第2章 函数与基本初等函数-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

第二章函数与基本初等函数 第一节　函数的概念及其表示 课标要求 三年考情 1.了解构成函数的要素,会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷   重点提示:函数的表示、定义域、值域、分段函数 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.函数的概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同. (2)结论:这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 微提醒　　关于分段函数的3个注意点 (1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数 　　(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集; (3)各段函数的定义域不可以相交. 【常用结论】 1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有0个或1个交点. 2.几种常见函数的定义域: (1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合. (2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数f(x)=x-1,g(x)=-1表示的是同一函数.(×) (2)函数f(x)=的定义域为R.(√) (3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.(×) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.(×) 2.(人A必一P64T3改编)已知集合M={x|0≤x≤4},N={x|0≤x≤2},下列对应关系能够构成从M到N的函数的是(A) A.f:x→ B.f:x→x2 C.f:x→|x| D.f:x→x-1 解析　对于f:x→,当0≤x≤4时,0≤≤2,对于任意x∈M={x|0≤x≤4},在N={x|0≤x≤2}中都存在唯一确定的元素与之对应,满足函数定义,A正确;对于f:x→x2,当0≤x≤4时,0≤x2≤16,当<x≤4时,在N={x|0≤x≤2}中无元素与之对应,不满足函数定义,B错误;对于f:x→|x|,当0≤x≤4时,0≤|x|≤4,当2<x≤4时,在N={x|0≤x≤2}中无元素与之对应,不满足函数定义,C错误;对于f:x→x-1,当0≤x≤4时,-1≤x-1≤3,当0≤x<1或3<x≤4时,在N={x|0≤x≤2}中无元素与之对应,不满足函数定义,D错误.故选A. 3.(人A必一P73T5改编)已知函数f(x)=,当f(x)=4时,x的值为(A) A.8 B.4 C.2 D.24 解析　因为f(x)=4,所以=4,即x=4x-24,x=8,故选A. 4.(人A必一P65例2改编)函数f(x)=+的定义域为 [-3,-2)∪(-2,1] .  解析　由得-3≤x<-2或-2<x≤1. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　函数的概念 【例1】　(1)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系(x∈M,y∈N),则能构成从M到N的函数的是(D) A.y=x2 B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=|x| 解析　当x=4时,y=42=16∉N.当x=-1时,y=-1+1=0∉N.当x=-1时,y=-1-1=-2∉N.当x=±1时,y=|x|=1∈N,当x=2时,y=|x|=2∈N,当x=4时,y=|x|=4∈N,故选D. (2)(多选题)下列各图象中,是函数图象的是(BD) A　　　B C　　　D 解析　对于A,由图可知,有一部分的x有两个y的值与其对应,所以不是函数图象,所以A错误;对于B,由图可知,定义域内的每一个x都只有一个y和它对应,所以是函数图象,所以B正确;对于C,由图可知,有一部分的x有两个y的值与其对应,所以不是函数图象,所以C错误;对于D,由图可知,定义域内的每一个x都只有一个y和它对应,所以是函数图象,所以D正确.故选BD. (3)(多选题)下列各组函数是同一个函数的是(AC) A.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 B.f(x)=x0与g(x)=1 C.f(x)=与g(x)= D.f(x)=·与g(x)= 解析　对A:只是用不同的字母表示变量,所以是同一个函数,故A正确;对B:因为函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数g(x)的定义域为R,所以f(x)与g(x)不是同一个函数,故B错误;对C:函数f(x)与g(x)的定义域都是(-∞,0)∪(0,+∞),对应关系一样,故它们是同一个函数,故C正确;对D:函数f(x)=·的定义域是[1,+∞),函数g(x)的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不一致,所以它们不是同一个函数,故D错误.故选AC. [规律方法]　函数概念的理解 (1)函数的概念:①A,B是非空的实数集.②函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应;至于B中的元素则无要求. (2)判断两个函数是否相同的方法:①构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同.②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时,才是相同函数. 【训练1】　(多选题)下列说法中正确的有(BC) A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数 B.函数f(x)=-的定义域是[-1,0)∪(0,+∞) C.y=与y=是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x,则f=0 解析　对于A,函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数g(x)=的定义域为R,两函数的定义域不同,所以不是同一个函数,故A错误;对于B,由题意,在f(x)=-中,解得x≥-1且x≠0,故B正确;因为y=的定义域为[-3,3),并且=,所以两个函数的定义域相同,对应关系相同,所以是同一个函数.对于D,由f(x)=|x-1|-x,可得f=0,所以f=f(0)=1,故D错误. 考点二　函数的定义域 【例2】　(1)(2022·北京高考)函数f(x)=+的定义域是 (-∞,0)∪(0,1] .  解析　要使函数f(x)=+有意义,则解得x≤1且x≠0,所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1]. (2)f(x)=的定义域为∪(1,2],则实数a的值是 2 .  解析　由题意,要使函数f(x)=有意义,则即所以a=2,此时由可得x∈∪(1,2],符合题意. [规律方法]　求给定函数定义域的方法 (1)将给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式(组)求解; (2)当函数解析式较复杂时,要先确定全部限制条件,依次列出不等式,再分别求出每个不等式的解集,最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. 【训练2】　函数f(x)=的定义域是  .  解析　要使函数f(x)=有意义,当且仅当解得-<x<1,所以函数f(x)=的定义域是. 【微点拓展】 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【典例】　(1)(2025·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[-2,3],则函数f(2x-1)的定义域为 . 解析　由-2≤2x-1≤3,解得-≤x≤2,所以函数f(2x-1)的定义域为. (2)已知函数f(2x-1)的定义域为[-2,3],则函数f(x-1)的定义域为 [-4,6] . 解析　由-2≤x≤3,得-5≤2x-1≤5 ,则-5≤x-1≤5,解得-4≤x≤6,所以函数f(x-1)的定义域为[-4,6]. 【微练】　若函数f(x-1)的定义域为[0,2 025],则函数g(x)=的定义域为 [-2,1)∪(1,2 023] . 解析　由函数f(x-1)的定义域为[0,2 025],得函数y=f(x)的定义域为[-1,2 024],则-2≤x≤2 023且x≠1.所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2 023]. 考点三　函数的解析式 【例3】　已知函数f(x)满足下列条件,分别求f(x)的解析式. (1)(换元法)已知函数f=x. (2)(待定系数法)已知二次函数f(x)的最大值是f=,且它的图象过点(2,4). (3)(配凑法)已知f=x2+. (4)(构造法)已知f(x)+3f(-x)=2x+1. 解　(1)令t==-1+(t≠-1),得x=,据此可得函数f(x)的表达式是f(x)=(x≠-1). (2)根据题意设f(x)=a+,又图象过点(2,4),则+=4,解得a=-1,故f(x)=-+. (3)因为f=x2+=-2,所以f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)将等式f(x)+3f(-x)=2x+1中的x换为-x,得f(-x)+3f(x)=-2x+1,故有解得f(x)=-x+. [规律方法]　求函数解析式的方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (4)构造法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 【训练3】　(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))=3x+2,则f(x)的解析式为 f(x)=x+-1或f(x)=-x--1 .  解析　设f(x)=ax+b(a≠0),f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=3x+2,于是有解得或所以f(x)=x+-1或f(x)=-x--1. (2)f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的解析式为 f(x)=x2+x+1 .  解析　令x=0,代入f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(-y)=f(0)-y(-y+1),又f(0)=1,则f(-y)=1-y(-y+1)=y2-y+1=(-y)2+(-y)+1,所以f(x)=x2+x+1. 考点四　分段函数 角度1　分段函数求值 【例4】　(2025·四川达州模拟)已知f(x)=则f(f(3))= 1 .  解析　f(f(3))=f(-|3-2|+1)=f(0)=-02+1=1. [规律方法]　求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在区间及其对应关系,对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值. 角度2　分段函数与方程 【例5】　(1)(多选题)已知f(x)=若f(m)=29,则m的值为(AB) A.3 B.- C.-3 D. 解析　当m≥0时,m3+2=29,解得m=3;当m<0时,-3m=29,解得m=-.故选AB. (2)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a= 2 .  解析　因为f()=6-4=2,所以f(f())=f(2)=3,即|2-3|+a=3,解得a=2. [规律方法]　解决含参数分段函数问题的方法 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参. (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 角度3　分段函数与不等式 【例6】　(2025·吉林九师联盟联考)设函数f(x)=若f(t)>2,则t的取值范围是(A) A.(-∞,-1)∪ B.(-∞,-1)∪ C. D. 解析　当t≤0时,f(t)=2-t>2,解得t<-1;当t>0时,f(t)=lot>2=lo,解得0<t<.综上,t的取值范围是(-∞,-1)∪.故选A. [规律方法]　解决分段函数与不等式问题的策略 (1)分类讨论:解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论,根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后将各段的结果求并集即可. (2)数形结合:解决分段函数问题时,通过画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图象直观地分析判断,可以快速准确地解决问题. 【对点练】 1.(角度2)已知f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为(B) A.1 B.4 C.1或4 D.2 解析　当a<1时,f(a)=2a-1=1,则a-1=0,解得a=1(舍去);当a≥1时,f(a)==1,则=2,解得a=4.故选B. 2.(角度1)已知f(x)=则f=(B) A.1 B.2 C. D. 解析　f=f+1=f+2=f+3=log2+3=-1+3=2.故选B. 3.(角度3)已知函数f(x)=若∃x0∈R,使得f(x0)≤10m+4m2成立,则实数m的取值范围为 ∪ .  解析　因为函数y=x2-3x在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,函数y=x2-3x,x≤3取得最小值-.又因为函数y=log3x在区间(3,+∞)上单调递增,所以当x>3时,log3x>1.综上可得函数f(x)=的最小值为-.因为∃x0∈R,使得f(x0)≤10m+4m2成立,所以-≤10m+4m2,解得m≤-或m≥-. 第二节　函数的基本性质 第1课时　函数的单调性与最值 课标要求 三年考情 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最值. 2.理解函数的单调性、最值的实际意义,掌握函数单调性的简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T4 T6 全国Ⅱ卷 T8   重点提示:函数的单调性、最值 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.函数的单调性 (1)增函数和减函数. 类别 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 (2)单调区间的定义:如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 微提醒　　①单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示;②有多个单调区间应分开写,不能用“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有f(x)≤M; (2)∃x0∈D,使得f(x0)=M (1)∀x∈D,都有f(x)≥M; (2)∃x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 【常用结论】 (1)∀x1,x2∈I且x1≠x2,有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). (2)函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. (3)在公共定义域内,增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)满足f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数.(×) (2)若函数f(x)在(-2,3)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为(-2,3).(×) (3)若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(√) (4)所有的单调函数都有最值.(×) 2.下列函数是增函数的为(D) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析　对于A,f(x)=|x|在R上不具有单调性,不合题意;对于B,f(x)=为R上的减函数,不合题意;对于C,f(x)=x2在R上不具有单调性,不合题意;对于D,f(x)=为R上的增函数,符合题意,故选D. 3.函数y=-在区间[1,2]上的最大值为(A) A.- B.- C.-1 D.不存在 解析　y=-在(-1,+∞)上单调递增,则y=-在区间[1,2]上单调递增,所以ymax=-=-. 4.(人A必一P86T7改编)函数f(x)=的单调递增区间是 [2,+∞) .  