第5章 平面向量与复数-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

第五章平面向量与复数 第一节　平面向量的概念及线性运算 课标要求 三年考情 1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示. 2.掌握平面向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 3.掌握平面向量的数乘运算及其几何意义,理解两个平面向量共线的含义. 4.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T3 全国Ⅱ卷   重点提示:平面向量几何意义、相等(反)向量、向量加法、减法、数乘运算 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a与b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何 意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 微提醒 　　向量加法的多边形法则:多个向量相加,利用向量加法的三角形法则,首尾顺次连接,a+b+c表示从起点指向终点的向量. 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 微提醒　　只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性. 【常用结论】 1.若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+). 2.若G为△ABC的重心,则有++=0;=(+). 3.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1. 4.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)向量就是有向线段.(×) (2)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.(√) (3)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(×) (4)当两个向量a,b共线时,一定有b=λa成立.(×) 2.(人A必二P10T4改编)(多选题)下列各式化简结果正确的是(BC) A.+= B.+++= C.+-=0 D.--= 3.(人A必二P14例6改编)在平行四边形ABCD中,BC的中点为M,且=a,=b,用a,b表示= a+b .  解析　=+=+=+=a+b. 4.(人A必二P16T3改编)已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= - .  解析　因为a与b共线,所以存在实数x,使a=xb,所以2e1-e2=xe1+λxe2,所以解得λ=-. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　平面向量的概念 【例1】　(1)下列结论正确的是(C) A.温度含零上和零下,所以温度是向量 B.向量的模是一个正实数 C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.若|a|>|b|,则a>b 解析　A错,温度只有大小,没有方向,是数量不是向量;B错,0的模等于0;C正确,根据零向量与任何向量共线可以判断正确;D错,向量不能比较大小.故选C. (2) 如图,在☉O中,向量,,是(B) A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等的向量 解析　对于A,根据图形,可得向量,,不是相同起点的向量,所以A错误;对于B,因为O是圆心,那么向量,,的模长是一样的,所以B正确;对于C,共线向量知识点是方向相同或者相反的向量,所以C错误;对于D,相等的向量指的是大小相等,方向相同的向量,所以D错误,故选B. [规律方法]　平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. (4)是与a同方向的单位向量. 【训练1】　(1)下列命题中,正确的是(C) A.若|a|=|b|,则a=b B.若|a|=0,则a=0 C.若a=b,则a∥b D.若a∥b,b∥c,则 a∥c 解析　对于A:若|a|=|b|,则a,b只是大小相同,并不能说方向相同,A错误;对于B:由|a|=0知a是零向量,但a≠0而是a=0,B错误;对于C:若a=b,则a,b方向相同,C正确;对于D:若a∥b,b∥c,如果b为零向量,则不能推出a,c平行,D错误.故选C. (2)(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是(ABD) A.||=|| B.与共线 C.与共线 D.= 解析　由四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,知||=||,即A正确;由图形可知与的方向相反,与的方向相同且长度相等,即与共线,=,故B,D正确;而∠BDE与∠DEH不一定相等,与不一定共线,故C错误. 考点二　平面向量的线性运算 角度1　向量加、减法的几何意义 【例2】　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,则+++=(D) A. B.2 C.3 D.4 解析　因为M是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,所以+=2,+=2.所以+++=4.故选D. (2)已知||=6,||=3,则||的取值范围是(C) A.[3,6] B.(3,6) C.[3,9] D.(3,9) 解析　由题意得=-,所以||=|-|,所以|||-|||≤|-|≤||+||,则3≤||≤9,故C正确.故选C. [规律方法]　向量模长与向量运算的注意点 当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|恒成立,其他情况下,根据三角形三边关系有|a+b|≤|a|+|b|,同理向量减法的不等式为||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 角度2　向量的线性运算 【例3】　(1)(2025·太原模拟)在矩形ABCD中,E为AB边的中点,线段AC和DE交于点F,则=(D) A.-+ B.- C.- D.-+ 解析　 如图,取CD的中点G,连接BG,交AC于点H.因为BE∥DG,BE=DG,所以四边形BEDG为平行四边形,所以BG∥DE.又E为AB的中点,所以AF=FH,同理可得CH=FH,所以==(+).所以=+=-+(+)=-+. (2)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(B) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 解析　因为BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. [规律方法]　平面向量的线性运算问题的求解策略 策略一—尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量 策略二—充分利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质,把未知向量转化为已知向量 角度3　利用向量的线性运算求参数 【例4】　(1)在△ABC中,D为AC的中点,连接BD,若=2,=x+y,则x+y的值为(C) A. B. C. D.1 解析　因为D为AC的中点,所以=,=-=-,因为=2,所以==×=-,所以=-=-+=+,又=x+y,因此有x=y=,则x+y=. (2)在△AOB中,=,D为OB的中点,若=λ+μ,则λμ的值为 - .  