第1章 集合、常用逻辑用语与不等式-（教师用书）【赢在微点·顶层设计】2026年高中数学高考一轮总复习（名师划重点）

第一章集合、常用逻辑用语与不等式 第一节　集合 课标要求 三年考情 1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系;能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合;了解全集与空集的含义. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解并会求并集、交集、补集;能用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T1 T1 T1 全国Ⅱ卷 T1 T2   重点提示:集合的关系、集合的运算 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R 微提醒　　N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N*(N+)表示正整数集,不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B(或B⊇A) 或 真子集 集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A A⫋B(或B⫌A) 集合 相等 集合A,B中元素相同 A=B 微提醒　　①空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;②任何集合都是自身的子集,即A⊆A;③⌀是指不含任何元素的集合,{⌀}是指以⌀为元素的集合. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A. (2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B. (3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). 【常用结论】 1.若有限集合A有n(n≥1)个元素,则集合A有2n个子集,(2n-1)个真子集. 2.集合中元素的个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)集合{x∈N|x3=x},用列举法表示为{-1,0,1}.(×) 解析　错误.-1∉N. (2)任何一个集合都至少有两个子集.(×) 解析　错误.空集只有一个子集. (3){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×) 解析　错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集. (4)若P∩M=P∩N=A,则A⊆M∩N.(√) 2.若M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R},则∁MN=(C) A.{-1,3} B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7} C.{0,1,2,4,5,6,7} D.{1,2,3,4,5,6,7} 3.(人A必一P9T5(1)改编)设x,y∈R,P={x+y,3},Q={x-y,-1},若P=Q,则x2+y2=(D) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　因为P={x+y,3},Q={x-y,-1},且P=Q,所以解得所以x2+y2=12+(-2)2=5.故选D. 4.(人A必一P9T5(2)改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是 [2,+∞) .  解析　由图可知a≥2. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　集合的概念 【例1】　(1)(多选题)下列结论中,正确的有(ACD) A.{x|x+y=1}={y|x+y=1} B.{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2} C.{x|x>2}={y|y>2} D.{1,2}={2,1} 解析　x+y=1中,x的取值范围为R,所以{x|x+y=1}=R,同理{y|x+y=1}=R,所以A正确;{(x,y)|x+y=2}表示直线x+y=2上点的集合,而{x|x+y=2}=R,所以B错误;集合{x|x>2},{y|y>2}都表示大于2的实数构成的集合,所以C正确;由于集合中的元素具有无序性,所以{1,2}={2,1},所以D正确.故选ACD. (2)集合A={(x,y,z)|x∈{0,1},y,z∈{2,3,4}}中元素的个数为(A) A.18 B.12 C.8 D.5 解析　集合A={(x,y,z)|x∈{0,1},y,z∈{2,3,4}}中元素的个数为2×3×3=18.故选A. (3)已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 025+b2 025的值为(A) A.-1 B.0 C.1 D.±1 解析　由集合相等可知0∈,且a≠0,则=0,所以b=0,所以a2=1,解得a=1或a=-1.根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,所以a2 025+b2 025=(-1)2 025+02 025=-1. [规律方法]　解决集合含义问题的要点 一是确定构成集合的元素是什么;二是看这些元素的限制条件是什么;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. [提醒]　含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性. 【训练1】　(1)(多选题)已知集合A={y|y=x2+2},集合B={(x,y)|y=x2+2},下列关系正确的是(AB) A.(1,3)∈B B.(0,0)∉B C.0∈A D.A=B 解析　因为集合A={y|y≥2}=[2,+∞),集合B={(x,y)|y=x2+2}是由抛物线y=x2+2上的点组成的集合,所以AB正确,CD错误.故选AB. (2)已知集合A={x|ax2-3x+2=0}只有一个元素,则实数a的值为(C) A. B.0 C.或0 D.1 解析　当a=0时,A={x|-3x+2=0}=,满足题意;当a≠0时,Δ=9-8a=0,a=,此时A==,满足题意.所以a=0或a=. 考点二　集合的基本关系 【例2】　(1)(2025·重庆模拟)已知集合A={1,3},B={x|(x-a)[x-(a-2)]≤0,a∈R},若A∪B=B,则(B) A.a=1 B.a=3 C.1<a<3 D.1≤a≤3 解析　B={x|(x-a)[x-(a-2)]≤0,a∈R}={x|a-2≤x≤a,a∈R},若A∪B=B,则A⊆B,又A={1,3},所以解得a=3.故选B. (2)(2024·九省适应性考试)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为 5 .  解析　若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|3-m≤x≤3+m},所以所以m≥5,所以mmin=5. [规律方法]　集合间基本关系解题策略 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等直观的解决这类问题. 【训练2】　(1)已知集合A,B,若A={-1,1},A∪B={-1,0,1},则一定有(D) A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B=⌀ D.0∈B 解析　因为A={-1,1},A∪B={-1,0,1},所以B={0}或B={-1,0}或B={0,1}或B={-1,0,1},所以A,C不一定成立,B一定不成立,D一定成立.故选D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(B) A.2 B.1 C. D.-1 解析　因为A⊆B,则有:若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意;若2a-2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意;综上所述:a=1.故选B. (3)设集合M={x|-3<x<7},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∪N=M,则实数t的取值范围为 (-∞,3] .  解析　由M∪N=M,得N⊆M.因为集合M={x|-3<x<7},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},当N=⌀时,有2-t≥2t+1,解得t≤;当N≠⌀时,有解得<t≤3.综上,实数t的取值范围为(-∞,3]. 考点三　集合的基本运算 角度1　集合的运算 　 教考衔接① 教材题 [题源1](人A必一P14T1)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B. 解　由集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},所以A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2},A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}. [题源2](人A必一P14T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB). 解　因为A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|2<x<10},A∩B={x|3≤x<7},∁RA={x|x<3或x≥7},∁RB={x|x≤2或x≥10},所以∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10};∁R(A∩B)={x|x<3或x≥7};(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10};A∪(∁RB)={x|x≤2或3≤x<7或x≥10}. 