解析　由题意可知x2-2x≥0,解得x≤0或x≥2,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞),设y=,u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1),所以f(x)的单调递增区间是[2,+∞). 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　求函数的单调区间 【例1】　求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x+ln x. (2)f(x)=log2(-x2+4x+5). (3)f(x)=|x|(x-1). 解　(1)函数f(x)=x+ln x的定义域为(0,+∞). 解法一:由于函数y1=x(x>0)与y2=ln x(x>0)均是增函数,因此函数f(x)=x+ln x的单调递增区间为(0,+∞). 解法二:由于f'(x)=1+>0,因此函数f(x)=x+ln x在定义域(0,+∞)上为增函数. (2)函数f(x)=log2(-x2+4x+5)的定义域需满足-x2+4x+5>0,解得f(x)的定义域为(-1,5).又f(x)=log2(-x2+4x+5)=log2[-(x-2)2+9],因为y=-(x-2)2+9在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以f(x)=log2(-x2+4x+5)的单调递增区间为(-1,2),单调递减区间为(2,5). (3)f(x)=作出图象,可以得到函数的单调递增区间是(-∞,0),,单调递减区间是. [规律方法]　求复合函数的单调区间的步骤 (1)求函数的定义域. (2)求简单函数的单调区间. (3)求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”. 【训练1】　(1)函数f(x)=的单调递增区间是(D) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[1,3] D.[-1,1] 解析　函数f(x)=的定义域需要满足3+2x-x2≥0,解得f(x)的定义域为[-1,3],因为y=3+2x-x2在[-1,1]上单调递增,所以f(x)=在[-1,1]上单调递增,故选D. (2)f(x)=的单调递减区间为 (1,+∞) .  解析　复合函数f(x)=可以分为:外部函数y=0.7u与内部函数u=x2-2x,因为外部函数y=0.7u在公共定义域内单调递减,根据复合函数单调性“同增异减”的性质,所以求f(x)的减区间,等价于求内部函数u=x2-2x的增区间,易知u=x2-2x的增区间为[1,+∞),故f(x)的减区间为[1,+∞),由于端点不影响函数的单调性,所以f(x)的减区间也可以为(1,+∞). 考点二　函数单调性的判断与证明 【例2】　判断函数f(x)=,x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. 解　函数f(x) 在(-2,+∞) 上单调递增.证明如下:f(x)===1-,任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1--(1-)=-=,又x1<x2,且x1,x2∈(-2,+∞),所以x1+2>0,x2+2>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x) 在(-2,+∞) 上单调递增. [规律方法]　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2. (2)作差:f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)). (3)变形:通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式. (4)定号:确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,进行分类讨论. (5)结论:根据定义确定单调性. 【训练2】　(1)下列函数在R上为增函数的是(B) A.y=x2 B.y=x C.y=- D.y= 解析　y=x2在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故A错误;y=x在R上为增函数,故B正确;y=-在[0,+∞)上单调递减,故C错误;y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,故D错误. (2)已知函数f(x)=x2-+1(x>0),判断函数f(x)的单调性,并证明. 解　函数f(x)=x2-+1在区间(0,+∞)上单调递增.证明:任取0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-+1-+-1=(x2-x1),因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1+>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)=x2-+1在区间(0,+∞)上单调递增. 考点三　函数单调性的应用 角度1　比较大小 【例3】　已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为(D) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 解析　由f(x)的图象关于直线x=1对称,可得f=f.由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<<e,所以f(2)>f>f(e),所以b>a>c. [规律方法]　比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解. 角度2　解不等式 【例4】　已知函数f(x)=-x|x|,x∈(-1,1),则不等式f(1-m)<f(m2-1)的解集为 (0,1) .  解析　由已知得f(x)=则f(x)在(-1,1)上单调递减,所以解得0<m<1,所以所求不等式的解集为(0,1). [规律方法]　利用函数单调性解不等式的具体步骤 (1)将不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式. (2)讨论函数f(x)的单调性. (3)根据函数f(x)的单调性去掉“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解. 角度3　求参数的取值范围 【例5】　(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=x2-2x+ln x.若f(a+1)≥f(2a-1),则a的取值范围是(D) A.(-∞,-1] B.(-1,2] C.[2,+∞) D. 解析　因为f(x)=x2-2x+ln x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=x-2+==≥0,所以f(x)是(0,+∞)上的增函数,所以若f(a+1)≥f(2a-1),则a+1≥2a-1>0,解得<a≤2.故选D. [规律方法]　利用单调性求参数取值(范围)的解题策略 根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 【对点练】 1.(角度2)已知函数f(x)=ln -x3,则不等式f(3-x2)>f(2x-5)的解集为(D) A.(-4,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,-4)∪(2,+∞) 解析　由题意,x∈R,f(x)=-xln 2-x3,易知函数f(x)在R上单调递减,而f(3-x2)>f(2x-5),所以3-x2<2x-5⇒(x-2)(x+4)>0⇒x∈(-∞,-4)∪(2,+∞).故选D. 2.(角度1)已知函数f(x)=x3-x,a=f,b=f(log23),c=f,则(D) A.a<c<b B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b 解析　因为函数f(x)=x3-x,可得f'(x)=3x2-1,当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在和上递增,在上递减,因为-<<,可得f>f,所以a>c,又因为f=<f=,log23-=log23-log22>0,所以log23>,所以f(log23)>f>f,即b>a,所以c<a<b.故选D. 3.(角度3)已知函数f(x)=若∀x1,x2∈(0,2),x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围为(C) A.(0,2] B.(-∞,1] C.(0,1] D.(0,+∞) 解析　因为对于∀x1,x2∈(0,2),x1≠x2,都有>0成立,所以函数f(x)单调递增,则函数y=ax+1-a(0≤x≤1)和y=(1<x≤2)均单调递增,且有1≤21-a,即解得0<a≤1. 【微点拓展】 求函数的值域(最值)的常用方法 (1) 配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题 (2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法:引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”. (5)分离常数法:分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法,把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 【典例】　(1)(多选题)下列函数中,值域正确的是(ACD) A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[,+∞) 解析　对于A,(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6);对于B,(分离常数法)y===2+,显然≠0,所以y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞);对于C,(换元法)设t=,则x=t2+1,且t≥0,所以y=2(t2+1)-t=2+,由t≥0,再结合函数的的图象(如图②所示),可得函数的值域为.对于D,函数的定义域为[1,+∞),因为y=与y=在[1,+∞)上均单调递增,所以y=+在[1,+∞)上为增函数,所以当x=1时,ymin=,即函数的值域为[,+∞). ① ② (2)函数f(x)=的值域为 (-∞,2] . 解析　解法一(图象法):作出函数f(x)=的图象(如图所示),f(x)max=f(0)=2.由函数图象可知,f(x)的值域为(-∞,2]. 解法二(单调性法):当x≥1时,函数f(x)=单调递减,所以f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2.综上,函数f(x)的最大值为2,所以函数f(x)的值域为(-∞,2]. 【微练】　(1)设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则M+m=(C) A.4　　　　　B.6 C.10 D.24 解析　因为f(x)= =2+,所以f(x)在[3,4]上是减函数.所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以M+m=6+4=10.故选C. (2)函数y=的值域为 . 解析　令sin θ=t,则t∈[-1,1],故y===-1+,由于t∈[-1,1],所以2-t∈[1,3],∈,所以y=-1+∈,即函数y=的值域为. (3)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 1 . 解析　 解法一(图象法):在同一直角坐标系中,作函数f(x),g(x)的图象,依题意,h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1. 解法二(最值比较法):依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x单调递增,当x>2时,h(x)=3-x单调递减,因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 第2课时　函数的奇偶性、周期性 课标要求 三年考情 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义,会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 2.了解函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T12 T11 全国Ⅱ卷 T8 T4 T6   重点提示:函数的奇偶性、周期性 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.函数的奇偶性 类别 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x) 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x) 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 微提醒　　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【常用结论】 1.函数的奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则一定有f(0)=0.如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数.(×) 解析　由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性. (2)对于函数y=f(x),若f(-2)=-f(2),则函数y=f(x)是奇函数.(×) (3)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(√) (4)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.(×) 解析　若函数f(x)为奇函数,但函数定义域不包括0,则f(0)无意义. 2.(多选题)(人A必一P84例6改编)给出下列函数,其中是奇函数的为(BC) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 解析　对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数,f(x)=是偶函数.故选BC. 3.(多选题)(人B必一P115练习BT4改编)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则(BD) A.f(x)+g(x)是奇函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(g(x))是偶函数 解析　因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确;因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)≠f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,不是偶函数,故C错误;因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确. 4.已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x+ln(x+1),则当x<0时,f(x)=(C) A.-x-ln(1-x) B.x-ln(1-x) C.-x+ln(1-x) D.x+ln(1-x) 解析　当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=-x+ln(1-x).故选C. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　函数的奇偶性 角度1　奇偶性的判断 【例1】　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)= (3)f(x)=log2(x+). 解　(1)由得x2=3,解得x=±,即函数f(x)的定义域为{-,},从而f(x)=+=0.因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.因为当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,所以函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为R,f(-x)=log2[-x+]=log2(-x)=log2(+x)-1=-log2(+x)=-f(x),故f(x)为奇函数. [规律方法]　判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 角度2　奇偶性的应用 　 教考衔接③ 教材题 [题源](人A必一P161T12节选)对于函数f(x)=a-(a∈R),是否存在实数a使函数f(x)为奇函数? 解　假设存在实数a使函数f(x)为奇函数.则有f(-x)+f(x)=0,即a-+a-=0,解得a=1.故存在实数a使函数f(x)为奇函数. 高考题 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a=(B) A.-1　　　B.0　　　C.　　　