解析　因为=,所以=(-),因为D为OB的中点,所以=,所以=++=-++=-++(-)=-,所以λ=,μ=-,则λμ的值为-. [规律方法]　利用向量的线性运算求参数的策略 一般是构造三角形或者平行四边形,利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则,应用其几何意义进行加法或减法运算,然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值. 【对点练】 1.(角度2)如图,在△ABC中,=4,则=(A) A.+ B.+ C.+ D.+ 解析　因为=4,所以-=4(-),所以5=+4,即=+. 2. (角度3)如图,四边形ABCD为平行四边形,=,=,若=λ+μ,则λ-μ=(A) A.1 B. C. D. 解析　由题意可知,在▱ABCD 中,==,因为=+,=-=-,所以=λ+μ=λ(+)+μ(-)=(λ+μ)+(λ-μ),又=+=+,可得λ-μ=1.故选A. 3.(角度1)若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a与向量a+b所在直线的夹角是  .(用弧度表示)  解析　 设=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,如图所示,则a+b=,a-b=.因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB 是等边三角形,所以∠BOA=,四边形OACB为菱形.在菱形OACB 中,对角线OC平分∠BOA,所以向量a与向量a+b 所在直线的夹角是. 考点三　共线向量定理及其应用 【例5】　(1)(2025·长沙质检)已知向量a,b不共线,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b.若c与d共线,则实数x的值为(C) A.1 B.- C.1或- D.-1或- 解析　因为c与d共线,所以存在k∈R,使得d=kc,即a+(2x-1)b=kxa+kb.因为向量a,b不共线,所以整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0,解得x=-或x=1. (2) 如图,在△ABC中,=,P是BN的中点,若=m+,则实数m的值是  .  解析　因为=,所以=3,因为=m+=m+,且B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m=. [规律方法]　利用共线向量定理解题的策略 1.a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. 2.若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. 3.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1. 【训练2】　(1)a,b是不共线的两个向量,但a+kb与(k+1)a+12b是共线向量,则k= -4或3 .  解析　由题意设a+kb=λ[(k+1)a+12b]=λ(k+1)a+12λb,λ∈R,因为a,b是不共线的两个向量,所以解得或 (2)(2025·枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点,O为直线AB外一点,A关于点O的对称点为C.若=x+y,则x-y的值为(C) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　因为A关于点O的对称点为C,所以=-,又=x+y,所以=x-y,又因为A,B,D三点共线,所以x-y=1. 第二节　平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 三年考情 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线的条件. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T3 全国Ⅱ卷 T4 T13 T3   重点提示:平面向量基本定理、平面向量坐标运算 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=. 4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 【常用结论】 1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0. 2.向量共线的充要条件的两种形式 ①a∥b⇔b=λa(a≠0,λ∈R); ②a∥b⇔x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 3.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为. 4.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(√) (2)设{a,b}是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(√) (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(×) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(√) 2.下列向量组中,能作为它们所在平面内所有向量的一个基底{a,b}的是(B) A.a=(1,2),b=(0,0) B.a=(1,-2),b=(3,5) C.a=(3,2),b=(9,6) D.a=,b=(3,-2) 解析　根据平面向量基底的定义知,两个向量不共线即可作为基底.故选B. 3.(人A必二P31例7改编)若向量a=(3,-4),b=(-1,m),且a∥b,则m=(D) A.- B. C.- D. 解析　由题意得3m=4,则m=. 4.(人A必二P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为 (1,5) .  解析　设D(x,y),则=,得(3-(-1),-1-(-2))=(4,1)=(5-x,6-y),即解得即D(1,5). 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　平面向量基本定理 【例1】　(1)设{e1,e2}为平面内的一个基底,则下面四组向量中不能作为基底的是(C) A.e1+e2和e1-e2 B.4e1+2e2和2e2-4e1 C.2e1+e2和e1+e2 D.e1-2e2和4e2+2e1 解析　平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成,C选项中,2e1+e2=2,即2e1+e2和e1+e2为共线向量,所以它们不能作为基底.其他选项中的两个向量都没有倍数关系,所以可以作为基底. (2)(2025·湖北武汉模拟)在正六边形ABCDEF中,用和表示,则=(B) A.-+ B.-+ C.-+ D.-+ 解析　 设正六边形ABCDEF的边长为2,如图,设AD,EC交于点O,则OD=1,AO=3,则=,则=+=(+)+(+)=-+.故选B. [规律方法]　平面向量基本定理解决问题的思路 (1)选择一个基底; (2)运用该基底将条件和结论表示成向量的形式; (3)通过向量的运算来解决问题. 【训练1】　(1)(2024·山东滨州二模)在△ABC中,点G为△ABC的重心,点M为AC上一点,且满足=3,则(B) A.=+ B.=-- C.=-+ D.