高考题 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(A) A.{-1,0}　　　　　B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析　因为A={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<<2,从而A∩B={-1,0}.故选A. (2)(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=(C) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 解析　由题意得M∪N={x|-3<x<4}.故选C. (3)(2023·全国乙卷)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(A) A.∁U(M∪N) B.N∪(∁UM) C.∁U(M∩N) D.M∪(∁UN) 解析　由题意可得M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},A项正确;∁UM={x|x≥1},则N∪(∁UM)={x|x>-1},B项错误;M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},C项错误;∁UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪(∁UN)={x|x<1或x≥2},D项错误.故选A. [规律方法]　集合运算的常用方法 (1)根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解. (2)可结合数轴以及Venn图求解. 角度2　利用集合的运算求参数 【例3】　(1)(2025·沧衡模拟)已知集合A={x|-2<x<5},B={x|2a-1<x<2a+6},若A∩B={x|3<x<5},则a=(B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由题意可得解得a=2. (2)已知集合M={x|3x-x2≥0},N={x|(x-a)2≤4},若(∁RM)∪N=R,则实数a的取值范围为 [1,2] .  解析　集合M={x|3x-x2≥0}={x|0≤x≤3},N={x|(x-a)2≤4}={x|a-2≤x≤a+2},∁RM={x|x<0或x>3},因为(∁RM)∪N=R,所以解得1≤a≤2.故实数a的取值范围为[1,2]. [规律方法]　利用集合的运算求参数的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍. (2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 角度3　Venn图的应用 【例4】　(2025·海南模拟)如图,已知全集U=R,集合A={x|(2x-3)(x+1)≤0},B={x|x>0},则图中阴影部分表示的集合为(C) A.{x|x≤-1} B. C.{x|x<-1} D. 解析　依题意,集合A={x|-1≤x≤},而B={x|x>0},则A∪B={x|x≥-1},由Venn图知,图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)={x|x<-1}.故选C. [规律方法]　在部分有限集中,我们经常遇到元素个数的问题,常用Venn图表示两个集合的交、并、补集,借助于Venn图解决集合问题,直观简捷,事半功倍.用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集合A中元素的个数. 【对点练】 1.(角度1)(2025·八省联考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B=(C) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1,4} 解析　A∩B={0,1},故选C. 2.(角度1)已知全集U=R,集合A={x|2x<1},B={x|x-2<0},则(∁UA)∪B=(B) A.{x|0≤x<2} B.R C.{x|0<x<2} D.{x|x<2} 解析　由集合A={x|2x<1}={x|x<0},B={x|x-2<0}={x|x<2},则(∁UA)∪B={x|x≥0}∪{x|x<2}=R. 3.(角度2)设集合A={0,a},B={1,a-2,3a-4},若A∩B=A,则a=(A) A.2 B.1 C. D.-2 解析　由A∩B=A,得A⊆B.若a=1,则A={0,1},B={1,-1,-1},不符合题意;又a≠a-2,所以解得a=2.故选A. 4.(角度3)某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类,经统计高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学的人数为 106 .  解析　设集合A,B,C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合,作出Venn图,如图所示.由图可知,高一年级参加比赛的同学的人数为46+37+1+12+2+6+2=106. 真题重温高考 　　　 　　　　　　　　　　　 1.(2022·新课标Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=(B) A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4} 解析　解法一:因为B={x||x-1|≤1},所以B={x|0≤x≤2},所以A∩B={1,2},故选B. 解法二:因为4∉B,所以4∉A∩B,排除C,D;又-1∉B,所以-1∉A∩B,排除A.故选B. 2.(2022·新课标Ⅰ卷)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(D) A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D. 解析　因为M={x|<4},所以M={x|0≤x<16}.因为N={x|3x≥1},所以N=.所以M∩N=. 3.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(D) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 解析　由题意可知A∩B={1,4,9},故∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. 4.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=(A) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ 解析　因为整数集Z={x|x=3k,k∈Z}∪{x|x=3k+1,k∈Z}∪{x|x=3k+2,k∈Z},U=Z,所以,∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故选A. 5.(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(C) A.62% B.56% C.46% D.42% 解析　 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%-x)+(82%-x)+x=96%,解得x=46%.故选C. 第二节　常用逻辑用语 课标要求 三年考情 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 3.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 4.能正确使用存在(全称)量词对全称(存在)量词命题进行否定. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T7 全国Ⅱ卷 T2   重点提示:充分条件、必要条件、全称量词命题、存在量词命题 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 微提醒　　①A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA;②A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB. 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 微提醒　　对没有量词的命题进行否定时,要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. 【常用结论】 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系.设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)若p是q的充分条件,则A⊆B; (2)若p是q的充分不必要条件,则A⫋B; (3)若p是q的必要不充分条件,则B⫋A; (4)若p是q的充要条件,则A=B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词,否定结论”. 3.命题p与􀱑p的真假性相反. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)已知集合A,B,则A∪B=A∩B的充要条件是A=B.(√) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(√) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(√) (4)至少有一个三角形的内角和为180°是全称量词命题.