,解得m=或m=-(舍),y1=,所以|AB|=·|y1-y2|=×3|y1|=×=.故选D. (2)(2025·四川内江模拟)已知双曲线C的方程为5x2-y2=1,过点P(0,-1)作直线l与双曲线左右两支分别交于点M,N.若=2,则直线l的方程为(C) A.y=x-1 B.y=x-1或y=-x-1 C.y=x-1或y=-x-1 D.y=x-1 解析　设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=kx-1,联立⇒(5-k2)x2+2kx-2=0,则x1+x2=①,x1x2=　②,因为=2,则-x1=2x2　③,①③联立解得x1=,x2=,代入②得5k2=5⇒k=±1,则直线l的方程为y=x-1或y=-x-1,故选C. 考点三　中点弦问题 【例3】　(1)(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(D) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 解析　解法一:选项中的点均位于双曲线两支之间,故点A,B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称,设线段AB 的中点坐标为(x0,y0),则|kAB|=9||<3,即|y0|>3|x0|,结合选项可知选D. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得 两式作差,得-=,即(x1-x2)(x1+x2)=,整理得=9,即·=kAB·=9,因此kAB=9·. 由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图.对于A 选项,因为kAB=9×=9>3,所以直线AB 与双曲线无交点,不符合题意;对于B 选项,因为kAB=9×=-<-3,所以直线AB 与双曲线无交点,不符合题意;对于C 选项,kAB=9×=3,此时直线AB 即为渐近线y=3x,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;对于D 选项,因为kAB=9×=<3,所以直线AB 与双曲线有两个交点,满足题意.故选D. (2)已知双曲线C:2x2-y2=2,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M、N两点,若P为线段MN的中点,则弦长|MN|= 4 .  解析　由题设,直线l的斜率必存在,设过P(1,2)的直线MN为y-2=k(x-1),联立得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k2-4k+6)=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-=2xP,所以-=2,解得k=1,经检验,符合题意,则x1+x2=2,x1x2=-3.弦长|MN|=·=×=4. [规律方法]　中点弦问题的解决方法 (1)根与系数的关系:直线与双曲线方程联立,消元,利用根与系数关系表示中点. (2)点差法:利用弦两端点适合双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率. 【训练3】　(1)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为M(-12,-15),则E的方程为(B) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析　由已知易得l的斜率为k=kFM=1.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30,得=,从而=1,即4b2=5a2.又c=3,所以a2+b2=9,解得a2=4,b2=5,故选B. (2)(2025·江苏苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-3,0)的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线相交于A,B两点,若线段AB的中点是M(1,3),则C的离心率为(D) A. B. C. D. 解析　 直线l的斜率不存在时,M应该在x轴上,不符合题意,直线l的斜率为0时,A,B两点重合,不符合题意,所以直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=k(x+3)(k≠0),双曲线的两条渐近线方程分别为y=x,y=-x,联立解得不妨令A,联立解得则B,因为线段AB的中点为M(1,3),所以即②式两边分别平方得k2b4=b4-2a2b2k2+a4k4③,将①代入③并化简可得=,所以离心率e=====.故选D. 【微点拓展】 双曲线的常用结论及应用 设双曲线-=1(a>0,b>0),左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点,则|PF1|min=a+c,=c-a. (3)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,则=,其中θ为∠F1PF2. (4)双曲线周角定理的推广:已知A,B为双曲线-=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,P为双曲线上异于A,B的任一点,若直线PA,PB的斜率存在且不为零,则kPA·kPB=. 【典例】　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过原点O的直线交C于A,B两点(点B在右支上),双曲线右支上一点P(异于点B)满足·=0,直线PA交x轴于点D,若∠ADO=∠AOD,则双曲线C的离心率为(A) A.　　 　B.2　　 　C.　　 　D.3 解析　 如图,·=0,所以BA⊥BP,令kAB=k,因为∠ADO=∠AOD,所以kAP=-kAB=-k,又BA⊥BP,所以kPB=-,依题意,kPB·kPA=,所以-·(-k)=.所以=1,所以双曲线C的离心率为e====.故选A. 【微练】　已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 2 . 解析　解法一:不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==,所以|PF1|·|PF2|=8,所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=2. 解法二:由已知得,b2=2,θ=∠F1PF2=60°,所以===2. 考点四　双曲线中的最值(范围)问题 【例4】　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(2,1),渐近线方程为y=±x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值. 解　(1)由题设可知解得则双曲线C的标准方程为-y2=1. (2)设点M的横坐标为xM,则xM>0,当直线l的斜率不存在时,则直线l:x=2,易知点M到y轴的距离为xM=2.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m(k≠±,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,Δ=64k2m2-16(4k2-1)·(m2+1)=0,整理得4k2=m2+1,联立整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2=0,则x1+x2=-=-=-,则xM==->0,即km<0,则==4+>4,即xM> 2,所以此时点M到y轴的距离大于2.综上所述,点M到y轴的距离的最小值为2. [规律方法]　求双曲线的最值(范围)问题的方法 (1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解. (2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将双曲线的最值(或范围)问题转化为二次函数或三角函数等函数的最值(或范围)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解. 【训练4】　(2025·江苏南通模拟)已知双曲线C:-y2=1,直线l:x-y+1=0. 双曲线C上的点P到直线l的距离最小,则点P的横坐标为(D) A. B. C.- D.- 解析　 由题意得直线l:x-y+1=0与双曲线无交点;设直线l的平行线l1:x-y+m=0,联立整理得3x2+8mx+4m2+4=0,由直线l1与双曲线相切,知(8m)2-4×3×(4m2+4)=0,解得m=±,由图形(如图)可知m=时,双曲线C上的点P到直线l的距离最小,代入3x2+8mx+4m2+4=0,即3x2+8x+16=0,解得x=-.故选D. 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(D) A. B. C. D. 解析　由e=,则==1+=5,解得=2,所以双曲线的渐近线为y=±2x,当渐近线为y=-2x时,圆心(2,3)到该渐近线的距离d==>1,不合题意;当渐近线为y=2x时,则圆心(2,3)到渐近线的距离d==,所以弦长|AB|=2=2=.故选D. 2.(2023· 新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为  .  解析　 解法一:依题意,设|F2A|=2m(m>0),如图,则|F2B|=3m=|F1B|,|F1A|=2a+2m,在Rt△ABF1 中,9m2+(2a+2m)2=25m2,即(a+3m)(a-m)=0,故a=m 或a=-3m(舍去),所以|F1A|=4a,|F2A|=2a,|F2B|=|F1B|=3a,则|AB|=5a,故cos∠F1AF2===,所以在△AF1F2中,cos∠F1AF2==,整理得5c2=9a2,故e==. 