=- 解析　 由题意,画出几何图形如图所示,根据向量加法运算可得=+,因为点G为△ABC的重心,且点M满足=3,所以=×(+)=(+),=,所以=-(+)+=--.故选B. (2) 如图,在平行四边形ABCD中,点E在线段BD上,且=m(m∈R),若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+2μ=0,则m= 3 .  解析　在平行四边形ABCD中,因为=m,所以-=m(-),所以=+.又==-.所以=(-)+,所以=(1+m)+(1-m).又=λ+μ,所以λ=1+m,μ=1-m,又λ+2μ=0,所以1+m+2(1-m)=0,解得m=3. 考点二　平面向量的坐标运算 【例2】　(1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(D) A. B. C. D. 解析　因为a-2b+3c=0,所以c=-(a-2b).因为a-2b=(5,-2)-(-8,-6)=(13,4),所以c=-(a-2b)=. (2)设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且=2-3,则点D的坐标为 (2,16) .  解析　由题意,可得=(3,1),=(1,-4),所以2-3=(3,14).设点D的坐标为(x,y),则=(x+1,y-2),可得解得所以点D的坐标为(2,16). [规律方法]　利用向量的坐标运算解题的方法 (1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则. (2)根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,化归为方程(组)进行求解. 【训练2】　如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为  .  解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),因为=λ+μ,所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),所以解得故λ+μ=. 考点三　向量共线定理的坐标表示 角度1　利用向量共线求向量或点的坐标 【例3】　(1)已知A(-1,2),B(3,0),点P在直线AB上且||=2||,则点P的坐标为(C) A. B.(7,2) C.或(7,-2) D.(2,1)或(7,-2) 解析　设点P的坐标为(x,y),因为A(-1,2),B(3,0),所以=(x+1,y-2),=(3-x,-y).由点P在直线AB上且||=2||,得=2或=-2.所以或解得或所以点P的坐标为或(7,-2). (2)设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为 (-4,-2) .  解析　设a=(x,y),x<0,y<0,则x-2y=0且x2+y2=20,解得x=4,y=2(舍去),或者x=-4,y=-2,即a=(-4,-2). [规律方法]　利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ 的方程(组),求出λ 的值后代入λa即可得到所求的向量.求点的坐标时,可设要求点的坐标为(x,y),根据向量共线的条件列方程(组),求出x,y的值. 角度2　利用向量共线求参数 【例4】　(1)已知向量a=(m,2)与b=(-2,-4)共线,则2a-b=(B) A.(10,8) B.(4,8) C.(0,0) D.(1,2) 解析　因为a=(m,2),b=(-2,-4)共线,所以-4m=-4,解得m=1,所以a=(1,2)⇒2a=(2,4),所以2a-b=(4,8).故选B. (2)(2025·景德镇模拟)已知向量a=(2,3),b=(2,sin α-3),c=(2,cos α),若(a+b)∥c,则tan α的值为(A) A.2 B.-2 C. D.- 解析　因为a=(2,3),b=(2,sin α-3),所以a+b=(4,sin α),又c=(2,cos α)且(a+b)∥c,所以4cos α=2sin α,则tan α==2. [规律方法]　利用两向量共线求参数时,如果已知两向量共线,求某些参数的取值,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题. 【对点练】 1.(角度2)已知O为坐标原点,点A(1,-2),B(-1,3),若向量-k与向量a=(2,3)共线,则实数k的值为(B) A. B.- C. D.- 解析　因为向量-k=(1,-2)-(-k,3k)=(1+k,-2-3k) 与向量a=(2,3) 共线,所以3(1+k)=2(-2-3k),解得k=-.故选B. 2.(角度1)在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=2AB,若点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 (2,4) .  解析　因为在梯形ABCD中,CD=2AB,AB∥CD,所以=2,设点D的坐标为(x,y),则=(4-x,2-y),又=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即所以所以点D的坐标为(2,4). 第三节　平面向量数量积及其应用 课标要求 三年考情 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角. 5.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 6.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T3 T3 全国Ⅱ卷 T4 T13 T3   重点提示:平面向量数量积的概念、运算 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角. (2)范围:向量夹角θ的范围是[0,π]. 微提醒　　当a与b同向时,θ=0;a与b反向时,θ=π;a与b垂直时,θ=. 2.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.  规定:零向量与任一向量的数量积为 0 .  (2)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为=|a|cos θe.  (3)运算律 ①a·b=b·a.(交换律) ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(结合律) ③(a+b)·c=a·c+b·c.(分配律) 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|==. (3)夹角:cos θ==. (4)a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤·. 【常用结论】 1.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2; (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2. 2.有关向量夹角的两个结论 (1)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线. (2)向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若a,b共线,则a·b=|a|·|b|.(×) (2)向量在另一个向量上的投影向量为数量,而不是向量.(×) (3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角.