D.1 解析　解法一:f(-x)=(-x+a)ln=(-x+a)ln=(x-a)ln,因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),所以x+a=x-a,即a=0.故选B. 解法二:因为f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),所以(1+a)ln=(-1+a)ln 3,解得a=0.当a=0时,f(x)=xln,(2x-1)(2x+1)>0,解得x>或x<-,则其定义域为,关于原点对称.f(-x)=(-x)·ln=(-x)ln=(-x)ln=xln=f(x),故此时f(x)为偶函数.故选B. 高考题 (2)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(D) A.[-1,1]∪[3,+∞)　B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 解析　由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],故选D. [规律方法]　应用函数奇偶性解决问题的方法 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. (3)求参数的值:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值,或得到方程(组),进而得出参数的值. 【对点练】 1.(角度1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(B) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析　对A,f(x)=,函数定义域为R,但f(-1)=,f(1)=,则f(-1)≠f(1),故A错误;对B,f(x)=,函数定义域为R,且f(-x)===f(x),则f(x)为偶函数,故B正确;对C,f(x)=,函数定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称, 则f(x)不是偶函数,故C错误;对D,f(x)=,函数定义域为R,因为f(1)=,f(-1)=,则f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数,故D错误.故选B. 2.(角度2)已知奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=2x-m(m为常数),则f(-2)=(C) A.1 B.2 C.-3 D.3 解析　由于f(x)是奇函数,所以f(0)=20-m=1-m=0,即m=1,即x≥0时,f(x)=2x-1,所以f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.故选C. 3.(角度2)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(D) A.-2 B. -1 C. 1 D. 2 解析　解法一:因为f(x) 是偶函数,所以f(x)-f(-x)=-=+==0,所以a-1=1,所以a=2.故选D. 解法二:因为f(x) 是偶函数,所以f(1)-f(-1)=-==0,所以a-1=1,所以a=2.故选D. 考点二　函数的周期性 【例2】　(1)已知函数f(x)在R上满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)=其中a∈R,若f(-5)=f(4.5),则a=(C) A.0.5 B.1.5 C.2.5 D.3.5 解析　由f(x+1)=f(x-1),得f(x) 是周期为2的周期函数,又f(-5)=f(4.5),所以f(-1)=f(0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5.故选C. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为 f(x)=log2(5-x),x∈[2,4] .  解析　根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],则有4-x∈[0,2],当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x),又f(x)为周期为4的偶函数,所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4],则有f(x)=log2(5-x),x∈[2,4]. [规律方法]　求解与函数周期性有关问题的解题策略 (1)应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 【训练】　(2025·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且周期为3,又f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)的值是(D) A.2 024 B.2 023 C.1 D.0 解析　因为f(x)的周期为3,f(-1)=1,则f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1,又f(0)=-2,则f(3)=f(0+3)=f(0)=-2,因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称,所以f(x)为偶函数,故f(1)=f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=675×0=0. 第3课时　函数的对称性 课标要求 三年考情 1.结合具体函数,了解函数对称性的含义,会运用函数的图象理解和研究函数的对称性. 2.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T12 全国Ⅱ卷 T11   重点提示:轴对称、中心对称、双对称 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.奇函数、偶函数图象的对称性 (1)奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称. (2)若f(x+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x=a. (3)若f(x+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 2.函数图象的对称性 若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x),则函数的图象关于直线x=a对称; 若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点(a,0)对称. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若函数y=f(x)是奇函数,则函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.(√) (2)若函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(√) (3)函数y=5x与y=的图象关于x轴对称.(×) (4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称.(√) 2.函数f(x)=图象的对称中心为(B) A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) 解析　因为f(x)==1+,由y=向上平移一个单位长度得到y=1+,又y=关于点(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称. 3.(人A必一P87T13)已知函数y=f(x+1)为奇函数,则函数y=f(x)+1的图象(A) A.关于点(1,1)对称 B.关于点(1,-1)对称 C.关于点(-1,1)对称 D.关于点(-1,-1)对称 解析　函数y=f(x+1)为奇函数,图象关于点(0,0)对称,则函数y=f(x)关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)+1的图象关于点(1,1)对称. 4.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)= 5 .  解析　因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),由f(x)的图象关于直线x=2对称,可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,所以f(-1)=5. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　函数的轴对称问题 【例1】　(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象(A) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=1对称 D.关于直线y=3对称 解析　设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上,而P(x0,y0)与Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)的图象与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. (2)定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=2-f(x).若f(x)的图象关于直线x=3对称,则下列选项一定成立的是(A) A.f(-3)=1 B.f(0)=0 C.f(3)=2 D.f(5)=-1 解析　函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则必有f(3-x)=f(x+3),所以f(0)=f(6),f(1)=f(5),f(2)=f(4).又因为f(x)满足f(2-x)=2-f(x),取x=1,所以f(1)=2-f(1),f(1)=1,则f(1)=f(5)=1,取x=5,则f(-3)=2-f(5)=1,A正确. [规律方法]　对称轴的相关结论 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x);若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. 【训练1】　(多选题)(2025·甘肃张掖模拟)已知直线x=1是函数f(x)图象的对称轴,则函数f(x)的解析式可以是(ABC) A.f(x)= B.f(x)=ex-1+e1-x C.f(x)=cos πx D.f(x)=x2-2|x| 解析　A:函数图象由y=图象沿x轴向右平移1个单位长度,再把x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方,故关于直线x=1对称,故A正确;B:函数f(x)=ex-1+e1-x的图象是由y=ex+e-x图象沿x轴向右平移1个单位长度得到的,而函数y=ex+e-x是偶函数,关于y轴对称,其图象沿x轴向右平移1个单位长度后的图象刚好关于直线x=1对称,故B正确;C:令πx=kπ,k∈Z,则该函数的对称轴为直线x=k,k∈Z,故x=1符合题意,故C正确;D:f(-1)=-1,f(3)=3,显然f(-1)≠f(3),故此函数图象不是关于直线x=1对称的,故D错误.故选ABC. 考点二　函数的中心对称问题 【例2】　(1)若函数f(x)=的图象关于点(1,2)对称,则a=(D) A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2 解析　f(x)==a+关于(1,2)对称,则a=2.故选D. (2)(2025·南京模拟)已知函数y=f(x)满足f(-x)=f(2+x),其图象关于点(2,0)对称,f(2)=0,则f(18)= 0 .  解析　因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(-x)=-f(4+x),又f(-x)=f(2+x),所以f(x+2)+f(x+4)=0,所以f(x)-f(x+4)=0,即f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的一个周期为4,所以f(18)=f(2)=0. [规律方法]　对称中心的相关结论 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点成中心对称. 【训练2】　(1)若函数f(x)=的图象关于点(1,0)对称,则a=(C) A.0 B.-1 C.1 D.2 解析　因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(0)+f(2)=0,即+=0,解得a=1,所以f(x)=,经检验知f(x)的图象关于点(1,0)对称,故选C. (2)已知函数f(x)=,求证:函数y=f(x)关于点(-1,-1)中心对称. 证明　在函数y=f(x)的图象上任意取一点P(a,b),关于点(-1,-1)的对称点Q(-2-a,-2-b),由f(a)=b得b=,即a=(b≠-1),把x=-2-a代入得f(-2-a)====·=-b-2,所以对称点Q(-2-a,-2-b)在函数y=f(x)的图象上.即函数y=f(x)的图象关于点(-1,-1)中心对称. 考点三　函数的双对称问题 【例3】　(1)设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=1+x,则f(8.6)= 0.4 .  解析　由已知得f(x)的图象关于直线x=0和x=1对称,故f(x)的周期为2,所以f(8.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.4. (2)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f=,则f=(C) A.- B.- C. D. 解析　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)=f(x-2),则f=f=f=. [规律方法]　双对称问题 (1)若f(x)的图象关于直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|(a≠b). (2)若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称,则T=2|a-b|(a≠b). (3)若f(x)的图象关于直线x=a,点(b,0)对称,则T=4|a-b|(a≠b). 【训练3】　(2024·湖北黄冈一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)为偶函数.当0<x<2时,f(x)=log2(x+1),则f(101)= -1 .  解析　由题意可知f(x)=-f(-x),f(x+2)=f(-x+2),所以f(-x+2)=-f(x-2)=f(x+2)⇒f(x+4)=-f(x)⇒f(x+8)=f(x),所以f(x)的一个正周期为8,即f(101)=f(5)=f(-1)=-f(1)=-log2(1+1)=-1. 考点四　函数性质的综合应用 【例4】　(1)(多选题)(2025·沧衡联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=f(4-x),当0<x≤2时,f(x)=x2-2x,则(ACD) A.f(3)=-1 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)的图象关于点(4,0)中心对称 D.当4≤x≤6时,f(x)=-x2+10x-24 解析　因为f(x)=f(4-x),所以f(3)=f(1),因为f(x)=x2-2x(0<x≤2),所以f(3)=f(1)=-1,则A正确;因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(-1)=-f(1)=1.因为f(-1)≠f(3),所以f(x)的图象不关于直线x=1对称,则B错误;因为f(x)=f(4-x),所以f(-x)=f(4+x).因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(4-x),所以f(x)的图象关于点(4,0)中心对称,则C正确;因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以当0≤x≤2时,f(x)=x2-2x.设4≤x≤6,则0≤x-4≤2,所以 f(x-4)=(x-4)2-2(x-4)=x2-10x+24.因为 f(x)=f(4-x),所以f(x)=-f(x-4)=-x2+10x-24,则D正确. (2)若函数f(x)=a-为奇函数,则关于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集为 (-3,1) .  解析　由f(-x)=-f(x),得a=0,即f(x)=-= 当x≥0 时,f(x)=-1+在[0,+∞) 上单调递减,又f(x) 为奇函数,故f(x) 在R上是减函数.由f(x) 为奇函数,则不等式f(x2)+f(2x-3)>0 可化为f(x2)>f(3-2x),所以x2<3-2x,解得-3<x<1,故不等式的解集为(-3,1). [规律方法]　(1)若函数的图象关于点(a,b)对称,关于直线x=c对称,则函数的周期T=4|a-c|. (2)周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等,常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,或已知单调性的区间内求解. 