解法二:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(x0,y0),B(0,t),不妨设t>0,如图,因为=-,所以(x0-c,y0)=-(-c,t),则x0=c,y0=-t,点A,又⊥,所以·=·(c,t)=c2-t2=0,则t2=4c2,又点A 在双曲线C 上,则-=1,整理得-=1,则-=1,所以25c2b2-16a2c2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),整理得25c4-50a2c2+9a4=0,则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2 或5c2=a2,又e>1,所以e= 或e=(舍去),故e=. 解法三:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(x0,y0),B(0,t),不妨设t>0,如图,因为=-,所以(x0-c,y0)=-(-c,t),则x0=c,y0=-t,所以A,又⊥,所以·=·(c,t)=c2-t2=0,则t2=4c2,t=2c,可得点A,所以可求|F1A|=c,|F2A|=c,所以2a=|F1A|-|F2A|=c,即e==. 3.(2022·新课标Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率; (2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积. 解　(1)因为点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,所以-=1,解得a2=2,即双曲线C:-y2=1.易知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立可得,(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,1-2k2≠0且Δ=16m2k2-4(2m2+2)(2k2-1)>0⇒m2+1-2k2>0且k≠±.所以由kAP+kAQ=0可得,+=0,即(x1-2)(kx2+m-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,所以2k×+(m-1-2k)-4(m-1)=0,化简得,8k2+4k-4+4m(k+1)=0,即(k+1)(2k-1+m)=0,所以k=-1或m=1-2k,当m=1-2k时,直线l:y=kx+m=k(x-2)+1过点A(2,1),与题意不符,舍去,故k=-1. (2)解法一(常规转化):不妨设直线PA,AQ的倾斜角为α,β,因为kAP+kAQ=0,所以α+β=π,由(1),知x1x2=2m2+2>0,当P,Q均在双曲线左支时,∠PAQ=2α,所以tan 2α=2,即tan2α+tan α-=0,解得tan α=(负值舍去),此时PA与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去;当P,Q均在双曲线右支时,因为tan∠PAQ=2,所以tan(β-α)=2,即tan 2α=-2,即tan2α-tan α-=0,解得tan α=(负值舍去),于是,直线PA:y=(x-2)+1,直线QA:y=-(x-2)+1,联立可得x2+2(-4)x+10-4=0,因为方程有一个根为2,所以xP=,yP=,同理可得,xQ=,yQ=.所以PQ:x+y-=0,|PQ|=,点A到直线PQ的距离d==,故△PAQ的面积为××=. 解法二:设直线AP的倾斜角为α,由tan∠PAQ=2,得tan=,由2α+∠PAQ=π,得kAP=tan α=,即=,联立=,及-=1得x1=,y1=,同理,x2=,y2=,故x1+x2=,x1x2=,而|AP|=|x1-2|,|AQ|=|x2-2|,由tan∠PAQ=2,得sin∠PAQ=,故S△PAQ=|AP|·|AQ|sin∠PAQ=|x1x2-2(x1+x2)+4|=. 4.(2022·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x. (1)求C的方程; (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 解　(1)右焦点为F(2,0),所以c=2,因为渐近线方程为y=±x,所以=,所以b=a,所以c2=a2+b2=4a2=4,所以a=1,所以b=.所以C的方程为x2-=1. (2)设直线PQ的方程为y=kx+b,由题意知k>.由得 (3-k2)x2-2kbx-b2-3=0.Δ>0,故b2+3-k2>0,故x1+x2=,x1x2=-,x1-x2==-.设M(xM,yM),则yM-y1=-(xM-x1),yM-y2=(xM-x2),于是y1-y2=2xM-(x1+x2),2yM-(y1+y2)=(x1-x2).因为y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2),y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b,所以2xM=k(x1-x2)+(x1+x2),2yM=k(x1+x2)+(x1-x2)+2b.因此xM=,yM==xM.因此点M的轨迹方程为y=x. 选择①②作为条件,证明③成立.由PQ∥AB可得直线AB的方程为y=k(x-2).点M的坐标满足解得xM=,yM=.设A(xA,yA),B(xB,yB),yA>0,yB<0.由解得xA=,yA=.同理可得xB=,yB=-.于是xM=,yM=.因此点M为AB的中点,即|MA|=|MB|. 选择①③作为条件,证明②成立.当直线AB的斜率不存在时,点M与点F(2,0)重合,此时点M不在直线y=x上,矛盾.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x-2)(m≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),yA>0,yB<0.由解得xA=,yA=.同理可得xB=,yB=-.于是xM==,yM==.因为点M在直线y=x上,所以6m=·2m2,即k=m.因此PQ∥AB. 选择②③作为条件,证明①成立.由PQ∥AB可得直线AB的方程为y=k(x-2),设A(xA,yA),B(xB,yB),yA>0,yB<0.由解得xA=,yA=.同理可得xB=,yB=-.设AB的中点为N(xN,yN),则xN==,yN==.因为|MA|=|MB|,所以点M在AB的垂直平分线上,即M在直线y-yN=-(x-xN)上.由得xM==xN,yM==yN,即M恰为AB的中点.因此点M在直线AB上. 第七节　抛物线 课标要求 三年考情 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T11 全国Ⅱ卷 T10 T10 T10   重点提示:抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线 第1课时　抛物线及其简单几何性质 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 微提醒　　当定点F在定直线l上时,轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线. 2.抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 焦点 准线 方程 x=- x= y=- y= 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1 微提醒　　四种不同抛物线方程的共同点:①原点都在抛物线上;②焦点都在坐标轴上;③准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即=. 【常用结论】 1.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)直线与抛物线相交,则有2个公共点.(×) 解析　当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线和抛物线相交于1点,所以(1)错误. (2)P(x,y)到F(3,0)的距离与到直线x-y-3=0的距离相等,则动点P的轨迹是抛物线.(×) 解析　若“P(x,y)到F(3,0)的距离与到直线x-y-3=0的距离相等”,F(3,0)在直线x-y-3=0上,所以此时不符合抛物线的定义,所以错误. (3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(×) 解析　过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p,此弦长也称为通径长. (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y.(√) 2.(人A选一P132 例1(1)改编)抛物线y=x2的焦点坐标为(C) A. B. C. D. 解析　由题意,抛物线x2=y 的焦点坐标为. 3.(人A选一P135例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=(B) A.9 B.8 C.7 D.6 解析　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意,得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B. 4.(人A选一P138习题T4改编)顶点在原点,且过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是 y2=-x或x2=y .  解析　设抛物线的方程是y2=kx 或x2=my,代入点P(-2,3),解得k=-,m=,所以y2=-x 或x2=y. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　抛物线的定义及应用 【例1】　(1)动点P到直线x-2=0的距离比它到点M(-4,0)的距离小2,则点P的轨迹是(D) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析　依题意,动点P到直线x-2=0的距离比它到点M(-4,0)的距离小2,所以P到直线x-4=0的距离和它到点(-4,0)的距离相等,所以P点的轨迹是抛物线. (2)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(B) A.2 B.2 C.3 D.3 解析　解法一:由题意可知F(1,0),抛物线的准线方程为x=-1.设A,则由抛物线的定义可知|AF|=+1.因为|BF|=3-1=2,所以由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2).不妨取A(1,2),则|AB|===2.故选B. 解法二:由题意可知F(1,0),故|BF|=2,所以|AF|=2.因为抛物线的通径长为2p=4,所以AF的长为通径长的一半,所以AF⊥x轴,所以|AB|===2.故选B. [规律方法]　抛物线定义的应用策略 【训练1】　(1)设圆O:x2+y2=4与y轴交于A,B两点(A在B的上方),过点B作圆O的切线l,若动点P到A的距离等于P到l的距离,则动点P的轨迹方程为(A) A.x2=8y B.x2=16y C.y2=8x D.y2=16x 解析　因为圆O:x2+y2=4与y轴交于A,B两点(A在B的上方),所以A(0,2),B(0,-2),又因为过点B作圆O的切线l,所以切线l的方程为y=-2,因为动点P到A的距离等于P到l的距离,所以动点P的轨迹为抛物线,且其焦点为(0,2),准线为y=-2,所以P的轨迹方程为x2=8y. (2)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m=(D) A. 4 B. 3 C. D. 解析　由题意知,抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=-,根据抛物线的定义,可得点(x0,2) 到焦点F 的距离等于到准线y=- 的距离,可得2+=,解得m=. 考点二　抛物线的标准方程 【例2】　(1)(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为(AC) A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 解析　若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=2px(p≠0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=,所以抛物线的方程为y2=x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=2py(p≠0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=2p×(-2),解得p=-4,所以抛物线的方程为x2=-8y.故选AC. (2) 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(D) A.y2=x B.y2=9x C.y2=x D.y2=3x 解析　 如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,设|BF|=a,则|BC|=2a,由抛物线的定义得|BD|=a,故∠BCD=30°,所以在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|,因为|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,所以3+3a=6,解得a=1,因为BD∥FG,所以=,所以p=,因此抛物线的方程为y2=3x. [规律方法]　求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法:确定p的值,再结合焦点位置,求出抛物线方程. (2)待定系数法:焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0);焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),a的正负由题设来定. 【训练2】　(1)已知P(m,2)为抛物线C:y2=-2px(p>0)上一点,点P到C的焦点的距离为2,则C的焦点坐标为(C) A. B. C.(-1,0) D. 解析　由题意可知,4=-2pm,所以m=-,又知抛物线C 的准线方程为x=,根据抛物线的定义可知,-m=+=2,整理得p2-4p+4=0,解得p=2,所以C 的焦点坐标为(-1,0).故选C. (2)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的标准方程为 y2=4x .  解析　设P(8,yP),代入y2=2px(p>0),解得yP=±4,又抛物线的焦点为F,所以S△OFP=×|OF|×|yP|=××4=p=2,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x. 考点三　抛物线的几何性质及应用 【例3】　(1)(2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为  .  解析　由题意可得=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为x=-,点A到C的准线的距离为1-=. (2)已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3=2,则|NF|= 16 .  解析　 易知焦点F的坐标为(4,0),准线l的方程为x=-4,如图,抛物线准线与x轴的交点为A,作MB⊥l于点B,NC⊥l于点C,AF∥MB∥NC,则=,由3=2,得=,又|CN|=4,|OF|=4,所以=,|BM|=,|MF|=|BM|=,=,所以|NF|=16. [规律方法]　抛物线性质的应用技巧 (1)应用抛物线的性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算. 【训练3】　(1)(2025·武汉调研)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|=(B) A.3 B.6 C.9 D.12 解析　抛物线y2=6x的焦点F,准线l:x=-.设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则Q,因为QF的倾斜角为120°,所以kQF===-,即y0=3,所以x0===,所以|PF|=x0+=+=6. (2)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点.若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(D) A.(1,0) B.(2,0) C. D. 解析　解法一:将x=2代入抛物线方程y2=2px,可得直线x=2与抛物线C的交点坐标为(2,2),(2,-2).不妨设D(2,2),E(2,-2),则=(2,2),=(2,-2).因为OD⊥OE,所以·=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为,故选D. 解法二:因为抛物线C关于x轴对称,直线x=2关于x轴对称,所以D,E两点关于x轴对称,因为OD⊥OE,所以D,E两点横、纵坐标的绝对值相等.不妨设点D(2,2),将点D的坐标代入y2=2px,得4=4p,解得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为,故选D. 考点四　与抛物线有关的最值问题 【例4】　(1)已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p=(D) A. B. C. D. 解析　因为四边形ABCD是矩形,所以由抛物线与圆的对称性知,弦AB为抛物线y2=2px(p>0)的通径,因为圆的半径为1,抛物线的通径为2p,所以有+p2=1,解得p=. (2)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是抛物线上一动点,点A(1,3),P到直线x=-1的距离为d,则d+|PA|的最小值是 3 .  解析　 由题设,抛物线焦点F(1,0),准线l 为直线x=-1,故d=|PF|.如图,d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=3,当且仅当F,P,A三点共线且点P 在F,A两点之间时等号成立. [规律方法]　与抛物线有关的最值问题的策略 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点 的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决. (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 【训练4】　(1)已知抛物线E:x2=4y,圆C:x2+(y-3)2=1,P为E上一点,Q为C上一点,则|PQ|的最小值为(B) A.2 B.2-1 C.2 D.3 解析　如图,由题意知C(0,3),设P(x0,y0),则=4y0,|PC|===,所以当y0=1时,|PC|min=2,又因为圆C的半径为1,所以|PQ|min=2-1.故选B. (2)已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),若P为C上的一个动点,设点Q的坐标为(3,0),则|PQ|的最小值为 2 .  解析　已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),由定义知,1-=2⇒p=2,所以抛物线C:y2=4x.