(×) (4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(×) 2.(人A必二P60T8改编)已知向量m=(2x,1)与向量n=垂直,则x=(C) A. B.- C. D.- 解析　因为m=(2x,1)与n=垂直,所以m·n=(2x,1)·=x-=0,即x=. 3.(苏教必二P24T3改编)已知|a|=5,|b|=,a·b=5,则a与b的夹角θ等于(A) A.45° B.135° C.-45° D.30° 4.(人B必三P79T5改编)已知|a|=3,|b|=5,且<a,b>=45°,则a在b上的投影向量的模为  .  解析　所求投影向量的模为|a|cos 45°=. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　平面向量的数量积运算 【例1】　(1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E是AB的中点,则·=(B) A. B.3 C.2 D.5 解析　解法一:由题意,知=+=+,=+=-+,所以·=·=||2-||2,由题意知||=||=2,所以·=4-1=3. 解法二:以点A为原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-1,2),·=-1+4=3. (2)在△ABC中,B=,AB=BC=1,则·=(B) A.1 B. C. D.2 解析　在△ABC中,B=,AB=BC=1,所以△ABC是等腰三角形, A=C=,所以AC=2ABcos A=2×1×cos= ,所以·=||||cos A=1××=. [规律方法]　计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义:a·b=|a||b|cos<a,b>. (2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. (3)利用基底法求数量积. 【训练1】　 (2024·八省八校联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,ADMN,其中AB=2,AD=1,∠BAD=,则·= 0 .  解析　解法一:·=(+)·(+)=·+·+·+·=0+||·||cos+||||cos+0=-+=0. 解法二:建立平面直角坐标系,如图,则A(0,2),C,N,则=,=,则·=--++=0. 考点二　平面向量数量积运算的应用 角度1　向量的模 　 教考衔接⑩ 教材题 [题源](人A必二P60T9)已知向量a与b的夹角为30°,|a|=,|b|=2,求|a+b|,|a-b|的值. 解　因为a·b=|a||b|cos 30°=2×=3,所以|a+b|====,|a-b|====1. 高考题 (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(B) A.　 　B.　 　C.　 　D.1 解析　因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=.故选B. [规律方法]　求平面向量模的两种方法 (1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=; ②|a±b|==; ③若a=(x,y),则|a|=. (2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 角度2　向量夹角 【例2】　(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(D) A.- B.- C. D. 解析　因为a+b+c=0,所以c=-a-b,等式两边同时平方得2=a2+b2+2a·b=1+1+2a·b,所以a·b=0. 解法一:又a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4.且|a-c|=|2a+b|===,|b-c|=|a+2b|===,所以cos<a-c,b-c>==,故选D. 解法二: 如图,令=a,=b,则=c,所以=a-c,=b-c,而||=,||=||=,在△ABC中,由余弦定理得cos<a-c,b-c>=cos<,>=cos∠ACB==,故选D. 解法三:如图(图同法二),令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),则cos<a-c,b-c>===,故选D. [规律方法]　求平面向量的夹角的方法 (1)定义法:利用向量数量积的定义得,cos<a,b>=,其中两向量的夹角<a,b>的取值范围为[0,π]. (2)坐标法:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos<a,b>=. 角度3　向量的垂直 【例3】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(D) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D. (2)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ=  .  解析　因为⊥,所以·=0.又=λ+,=-,所以(λ+)·(-)=0,即(λ-1)·-λ+=0,所以(λ-1)×3×2×-9λ+4=0,解得λ=. [规律方法]　证明向量垂直的方法 (1)当向量a与b是坐标形式,即a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0. (2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且要知道不共线的向量的模与夹角,进行运算证明a·b=0. (3)有时也可以借助于向量的几何意义,运用几何关系判断垂直. 角度4　向量的投影 【例4】　(1)已知向量a与b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则向量a在b上的投影向量为(A) A.b B.b C.a D.a 解析　由题意,知|a|=2,且向量a与b的夹角为,所以向量a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>=b. (2)如图,△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,则·=(B) A.0 B.4 C.8 D.-4 解析　由题图中垂直,可得在上的投影向量的模为||,所以·=||2,只需求出△ABC的高即可.由已知可得||=||·sin B=2,所以·=||2=4.故选B. [规律方法]　向量数量积的几何定义 设|a|cos θ为向量a在向量b上的投影,a·b=|a||b|cos θ可变形为a·b=|a|(|b|cos θ)=|b|(|a|cos θ),则a与b的数量积等于其中一个向量的模长乘另一个向量在该向量上的投影。 【对点练】 1.(角度1)设a,b为单位向量,且|a-b|=1,则|a+2b|=(D) A.3 B. C.7 D. 解析　解法一:因为a,b是单位向量,所以|a|=1,|b|=1.由|a-b|=1得|a-b|2=1,即|a|2-2a·b+|b|2=1,可得a·b=,所以|a+2b|===.故选D. 解法二:设O是坐标原点,=a,=b,因为|a|=1,|b|=1,|a-b|=1,所以△OAB是等边三角形,所以a·b=,所以|a+2b|===.故选D. 2.(角度2)若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为(C) A. B. C. D. 解析　根据题意,设a与b的夹角为θ,因为(2a+3b)⊥b,所以(2a+3b)·b=0,即2a·b+3|b|2=0,即2|a||b|cos θ+3|b|2=0,又|a|=3|b|,结合已知条件可知cos θ=-,θ∈[0,π],故θ=. 