【训练4】　(1)(2025·成都模拟)已知函数f(x)=ex-e2-x,若实数m,n满足f(m)+f(n)=0,则m+n=(B) A.1 B.2 C.e D.4 解析　函数f(x)=ex-e2-x,f(2-m)+f(m)=e2-m-em+(em-e2-m)=0,而f(m)+f(n)=0,因此f(2-m)=f(n),又函数y=ex,y=-e2-x在R上递增,则函数f(x)=ex-e2-x在R上递增,于是2-m=n,所以m+n=2.故选B. (2)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是  .  解析　由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)>f(2x-1)即为f(|x|)>f(|2x-1|).当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,则由f(|x|)>f(|2x-1|),得|x|>|2x-1|,化简得3x2-4x+1<0,解得<x<1. 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(D) A.f(x)=-x B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析　对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x)=,由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;对于f(x)==,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D. 2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则(A) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　令g(x)=-(x-1)2,则g(x)开口向下,对称轴为直线x=1,因为-1-=-,而(+)2-42=9+6-16=6-7>0,所以-1->0,即-1>1-,由二次函数性质知g<g,因为-1-=-,而(+)2-42=8+4-16=4-8=4(-2)<0,所以-1-<0,即-1<1-,所以g>g,综上,g<g<g,又y=ex为增函数,故a<c<b,即b>c>a.故选A. 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(B) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 解析　因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B. 4.(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=(A) A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析　解法一(赋值加性质):因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,令x=0可得,f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数,令y=1得,f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即有f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可知f(x+2)=-f(x-1),f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一个周期内的f(1)+f(2)+…+f(6)=0.由于22除以6余4,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 解法二(构造特殊函数):由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),联想到余弦函数和差化积公式cos (x+y)+cos (x-y)=2cos xcos y,可设f(x)=acos ωx,则由解法一中f(0)=2,f(1)=1知a=2,acos ω=1,解得cos ω=,取ω=,所以f(x)=2cos x,则f(x+y)+f(x-y)=2cos+2cos=4cos xcos y=f(x)f(y),所以f(x)=2cos x符合条件,因此f(x)的周期T==6,f(0)=2,f(1)=1,且f(2)=-1,f(3)=-2,f(4)=-1,f(5)=1,f(6)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,由于22除以6余4,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 5.(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a= 2 .  解析　因为f(x)=(x-1)2+ax+sin=(x-1)2+ax+cos x为偶函数,定义域为R,所以f=f,即-a+cos=+a+cos,则πa=-=2π,故a=2,此时f(x)=(x-1)2+2x+cos x=x2+1+cos x,所以f(-x)=(-x)2+1+cos(-x)=x2+1+cos x=f(x),又定义域为R,故f(x)为偶函数,所以a=2. 微突破二　抽象函数 　　抽象函数是高考命题的热点,常与数列、不等式等知识巧妙融合,考查学生对知识掌握的内涵及外延及抽象思维能力和逻辑推理能力. 　　　 　　　　　　　　　　　 目标一　抽象函数的赋值法 【例1】　(1)(多选题)已知f(x)是定义域为{x|x≠0}的非常数函数,若对定义域内的任意实数x,y均有f(x)f(y)=f(xy)+f,则下列结论正确的是(AC) A.f(1)=2 B.f(x)的值域为[2,+∞) C.f(x)=f D.f(x)是奇函数 解析　A:令y=1,则f(x)f(1)=2f(x),即f(x)(f(1)-2)=0.因为f(x)非常数函数,所以f(x)≠0,则f(1)=2,故A正确;B:令x=y=-1,则f(-1)f(-1)=f(1)+f(1)=4,所以f(-1)=±2,故B不正确;C.令x=1,则f(1)f(y)=f(y)+f,所以(f(1)-1)f(y)=f,即f(y)=f,所以f(x)=f,故C正确;D:令y=-1,则f(x)f(-1)=2f(-x),若f(-1)=2,则f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,若f(-1)=-2,则-f(x)=f(-x),所以f(x)是奇函数,故D不正确. (2)(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(ABC) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 解析　取x=y=0,则f(0)=0,故A正确;取x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,故B正确;取x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,取y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故C正确;不妨取f(x)=0,此时f(x)符合题设,但f(x)无极值,故D不正确.综上,选ABC. (3)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-2)= 2 .  解析　因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,所以令x=y=1,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6,再令x=2,y=-1,得f(2-1)=f(2)+f(-1)-4=2,所以f(-1)=0,所以f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2. [规律方法]　赋值法的运用技巧 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法,赋值规律一般是将-2,-1,0,1,2…等特殊值代入求解. 目标二　抽象函数的对称性 【例2】　(2024·河南三模)设函数f(x)的定义域为R,y=f(x-1)+1为奇函数,y=f(x-2)为偶函数,若f(2 024)=1,则f(-2)=(D) A.1 B.-1 C.0 D.-3 解析　因为y=f(x-1)+1为奇函数,所以f(-x-1)+1=-1-f(x-1),所以f(x)的图象关于点(-1,-1)中心对称,则f(-1)=-1.因为y=f(x-2)为偶函数,所以f(-x-2)=f(x-2),所以f(x)的图象关于直线x=-2轴对称.由f(-x-1)+1=-1-f(x-1),得f(-x-2)=-2-f(x),所以f(x-2)=-2-f(x),则f(x-4)=-2-f(x-2)=-2-f(-x-2)=f(x),则f(x)的周期为4,f(2 024)=f(0)=-2-f(-2)=1,则f(-2)=-3.故选D. [规律方法]　已知抽象函数的周期性、奇偶性求函数值,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所有函数的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解. 目标三　抽象函数的单调性 【例3】　(2025·德宏质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,它的图象是一条连续不断的曲线.若∀x∈(-∞,0],且x1≠x2,>0,则不等式a2f(a2)-(a-1)f(a-1)>0的解集为(A) A. 　　B.(-1,1) C. 　　D.(0,1) 解析　因为f(x)为奇函数,所以xf(x)是定义在R上的偶函数,由题意可知xf(x)在(-∞,0]上单调递增,则xf(x)在(0,+∞)上单调递减,设g(x)=xf(x),a2f(a2)-(a-1)f(a-1)>0⇔a2f(a2)>(a-1)f(a-1)⇔g(a2)>g(a-1),所以a2<|a-1|,即解得<a<. [规律方法]　抽象函数不等式解题思路 解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). 目标四　利用函数的模型求抽象函数的值 【例4】　(1)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,若f(1)=1,则f(25)=(C) A.25 B.125 C.625 D.15 625 解析　由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy可构造满足条件的函数f(x)=x2,可以快速得到f(25)=625.故选C. (2)(2025·贵州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),则下列结论正确的是(C) A.f(0)=0 B.f(x)的周期为4 C.f(2x-1)关于直线x=对称 D.f(x)在(0,+∞)单调递减 解析　由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,可得cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β,可设f(x)=cos αx,由f(1)=,即cos α=,则可取α=,即f(x)=cos进行验证.选项A: f(0)=1,故选项A不正确;选项B:由f(x)=cos,则其最小正周期为T==6,故选项B不正确;选项D:由于f(x)为周期函数,则在(0,+∞)不可能为单调函数. 故选项D不正确;选项C:f(2x-1)=cos,又f=cos 0=1,故此时直线x=为其一条对称轴.此时选项C正确,故选C. [规律方法]　常见的抽象函数模型 (1)正比例函数f(x)=kx(k≠0),对应f(x±y)=f(x)±f(y). (2)幂函数f(x)=xα,对应f(xy)=f(x)f(y)或f=. (3)指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),对应f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=. (4)对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),对应f(xy)=f(x)+f(y)或f =f(x)-f(y)或f(xn)=nf(x). 增|分|训|练 1.(2025·银川一模)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(2-x)=f(x),f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(30)=(A) A.2 B.0 C.60 D.62 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2-x)=f(x),所以f(-x)=f(x+2),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4;又f(0)=0,f(1)=2;所以f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=-f(2)=0;所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0;又30=2+7×4;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(30)=f(1)+f(2)=2.故选A. 2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,则(B) A.f(6)<f(-7)<f B.f(6)<f<f(-7) C.f(-7)<f<f(6) D.f<f(-7)<f(6) 解析　因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,所以f(6)=f(2)=-f(0)=f(0),f=f=-f=f,f(-7)=f(1),又当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,所以f(0)<f<f(1),即f(6)<f<f(-7). 3.f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则+++…+=(A) A.2 024 B.2 022 C.1 012 D.1 011 解析　由f(a+b)=f(a)·f(b),f(1)=2,令b=1可得f(a+1)=f(a)·f(1)=2f(a),所以+++…+=+++…+=2×1 012=2 024. 4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且满足f(2)=1,则下列说法正确的是(AB) A.f(x)为奇函数 B.f(-2)=-1 C.不等式f(2x)-f(x-3)>-2的解集为(-5,+∞) D.f(-2 023)+f(-2 022)+…+f(0)+…+f(2 022)+f(2 023)=2 023 解析　对于A中,令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0,令y=-x,得到f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;对于B中,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-1,故B正确;对于C中,设x1>x2,x=x1,y=x2,可得f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2),所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),又因为x1>x2,所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递增,因为f(-2)=-1,所以f(-4)=f(-2-2)=2f(-2)=-2,由f(2x)-f(x-3)>-2,可得f(2x)>f(x-3)+f(-4),所以f(2x)>f(x-3-4)=f(x-7),所以2x>x-7,得到x>-7,所以f(2x)-f(x-3)>-2的解集为(-7,+∞),所以C错误;对于D中,因为f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,所以f(-2 023)+f(2 023)=f(-2 022)+f(2 022)=…=f(-1)+f(1)=0,又f(0)=0,故f(-2 023)+f(-2 022)+…+f(0)+…+f(2 022)+f(2 023)=0,所以D错误.故选AB. 5.(2024·四川三模)已知函数f(x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(1+x)=f(3-x),则不等式f(2x-3)>f(5)的解集是 (1,4) .  解析　因为f(1+x)=f(3-x),所以f(x)的对称轴为直线x=2,f(x)在[2,+∞)单调递减,则f(x)在(-∞,2)单调递增,又因为f(2x-3)>f(5),由对称性可得|2x-3-2|<|5-2|,所以|2x-5|<3,所以-3<2x-5<3,解得1<x<4. 