(×) 解析　错误,至少有一个三角形的内角和为180°是存在量词命题. 2.(人A必一P22T2(5)改编)设x>0,y>0,则“x2>y2”是“x>y”的(C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(人A必一P34T5改编)对任意实数a,b,c,在下列命题中,是真命题的为(B) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 解析　因为⇒a>b,⇒a<b,所以ac>bca>b,而由a>bac>bc,所以“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件,故A,C错误;又⇒a=b,a=b,所以由ac=bca=b,由a=b⇒ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件,故B正确,D错误.故选B. 4.(人B必一P38T5改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围为 (-∞,3) .  解析　因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,所以a<3. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　充分条件与必要条件 角度1　充分条件与必要条件的判断 【例1】　(1)(2025·沧衡联考)甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛,若该比赛的冠军只有1人,则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的(B) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若甲是冠军,则乙不是冠军;若乙不是冠军,则甲是冠军或丙是冠军.故“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件. (2)(2023·北京高考)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以+=-2,所以充分性成立.必要性:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立,故选C. [规律方法]　充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法:适用于定义、定理的判断问题. (2)集合法:多适用于条件中涉及参数的取值范围的推断问题. 角度2　充分条件与必要条件的应用 【例2】　已知集合A={x|x2-8x-20≤0},非空集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈A是x∈B的必要条件,求m的取值范围. 解　由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以A={x|-2≤x≤10}.由x∈A是x∈B的必要条件,知B⊆A.则所以0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0,3]. 【变式】　若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”,则m的取值范围为 [9,+∞) .  解析　因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,则或解得m≥9,故m的取值范围是[9,+∞). [规律方法]　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (3)要注意考虑空集的情况. 【对点练】 1.(角度1)已知p:方程x2-4x+4a=0有实根;q:函数f(x)=(2-a)x为增函数,则p是q的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　方程x2-4x+4a=0有实根,故Δ=16-16a≥0,所以a∈(-∞,1],函数f(x)=(2-a)x为增函数,故2-a>1,所以a∈(-∞,1).因为(-∞,1)⫋(-∞,1],所以p是q的必要不充分条件.故选B. 2.(角度2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|(x-m-1)(x-2m+1)<0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(C) A.[-3,2] B.[-1,3] C. D. 解析　由题意集合A=[-3,4],若m>2,则2m-1>m+1,此时B=(m+1,2m-1),因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故B⫋A,故所以2<m≤;若m<2,则2m-1<m+1,此时B=(2m-1,m+1),因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故B⫋A,故所以-1≤m<2;若m=2,则2m-1=m+1,此时B=⌀,满足B⫋A,综上可得m∈,故选C. 考点二　全称量词命题与存在量词命题 角度1　含量词命题的真假判断与否定 【例3】　(1)(多选题)下列说法正确的是(ABC) A.“正方形是菱形”是全称量词命题 B.∃x∈R,ex<ex+1 C.命题“∃x∈R,x2-2x+3=0”的否定为“∀x∈R,x2-2x+3≠0” D.命题“∀x>1,都有2x+1>5”的否定为“∃x≤1,使得2x+1≤5” 解析　对于A,“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题,故A正确;对于B,当x=1时,e<e+1成立,故B正确;对于C,命题“∃x∈R,x2-2x+3=0”的否定为“∀x∈R,x2-2x+3≠0”,故C正确;对于D,命题“∀x>1,都有2x+1>5”的否定为“∃x>1,使得2x+1≤5”,故D不正确. (2)(2024·九江联考)下列命题的否定是真命题的为(B) A.任意两个等边三角形都相似 B.∃x∈R,x2-x+1=0 C.存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直 D.∀x∈R,x+|x|≥0 解析　对于A,任意两个等边三角形都相似是真命题,所以其否定是假命题,故A错误;对于B,x2-x+1=0,Δ=1-4<0,所以方程无解,所以该命题是假命题,其否定是真命题,故B正确;对于C,存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直,是真命题,其否定是假命题,故C错误;对于D,∀x∈R,x+|x|≥0是真命题,其否定是假命题,故D错误. (3)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式: 至少有一个实数是无理数 .  [规律方法]　 　　(1)全称量词命题与存在量词命题真假的判断 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量 词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在量 词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 　　(2)全称量词命题与存在量词命题的否定 ①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. ②否定结论:对原命题的结论进行否定. 角度2　含有量词命题的应用 【例4】　(1)若命题“∀x∈[-1,2],x2+1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是(B) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.(-∞,2] D.(-∞,5] 解析　由“∀x∈[-1,2],x2+1≥m”是真命题可知,不等式m≤x2+1,对∀x∈[-1,2]恒成立,因此只需m≤(x2+1)min,x∈[-1,2],易知函数y=x2+1在x∈[-1,2]上的最小值为1,所以m≤1.即实数m的取值范围是(-∞,1]. (2)(2025·山东枣庄月考)若“∃x∈,sin x<m”是假命题,则实数m的最大值为 - .  解析　因为“∃x∈,sin x<m”是假命题,所以“∀x∈,sin x≥m”是真命题,即m≤sin x对于∀x∈恒成立,所以m≤(sin x)min,x∈,因为y=sin x在上单调递增,所以当x=-时,y=sin x最小,ymin=sin=-sin=-,所以m≤-,所以实数m的最大值为-. 【变式】　若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为 1 .  解析　因为函数y=tan x在上单调递增,所以ymax=tan=1.依题意,知m≥ymax,即m≥1.所以实数m的最小值为1. [规律方法]　含量词命题求参数的解题策略 (1)直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的范围. (2)利用等价命题,即p与􀱑p的关系,转化成􀱑p的真假求参数的范围. 【对点练】 1.(角度1)(多选题)下列命题是真命题的是(ABC) A.∀x∈R,-x2-1<0 B.∀n∈Z,∃m∈Z,nm=m C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径的长度 D.存在实数x,使得= 解析　∀x∈R,-x2≤0,所以-x2-1<0,故A项是真命题;当m=0时,nm=m恒成立,故B项是真命题;任何一个圆的圆心到其切线的距离都等于半径的长度,故C项是真命题;因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以≤<,故D项是假命题. 2.(角度2)若命题“∃x∈[1,2],2x+x-a≤0”为真命题,则实数a的取值范围为 [3,+∞) .  