3.(角度3)(多选题)已知向量a=(m,-1),b=(-2,1),则下列说法正确的是(ACD) A.若m=1,则|a-b|= B.若a⊥b,则m=2 C.“m<-”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件 D.若m=-1,则b在a上的投影向量的坐标为 解析　对于选项A,因为m=1,所以a=(1,-1),又b=(-2,1),所以a-b=(3,-2),故|a-b|==,所以选项A正确;对于选项B,因为a⊥b,所以-2m-1=0,解得m=-,所以选项B错误;对于选项C,当a与b的夹角为锐角时,由cos<a,b>=>0,得a·b>0,即-2m-1>0,得m<-;当m<-时,可得cos<a,b>=>0,而<a,b>∈[0,π],又当a∥b时,m-2=0得m=2,此时a=(2,-1),b=(-2,1),a,b反向共线,所以<a,b>∈,即“m<-”可以得出“a与b的夹角为锐角”,所以选项C正确;对于选项D,当m=-1时,a=(-1,-1),b=(-2,1),b在a上的投影向量为·=×(-1,-1)=,所以选项D正确. 4.(角度4)已知△ABC的外接圆的圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为(D) A.- B. C.- D. 解析　 因为2=+,故O为BC的中点,而O为外心,故△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°,因为||=||,所以cos∠ABC==,而向量在向量上的投影向量为||cos∠ABC·=·cos∠ABC·=×·=.故选D. 【微点拓展】 极化恒等式 [证明过程]:如图,设=a,=b,则=a+b,=a-b. ||2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2,||2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2, 两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2],此即极化恒等式. [几何意义]:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. [微提醒]:当问题中出现共起点的两个向量,之和或数量积时,取BC的中点D,然后使用极化恒等式+=2,·=|AD|2-|DB|2解决问题. 【典例】　(1)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·= -16 . 解析　如图,因为M是BC的中点,由极化恒等式得·=|AM|2-||2=9-×100=-16. (2)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(B) A.-2　　B.-　　C.-　　D.-1 解析　 如图所示,设BC的中点为D,AD的中点为M,连接DP,PM,所以·(+)=2·=2||2-||2=2||2-≥-.当且仅当M与P重合时取等号. 【微练】　(1)如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·值为 . 解析　设=a,=b,·=||2-||2=9b2-a2=4,·=||2-||2=b2-a2=-1,解得b2=,a2=,所以·=||2-||2=4b2-a2=. (2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则·的取值范围是 [-2,6] . 解析　 取AB的中点D,连接CD,PD,因为△ABC为正三角形,所以O为△ABC的重心,O在CD上,且OC=2OD=2,所以CD=3,AB=2.又由极化恒等式得·=||2-||2=||2-3,因为P在圆O上,所以当P在点C处时,||max=3,当P在CO的延长线与圆O的交点处时,||min=1,所以·∈[-2,6]. 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(D) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析　因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)可得,(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1,故选D. 2.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(C) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　因为|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,又因为|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.故选C. 3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=  .  解析　因为|a+b|=|2a-b|,即(a+b)2=(2a-b)2,则a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0,又因为|a-b|=,即(a-b)2=3,则a2-2a·b+b2=b2=3,所以|b|=. 4.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= 11 .  解析　设a与b的夹角为θ,则cos θ=.又|a|=1,|b|=3,所以a·b=|a||b|cos θ=1,所以(2a+b)·b=2a·b+b2=2a·b+|b|2=2×1+32=11. 第四节　平面向量的综合应用 课标要求 三年考情 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量的方法解决简单的力学问题与其他实际问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷   重点提示:平面向量在平面几何、物理中的应用 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等. (2)向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解. (3)动量mν是向量的数乘运算. (4)功是力F与所产生的位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ是F与s的夹角). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1),不共线,且=t,t∈R,则=t+(1-t).(×) 解析　因为=t,所以-=t(-),所以=t+(1-t). (2)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(√) (3)已知一个物体在三个力F1=(1,2),F2=(-1,-3),F3的作用下,处于静止状态,则F3=(0,-1).(×) 解析　设F3=(x,y),由题意,得F1+F2+F3=0,所以(1,2)+(-1,-3)+(x,y)=(0,0),解得x=0,y=1,所以F3=(0,1). (4)一物体在力F的作用下,由点A(15,6)移动到点B(4,1),若F=(1,-6),则F对物体所做的功为19.(√) 解析　=(-11,-5),F=(1,-6),所以对物体所做的功为·F=-11×1+(-5)×(-6)=19. 2.