第三节　幂函数、指数与对数的运算 课标要求 三年考情 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解有理数指数幂的含义,掌握指数幂的运算性质. 3.理解对数及有理数指数幂的概念和运算性质,掌握指数幂的运算性质. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T10 全国Ⅱ卷   重点提示:幂函数,指数、对数的运算,换底公式 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象. (3)幂函数y=xα的性质. ①幂函数在(0,+∞)上都有定义. ②当α>0时,幂函数的图象都过点(0,0)和(1,1),且在(0,+∞)上单调递增. ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 微提醒　　幂函数的特征:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为1;③只有一项. 2.根式的概念及性质 (1)概念:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0,记作=0. ③()n=a(n∈N*,且n>1). ④=a(n为大于1的奇数). ⑤=|a|=(n为大于1的偶数). 3.分数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,n>1);正数的负分数指数幂的意义是==(a>0,m,n∈N*,n>1);0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 4.指数幂的运算性质 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr.其中a>0,b>0,r,s∈R. 5.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N.以e为底的对数叫做自然对数,并把logeN记为ln N.负数和0没有对数,loga1=0,logaa=1. 6.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质. ①=N;②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算性质. 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R). (3)对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 【常用结论】 1.幂函数y=xα的图象在第一象限内的变化规律 (1)直线x=1的右侧,图象由上至下,指数α由大到小. (2)y轴和直线x=1之间,图象由上至下,指数α由小到大. 2.对数的运算 (1)logab·logba=1. (2)logab·logbc=logac. (3)lobn=logab(n≠0). (4)lobn=logab(m≠0). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上单调递增.(√) (2)=-4.(×) 解析　由于==4,故错误. (3)若幂函数y=xα是偶函数,则α为偶数.(×) (4)若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(×) 2.(人A必一P127T5改编)设lg 2=a,lg 3=b,则log1210=(A) A. B. C.2a+b D.2b+a 解析　log1210===. 3.(人A必一P91练习T1改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(4)的值为  .  解析　因为幂函数f(x)=xα 的图象经过点,所以f(2)=2α=,解得α=-,所以f(x)=,故f(4)=. 4.(苏教必一P86T8改编)已知+=3,则a+a-1= 7 ;a2+a-2= 47 .  解析　由+=3,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7,则a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　幂函数的图象 【例1】　(1)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(D) A.-1<m<0<n<1 B. -1<n<0<m< C.-1<m<0<n< D. -1<n<0<m<1 解析　幂函数y=xα ,当α>0 时,y=xα 在(0,+∞) 上单调递增,且0<α<1 时,图象上凸,所以0<m<1;当α<0 时,y=xα 在(0,+∞) 上单调递减.不妨令x=2,由图象得2-1<2n,则-1<n<0.综上可知,-1<n<0<m<1.故选D. (2)幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则实数m的值为 1 .  解析　由图象可知,该幂函数在(0,+∞)单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3,m∈Z,故m可取0,1,2,又因为该函数为偶函数,所以m2-2m-3为偶数,故m=1. [规律方法]　对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 【训练1】　已知幂函数y=x-1,直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”(如图所示),那么,幂函数y=的图象在第一象限中经过的“卦限”是(B) A.Ⅵ,Ⅶ B.Ⅳ,Ⅷ C.Ⅲ,Ⅷ D.Ⅲ,Ⅶ 解析　显然,题图中图象下降的曲线表示的函数为y=x-1,因为-<0,所以函数y=在(0,+∞)上单调递减.当x=时,1<=<2=,则y=的图象在直线y=1的上方,在y=x-1的图象的下方,即y=的图象过Ⅳ;当x=2时,2-1<<20=1, 则y=的图象在直线y=1的下方,在y=x-1的图象的上方,即y=的图象过Ⅷ. 考点二　幂函数的性质 【例2】　(1)(2025·石家庄调研)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(B) A.a<b<c B.c<a<b C.a>b>c D.b<c<a 解析　由a=,b=,c=,得a=,b=,c=.因为幂函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,且<<,所以<<,即c<a<b.故选B. (2)已知函数y=a(x-4)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,且P在幂函数f(x)的图象上,则f(x)=  .  解析　当x=4时,y的值与a无关,且y=2,故P(4,2),设f(x)=xm,将P(4,2)代入f(x),解得m=,故f(x)=. [规律方法]　比较幂函数大小的方法 (1)直接法:当幂的指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较. (2)转化法:当幂的指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小. 【训练2】　(1)(2025·四川模拟)已知a=40.3,b=30.4,c=ln 2,则(A) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 解析　因为a10=43=64,b10=34=81,所以b>a>1.又c=ln 2<1,所以c<a<b.故选A. (2)已知幂函数f(x)=xα的图象过点,若f(2m+1)<f(3),则m的取值范围是 (-∞,-2)∪(1,+∞) .  解析　由幂函数f(x)=xα的图象过点,得2α=,解得α=-2,则f(x)=x-2=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(-x)==f(x)可得f(x)为偶函数,由幂函数的单调性可知,函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减.于是f(2m+1)<f(3)等价于|2m+1|>3,解得m<-2或m>1.所以m的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞). 考点三　指数幂的运算 【例3】　(1)化简:①÷(a>0); ②(0.064-++81-0.25; ③(a>0,b>0). 解　①÷=÷=÷=1. ②(0.064-++81-0.25=-1++34×(-0.25)=-1++=. ③原式=-9=-9a. (2)已知3a+2b=1,则=  .  解析　因为3a+2b=1,所以a+b=,所以原式=====. [规律方法]　指数幂的运算技巧 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【训练3】　(1)(多选题)下列运算(化简)中正确的有(ABD) A.()-1·(a-2= B.(y)a·(4y-a)=4x C.[(1-)2-(1+)-1+(1+)0=3-2 D.2a3·(-5)÷(4)=- 解析　对于A,()-1·(a-2==,故正确;对于B,(y)a·(4y-a)=4·ya-a=4xy0=4x,故正确;对于C,[(1-)2-(1+)-1+(1+)0=(-1-+1=-1-(-1)+1=1,故错误;对于D,2a3·(-5)÷(4)=[2×(-5)÷4]=-,故正确.故选ABD. (2)若+=3(x>0),则=  .  解析　由+=3,两边平方,得x+x-1=7,两边再平方,得x2+x-2=47,所以x2+x-2-2=45.又+=()3+()3=(+)(x-1+x-1)=3×(7-1)=18,所以=. 考点三　对数的运算 【例4】　(1)计算lg 5++log23·log94+lg 2= 4 .  解析　lg 5++log23·log94+lg 2=(lg 5+lg 2)++log23·log94=lg 10+2+log23·22 =lg 10+2+log23·log32 =1+2+log23·=4. (2)计算:= 1 .  解析　原式= = ====1. (3)(2025·天津模拟)已知2a=15,log83=b,则2a-3b=(B) A.25 B.5 C. D. 解析　由题意可得2a=15⇒a=log215,b=log83=lo3=log23,所以a-3b=log215-3×log23=log215-log23=log2=log25,所以2a-3b==5. (4)(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a= 64 .  解析　解法一:-=-log2a=-,整理得(log2a+1)(log2a-6)=0,解得a=或a=64,因为a>1,所以a=64. 解法二:根据题意有-=-,即3loga2-=-,设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,得t=(t=-1舍去),所以loga2=,所以=2,所以a=64. [规律方法]　对数的运算技巧 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 【训练4】　(1)计算:--lg 3log34log45= - .  解析　--lg 3×log34×log45=--lg 3××=1-lg 2--lg 5=-. (2)(2022·天津高考)化简(2log43+log83)·(log32+log92)=(C) A.1 B. C.2 D. 解析　原式==log23×log32=2,故选C. (3)已知实数m,n满足2m=9n=18,则+= 1 .  解析　2m=9n=18,所以m=log218,n=log918,所以+=log182+log189=log1818=1. 第四节　指数函数 课标要求 三年考情 1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 2.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷   重点提示:指数函数的图象、性质 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 【常用结论】 1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),. 2.y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 3.如图所示,则c>d>1>a>b>0,即在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)指数函数y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.(√) (2)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(×) (3)函数y=3·2x与y=3x+1都不是指数函数.(√) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(×) 2.(人B必二P13练习A T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点(D) A. B. C.(1,2) D. 解析　由题意设f(x)=ax,则f(-1)=a-1=2,所以a=,f(x)=,故f(3)=. 3.(人A必一P119T6改编)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(C) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析　因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.故选C. 4.(人A必一P119T3改编)已知2x-1<23-x,则x的取值范围是 (-∞,2) .  解析　由指数函数的性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2). 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　指数函数的图象及应用 【例1】　 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致是(C) A B C D 解析　 易知f(x)=(x-a)(x-b)的函数图象与x轴的交点的横坐标为(x-a)(x-b)=0的两个根,由(x-a)(x-b)=0可得两根为a,b,观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区间(-1,0)与(1,+∞)上,又因为a>b,所以a>1,-1<b<0,由g(x)=ax+b可知,当a>1时,y=ax为增函数,又由-1<b<0得g(x)的图象与y轴的交点在x轴上方,分析选项可得C符合这两点. (2)若2 024a=2 025b>1,则(A) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 解析　在同一坐标系内作出y=2 024x及y=2 025x的大致图象,如图所示,因为2 024a=2 025b>1,所以0<b<a.故选A. [规律方法]　指数型函数图象问题的解题策略 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 【训练】　(1)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有(A) A.0<a<1且b<0 B. a>1且b>0 C. 0<a<1且b>0 D. a>1且b<0 解析　 如图所示,从图象上可以看出y=ax+b-1 是减函数,则0<a<1,图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,即a0+b-1<0,可得b<0,所以0<a<1 且b<0. (2)设a∈R,若函数f(x)=(a-1)x为指数函数,且f(2)>f(3),则a的取值范围是(A) A.(1,2) B.(2,3) C.(-∞,2) D.(-∞,1)∪(1,2) 解析　由函数f(x)=(a-1)x为指数函数,故a>1且a≠2,当a>2时,函数f(x)=(a-1)x单调递增,有f(2)<f(3),不符合题意,故舍去;当1<a<2时,函数f(x)=(a-1)x单调递减,有f(2)>f(3),符合题意,故正确.故选A. 考点二　指数函数的性质及应用 角度1　比较大小 【例2】　(1)(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(B) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析　因为y=4.2x在R上递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,所以0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b,因为y=log4.2x在(0,+∞)上递增,且0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以b>a>c,故选B. (2)已知<<,则(A) A.aa>ab>bb B.aa>bb>ab C.bb>aa>ab D.ab>bb>aa 解析　因为函数y=在R上单调递减,<<,所以a>b>1.因为函数y=ax(a>1)在R上为增函数,所以aa>ab.