设P(x0,y0)(x0≥0),由题意知=4x0,则|PQ|2=+=+4x0=+8≥8,所以当x0=1时,|PQ|2取得最小值8,则|PQ|的最小值为2. 第2课时　直线与抛物线的位置关系 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.直线与抛物线的位置关系 已知直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),联立得k2x2+2(mk-p)x+m2=0. (1)直线l与抛物线相切:k≠0,Δ=0; (2)直线l与抛物线相交:k≠0,Δ>0或k=0; (3)直线l与抛物线相离:k≠0,Δ<0. 微提醒　　直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2.弦长问题 设直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|==·或|AB|==·(k为直线的斜率,k≠0). 3.抛物线的焦点弦问题 若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦),则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则四种标准方程形式下的弦长公式如下表. 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 4.抛物线的切线 (1)过抛物线y2=2px(p>0)上的点P(x1,y1)的切线方程是y1y=p(x+x1). (2)抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(k≠0). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)已知过抛物线C:y2=x的焦点F的直线l与C交于A,B两点,若直线l垂直于x轴,则|AB|=1.(√) (2)抛物线y2=2px(p>0)上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(√) (3)直线与抛物线有唯一公共点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(√) 解析　如图,由图可知,直线与抛物线有唯一公共点不一定相切,相切一定有唯一公共点. (4)点M在抛物线y2=2x上,则OM的中点的轨迹是抛物线.(√) 解析　设OM的中点为(x,y),则M(2x,2y),由于点M在抛物线y2=2x上,所以(2y)2=2×(2x),即y2=x,所以OM的中点的轨迹是抛物线. 2.(人A选一P136T3改编)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是(C) A.2 B.4 C.8 D.16 解析　联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|==×=8.故选C. 3.(人A选一P138习题T5改编)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=  .  解析　 ① 解法一:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),|AF|=3,由抛物线的定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2.如图①,不妨设点A在第一象限,将x=2代入y2=4x,得y2=8,所以点A的纵坐标为2,即A(2,2),所以直线AF的方程为y=2(x-1).由解得或所以点B的横坐标为,所以|BF|=-(-1)=. ② 解法二:如图②,不妨设点A在第一象限,设∠AFx=θ,A(xA,yA),B(xB,yB),则由抛物线的定义知xA+1=2+3cos θ=3,解得cos θ=.又|BF|=xB+1=1-|BF|cos θ+1=2-|BF|,所以|BF|=. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　直线与抛物线的位置关系 　 教考衔接 16 教材题 [题源](人A选一P136例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴. 证明　 如图,以抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2=2px(p>0)　①,点A的坐标为(y0≠0),则直线OA的方程为y=x　②,抛物线的准线方程是x=-　③.联立②③,可得点D的纵坐标为-.因为焦点F的坐标是,当≠p2时,直线AF的方程为y=　④.联立①④,消去x,可得y0y2-(-p2)y-y0p2=0,即(y-y0)(y0y+p2)=0,可得点B的纵坐标为-,与点D的纵坐标相等,于是DB平行于x轴.当=p2时,易知结论成立.所以,直线DB平行于抛物线的对称轴. 高考题 (多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(AC) A.p=2 B. |MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 高考题 解析　由题意,易知直线y=-(x-1)过点(1,0).对于A,因为直线经过抛物线C的焦点,所以易知焦点坐标为(1,0),所以=1,即p=2,故A选项正确;对于B,解法一:不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<x2,联立消去y并整理得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.所以M,N(3,-2),所以由两点间距离公式可得|MN|==,故B选项错误;解法二:不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<x2,联立消去y并整理得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.所以由抛物线的定义,得|MN|=x1+x2+p=+3+2=,故B选项错误;解法三:设M(x1,y1),N(x2,y2),联立消去y并整理得3x2-10x+3=0,Δ=64>0,则x1+x2=,x1x2=1,所以由弦长公式得|MN|=×=,故B选项错误;解法四:易知直线y=-(x-1)的倾斜角为,所以|MN|==,故B选项错误;对于C,解法一:由以上分析易知,l的方程为x=-1,以MN为直径的圆的圆心坐标为,半径r=|MN|==+1,所以以MN为直径的圆与l相切,故C选项正确;解法二:由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,易 高考题 知C选项正确;对于D,由两点间距离公式可得|MN|=,|OM|=,|ON|=,所以|MN|≠|OM|≠|ON|,故D选项错误.故选AC. [规律方法]　直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合). 【训练1】　(1)已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(A) A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析　由题意知,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y 并整理,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0 时,显然满足题意;当k≠0 时,Δ=-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0 或0<k≤1.综上,-1≤k≤1,故选A. (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C相交于A,B两点,且与y轴相交于点P,若|PA|=3|PB|,|AF|=8,|BF|=4,则p=(D) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　过点A,B分别作抛物线准线的垂线AD,BM,垂足分别为D,M,且AD,BM与y轴分别相交于E,N,则△PAE∽△PBN,得=.由抛物线的定义知|AF|=|AD|,|BF|=|BM|,则=====3,解得p=4. 考点二　抛物线的切线问题 【例1】　(1)抛物线y2=9x在点(1,3)处的切线的斜率为(C) A.-1 B.- C. D.1 解析　根据题意,抛物线y2=9x在点(1,3)处的切线的斜率存在,设切线方程为y-3=k(x-1),联立方程组得ky2-9y+27-9k=0,则解得k=.故选C. (2)(2025·安徽模拟)造纸术是中国四大发明之一,彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行,19世纪折纸与数学研究相结合,发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上,学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图,在一张矩形纸片上取一点P,记矩形一边所在直线为l,将点P折叠到l上(即P'),不断重复这个操作,就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线,这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线C:x2=4y的所有包络线中,恰好过点A(2,1)的包络线所在的直线方程为 x-y-1=0 .  解析　依题意,抛物线C:x2=4y的每条包络线与该抛物线相切,显然过点A(2,1)的包络线所在的直线斜率存在,设方程为y-1=k(x-2),由消去y并整理得x2-4kx+8k-4=0,则Δ=16k2-32k+16=0,解得k=1,所以所求直线方程为x-y-1=0. [规律方法]　求抛物线切线方程的方法 (1)首先设出切线方程,然后与抛物线方程联立,利用判别式求解. (2)首先求导得出切线的斜率,然后由点斜式得出切线方程. 