若a,b是非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为a,b为非零向量,a·b>0,所以由向量数量积的定义知,a与b的夹角为锐角或a与b方向相同;反之,若a与b的夹角为锐角,由向量数量积的定义知,a·b>0成立.故“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选B. 3.已知,是非零向量且满足(-2)⊥,(-2)⊥,则△ABC的形状为(B) A.等腰(非直角)三角形 B.等边三角形 C.直角(非等腰)三角形 D.等腰直角三角形 解析　因为,是非零向量且满足(-2)⊥,(-2)⊥,所以(-2)·=0,(-2)·=0,即=2·,=2·,所以||2==2||||·cos∠BAC,所以||=||,且cos∠BAC=,又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形.故选B. 4.(人A必二P52T1)若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为(D) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 解析　因为非零向量与满足·=0,所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC.又·=,所以cos∠BAC=,所以∠BAC=.所以△ABC为等边三角形.故选D. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　平面向量在平面几何中的应用 【例1】　(1) 如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=4,则(C) A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= 解析　由=4可得=,所以=+=+=+(-)=+,所以x=,y=. (2)在四边形ABCD中,==(3,),且满足+=,则||=(D) A.2 B.6 C. D.2 解析　由==(3,),得四边形ABCD为平行四边形,设m,n,p都是单位向量且m+n=p,则(m+n)2=p2,即1+2m·n+1=1,则m·n=-⇒cos<m,n>=-,所以<m,n>=120°,因此由+=知∠BAD=120°,且AC是∠BAD的平分线,因此四边形ABCD是菱形,而||=2,所以||=||=2. [规律方法]　用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题. 【训练1】　(2025·厦门模拟)已知O为△ABC的外心,AB=4,AC=6,=+,则△ABC的面积为(D) A.12 B.12 C.6 D.6 解析　 设AC的中点为D,由O为△ABC的外心可得,OD⊥AC,·=(+)·=·=3×6=18.又·=·=·+=·+16,所以·=12.又·=||||·cos∠BAC=4×6×cos∠BAC=12,可得cos∠BAC=,故sin∠BAC=,则△ABC的面积为·||·||·sin∠BAC=×4×6×=6. 考点二　平面向量在物理中的应用 【例2】　 (多选题)在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包,假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,下列结论中正确的是(AC) A.θ越小越省力,θ越大越费力 B.|F1|的最小值为|G| C.当θ=时,|F1|=|G| D.当θ=时,|F1|=|G| 解析　对于A,依题意,G=F1+F2,又|F1|=|F2|,则|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2(1+cos θ),解得|F1|2=,而θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,因此θ越小越省力,θ越大越费力,A正确;对于B,0<1+cos θ<2,则|F1|2=>|G|2,即|F1|>|G|,B错误;对于C,当θ=时,由|F1|2=,得|F1|2=|G|2,因此|F1|=|G|,C正确;对于D,当θ=时,由|F1|2=,得|F1|2=,因此|F1|=|G|,D错误.故选AC. [规律方法]　平面向量在运动学、力学等方面的应用要首先把问题向量化,建立基底或平面坐标系,把相关向量表示出来,运用平面向量的线性运算或数量积运算解决. 【训练2】　 (多选题)长江某处的南北两岸平行,江面宽度为2 km,一艘船从江南岸边的A处出发到江北岸.已知如图,船在静水中的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流方向自西向东,且速度v2的大小为|v2|=6 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π),北岸的点A'在A的正北方向,则(BD) A.当船的航行距离最短时,cos θ=- B.当船的航行时间最短时,θ= C.当θ=时,船航行到达北岸的位置在A'的左侧 D.当θ=时,船的航行距离为km. 解析　对于A,当船的航行距离最短时,v1+v2的方向与河岸垂直,从而cos θ=-cos(π-θ)=-=-=-,故A错误;对于B,船的航行时间为t==(h),若要船的航行时间最短时,则sin θ最大,也就是说当且仅当θ=时,船的航行时间最短时,故B正确;对于C,当θ=时,游船水平方向的速度大小为|v1|cos-|v2|=-1(km/h),方向水平向右,故最终到达北岸时游船在点A'的右侧,故C错误;对于D,由题意设位移分量为s1=v1t,s2=v2t,位移为s, 则s=s1+s2=(v1+v2)t,其中t===,所以|s|=|v1+v2|t=t=×=(km/h),故D正确.故选BD. 考点三　平面向量的最值问题 【例3】　(1)(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则·的最大值为(A) A. B. C.1+ D.2+ 解析　如图所示,|OA|=1,|OP|=,则由题意可知:∠APO=45°,由勾股定理可得PA==1.当点A,D位于直线PO异侧时,如图①所示,设∠OPC=α,0≤α<,则·=||||·cos=1×cos αcos=cos α=cos2α-sin αcos α=-sin 2α=-sin,0≤α<,则-≤2α-<.当2α-=-时,·有最大值1;当点A,D位于直线PO同侧时,如图②所示,设∠OPC=α,0≤α<,则·=||·||cos=1×cos αcos=cos α=cos2α+sin αcos α=+sin 2α=+sin,0≤α<,则≤2α+<.所以当2α+=时,·有最大值.综上可得,·的最大值为.故选A. ①　② (2)在△ABC中,E为AC上一点,=3,P为线段BE上任一点(不含端点),若=x+y,则+的最小值是(D) A.8 B.10 C.13 D.16 解析　如图,因为=x+y,又=3,所以=x+3y, 由向量共线定理的推论,可知x+3y=1,则(x+3y)=1+++9≥10+2=16,当且仅当=,即x=y时,等号成立,故+的最小值为16. [规律方法]　求向量模的最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系,设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合,应用图形的几何性质求最值(范围). 【训练3】　已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是(A) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 解析　解法一:如图①,取A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,),F(-1,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),且-1<x<3.