又y=xb(b>1)在(0,+∞)上单调递增,所以ab>bb,综上,aa>ab>bb. [规律方法]　比较幂大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断. 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例3】　(1)若函数y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围为 (-∞,0]∪[1,2] .  解析　令t=2x,则t>0,y=4x-3·2x+3=t2-3t+3,因为函数y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],所以1≤t2-3t+3≤7,又t>0,所以0<t≤1或2≤t≤4,即0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2. (2)(2025·深圳一模)已知f(x)=2-x-2x-x,则f(x2-3)+f(2x)<0的解集为 (-∞,-3)∪(1,+∞) .  解析　函数f(x)=2-x-2x-x的定义域为R,f(-x)=2x-2-x+x=-f(x),则f(x)是R上的奇函数,函数y=2-x,y=-2x,y=-x在R上都单调递减,则函数f(x)在R上单调递减,不等式f(x2-3)+f(2x)<0⇔f(x2-3)<-f(2x)=f(-2x),因此x2-3>-2x,即x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞). [规律方法]　简单的指数方程或不等式求解的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数的单调性转化为方程或一般不等式求解. 角度3　求参数的取值范围 【例4】　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(D) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析　函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=-在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞).故选D. (2)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则实数a的取值范围是(B) A. B. C. D. 解析　由题意,对任意x1≠x2都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则函数f(x)在R上单调递减,所以解得<a≤,即实数a的取值范围是.故选B. [规律方法]　指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应在有关性质的基础上结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化. 【对点练】 1.(角度1)已知a=,b=,c=,则(C) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 解析　由题意知,a=,c=,b=,因为y=在R上单调递增,所以c>a,因为y=在(0,+∞)上单调递增,所以b>c.综上,b>c>a. 2.(角度2)若ea+πb≥e-b+π-a,则下列结论一定成立的是(D) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 解析　因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,令f(x)=ex-π-x,易知f(x)是R上的增函数,上式可化为f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故选D. 3.(角度3)设函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,则a的取值范围是(D) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 解析　函数y=3x在R上单调递增,而函数f(x)=3|a-2x|在区间(1,2)上单调递减,所以y=|2x-a|在区间(1,2)上单调递减,所以≥2,解得a≥4.故选D. 4.(角度3)函数y=在区间[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围为 (-∞,2] .  解析　因为函数y=在区间[1,+∞)上单调递增,所以y=x2-ax+1在[1,+∞)上单调递增,则≤1,即a≤2. 第五节　对数函数 课标要求 三年考情 1.通过具体实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.了解对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T10 全国Ⅱ卷 T8   重点提示:对数函数的图象、性质 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). 微提醒　　对数函数y=logax的3个特征:①底数a>0,且a≠1;②自变量x>0;③系数为1. 2.对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 图象过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称. 【常用结论】 1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),. 2.如图所示,则b>a>1>d>c>0.即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数值的符号法则:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0,其中a>0,a≠1,b>0.即底真同,大于零;底真异,小于零. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y=loga2x(a>0,且a≠1)是对数函数.(×) (2)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(√) (3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(×) (4)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)是增函数.(×) 2.(人A必一P131T1(1)改编)函数f(x)=的定义域是(D) A.(1,+∞) B. (2,+∞) C. [1,+∞) D. [2,+∞) 解析　要使函数f(x)= 有意义,只需 即 解得x≥2,所以函数f(x) 的定义域为[2,+∞). 3. (人A必一P132“探究结论”的应用)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是 ,,, .  解析　当a>1时,对数函数y=logax的图象是上升的;当0<a<1时,对数函数y=logax的图象是下降 的.对数的底数越大,对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向,故曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是,,,. 4.已知函数y=loga(x-1)+4的图象恒过定点P,则点P的坐标是 (2,4) .  解析　对于函数y=loga(x-1)+4,令x-1=1,解得x=2,则y=4,所以函数y=loga(x-1)+4的图象恒过定点(2,4),即点P的坐标是(2,4). 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　对数函数的图象及应用 【例1】　 (1)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图所示,则下列结论正确的是(D) A.a>0,b<-1 B. a>0,-1<b<0 C.0<a<1,b<-1 D. 0<a<1,-1<b<0 解析　因为函数f(x)=loga(x-b) 为减函数,所以0<a<1,又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴,所以1+b>0,即b>-1,又因为函数图象与y 轴有交点,所以b<0,所以-1<b<0.故选D. (2)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 025x+lox,则在R上方程f(x)=0的实根个数为(B) A.1 B.3 C.2 D.2 025 解析　 当x>0时,令f(x)=0,即2 025x=-log2 025x,在同一坐标系中作出函数y1=2 025x,y2=-log2 025x的示意图,如图,函数y1=2 025x为增函数,y2=-log2 025x为减函数,可知两个函数图象有且只有一个交点P,横坐标记为x0,即当x>0时方程f(x)=0有且只有一个实根x0.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根-x0.又因为f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,所以0也是方程f(x)=0的根.综上所述,方程f(x)=0有3个实根,故选B. [规律方法]　对数函数图象的应用技巧 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【训练】　(2025·广州调研)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是(A) ABCD 解析　若0<a<1,则函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,又函数y=(a-1)x2-x的图象开口向下,对称轴为直线x=<0,则对称轴在y轴左侧,故C,D错误;若a>1,则函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,又函数y=(a-1)x2-x的图象开口向上,且对称轴为直线x=>0,则对称轴在y轴右侧,故B错误,A正确. 考点二　对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 　 教考衔接④ 教材题 [题源](人A必一P141T13)比较下列各题中三个值的大小: (1)log0.26,log0.36,log0.46; (2)log23,log34,log45. 解　(1)log0.26=,log0.36=,log0.46=.因为log60.2<log60.3<log60.4<0,所以 教材题 >>,所以log0.26>log0.36>log0.46. (2)由log23-log34=-=>>=0,即有log23-log34>0,即log23>log34,同理可得log34>log45,则log23>log34>log45. 高考题 (2021·新课标Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(C) A.c<b<a　　　　　B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 解析　a=log52<log5==log82<log83=b,即a<c<b.故选C. [规律方法]　比较对数式的大小的常用方法 (1)将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较. (2)利用中间值0或1等进行比较. (3)将对数式转化为指数式,或将指数式转化为对数式,通过互相转化进行比较. 角度2　解不等式 【例2】　(1)已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,则实数x的取值范围是  .  解析　由题意知①或②解不等式组①得<x<,不等式组②无解,所以实数x的取值范围是. (2)(2025·安徽江淮十校联考)已知实数a>0,且满足53a+2>54a+1,则不等式loga(3x+2)<loga(8-5x)的解集为  .  解析　由实数a>0,且满足53a+2>54a+1,根据指数函数的单调性,可得3a+2>4a+1,解得0<a<1,所以函数y=logax为单调递减函数,由不等式loga(3x+2)<loga(8-5x),可得解得<x<,即不等式的解集为. [规律方法]　解对数的方程、不等式时需注意方面 (1)注意方程或不等式要有意义,即真数大于0. (2)根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性,进而解不等式. 角度3　对数复合型函数的单调性 【例3】　(1)(2025·陕西模拟)设函数f(x)=log0.5(ax-x2)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(D) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析　设t=ax-x2,则其对称轴为直线x=,抛物线开口向下,因为y=log0.5t是减函数,所以要使f(x)在区间(0,1)单调递减,则t=ax-x2在区间(0,1)单调递增且恒大于0成立,即≥1,即a≥2,故实数a的取值范围是[2,+∞).故选D. (2)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). ①若f(1)=1,求f(x)的单调区间; ②若f(x)的最小值为0,求实数a的值. 解　①因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=-1,所以f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0 ,得-1<x<3,即函数f(x) 的定义域为(-1,3).令g(x)=-x2+2x+3,则g(x) 在(-1,1] 上单调递增,在[1,3) 上单调递减.又y=log4x 在(0,+∞) 上单调递增,所以f(x) 的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3). ②若f(x) 的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3 应有最小值1,因此应有 解得a=. 故实数a 的值为. [规律方法]　利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 【对点练】 1.(角度1)已知a=log42,b=,c=,则(D) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　因为a=log42=,b=<=,c=>π0=1,所以c>a>b.故选D. 2.(角度2)已知集合A={x|log2x<m},B=,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是 (-∞,2] .  解析　由log2x<m⇒0<x<2m,所以A=(0,2m);由≤1⇒-1≤0⇒≤0⇒≤0⇒x<4,所以B=(-∞,4).因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B,所以2m≤4⇒m≤2. 3.(角度3)已知函数f(x)=loga(2-a2x)在区间[3,7]上单调递增,则a的取值范围为  .  解析　令u(x)=2-a2x(a>0),则u(x)=2-a2x(a>0)在[3,7]上单调递减,所以由复合函数的单调性可知y=logau在[3,7]上单调递减,则解得0<a<,即a的取值范围为. 第六节　函数的图象 课标要求 三年考情 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T12 全国Ⅱ卷   重点提示:函数图象的画法、函数图象的应用 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.利用描点法作函数图象的方法步骤 (1)确定函数的定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等); (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y=f(x)的图象y=-f(x)的图象; y=f(x)的图象y=f(-x)的图象; y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象. (3)伸缩变换 y=f(x)y=f(ax). y=f(x)y=Af(x). (4)翻折变换 y=f(x)的图象 y=|f(x)|的图象; y=f(x)的图象 y=f(|x|)的图象. 【常用结论】 1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,必需把系数提出来,再进行变换.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行. 2.f(x)图象平移到f(x+b)与f(x)图象平移到f(ax+b)平移的单位不同,注意加以区别. 3.函数图象自身的对称关系 若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.若函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x). 4.