解析　因为∃x∈[1,2],2x+x-a≤0,所以a≥(2x+x)min,x∈[1,2],显然y=2x+x在[1,2]上单调递增,所以a≥21+1=3,即实数a的取值范围为[3,+∞). 3.(角度2)已知命题p:对于任意x∈[1,2],都有x2-a≥0;命题q:存在x∈R,使得x2+2ax+2-a=0.若p与q中至少有一个是假命题,则实数a的取值范围为 (-2,1)∪(1,+∞) .  解析　若命题p为真,则对于任意x∈[1,2],都有a≤(x2)min=1,即a≤1;若命题q为真,则方程x2+2ax+2-a=0有解.则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a2+a-2≥0,解得 a≥1或a≤-2.若p与q都是真命题,则a≤-2或a=1,所以若p与q中至少有一个是假命题,则a>-2且a≠1. 第三节　等式性质与不等式性质 课标要求 三年考情 1.梳理等式的性质,理解不等式的概念. 2.会比较两个数(式)的大小. 3.理解不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷   重点提示:比较大小、不等式的性质 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.等式的基本性质 (1)对称性:如果a=b,那么b=a. (2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c. (3)可加性:如果a=b,那么a±c=b±c. (4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc. (5)可除性:如果a=b,c≠0,那么=. 2.比较实数大小 (1)文字叙述:如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数,那么a<b.反过来也成立. (2)符号表示:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b. 3.不等式的基本性质 性质1　a>b⇔b<a; 性质2　a>b,b>c⇒a>c; 性质3　如果a>b,那么a+c>b+c; 性质4　如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc; 性质5　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d; 性质6　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd; 性质7　如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2). 微提醒　　①同向不等式的两边可以相加,不能相减.②一个不等式的两边同时乘同一正数,不等号方向不变;同时乘同一负数,不等号方向改变. 【常用结论】 1.倒数的几个必备结论 (1)a>b,ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.若a>b>0,m>0⇒<. 若b>a>0,m>0⇒>. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)如果c-a>c-b,那么a<b.(√) (2)若ab>c,b>0,则a>.(√) (3)若>1,则a>b.(×) 解析　a=-3,b=-1,则>1,但a<b,故错误. (4)a>b⇔ac3>bc3.(×) 解析　由不等式的性质,ac3>bc3a>b;反之,c≤0时,a>bac3>bc3. 2.(人B必一P66“尝试与发现”改编)已知a=+,b=2+2,则a,b的大小关系是(A) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 解析　因为(+)2-(2+2)2=16+2-(16+2)=2(-)>0,所以(+)2>(2+2)2,所以+>2+2,即a>b. 3.(苏教必一P76T8改编)已知a-1>0,则下列结论正确的是(B) A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a 解析　因为a-1>0,所以a>1,由不等式基本性质可得-a<-1,所以-a<-1<1<a,故B正确,A、C、D错误. 4.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是  .  解析　因为-<α<β<,则-<α<,-<-β<,且α-β<0,所以-π<α-β<0.所以-<(α-β)+α<.故2α-β的取值范围是. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　比较数(式)的大小 【例1】　(1)(2025·石家庄调研)已知a=×,b=,c=,则(A) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 解析　因为2c-2b=e-2+1=(-1)2>0,所以2c>2b,即c>b;又因为(2b)4-(2a)4=16e2-e3=e2(16-e)>0,所以(2b)4>(2a)4,又a,b均为正数,所以2b>2a,即b>a,所以a<b<c. (2)已知M=,N=,则M,N的大小关系为 M>N .  解析　解法一:令f(x)===+,显然f(x)是R上的减函数,所以f(2 023)>f(2 024),即M>N. 解法二:因为M-N=-===>0,所以M>N. [规律方法]　比较大小的常用方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论. 【训练1】　(1)已知P=a2+b2++c2,Q=2a+2b,则(C) A.P≤Q B.P=Q C.P≥Q D.P,Q的大小无法确定 解析　P-Q=-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2+≥0,所以P-Q≥0,即P≥Q. (2)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(C) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 解析　由题意,知x,y>0,又==<1,所以x<y. 考点二　不等式的基本性质 【例2】　(1)若a,b为实数,且0<ab<1,则以下结论正确的是(D) A.a< B.a>0,b>0 C.0<a3b2<1 D.-<-1 解析　根据题意,不妨令a=-1,b=-,则=-2,此时a>,所以A错误;若0<ab<1,可知a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,所以B错误;不妨令a=3,b=,此时满足0<ab<1,但a3b2=33×=>1,所以C错误;由0<ab<1可得>=1,两边同时乘以-1可得-<-1,所以D正确. (2)(多选题)(2025·安徽模拟)若0<a<b<1,则(AD) A.a+2>b+2 B.cos a>sin b C.logab> D.ln a-ln b<a-b 解析　对于选项A:因为(a+2)-(b+2)=(+-2)(-),若0<a<b<1,则+-2<0,-<0,可得(a+2)-(b+2)=(+-2)(-)>0,所以a+2>b+2,故A正确;对于选项B:例如<a<b<1,则cos a<cos=,sin b>sin=,即cos a<<sin b,不合题意,故B错误;对于选项C:因为0<a<b<1,则logab<logaa=1,>1,即logab<1<,故C错误;对于选项D:设f(x)=ln x-x,x∈(0,1),则f'(x)=-1=>0,可知f(x)在(0,1)内单调递增,若0<a<b<1,则f(a)<f(b),即ln a-a<ln b-b,所以ln a-ln b<a-b,故D正确.故选AD. [规律方法]　判断不等式是否成立的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证. (2)利用特殊值法排除错误选项. (3)作差法. (4)构造函数,利用函数的单调性. 【训练2】　(1)设a,b,c,d为实数,且c<d,则“a<b”是“a-c<b-d”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由a<b不能推出a-c<b-d,如a=2,b=3,c=0,d=1,满足a<b,但是a-c=b-d,故充分性不成立;当a-c<b-d时,又c<d,可得a-c+c<b-d+d,即a<b,故必要性成立,所以“a<b”是“a-c<b-d”的必要不充分条件. (2)(2025·北京模拟)若a>0>b,则(A) A.a3>b3 B.|a|>|b| C.< D.ln(a-b)>0 解析　因为a>0>b,所以a3>0,b3<0,即a3>b3,故A正确;取a=1,b=-2,则|a|>|b|不成立,<不成立,故B,C错误;取a=,b=-,则ln(a-b)=ln 1=0,故D错误. 考点三　利用不等式的性质求取值范围 【例3】　(1)已知0<x<5,-1<y<1,则x-2y的取值范围是(D) A.2<x-2y<3 B.-2<x-2y<3 C.2<x-2y<7 D.-2<x-2y<7 解析　因为-1<y<1,所以-2<-2y<2,又0<x<5,所以-2<x-2y<7. (2)(多选题)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列说法正确的是(BC) A.> B.a-c>2b C.a2>b2 D.ab+bc>0 解析　因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,所以<,A错误;因为a>b>c,a+b+c=0,所以a>0,c<0,所以b+c=-a<0,a-b>0,所以a-b>b+c,即a-c>2b,B正确;因为a-b>0,a+b=-c>0,所以a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,C正确;ab+bc=b(a+c)=-b2≤0,D错误. 【变式】　若将(1)条件改为“-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1”,则x-2y的取值范围是 [-4,2] .  