【训练2】　(1)已知抛物线x2=4y,P为直线y=-1上一点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则·的值为(A) A.0 B.1 C.-2 D.-1 解析　 如图,设A,B,由y=x2求导得y'=x,则直线PA方程为y=(x-x1)+,即y=x-,同理可得直线PB的方程为y=x-,联立直线PA与直线PB的方程可得P,由点P在直线y=-1上,得=-1,即x1x2=-4,所以·=·=--=--=0.故选A. (2)已知点A(0,1)和抛物线C:y2=4x,则过点A且与抛物线C相切的直线的方程为 x=0或x-y+1=0 .  解析　当过A(0,1)的直线斜率不存在时,方程为x=0,与C:y2=4x相切,满足要求;当过A(0,1)的直线斜率存在时,设切线方程为y-1=kx,联立C:y2=4x得,k2x2+(2k-4)x+1=0,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,故y-1=x,即x-y+1=0. 考点三　抛物线的弦长问题 角度1　焦点弦问题 【例2】　(1)(2024·陕西西安三模)设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于A,B两点,|AF|=2,|BF|=10,则p=(B) A.1 B.2 C.4 D.22 解析　设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于A,B两点,设直线AB的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),联立可得x2-2pkx-6p=0,所以x1+x2=2pk,x1x2=-6p,则y1y2==9.因为|AF|=2,|BF|=10,所以y1=2-,y2=10-,则×=9,解得p=2或p=22.因为2->0,所以p=2.故选B. (2)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(D) A. B. C. D. 解析　由题易知抛物线中p=,焦点F,直线AB 的斜率k=,故直线AB 的方程为y=,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,结合图象可得点O 到直线AB 的距离d=sin 30°=,所以△OAB 的面积S=|AB|·d=. [规律方法]　求抛物线焦点弦长的方法 (1)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.任何两点的弦长都可以用弦长公式求. (2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的弦长可选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p. 角度2　中点弦问题 【例3】　(1)已知直线y=x+1与抛物线x2=4y交于A,B两点,则弦AB的中点到准线的距离为(A) A.4 B. C.8 D. 解析　由题意抛物线标准方程为x2=4y,2p=4,p=2,所以焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,直线l方程为y=x+1,代入抛物线方程整理得y2-6y+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=6,设AB中点为M(x0,y0),则y0==3,所以M到准线的距离为d=y0+1=4.故选A. (2)(2025·河南模拟)过抛物线y2=8x的焦点的直线交抛物线于A,B两点,若AB中点的横坐标为4,则|AB|=(B) A.16 B.12 C.10 D.8 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设有=4,由抛物线的焦半径公式,得|AB|=(x1+2)+(x2+2)=2·+4=2×4+4=12.故选B. [规律方法]　求抛物线“中点弦”问题的方法 (1)根与系数的关系法:联立直线和抛物线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法:设直线与抛物线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入抛物线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量. 【对点练】 1.(角度1)已知抛物线y2=6x,直线l过抛物线的焦点,直线l与抛物线交于A,B两点,弦AB长为12,则直线l的方程为(B) A.y=x-或y=-x+ B.y=x-或y=-x+ C.y=x-或y=-x+ D.y=2x-或y=-2x+ 解析　根据题意可得抛物线的焦点F,根据题意可得直线l的斜率存在(显然当斜率不存在时,不符合题意),设直线l的方程为y=k=kx-k,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得k2x2-(3k2+6)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=,因为|AB|=x1+x2+p=+3=12,解得k2=1,k=±1,则直线l的方程为y=x-或y=-x+.故选B. 2.(角度2)直线x-y-2=0与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若线段AB被点M(4,2)平分,则抛物线的准线方程为 x=-1 .  解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),由线段AB被点M(4,2)平分,可知y1+y2=4,又=2px1,=2px2,所以(y1+y2)·(y1-y2)=2p(x1-x2),由题意可知,直线AB的斜率为1,所以x1≠x2,所以4×=2p,即4×1=2p,所以p=2.故抛物线的准线方程为x=-1. 【微点拓展】 抛物线的常用结论及应用 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)x1·x2=,y1y2=-p2. (2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=,|BF|=,弦长|AB|=x1+x2+p=,S△AOB=(α为弦AB的倾斜角). (3)+=. (4)以弦AB为直径的圆与准线相切. (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. (7)通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 【典例】　过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于(B) A.4　 　　B.　 　　C.5　 　　D.6 解析　解法一:因为|AF|=2|BF|,所以+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=.故选B. 解法二:易知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,得xA·xB=1　①,因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得xA+1=2(xB+1),即xA=2xB+1　②,由①②解得xA=2,xB=,所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=.故选B. 【微练】　(1)直线y=x-1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与C交于A,B两点,则|AB|=(D) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　焦点F(1,0),所以p=2,所以|AB|===8(α为直线y=x-1的倾斜角). (2)已知抛物线C:y2=16x,倾斜角为的直线l过焦点F且交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积为 64 . 解析　解法一(常规解法):依题意,抛物线C:y2=16x的焦点为F(4,0),直线l的方程为x=y+4.由消去x,整理得y2-16y-64=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16,y1y2=-64.S△OAB=|y1- y2|·|OF|=2=2=64. 解法二(活用结论):依题意,抛物线y2=16x,p=8.又l的倾斜角α=.所以S△OAB===64. 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B,则(ABD) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 解析　 如图,A选项,抛物线y2=4x的准线为x=-1,☉A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和☉A相切,A选项正确;B选项,P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4,由=4xP,得到xP=4,故P(4,4),此时切线长|PQ|===,B选项正确;C选项,当|PB|=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,-2),当P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-2,kAB==2,不满足kPAkAB=-1;当P(1,-2)时,A(0,4),B(-1,-2),kPA==-6,kAB==6,不满足kPAkAB=-1;于是PA⊥AB不成立,C选项错误;D选项,解法一:利用抛物线定义转化,根据抛物线的定义,|PB|=|PF|,这里F(1,0),于是|PA|=|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|=|PF|时P点的存在性问题,A(0,4),F(1,0),AF中点为,AF中垂线的斜率为-=,于是AF的中垂线方程为y=x+,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0,Δ=162-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P点,使得|PA|=|PF|,D选项正确. 