两个函数图象之间的对称关系 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(×) (2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.(×) 解析　y=f(1-x)=f[-(x-1)],所以可由y=f(-x)向右平移1个单位长度得到. (3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.(×) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(√) 2.(北师大必一P56例3改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(C) ①　② A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 解析　题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧,y轴左侧图象不变得来的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|). 3.把函数f(x)=ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是 y=ln .  解析　根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln. 4.(人A必一P82“探究结论”的应用)函数f(x)=的图象关于　　　　对称(A)  A.y轴 B.x轴 C.原点 D.直线y=x 解析　函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.故选A. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　作函数的图象 【例1】　作出下列函数的图象. (1)y=2x+1-1; (2)y=x2-2|x|-1; (3)y=|log2x-1|; (4)y=. 解　(1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图①. (2)因为y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图②. ①　　② (3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图③. (4)原函数解析式可化为y=2+,故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图④所示. ③　　④ [规律方法]　函数图象的画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点,直接作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【训练】　分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg(x-1)|; (2)y=sin |x|. 解　(1)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图①中实线部分. (2)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如图②. ①　② 考点二　函数图象的识别 角度1　图象变换法 【例2】　(2025·重庆调研)已知函数f(x)的图象如图①所示,则图②所表示的函数是(C) ①　　　②　 A.1-f(x) B.-f(2-x) C.f(-x)-1 D.1-f(-x) 解析　先将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数y=f(-x)的图象,再向下平移1个单位长度,可得y=f(-x)-1的图象,所以题图②所表示的函数为y=f(-x)-1.故选C. [规律方法]　通过图象变换识别函数图象要掌握两点 (1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象). (2)了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等. 角度2　性质检验法 【例3】　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(B) A　　B C　　D 解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),又函数定义域为[-2.8,2.8],故该函数为偶函数,可排除A、C;又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0,故可排除D.故选B. (2)(2023·天津高考)已知函数y=f(x)的部分图象如图,则f(x)的解析式可能为(D) A.f(x)= 　B.f(x)= C.f(x)= 　D.f(x)= 解析　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.对于A,f(x)=,定义域为R,f(-x)==-f(x),所以函数f(x)=是奇函数,所以排除A;对于B,f(x)=,定义域为R,f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)=是奇函数,所以排除B;对于C,f(x)=,定义域为R,f(-x)==f(x),所以函数f(x)=是偶函数,又x2+2>0,ex+e-x>0,所以f(x)>0恒成立,不符合题意,所以排除C;分析知,选项D符合题意,故选D. [规律方法]　识别函数的图象的常见方法 (1)利用函数的值域和定义域判断. (2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断. (3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点)或者极限思想等判断. 【对点练】 1.(角度1)函数f(x)=的大致图象为(C) A　　B C　　D 解析　由题意知,函数f(x)的定义域为,因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;因为f(1)=>0,所以排除B;当x→+∞时,f(x)→+∞,排除D.故选C. 2.(角度1)已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图象是(D) A　　　B C　　　D 解析　解法一:先画出函数f(x)=的草图,令函数f(x)的图象关于y轴对称,得到函数f(-x)的图象,再把所得的函数f(-x)的图象向右平移1个单位长度,得到函数y=f(1-x)的图象.故选D. 解法二:由已知函数f(x)的解析式,得y=f(1-x)=故该函数的图象过点(0,3),排除A;该函数的图象过点(1,1),排除B;该函数在(-∞,0)上单调递增,排除C.故选D. 3.(角度2)(2022·全国甲卷)函数f(x)=(3x-3-x)cos x在区间的图象大致为(A) A　　B C　　D 解析　解法一(特值法):令y=f(x),取x=1,则y=cos 1=cos 1>0;取x=-1,则y=cos(-1)=-cos 1<0.结合选项知选A. 解法二(排除法):令y=f(x),因为x∈,且f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以函数y=(3x-3-x)cos x是奇函数,排除B、D;取x=1,则y=cos 1=cos 1>0,排除C.故选A. 考点三　函数图象的应用 角度1　研究函数的性质 【例4】　(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(AB) A.函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称 B.函数f(x)在(-∞,1)上单调递减 C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴 D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 解析　因为f(x)===+2,所以该函数图象可以由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称,在(-∞,1)上单调递减,A,B正确,D错误;易知函数f(x)的图象是由y=的图象平移得到的,所以不存在两点A,B使得直线AB∥x轴,C错误. [规律方法]　由图象研究函数性质的注意点 (1)观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域. (2)函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性. (3)根据图象上升与下降的情况,确定单调性. 角度2　求参数取值范围 【例5】　已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 (8,20) .  解析　不妨设a<b<c,画出函数f(x)的图象.因为f(a)=f(b)=f(c),所以-log2a=log2b=-c+5,所以解得所以8<abc<20. [规律方法]　求参数取值范围的技巧 当参数的不等关系不易找出时,可将不等式、函数或方程等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象确定参数的取值范围. 【对点练】 1.(角度1)把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,+∞)上单调递增,则a的最大值为(B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度,得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象,则函数g(x)在(a-2,+∞)上单调递增,又因为所得函数在(0,+∞)上单调递增,所以a-2≤0,即a≤2.所以a的最大值为2. 2.(角度1)(多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=,则下列结论正确的是(ABD) A.2是函数f(x)的周期 B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增 C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0 D.当x∈(3,4)时,f(x)= 解析　由已知条件得f(x+2)=f(x),则f(x)是以2为周期的周期函数,A正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C错误;当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=,D正确.故选ABD. 3.(角度2)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是  .  解析　先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时,斜率为1,当直线g(x)=kx过点A时,斜率为,故当f(x)=g(x)有两个不相等的实数根时,实数k的取值范围为. 第七节　函数的应用 第1课时　函数的零点与方程的解 课标要求 三年考情 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.理解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T15 T7 全国Ⅱ卷 T6、T9、T11   重点提示:函数零点的判断方法、零点的应用 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.函数的零点 (1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)方程的实数解、函数的图象与x轴的公共点的横坐标、函数的零点三者之间的联系: 微提醒　　函数的零点不是函数y=f(x)图象与x轴的交点,而是y=f(x)图象与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 微提醒　　函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点. 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【常用结论】 1.若函数f(x)在定义域上是单调函数,且图象是连续不断的,则f(x)至多有一个零点. 2.函数f(x)的图象是连续不断的,其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. 3.函数f(x)的图象是连续不断的,当图象通过零点时,函数值不一定变号. 4.函数f(x)在闭区间[a,b]上有零点,且图象是连续不断的,则不一定能推出f(a)f(b)<0. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(×) (2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(×) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(√) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(×) 2.(人A必一P144T2改编)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(B) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析　函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)=0在(0,+∞)上最多只有一个根,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,故f(x)的零点所在的区间为(1,2). 3.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(A) A　　　B C　　　D 解析　由图象可知,B,D选项中函数无零点,A,C选项中函数有零点,C选项中函数零点两侧函数值符号相同,A选项中函数零点两侧函数值符号相反,故A选项中函数零点可以用二分法求近似值,C选项不能用二分法求零点.故选A. 4.(人B必一P126T3改编)函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为 - .  解析　由题意,知f(1)=+a=0,解得a=-. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　函数零点所在区间的判定 【例1】　(1)(2025·昆明诊断)函数f(x)=x+1-lox的零点所在的区间为(C) A. B. C. D. 解析　由题易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f=+1-lo=-<0,f=+1-lo=-lo=log2-log23=log2<0,f=+1-lo=>0,所以函数f(x)=x+1-lox的零点所在的区间为,故选C. (2)已知函数f(x)=ln(x+1)+x2-6,则下列区间中含f(x)零点的是(C) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析　由题意知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=ln 1-6=-6<0,f(1)=ln 2+1-6<ln 3+4-6=f(2)=ln 3-2=ln<0,f(3)=ln 4+9-6=ln 4+3>0,f(4)=ln 5+16-6=ln 5+10>0.由函数零点存在定理可知f(x)在区间(2,3)内一定有零点.故选C. [规律方法]　判断函数零点所在区间的方法 (1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程. (2)函数零点存在定理. (3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 【训练1】　(1)(2025·长沙调研)函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零点所在的区间是(C) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析　因为函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)在上单调递减,且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以函数f(x)最多只有一个零点.因为f(0)=5-lg 1=5>0,f(1)=3-lg 3>0,f(2)=1-lg 5>0,f(3)=-1-lg 7<0,所以函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零点所在的区间是(2,3).故选C. (2)已知函数f(x)=81ln x--80的零点位于区间(k,k+1)内,则整数k=(B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为函数y=81ln x与y=--80在(0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(2)=81ln 2-83<0,且f(3)=81ln 3-81>0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故k=2.