解析　设x-2y=m(x+y)+n(x-y),所以x-2y=(m+n)x+(m-n)y,所以解得所以x-2y=-(x+y)+(x-y),因为-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1,所以-1≤-(x+y)≤,-3≤(x-y)≤,所以-4≤-(x+y)+(x-y)≤2,即-4≤x-2y≤2. [规律方法]　不等式性质求代数式取值范围注意点 (1)必须严格运用不等式的性质; (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系; (3)通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】　(1)(多选题)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则(AC) A.a+b的取值范围为[4,7] B.b-a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为 解析　因为1≤a≤2,3≤b≤5,所以4≤a+b≤7,-2≤-a≤-1,1≤b-a≤4,所以a+b的取值范围为[4,7],b-a的取值范围为[1,4],故A正确,B错误;因为1≤a≤2,3≤b≤5,所以3≤ab≤10,≤≤,≤≤,所以ab的取值范围为[3,10],的取值范围为,故C正确,D错误. (2)已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则3a+2b的取值范围是 [2,11] .  解析　设3a+2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,则解得所以3a+2b=(a+b)+(a-b),因为1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,所以≤(a+b)≤10,-≤(a-b)≤1,因此,2≤3a+2b≤11. 第四节　基本不等式 课标要求 三年考情 掌握基本不等式≤(a,b>0).结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T18 全国Ⅱ卷 T12   重点提示:基本不等式、重要不等式、最值 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.基本不等式:≤. (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 微提醒　　在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,那么一定要保证它们等号成立的条件一致. 【常用结论】 1.+≥2,ab>0. 2.ab≤,a,b∈R. 3.≥,a,b∈R. 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)当x≥2时,x+的最小值为2.(×) 解析　设f(x)=x+,x≥2,由函数f(x)=x+在[2,+∞)为单调递增函数,所以当x=2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(2)=2+=,故错误. (2)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(×) (3)若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最小值为4.(√) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(×) 2.(苏教必一P61练习T1)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是(D) A.4 B.4 C.9 D.18 3.(人A必一P48复习巩固T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=(C) A.1+ B.1+ C.3 D.4 解析　当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时,取等号,即当f(x)取得最小值时x=3,即a=3. 4.一批物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达目的地,已知两地距离400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计),那么这批物资全部到目的地最少需要 10 h.  解析　当最后一辆汽车出发时,第一辆汽车最少行驶了=(h),最后一辆车驶完全程共需要 h,所以这批物资全部到达灾区最少需要 h,由基本不等式,得+≥2=10,当且仅当=,即v=80时,等号成立,故最少需要10 h. 考点精研突破 考点一　直接运用基本不等式 【例1】　(1)(2025·沧州七校联考)设x>0,y>0,且x+4y=40,则lg x+lg y的最大值是(D) A.40 B.10 C.4 D.2 解析　因为x+4y=40,且x>0,y>0,所以x+4y≥2=4(当且仅当x=20,y=5时取“=”),所以4≤40,所以xy≤100,所以lg x+lg y=lg(xy)≤lg 100=2. (2)若x>1,则函数y=的最小值为 3 .  解析　y====x-1++1,因为x>1,所以y=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.所以函数y=的最小值为3. [规律方法]　利用基本不等式求最值的注意点 (1)一正:各项必须为正. (2)二定:各项之和或各项之积为定值. (3)三相等:必须验证取等号时条件是否具备. 【训练1】　(1)已知函数y=(x>0),则y的最大值为(C) A.2+4 B.2 C.2-4 D.4 解析　函数y==-3x-+2=-+2,因为x>0,所以3x+≥2=4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,故y=-+2≤-4+2,则y的最大值为2-4. (2)若a>0,b>0,则++b的最小值为 2 .  解析　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2,当且仅当=且=b,即a=b=时等号成立,所以++b的最小值为2. 考点二　利用基本不等式求最值 　 教考衔接② 教材题 [题源](人A必一P58T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围. 解析　由已知得a+b=ab-3,又a,b>0,则a+b≥2,所以ab-3≥2,所以-2-3≥0,则(-3)(+1)≥0,所以≥3或≤-1(舍去),所以≥3,则ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab的取值范围为[9,+∞). 高考题 (多选题)(2022·新课标Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(BC) A.x+y≤1　B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析　对于A,B:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-3xy=1,则(x+y)2-1=3xy≤3,则(x+y)2-1≤(x+y)2,所以(x+y)2≤1,则|x+y|≤2,所以-2≤x+y≤2,故B正确.对于C,D:由x2+y2-xy=1,及基本不等式得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以x2+y2≤2,故C正确. 角度1　配凑法 【例2】　(1)已知x>2,则函数y=x+的最小值是(D) A.2 B.2+2 C.2 D.+2 解析　由题意可知,x-2>0,所以y=(x-2)++2≥2+2=+2,当且仅当x=2+时,等号成立,所以函数y=x+(x>2)的最小值为+2. (2)(2025·烟台质检)当x>0时,的最大值为  .  解析　当x>0时,=≤=,当且仅当x=,即x=2时等号成立,即的最大值为. [规律方法]　配凑法的基本步骤 (1)将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式. (2)利用基本不等式求解最值. 角度2　常值代换法 【例3】　(1)(2025·邯郸模拟)已知a>0,b>0,且a+b=2,则+的最小值是(C) A.2 B.4 C. D.9 解析　依题意,因为a+b=2,所以(a+1)+(b+1)=4,则+=[(a+1)+(b+1)]·=≥×(2×4+10)=,当且仅当a=,b=时,等号成立. (2)已知正数a,b满足+=1,则8a+b的最小值为(C) A.54 B.56 C.72 D.81 解析　8a+b=(8a+b)=++40≥2+40=72,当且仅当=,即a=6,b=24时取等号. [规律方法]　常数代换法的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 角度3　消元法 【例4】　(1)(2025·湖南段考)已知a>0,b>0,2a+b=ab,则+的最小值为(D) A.4 B.6 C.4 D.3+2 解析　由题意得a=,b=.因为b>0,所以a>1,所以+=+a=3++a-1≥3+2=3+2,当且仅当a=+1时等号成立,此时b=2+,所以+的最小值为3+2.故选D. (2)(2025·郑州模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 6 .  解析　解法一(换元消元法):由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值为6. 解法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6,当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时取等号,所以x+3y的最小值为6. [规律方法]　当所求最值的代数式中变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值. 【对点练】 1.