解法二:(设点直接求解)设P,由PB⊥l可得B(-1,t),又A(0,4),又|PA|=|PB|,根据两点间的距离公式,=+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,即存在两个这样的P点,D选项正确.故选ABD. 2.(多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则(ACD) A.直线AB的斜率为2 B.|OB|=|OF| C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180° 解析　 如图,对于A,易得F,由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上,则A点横坐标为=,代入抛物线可得y2=2p·=p2,则A,则直线AB的斜率为=2,A正确;对于B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x1,y1),则p+y1=p,则y1=-,代入抛物线得=2p·x1,解得x1=,则B,则|OB|==≠|OF|=,B错误;对于C,由抛物线定义,知|AB|=++p=>2p=4|OF|,C正确;对于D,·=·=·+·=-<0,则∠AOB为钝角,又·=·=-·+·=-<0,则∠AMB为钝角,又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°,则∠OAM+∠OBM<180°,D正确.故选ACD. 3.(多选题)(2022·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(BCD) A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 解析　将点A的坐标代入抛物线方程得1=2p,所以抛物线方程为x2=y,故准线方程为y=-,A错误;kAB==2,所以直线AB的方程为y=2x-1,联立可得x2-2x+1=0,解得x=1,故B正确;设过B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,所以,直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得x2-kx+1=0,所以所以k>2或k<-2,y1y2==1,又|OP|==,|OQ|==,所以|OP|·|OQ|===|k|>2=|OA|2,故C正确;因为|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|,所以|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.故选BCD. 4.(2022·全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 解　(1)抛物线的准线为x=-,当MD与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时|MF|=p+=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)解法一(最优解):(设直线方程横截式)设M,N,A,B,所以直线MN:x=my+1,由可得y2-4my-4=0,Δ>0,y1y2=-4,由斜率公式可得kMN==,kAB==,直线MD:x=·y+2,代入抛物线方程可得y2-·y-8=0,Δ>0,y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1,所以kAB===,又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α,β,所以kAB=tan β==,若要使α-β最大,则β∈,设kMN=2kAB=2k>0,则tan(α-β)===≤=,当且仅当=2k即k=时,等号成立,所以当α-β最大时,kAB=,设直线AB:x=y+n,代入抛物线方程可得y2-4y-4n=0,Δ>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以n=4,所以直线AB:x=y+4. 解法二:(设直线方程点斜式)由题可知,直线MN的斜率存在.设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直线MN:y=k(x-1),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1x2=1,同理,y1y2=-4.直线MD:y=(x-2),代入抛物线方程可得x1x3=4,同理,x2x4=4.代入抛物线方程可得y1y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1,由斜率公式可得kAB====kMN.(下同解法一)若要使α-β最大,则β∈,设kMN=2kAB=2k>0,则tan(α-β)===≤=,当且仅当=2k即k=时,等号成立,所以当α-β最大时,kAB=,设直线AB:x=y+n,代入抛物线方程可得y2-4y-4n=0,Δ>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,所以n=4,所以直线AB:x=y+4. 解法三:(三点共线)设M,N,A,B,设P(t,0),若 P、M、N三点共线,由=,=,所以y2=y1,化简得y1y2=-4t,反之,若y1y2=-4t,可得MN过定点(t,0),因此,由M、N、F三点共线,得y1y2=-4,由M、D、A三点共线,得y1y3=-8,由N、D、B三点共线,得y2y4=-8,则y3y4=4y1y2=-16,AB过定点(4,0).(下同解法一)若要使α-β最大,则β∈,设kMN=2kAB=2k>0,则tan(α-β)===≤=,当且仅当=2k即k=时,等号成立,所以当α-β最大时,kAB=,所以直线AB:x=y+4. 第八节　圆锥曲线的综合问题 第1课时　求值、定值问题 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　求几何图形的面积 【例1】　已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点. (1)求线段 AB的中点坐标; (2)求△OAB的面积. 解　(1)由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=2,a=3,从而b=1,所以椭圆的标准方程是+y2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),如图,联立方程组消去y,得10x2+36x+27=0.Δ=362-4×10×27=63>0,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=,所以x0==-,所以y0=x0+2=,即线段AB中点坐标为. (2)点O到直线y=x+2的距离d==,由根与系数的关系,知|AB|===,所以S△OAB=|AB|·d=××=. [规律方法]　圆锥曲线中几何图形的面积问题 (1)利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形,可分割成若干个三角形分别求解),把要探求的几何图形的面积表示出来. (2)利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式,把这个关系式代入几何图形的面积表达式中,化简即可. 【训练1】　设动点P(x,y)与点F(,0)之间的距离和点P到直线l:x=的距离的比值为,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)若O为坐标原点,直线y=x+1交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积. 解　(1)由动点P(x,y)与点F(,0)之间的距离和到直线l:x=的距离的比值为,可得=,整理得-=1,即曲线C的方程为-=1. (2)联立方程组整理得3x2-4x-24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=,x1x2=-8,所以|AB|=|x1-x2|=×=,又由点O到直线y=x+1的距离d==,所以△OAB的面积S=|AB|·d=××=. 考点二　求斜率或代数式的值 【例2】　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点(3,-2),且C的一条渐近线的方程为y=x. (1)求C的标准方程; (2)若点P是C的左顶点,M(m,n)是C上与顶点不重合的动点,从下面两个条件中选一个,求直线PM与PN的斜率之积. ①M,N关于原点对称;②M,N关于y轴对称. 注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解　(1)由题意得C的一条渐近线的方程为y=x,故=1,又-=1,解得a=b=,故C的标准方程为-=1. ① (2)若选①,M,N关于原点对称,如图①,由题意得P(-,0),M(m,n),m≠±,N(-m,-n),故-=1,则kPM·kPN=·===1. ② 若选②,M,N关于y轴对称,如图②,由题意得P(-,0),M(m,n),m≠±,N(-m,n),故-=1,则kPM·kPN=·===-1. [规律方法]　参数法解决圆锥曲线中定值问题的步骤 【训练2】　在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(4,0)的距离等于点P到直线x+4=0的距离. (1)求动点P的轨迹方程; (2)记动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线l与曲线C交于A,B两点,M(-4,0),直线AM的斜率为k1,直线BM的斜率为k2.