故选B. 考点二　函数的零点及个数的判断 【例2】　(1)函数f(x)=的零点个数为(D) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　当x≤0时,x2-1=0,解得x=-1;当x>0时,f(x)=x-2+ln x在(0,+∞)上单调递增,并且f(1)=1-2+ln 1=-1<0,f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0,即f(1)f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2. (2)设a,b,c分别为函数f(x)=x-1,g(x)=xlg x-1,h(x)=xex-1的零点,则a,b,c的大小关系为(D) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 解析　解法一:(单调性法)令f(x)=x-1=0,解得x=1,即a=1.因为b是函数g(x)=xlg x-1=x的零点,所以b是函数g1(x)=lg x-的零点.因为函数g1(x)=lg x-在(0,+∞)上单调递增,g1(1)=-1<0,g1(10)=1-=>0,所以1<b<10.显然h(x)在(-∞,0]上没有零点,当x>0时,c是函数h(x)=xex-1=x的零点,得c是函数h1(x)=ex-(x>0)的零点.因为h1(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,h1=-2<0,h1(1)=e-1>0,所以<c<1.综上,b>a>c,故选D. 解法二:(数形结合法)显然f(x)的零点不为0,当x>0时,令f(x)=x-1=0,得=,因为函数f(x)=x-1的零点为a,所以a是函数y=(x>0)的图象与y=(x>0)的图象交点的横坐标,同理可得b是函数y=lg x的图象与y=(x>0)的图象交点的横坐标.显然h(x)在(-∞,0]上没有零点,当x>0时,令h(x)=0,得ex=,所以c是函数y=ex(x>0)的图象与y=(x>0)的图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=,y=lg x,y=ex和y=在(0,+∞)上的大致图象,如图所示,由图可知,b>a>c,故选D. [规律方法]　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点. (2)函数零点存在定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 【训练2】　(2025·广东模拟)函数f(x)=xsin x-x-1在区间(0,+∞)上的零点个数为(D) A.1 B.4 C.2 D.0 解析　当x∈(0,+∞)时,由f(x)=0,得xsin x-x-1=0,即sin x=1+,当x∈(0,+∞)时,sin x≤1恒成立,而1+>1恒成立,因此sin x=1+不成立,所以函数f(x)=xsin x-x-1在区间(0,+∞)上的零点个数为0.故选D. 考点三　函数零点的应用 【例3】　(1)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,则实数m的取值范围是(B) A.(-∞,-5) B.(-5,-1) C.(1,5) D.(5,+∞) 解析　由y1=log2x在(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在(0,+∞)上单调递增,得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)存在零点,所以即解得-5<m<-1,所以实数m的取值范围是(-5,-1). (2)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(D) A.-1 B. C.1 D.2 解析　解法一:令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x,令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,原题意等价于当x∈(-1,1)时,曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,注意到F(x),G(x)均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cos x=0.因为x∈(-1,1),则2x2≥0,1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,可得2x2+1-cos x≥0,当且仅当x=0时,等号成立,则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,所以a=2符合题意.综上所述,a=2. 解法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点,因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),则h(x)为偶函数,根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,即h(0)=a-2=0,解得a=2,若a=2,则h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1),又因为2x2≥0,1-cos x≥0当且仅当x=0时,等号成立,可得h(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,即h(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意.故选D. [规律方法]　根据函数零点的情况求参数的两种常用方法. (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 【训练3】　(1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(A) A.(0,3) B.(1,3) C.(1,2) D.[2,+∞) 解析　由f(x)=0得a=2x-,x∈(1,2),又y=2x-在(1,2)内是增函数,所以0<a<3.故选A. (2)已知函数f(x)=若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则实数m的取值范围是 (-∞,-2)∪(0,2) .  解析　结合f(x)的图象,分情况讨论,当m>0时,要使f(x)=b有三个不同的根,则⇒0<m<2;当m<0时,要使f(x)=b有三个不同的根,则⇒m<-2;当m=0时,两个分段点重合,不可能有三个不同的根,故舍去.所以m的取值范围是(-∞,-2)∪(0,2). 第2课时　函数模型及应用 课标要求 三年考情 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T10 全国Ⅱ卷   重点提示:指数函数模型、对数函数模型 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 　　　函数 性质　　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函 数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 与幂函数 相关的模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0) 【常用结论】 “直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)A公司员工甲购买了某公司的股票,第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不赔.(×) (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(×) (3)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.(×) (4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(√) 2.(苏教必一P150T2改编)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量,则k=(C) A.ln 2 B.ln 3 C. D. 解析　由题意可得,当t=0时,S=a=7,因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e-5k,解得k=. 3.(人A必一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(D) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 解析　当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获利40+80=120(万元). 4.(人B必二P40例2改编)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是(B) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析　在同一平面直角坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　利用函数图象刻画变化过程 【例1】　已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是(D) A　　B C　　D 解析　依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4<x≤8时,f(x)=8;当8<x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合要求. [规律方法]　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【训练1】　 如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿A⁃B⁃C⁃M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是(A) A　　B C　　D 解析　当点P在AB上时,y=×x×1=x,0≤x≤1;当点P在BC上时,y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM=-x+,1<x≤2;当点P在CM上时,y=××1=-x+,2<x≤.综上,y=f(x)=函数图象大致如A选项所示. 考点二　构建函数模型解决实际问题 角度1　构建分段函数、二次函数模型 【例2】　小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x(万元);在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38(万元).每件商品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2) 年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 解　(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品的销售收入为5x万元,依题意得,当0<x<8时,L(x)=5x--3=-x2+4x-3;当x≥8时,L(x)=5x--3=35-.所以L(x)= (2)当0<x<8 时,L(x)=-(x-6)2+9.即当x=6 时,L(x)取得最大值,最大值为9万元;当x≥8 时,L(x)=35-≤35-2=35-20=15,当且仅当x=,即x=10 时,等号成立,即当x=10 时,L(x)取得最大值,最大值为15万元.因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元. [规律方法]　(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏. 角度2　构建指、对函数模型 【例3】　(1)(2025·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位,“阿托秒”等于10-18秒,原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子·天下》中提到,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,如果把“一尺之棰”的长度看成1米,按照此法,至少需要经过 31 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.(参考数据:光速为3×108米/秒,lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)  解析　依题意,光在2“阿托秒”内走的距离为2×10-18×3×108=6×10-10米,经过n天后,剩余的长度f(n)=米,由f(n)<6×10-10,得<6×10-10,两边同时取对数,得n>(6×10-10)===≈≈30.73,而n∈N*,则n=31,所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离. (2)科技创新成为全球经济格局关键变量,某公司为实现1 600万元的利润目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到600万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于20万元,且奖金总数不超过投资收益的10%. ①现有(ⅰ)f(x)=0.02x+5;(ⅱ)f(x)=0.2x+10;(ⅲ)f(x)=10log2x-50三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当x∈[600,1 600]时,判断哪个函数模型符合公司要求? ②根据①中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到50万元,公司的投资收益至少为多少万元? 解　①由题意,符合公司要求的函数f(x)在[600,1 600]上单调递增,且对任意x∈[600,1 600],恒有f(x)≥20且f(x)≤. (ⅰ)对于函数f(x)=0.02x+5,f(x)在[600,1 600]上单调递增,当x=600时,f(600)=17<20不符合要求; (ⅱ)对于函数f(x)=0.2x+10,f(x)在[600,1600]上单调递减,不符合要求; (ⅲ)对于函数f(x)=10log2x-50,f(x)在[600,1 600]上单调递增,且当x=600时,f(600)=10log2600-50>10log2512-50=10×9-50=40>20,因为f(x)≤f(1 600)=10log21 600-50<10log22 048-50=10×11-50=60,而≥=60,所以当x∈[600,1 600]时,f(x)<恒成立,因此f(x)=10log2x-50为符合公司要求的函数模型. ②由f(x)=10log2x-50≥50得log2x≥10,所以x≥1 024,所以公司的投资收益至少为1 024万元. [规律方法]　应用指、对函数模型应注意的问题 (1)指、对函数模型的应用类型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指、对函数模型来解决. (2)应用指、对函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 【对点练】 1.(角度1)《中华人民共和国道路交通安全法》中规定:酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位:mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位:h)近似满足关系式V(t)=其中W为饮酒者的体重(单位:kg),m为酒精摄入量(单位:mL).根据上述关系式,已知某驾驶员体重75kg,他快速饮用了含150mL酒精的白酒,若要合法驾驶车辆,最少需在(B) (取:ln 2≈0.69,ln 3≈1.1,ln 5≈1.61) A.12小时后 B.24小时后 C.26小时后 D.28小时后 解析　当0≤t<1时,V(t)=×(-t2+2t+1)=-·[(t-1)2-2],所以100≤V(t)<V(1)==200,V(t)>20恒成立,当t≥1时,令V(t)=×=200×<20,即<,所以t-1>≈23,所以t>24.故选B. 2.(角度2)(2025·陕西模拟)“学如逆水行舟,不进则退”(明·《增广贤文》)是勉励人们专心学习的,如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365,一年后“进步”的是“退步”的=≈1481倍.若每天的“进步”率和“退步”率都是20%,则要使“进步”的是“退步”的100倍以上,最少要经过 12 天.(精确到整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  解析　设经过x天后,“进步”的是“退步”的100倍以上,则100×(1-0.2)x≤1.2x,即≥100,所以x≥lo100==≈≈11.36(天).故最少要经过12天. 学科网（北京）股份有限公司 $$