(角度1)(多选题)下列函数中最小值为2的是(AB) A.y=x2+2x+3 B.y=|sin x|+ C.y=2x+21-x D.y=ln x+ 解析　由题意,A项,y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,故A正确;B项,在y=|sin x|+中,|sin x|>0,所以y=|sin x|+≥2=2,当且仅当|sin x|2=1时,等号成立,故B正确;C项,2x>0,21-x>0,故y=2x+21-x=2x+≥2=2,当且仅当(2x)2=2即x=时等号成立,C错误;D项,x>0,ln x∈R,只有当ln x>0时才有y=ln x+≥2=2,当且仅当(ln x)2=1即x=e时等号成立,故D错误.故选AB. 2.(角度2)若x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为(C) A.2 B.2 C.1+ D.2+2 解析　2x+y=[(2x+1)+2(x+y)]-=[(2x+1)+2(x+y)]-=×-≥×-=×(3+2)-=1+,当且仅当=时,取等号,所以2x+y的最小值为1+.故选C. 3.(角度3)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值为 3 .  解析　因为x2+2xy-3=0,所以y=,所以2x+y=2x+==+≥2=3,当且仅当=,即x=1时取等号.故最小值为3. 考点三　基本不等式的实际应用 【例5】　(2025·广东珠海一模)由于燃油的价格有升也有降,现在有两种加油方案.第一种方案:每次加30升的燃油;第二种方案:每次加200元的燃油.下列说法正确的是(B) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.采用哪种方案无法确定 解析　任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价:=≥,当且仅当m=n时取等号;第二种方案的均价:=,因m+n≥2>0,则≤,故≤,当且仅当m=n时取等号.所以无论油价如何变化,第二种都更划算.故选B. [规律方法]　利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值. 【训练2】　在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平称取药品.实验一:小明将5克的砝码放在天平左盘,取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳将20克的砝码放在右盘,取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品(C) A.大于20克 B.小于20克 C.大于等于20克 D.小于等于20克 解析　设天平左、右两边臂长分别为a,b,小明、小芳放入的药品的克数分别为x,y,则由杠杆原理得5a=bx,ay=20b,于是x=,y=,故x+y=+≥2=20,当且仅当a=2b时取等号. 【微点拓展】 基本不等式链 （1）若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立.以上不等式中， ,,,,分别称为正实数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. (2)此不等式链含6个不等式: ①≤;②≤;③≤;④≤;⑤≤;⑥≤. 【典例】　(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(ACD) A.有最大值 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 解析　对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时取“=”,A正确;对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确;对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确.故选ACD. 【微练】　(1)当<x<时,函数y=+的最大值为 2 . 解析　由≤,得a+b≤2,则y=+≤2=2,当且仅当=,即x=时等号成立,所以y的最大值是2. (2)已知x,y均为正实数,且+=,则x+y的最小值为 20 . 解析　=-2≥-2=-2=10,当且仅当x=y=10时取等号,所以x+y的最小值为20. 第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数及其性质 课标要求 三年考情 1.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等). 2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T4 全国Ⅱ卷 T11   重点提示:二次函数的图象、二次函数的性质 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.二次函数解析式的三种形式. 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.二次函数的图象和性质. 解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x=-对称 【常用结论】 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),闭区间为[m,n]. (1)当-≤m时,最小值为f(m),最大值为f(n). (2)当m<-≤时,最小值为f,最大值为f(n). (3)当<-≤n时,最小值为f,最大值为f(m). (4)当->n时,最小值为f(n),最大值为f(m). 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y=ax2+bx+c是一元二次函数.(×) 解析　函数y=ax2+bx+c,当a=0时,不是一元二次函数,故错误. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(√) (3)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(×) 解析　二次函数y=x2-x与y=2x2-2x零点相同,但解析式不同,故错误. (4)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为.(×) 解析　二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为,故不正确. 2.(人B必一P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为(A) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] 3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是(C) A. B. C. D. 解析　由题意,知即解得a>. 4.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为 (-∞,40]∪[160,+∞) .  解析　依题意,知≥20或≤5,解得k≥160或k≤40. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　二次函数的解析式 【例1】　根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当x=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11); (3)函数图象与x轴交于两点(1-,0)和(1+,0),并与y轴交于(0,-2). 解　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则⇒所以该函数的解析式为f(x)=-x2+2x-3. (2)由题可知:设f(x)=a(x-3)2+5(a>0),所以f(1)=a(1-3)2+5=11,则a=,所以该函数的解析式为f(x)=(x-3)2+5. (3)由题可知:f(x)=a(x-1+)(x-1-)(a≠0),所以f(0)=a(-1+)(-1-)=-2,则a=2,所以该函数的解析式为f(x)=2(x-1+)(x-1-). [规律方法]　求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: 【训练1】　(1)已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:图象与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过点,则函数解析式为 y=x2-x-4 .  解析　设函数解析式为y=a(x+2)(x-4),则-=a(1+2)(1-4),解得a=.故所求函数的解析式为y=(x+2)(x-4),即y=x2-x-4. (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则函数f(x)的解析式为 f(x)=x2-4x+3 .  解析　因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又因为f(x)的图象经过点(4,3),所以3a=3,a=1.所以所求二次函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 考点二　二次函数的图象及应用 【例2】　(多选题)(2025·赣州模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是(ACD) A.b=-2a B.a+b+c<0 C.a+c<b D.abc<0 解析　由题意得a<0,对称轴为直线x=-=1,则b=-2a>0,故A正确;当x=1时,y=a+b+c>0,故B错误;当x=-1时,y=a-b+c<0,则a+c<b,故C正确;当x=0时,y=c>0,则abc<0,故D正确. [规律方法]　分析二次函数图象问题的要点 一是看二次项系数的符号;二是看图象的对称轴和顶点;三是看函数图象上的一些特殊点.