证明:k1+k2为定值. 解　(1)因动点P到点F(4,0)的距离等于点P到直线x+4=0的距离,故可知动点P的轨迹是抛物线,设其方程为y2=2px,由题意得p=8,故动点P的轨迹方程为C:y2=16x. (2)如图,因直线l的斜率不能为零(否则直线l与抛物线只有一个公共点),又过点F(4,0),可设l:x=my+4,由消去x并整理,得y2-16my-64=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得(*) 则k1+k2=+=+==,将(*)代入,得k1+k2==0,故k1+k2为定值0. 第2课时　定点、定直线问题 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　定点问题 【例1】　(2023·全国乙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于点P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 解　(1)由题意可得解得所以椭圆方程为+=1. (2)证明:由题意可知,直线PQ的斜率存在且不为0,设直线PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0,则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1 728k>0,解得k<0,可得x1+x2=-,x1x2=,因为A(-2,0),则直线AP:y=(x+2),令x=0,解得y=,即M,同理可得N, 则=+ = = = ==3, 所以线段MN的中点是定点(0,3). [规律方法]　求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定其过定点时,若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m). 【训练1】　设A,B为曲线C:y2=4x上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)若A与B的纵坐标之和为4,求直线AB的方程; (2)证明:线段AB的垂直平分线过定点. 解　(1)因为曲线C:y2=4x,由题可得直线AB的斜率不为0,设直线AB方程为my=x-t,A(x1,y1),B(x2,y2),联立化为y2-4my-4t=0,Δ=16m2+16t>0,所以y1+y2=4m=4,y1y2=-4t,解得m=1,所以x1+x2=my1+t+my2+t=1×4+2t=4,解得t=0,所以直线AB的方程为y=x,即x-y=0. (2)证明:设线段AB的中点为M(x0,y0),x0==2,y0==2m,则线段AB的垂直平分线的方程为y-2m=-m(x-2),化为y=-mx+4m=-m(x-4),所以线段AB的垂直平分线经过定点(4,0). 考点二　定直线问题 【例2】　(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P.证明:点P在定直线上. 解　(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由焦点坐标可知c=2,由e==,可得a=2,b==4,所以双曲线C的方程为-=1. (2)证明:如图,由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),显然直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my-4,且-<m<,与-=1联立,可得(4m2-1)y2-32my+48=0,且Δ=64(4m2+3)>0,则y1+y2=,y1y2=,且my1y2=(y1+y2).直线MA1的方程为y=,直线NA2的方程为y=,联立直线MA1与直线NA2的方程,可得=====-,解得x=-1,即xP=-1.所以点P在定直线x=-1上运动. [规律方法]　定直线问题解题策略 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型,解决这类问题的核心在于确定定点的轨迹,其解题步骤一般是: (1)联立方程消去参数. (2)挖掘图形的对称性,解出动点的横坐标或纵坐标. (3)将横、纵坐标分别用参数表示,再消参. (4)设点,对方程变形解得定直线. 【训练2】　(2025·郑州调研)已知椭圆C:+=1.A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点.直线l:x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由. 解　当l⊥x轴时,不妨令P,Q,又A1(-3,0),A2(3,0),:y=(x+3),:y=(x-3),联立解得S(9,4).当l过椭圆的上顶点时,y=-x,P(0,),Q,:y=(x+3),:y=(x-3),联立解得S(9,4).若定直线存在,则方程应是x=9.下面给予证明.把x=my+1代入椭圆方程,整理得(2m2+3)y2+4my-16=0,Δ>0成立,记P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.:y=(x+3),:y=·(x-3),当x=9时,纵坐标y应相等,则=,需=,需2y1(my2-2)=y2(my1+4),需my1y2=4(y1+y2),所以m·=4×恒成立. 综上,定直线方程为x=9. 第3课时　最值、范围问题 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　最值问题 【例1】　已知动点P与平面上两定点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率的积为定值-2. (1)试求动点P的轨迹方程C; (2)设直线l:y=2x+1与曲线C交于M,N两点,在曲线C上求一点P使△PMN的面积最大. 解　(1)设点P(x,y)(x≠±1),则依题意有·=-2,整理得x2+=1.所以求得的曲线C的方程为x2+=1(x≠±1). (2)如图,由消去y,得6x2+4x-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=-,|MN|=|x1-x2|=×=,设直线l':y=2x+m,代入x2+=1,消去y,得6x2+4mx+m2-2=0,令Δ=0,得16m2-24(m2-2)=0,解得m=或m=-,经检验,当m=-时,点P的坐标为,△PMN面积有最大值,点P到直线MN的距离d==,Smax=|MN|·d=××=. [规律方法]　圆锥曲线中最值问题的常见解法 (1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决. (2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,将问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 【训练1】　(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,·=0,求△MFN面积的最小值. 解　(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由可得,y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,所以|AB|==|yA-yB|=×=4,即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2. (2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零,设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),由可得,y2-4my-4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0,因为·=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入,得4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0,所以n≠1,且n2-6n+1≥0,解得n≥3+2或n≤3-2.设点F到直线MN的距离为d,所以d=,|MN|==|y1-y2|=·==2|n-1|,所以△MFN的面积S=×|MN|×d=××2|n-1|=(n-1)2,而n≥3+2或n≤3-2,所以,当n=3-2时,△MFN的面积Smin==12-8. 考点二　范围问题 【例2】　已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围. 解　(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),联立解得故椭圆的标准方程为+y2=1. (2)设P(x0,y0)为弦MN的中点,M(x1,y1),N(x2,y2),连接AP.联立得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0.Δ=(8km)2-16(4k2+1)(m2-1)>0,所以m2<1+4k2　①.又x1+x2=,x1x2=.所以x0==-,y0=kx0+m=.所以kAP==-.又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN,则-=-,即3m=4k2+1　②.