所以·=(x,y)·(2,0)=2x∈(-2,6).故选A. ① ② 解法二:设与的夹角为θ,则在上的投影为||cos θ,由图②可知||cos θ∈(-1,3),则·=||||cos θ∈(-2,6),即·的取值范围是(-2,6).故选A. 微突破八　平面向量与三角形的“四心” 　　三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心和垂心,当且仅当三角形是正三角形时,这四心合为一心,称为正三角形的中心.在高考中常将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查,这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上理解向量的几何意义. 　　　 　　　　　　　　　　　 目标一　三角形的重心 【例1】　点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点,满足=++,则直线OP经过△ABC的(A) A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 解析　设BC的中点为点D,所以+=2,则-==2, 若A,P,O,D四点共线时,即点O,P都在中线AD上,所以OP经过三角形的重心,若A,P,O,D四点不共线时,AP∥OD,且AP=2OD,连接AD,OP,交于点G,如图,==2,即点G是三角形的重心,即OP经过△ABC的重心,综上可知,OP经过△ABC的重心.故选A. [规律方法]　重心的相关概念 (1)重心——三角形的三条中线的交点. (2)重心的向量表示:如图,若G为△ABC内部一点,则++=0⇔G为△ABC的重心. 目标二　三角形的外心 【例2】　已知点O是△ABC的外心,AC=3,AB=4,A=,若=m+n,则12m-9n=(C) A.-4 B.-1 C.1 D.7 解析　 因为AC=3,AB=4,A=,所以·=3×4×(-)=-6,如图,作OH⊥AB,由题意得O是△ABC外接圆的圆心,所以OA=OB,故△OAB是等腰三角形,在△OAH中,cos∠OAB=,在△OAB中,由三线合一性质得H是AB的中点,所以·=||·||·cos∠OAB=||·||·=||2=8,同理可得·=||2=,又=m+n,所以·=m+n·=16m-6n=8,·=n+m·=9n-6m=,解得m=,n=,故12m-9n=1,故C正确.故选C. [规律方法]　外心的相关概念 (1)外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心). (2)外心的向量表示:如图,若O为△ABC所在平面内一点,则(+)·=(+)·=(+)·=0⇔O为△ABC的外心. 目标三　三角形的内心 【例3】　(2025·四川南充模拟)已知点P在△ABC所在平面内,若·=·=0,则点P是△ABC的(D) A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心 解析　在△ABC中,由·=0,得·=·,即·=·,由·=0,同理得·=·,显然≠0,即点P与A不重合,否则cos∠ABC=1,同理≠0,则||cos∠PAC=||cos∠PAB,即cos∠PAC=cos∠PAB,∠PAC=∠PAB,于是AP平分∠BAC,同理BP平分∠ABC,所以点P是△ABC的内心.故选D. [规律方法]　内心的相关概念 (1)内心——三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心); (2)内心的向量表示:如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,I为△ABC所在平面内一点,则a+b+c=0⇔I为△ABC的内心. 目标四　三角形的垂心 【例4】　已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(B) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 解析　因为=+λ,所以=-=λ,所以·=·λ=λ(-||+||)=0,所以⊥,所以点P在BC的高线上,即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.故选B. [规律方法]　垂心的相关概念 (1)垂心——三角形的三条高线的交点; (2)垂心的向量表示:如图,H为△ABC所在平面上一点,则·=·=·⇔H为△ABC的垂心. 增|分|训|练 1.(2025·哈尔滨模拟)已知点M在△ABC所在平面内,在△ABC中,-=2·(-),那么动点M的轨迹必通过△ABC的(D) A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心 解析　设线段BC的中点为D,连接AD,则+=2,因为-=2·(-),即(+)·(-)=2·,即2·=2·,变形得·(-)=·=0,则DM⊥BC,所以DM垂直且平分线段BC,因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线,必通过△ABC的外心.故选D. 2.在△ABC中,AB=4,AC=6,点D,E分别在线段AB,AC上,且D为AB的中点,=,若=+,则直线AP经过△ABC的(A) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析　 因为AB=4,AC=6,且D为AB的中点,=,则||=||=2,连接DP,EP,如图,因为=+,所以四边形ADPE为菱形,AP为菱形ADPE的对角线,所以AP平分∠BAC,即直线AP经过△ABC的内心,故选A. 3.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定过△ABC的(C) A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心 解析　取AB的中点D,则2=+,因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,而+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.故选C. 4.若H是△ABC的垂心,且2+2+3=0,则tan C的值为  .  解析　 取AB的中点D,连接CD.由2+2+3=0,得2(+)+2(+)+3=0,所以7=2(+)=4,故垂心H在中线上,即高线与中线重合,故a=b,又2+2(+)+3(+)=0,所以7=2+3,又因为·=0,=-,得(2+3)·(-)=0,所以2·-2+3-3·=0,即-2+3-·=0,得到2c2-3b2+bccos A=0,由余弦定理得cos A==,又a=b,所以5c2=6b2,所以cos C===,所以sin C==,得到tan C=. 第五节　复数 课标要求 三年考情 1.通过方程的解,认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T2 T2 T2 全国Ⅱ卷 T2 T1 T1   重点提示:复数的概念、复数的四则运算 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.复数的有关概念 (1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b. (2)复数的分类. 复数z=a+bi(a,b∈R),分类如下: (3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R). (5)复数的模:向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法:===+i(c+di≠0). (2)复数的运算律. 