从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也能从图象中得到如上信息. 【训练2】　不等式cx2+ax+b>0的解集为,则函数y=ax2-bx-c的图象大致为(A) A　　　B C　　　D 解析　因为cx2+ax+b>0的解集为,所以方程cx2+ax+b=0的两根分别为和-1,且c<0,则a=c,b=-c,故函数y=ax2-bx-c=x2+x-c=(x+2)(x-1)的图象开口向下,且与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0),故A选项的图象符合.故选A. 考点三　二次函数的性质应用 角度1　二次函数的单调性 【例3】　若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 [-3,0] .  解析　当a=0时,f(x)=-3x+1,在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.当a≠0时,f(x)图象的对称轴为直线x=.由f(x)在[-1,+∞)上单调递减知解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0]. [规律方法]　二次函数单调性解题方法 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论. (2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆,即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧). 角度2　二次函数的最值 【例4】　已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2. (1)若a=2,求函数f(x)在区间(-1,2)上的值域; (2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值. 解　(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2,对称轴为直线x=1,函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-2,又f(x)<f(-1)=14,所以f(x)的值域为[-2,14). (2)f(x)=4-2a+2,对称轴为直线x=,①当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上是增函数.所以f(x)min=f(0)=a2-2a+2,由a2-2a+2=3,得a=1±.因为a≤0,所以a=1-.②当0<<2,即0<a<4时,f(x)min=f=-2a+2.由-2a+2=3,得a=-∉(0,4),舍去.③当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上是减函数,f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由a2-10a+18=3,得a=5±.因为a≥4,所以a=5+,综上所述,a=1-或a=5+. [规律方法]　二次函数最值问题 抓住“三点一轴”进行数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解. 【对点练】 1.(角度1)“m<-17”是“函数f(x)=-3x2+2(1-m)x-5在区间(-∞,6]上单调递增”的(B) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若函数f(x)=-3x2+2(1-m)x-5在区间(-∞,6]上单调递增,则≥6,解得m≤-17,因为{m|m<-17}⫋{m|m≤-17},因此,“m<-17”是“函数f(x)=-3x2+2(1-m)x-5在区间(-∞,6]上单调递增”的充分不必要条件,故选B. 2.(角度1)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是 [0,2] .  解析　依题意a≠0,二次函数f(x)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以a>0,即函数图象的开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 3.(角度2)若函数y=x2-2ax+3在x∈[1,3]上的最大值为6,则实数a= 1 .  解析　因为y=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,x∈[1,3],所以当a≤2时x=3,ymax=9-6a+3=6,解得a=1,当a>2时x=1,ymax=1-2a+3=6,解得a=-1,又a>2,故不成立.综上, a=1. 第2课时　一元二次不等式及其解法 课标要求 三年考情 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2.会解一元二次不等式和分式不等式. 3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法. 2022 2023 2024 全国Ⅰ卷 T1 全国Ⅱ卷   重点提示:解一元二次不等式、分式不等式、恒成立问题、参数的取值(范围)问题 基础梳理自测 　　　 　　　　　　　　　　　 回|归|教|材 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式 (1)|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞). (2)|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 【常用结论】 1.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则 2.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则 3.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则 4.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则 基|础|自|测 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(×) 解析　若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为⌀. (2)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(×) 解析　≥0等价于(x-a)(x-b)≥0且x≠b.故不正确. (3)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(×) 解析　ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件应是a<0且Δ≤0或a=b=0,c≤0. (4)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(√) 2.(人A必一P55T1(3)改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为(A) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5或x>2} 3.(人B必一P75T5改编)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(B) A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n} 解析　不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x+n)=0的两根为m,-n,显然由m+n>0得m>-n,所以不等式的解为-n<x<m. 4.(人A必一P58T6改编)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 (-3,0] .  解析　当k=0时,满足题意;当k≠0时,解得-3<k<0,综上,-3<k≤0. 考点精研突破 　　　 　　　　　　　　　　　 考点一　一元二次不等式的解法 角度1　不含参数的一元二次不等式 【例1】　(1)求下列不等式的解集: ①x2-4x-5≤0; ②-x2+8x<3. 解　①原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. ②原不等式可化为x2-8x+3>0,得解集为{x|x<4-或x>4+}. (2)已知集合A={x|x2-8x+7≥0},集合B={y|y2-10y+16<0},则A∩B= [7,8) .  解析　集合A={x|x2-8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7},集合B={y|y2-10y+16<0}={y|2<y<8},所以A∩B={x|7≤x<8}. [规律方法]　解不含参数的一元二次不等式的步骤 角度2　分式不等式的解法 【例2】　(1)已知x∈R,则“x2-x>0”是“>0”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为x2-x>0,解得x>1或x<0,>0即(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1,所以“x2-x>0”是“>0”的必要不充分条件,故选B. (2)(2025·深圳模拟)不等式x+1≥的解集为 {x|-2≤x<0或x≥1} .  解析　原不等式可化为x+1-≥0⇔≥0⇔≥0⇔如图所示,原不等式的解集为{x|-2≤x<0或x≥1}. [规律方法]　解分式不等式的方法 (1)≥0⇔ (2)≤0⇔ 角度3　含参数的一元二次不等式 【例3】　解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解　原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,因为a>0,所以(x-1)<0.