把②代入①得m2<3m,解得0<m<3.由②得k2=>0,解得m>.综上可知,m的取值范围为. [规律方法]　圆锥曲线取值范围问题的解题方法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. 【训练2】　(2024·西安模拟)已知P为抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,直线x=my+n交C于A,B两点,且直线PA,PB的斜率之积为2. (1)求C的准线方程; (2)求m的最小值. 解　(1)因为点P在C:y2=2px(p>0)上, 所以=1,解得p=2. 所以C的准线方程为x=-1. (2)由(1)知C:y2=4x,如图,设A(x1,y1),B(x2,y2). kPA===,同理可得kPB=,所以kPAkPB=·=2,即(y1+1)(y2+1)=8.联立得y2-4my-4n=0,由Δ=16m2+16n>0得m2+n>0(*),y1+y2=4m,y1y2=-4n,所以(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=-4n+4m+1=8,整理得n =m-.所以m=m=m2-m=-≥-,当m=,n=-时,等号成立,此时m2+n=>0,满足(*)式,故m的最小值为-. 微突破十四　以圆锥曲线为载体的创新题 　　解决圆锥曲线创新题的关键在于理解试题的本质,把新情境下的概念、法则、运算转化到常规的数学背景中,运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 　　　 　　　　　　　　　　　 【例1】　加斯帕尔·蒙日(图①)是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”(图②).则椭圆C:+=1的蒙日圆的半径为 3 .  ①　② 解析　 由题意可知,椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,故当两条切线中的一条经过椭圆长轴顶点,另一条经过短轴顶点时,如图,此时,两切线垂直,交点M在“蒙日圆”上,由椭圆C:+=1可知a2=5,b2=4,故“蒙日圆”的半径为|OM|===3. [规律方法]　蒙日圆是一种重要的圆.本题也可直接运用二级结论求解.过椭圆+=1(a>b>0)上任意不同两点A,B作圆的切线,如果切线垂直且相交于P,则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2. 【例2】　(多选题)(2024·陕西榆林三模)在平面直角坐标系xOy中,把到定点F1(-a,0),F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线.若a=2,点P(x0,y0)为双纽线C上任意一点,则下列结论正确的是(BCD) A.C关于x轴不对称 B.C关于y轴对称 C.直线y=x与C只有一个交点 D.C上存在点P,使得|PF1|=|PF2| 解析　设M(x,y)到定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之积为4,可得·=4,整理得=8(x2-y2),即曲线C的方程为=8(x2-y2),由x用-x代换,方程没变,可知曲线C关于y轴对称,由y用-y代换,方程没变,可知曲线C关于x轴对称,由x用-x代换,y用-y同时代换,方程没变,可知曲线C关于原点对称,图象如图所示,所以A不正确,B正确; 联立方程组可得x4=0,即x=0,所以y=0,所以直线y=x与曲线C只有一个交点O(0,0),所以C正确.原点O(0,0)满足曲线C的方程,即原点O在曲线C上,则|OF1|=|OF2|,即曲线C上存在点P与原点O重合时,满足|PF1|=|PF2|,所以D正确.故选BCD. [规律方法]　双纽线的相关概念 (1)概念:设两定点F1,F2之间的距离为2a,则到两定点距离之积为定值a2的点的轨迹就叫做双纽线. (2)方程:以F1F2的中点为原点,建立坐标系,则点P的轨迹方程为(x2+y2)2=2a2(x2-y2). 【例3】　阿基米德(公元前287年~公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为(A) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析　由题意,设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆C的离心率为,面积为12π,所以解得a2=16,b2=9,所以椭圆C的方程为+=1. [规律方法]　椭圆的面积 椭圆面积的计算公式是s=πab,其中s表示椭圆的面积,a是椭圆的长半轴长,b是短半轴长,π代表圆周率.椭圆的面积可以理解为将圆的面积通过拉伸变换得到. 【例4】　(2025·四川模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C相交于点A,B,△AOB面积的最小值为(O为坐标原点).按照如下方式依次构造点Fn(n∈N*):F1的坐标为(p,0),直线AFn,BFn与C的另一个交点分别为An,Bn,直线AnBn与x轴的交点为Fn+1,设点Fn的横坐标为xn. (1)求p的值; (2)求数列{xn}的通项公式; (3)数列{xn}中,是否存在连续三项(按原顺序)构成等差数列?若存在,指出所有这样的连续三项;若不存在,请说明理由. 解　 (1)如图,设直线AB:x=ty+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-2pty-p2=0,得Δ=(2pt)2+4p2>0,由根与系数的关系可知y1y2=-p2,y1+y2=2pt.由题可知S△OAB=|OF||y1-y2|===≥,因为△AOB面积的最小值为,且p>0,所以=,得p=1. (2)设An(xan,yan),Bn(xbn,ybn),A(xa,ya),B(xb,yb),由题可知=2xan,=2xa,两式求差可得(yan+ya)(yan-ya)=2(xan-xa)⇒=,所以==,所以直线AAn方程为y-ya=(x-xa),整理得(yan+ya)y=2x+yanya,同理:BBn方程为(ybn+yb)y=2x+ybnyb,令y=0可得可知,AB方程为(ya+yb)y=2x+yayb,因为AB过焦点,所以有yayb=-1,AnBn方程为(yan+ybn)y=2x+yanybn,令y=0可得-2xn+1=yanybn,由可知=yanybnyayb.因为yayb=-1,-2xn+1=yanybn,得xn+1=2,取对数可得log2xn+1=2log2xn+1⇒log2xn+1+1=2(log2xn+1),由题可知x1=1,所以数列{log2xn+1}是以log2x1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以有log2xn+1=2n-1,解得xn=. (3)不存在,理由如下,假设存在,则一定有2xn+1=xn+xn+2,因为xn=,得=+=(-1-2n+),化简得1=+,因为n∈N*,显然>0,>1,所以+>1,所以1=+在n∈N*无解,故不存在连续的三项为等差数列. [规律方法]　解决此类问题的步骤 (1)设直线AB:x=ty+与相关点的坐标,然后联立抛物线和直线方程,利用根与系数的关系,计算出需要的值,最后表示出面积,计算其最值,求出p=1即可. (2)利用抛物线中点弦定理,求出相关直线方程,然后表示出xn,xn+1,找到两者之间的关系,最后利用其关系求得通项公式即可. (3)利用等差中项的判断方式,判断数列{xn}不可能存在连续三项是等差数列. 增|分|训|练 1.(2024·河南二模)从椭圆C:+=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)向椭圆引两条切线,切点分别为A,B,则直线AB称作点P关于椭圆C的极线,其方程为+=1.现有如图所示的两个椭圆C1,C2,离心率分别为e1,e2,C2内含于C1,椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l,若原点O到直线l的距离为1,则-的最大值为(D) A. B. C. D. 解析　设M(x0,y0),椭圆C1方程:+=1,椭圆C2方程:+=1,则有+=1　①,由极线的定义得直线l的方程为+=1,原点O到直线l的距离d==1,化简得+=1　②,对比①②式得出=,=,则有=1-=1-==(2-),所以-=(1-)≤==.当且仅当=1-,即e2=时等号成立,此时e1=.故选D. 2.(2025·浙江模拟)阿基米德螺线广泛存在于自然界中,具有重要作用.如图,在平面直角坐标系xOy中,螺线与坐标轴依次交于点A1(-1,0),A2(0,-2),A3(3,0),A4(0,4),A5(-5,0),A6(0,-6),A7(7,0),A8(0,8),并按这样的规律继续下去. (1)求|A3A4|,|AnAn+4|(n∈N*); (2)求证:不存在正整数n,使得三角形AnAn+1An+2的面积为2 026; (3)求证:对于任意正整数n,三角形AnAn+1An+2为锐角三角形. 解　(1)由两点间距离公式得|A3A4|==5,由题意得|OAn|=n,|OAn+4|=n+4,且点An,An+4在同一坐标轴的O点的同侧,所以|AnAn+4|=|n+4-n|=4. (2)证明:=+=|OAn|·|OAn+1|+|OAn+1|·|OAn+2|=n(n+1)+(n+1)(n+2)=(n+1)2,而(n+1)2不可能等于2 026,故不存在正整数n,使得三角形AnAn+1An+2的面积为2 026. (3)证明:|AnAn+1|==,|An+1An+2|==,|AnAn+2|=n+n+2=2n+2=,因为|AnAn+1|<|An+1An+2|<|AnAn+2|,所以在三角形An+2An+1An中,∠An+2An+1An为最大角,由余弦定理得cos∠An+2An+1An= = >0,则∠An+2An+1An为锐角,即三角形AnAn+1An+2为锐角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$