对任意z1,z2,z3∈C, ①复数的加法满足交换律、结合律,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). ②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 【常用结论】 1.i的乘方具有周期性 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. 2.(1±i)2=±2i,=i,=-i. 3.复数的模与共轭复数的关系z·=|z|2=||2. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)已知i为虚数单位,i+i3+i5+i7是纯虚数.(×) 解析　由i+i3+i5+i7=i-i+i-i=0,不是纯虚数,所以不正确. (2)复数可以比较大小.(×) (3)z(1+i)=2,则z是方程x2-x+1=0的一个复数根.(×) 解析　由z(1+i)=2,可得z==1-i,因为(1-i)2-(1-i)+1=-2i-1+i+1=-i≠0,所以z不是方程x2-x+1=0的一个复数根,所以不正确. (4)若z∈C,则|z2|=|z|2.(√) 解析　设复数z=a+bi(a,b∈R),可得z2=a2-b2+2abi,所以|z2|==a2+b2,又由|z|2=()2=a2+b2,所以|z|2=|z|2,所以正确. 2.已知复数z满足(2-3i)z=3-2i,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点在(A) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由题知z===+i.所以复数z在复平面内对应的点在第一象限.故选A. 3.(人A必二P95T7改编)复数z=,则z的虚部为(B) A.i B. C.- D.-i 解析　z====-+i,故z的虚部为,故选B. 4.(人A必二P73习题T2改编)若m2-3m+2+(m2-1)i(m∈R)为纯虚数,则m= 2 .  解析　若m2-3m+2+(m2-1)i(m∈R)为纯虚数,则解得m=2. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　复数的概念 【例1】　(1)(多选题)下面是关于复数z=-1-i(i为虚数单位)的命题,其中真命题为(BD) A.|z|=2 B.z2=2i C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1 解析　A选项,|z|==,A错误;B选项,z2=(-1-i)2=1+2i+i2=2i,B正确;C选项,z的共轭复数为-1+i,C错误;D选项,z的虚部为-1,D正确. (2)已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当z为纯虚数时,m的取值是 0或2 .  解析　当z为纯虚数时,则有解得m=0或m=2. [规律方法]　解决复数概念问题的两个注意事项 【训练1】　(1)已知复数z=2-i,且-az+b=i,其中a,b为实数,则a-b=(C) A.-2 B.0 C.2 D.3 解析　由题意得=2+i,代入原式得2+i-a(2-i)+b=i,即(2-2a+b)+(1+a)i=i,所以解得所以a-b=2. (2)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|=(C) A.1 B.2 C. D.5 解析　|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=. 考点二　复数的运算 【例2】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z=(C) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析　解法一(解方程法):因为=1+i,所以z=(z-1)(1+i),即z=z-1+zi-i,即zi=1+i,所以z===1-i,故选C. 解法二(取倒数法):因为=1+i,所以=,即1-==-i,即=+i=,所以z==1-i,故选C. (2)(2023·全国甲卷)=(C) A.-1 B.1 C.1-i D.1+i 解析　==1-i.故选C. [规律方法]　复数代数形式运算的策略 【训练2】　(1)(2025·八省联考)|2-4i|=(C) A.2 B.4 C.2 D.6 解析　|2-4i|==2,故选C. (2)(2025·宁波调研)已知i为虚数单位,则= -+i .  解析　=====-+i. 考点三　复数的几何意义 【例3】　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(A) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.故选A. (2)(2025·广州模拟)复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,则实数a的取值范围为(D) A.(-∞,-2) B.(-3,-2) C.(-2,+∞) D.(-∞,-3) 解析　由复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,可得解得a<-3,故实数a的取值范围为(-∞,-3). [规律方法]　(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔=(a,b). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 【训练3】　(1)已知复数z=,且z在复平面内对应的点在第四象限,则a的一个整数值为 0(答案不唯一,a为-3,-2,-1,0,1,2,3均可) .  解析　因为z===,所以解得-4<a<4.又a为整数,故a可取-3,-2,-1,0,1,2,3. (2)若复数z满足1≤|z|≤,则复数z对应的点所构成的图形面积为 2π .  解析　 |z|≥1表示原点为圆心,1为半径的圆的外部,|z|≤表示原点为圆心,为半径的圆的内部,则复数z对应的点所构成的图形为如图所示的圆环(包括边界),故面积为π×()2-π×12=2π. 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(+z)=(A) A.10i B.2i C.10 D.2 解析　由z=5+i得,=5-i,z+=10,则i(+z)=10i.故选A. 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=(C) A.0 B.1 C. D.2 解析　若z=-1-i,则|z|==.故选C. 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-=(A) A.-i B.i C.0 D.1 解析　因为z====-i,所以=i,即z-=-i.故选A. 4.(2022·新课标Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=(D) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　由题设有1-z===-i,故z=1+i,故z+=(1+i)+(1-i)=2,故选D. 5.(2022·新课标Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=(D) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 解析　(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$