当a>1时,解得<x<1;当a=1时,解集为⌀;当0<a<1时,解得1<x<.综上,当0<a<1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a>1时,不等式的解集为. 【变式】　将例题“a>0”条件改为“a∈R”,求不等式的解集. 解　原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,①当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0,所以当a>1时,解得<x<1;当a=1时,解集为⌀;当0<a<1时,解得1<x<.②当a=0时,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.③当a<0时,<1,原不等式可化为(x-1)>0,解得x>1或x<.综上,当0<a<1时,不等式的解集为,当a=1时,不等式的解集为⌀,当a>1时,不等式的解集为,当a=0时,不等式的解集为{x|x>1},当a<0时,不等式的解集为. [规律方法]　解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式. (2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集. 【对点练】 1.(角度1)已知p:x2+2x-3<0,q:x2+x-2<0,则p是q的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析　由p:x2+2x-3<0,得-3<x<1,由q:x2+x-2<0,得-2<x<1,则p是q的必要不充分条件.故选B. 2.(角度2)关于x的不等式≥1的解集为(B) A. B. C. D. 解析　由≥1,得≥0,其解集等价于解得≤x<2.故选B. 3.(角度3)若2∈{x|ax2+3x+a2-3>0},则a的取值范围为(D) A.(-3,-1) B.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[-3,-1] D.(-∞,-3)∪(-1,+∞) 解析　由2∈{x|ax2+3x+a2-3>0},得a×22+3×2+a2-3>0,即a2+4a+3>0,解得a<-3或a>-1,所以实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(-1,+∞).故选D. 考点二　三个“二次”的关系 【例4】　(1)(多选题)(2025·苏州质检)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论中正确的是(ACD) A.x1+x2+2=0 B.-3<x1<x2<1 C.|x1-x2|>4 D.x1x2+3<0 解析　由题知a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为(x1,x2),所以a<0,且所以x1+x2+2=0,x1x2+3=<0,故A,D正确; 原不等式可化为f(x)=a(x-1)(x+3)>-2的解集为(x1,x2),而f(x)的零点分别为-3,1且f(x)的图象开口向下,又x1<x2,f(x)的大致图象如图所示,由图知,x1<-3<1<x2,|x1-x2|>4,故B错误,C正确. (2)若方程x2-4x+a=0的两根都在区间(1,+∞)内,则实数a的取值范围是 (3,4] .  解析　设方程x2-4x+a=0的两根为x1,x2,则x1>1,x2>1,所以Δ=(-4)2-4a≥0,x1+x2>2,(x1-1)(x2-1)>0,由Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4;由x1+x2>2,得4>2显然成立;由(x1-1)(x2-1)>0,得x1x2-(x1+x2)+1>0,即a-4+1>0,解得a>3,综上可得,3<a≤4,所以实数a的取值范围是(3,4]. [规律方法]　理解三个“二次”间的关系 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【训练1】　(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是{x|x≤-2或x≥6},则下列说法正确的是(ACD) A.a<0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-3} C.不等式cx2-bx+a<0的解集是 D.a+b+c>0 解析　因为关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是{x|x≤-2或x≥6},则a<0,A正确;由题意可知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-2,x2=6,由根与系数的关系可得6-2=-,可得b=-4a,-2×6=,得c=-12a,由bx+c>0可得-4ax-12a>0,解得x>-3,B错误;由cx2-bx+a<0可得-12ax2+4ax+a<0,即12x2-4x-1<0,解得-<x<,因此,不等式cx2-bx+a<0的解集是,C正确;a+b+c=-15a>0,D正确. 考点三　一元二次不等式恒成立问题 角度1　在实数集R上恒成立 【例5】　已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是(A) A.[0,1] B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞) 解析　当k=0时,8>0恒成立,符合题意;当k≠0时,要使kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,只需解得0<k≤1.综上,k的取值范围是[0,1]. [规律方法]　注意二次项系数为0的情况,分类讨论求参数的取值范围. 角度2　在给定区间上恒成立(有解) 【例6】　(1)已知函数f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在区间(m-1,-2m)上恒成立,则实数m的取值范围是 [0,) .  解析　由题意得x2-4x-4<1,解得-1<x<5,即x∈(-1,5).因为f(x)<1在区间(m-1,-2m)上恒成立,所以(m-1,-2m)⊆(-1,5).所以解得0≤m<,即m∈[0,). (2)关于x的不等式ax2-2x+1≤0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是 (-∞,1] .  解析　由不等式ax2-2x+1≤0在x∈(0,2]上有解,可得a≤,依题意可知a≤,令y=,x∈(0,2],又y==-+1,由x∈(0,2]可得∈,利用二次函数性质可知ymax=-(1-1)2+1=1,即可得a≤1.故实数a的取值范围是(-∞,1]. [规律方法]　有解问题与恒成立问题解题方法 (1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]). (2)能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似,一般也是转化为函数的最值问题,一是直接研究原函数的最值;二是参数分离后研究最值,常用到以下两个结论:①a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;②a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 【对点练】 1.(角度2)若命题“∃x∈[-1,2],使x2+1>m”是真命题,则实数m的取值范围是(C) A.(-∞,1] B.(-∞,2) C.(-∞,5) D.(5,+∞) 解析　由题意命题“∃x∈[-1,2],使x2+1>m”是真命题,所以m<(x2+1)max,当且仅当x=2,有(x2+1)max=22+1=5,所以实数m的取值范围是(-∞,5).故选C. 2.(角度2)若关于x的不等式x2-2mx+1>0在(0,+∞)上恒成立,则m的取值范围为(D) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,1) 解析　当x∈(0,+∞)时,不等式x2-2mx+1>0恒成立,得2m<,因为x+≥2,所以2m<2,解得m<1,即m的取值范围为(-∞,1).故选D. 3.(角度1)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(C) A.(-∞,2] B.[-2,2] C.(-2,2] D.(-∞,-2) 解析　当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0对一切x∈R恒成立.当a≠2时,需满足即解得-2<a<2.综上可知,实数a的取值范围是(-2,2].故选C. 微突破一　一元二次方程根的分布 　　解决一元二次方程根的分布问题,主要依据方程的根与函数零点间的关系,借助图象,从以下四个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.(1)开口方向;(2)判别式Δ的符号;(3)对称轴方程x=-与所给区间的位置关系;(4)区间端点处函数值的符号. 　　　 　　　　　　　　　　　 目标一　已知两根与实数k的大小关系 根的 分布 情况 两根都小于k,即x1<k,x2<k 两根都大于k,即x1>k,x2>k 一根小于k,一根大于k,即x1<k<x2 大致 图象 (a>0) 得出的 结论 f(k)<0 【例1】　(1)已知二次函数f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,则实数m的取值范围为  .  解析　由(m+2)f(1)<0,即(m+2)·(2m+1)<0,所以-2<m<-,即m的取值范围为. (2)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0的两个实数根同号,则实数m的取值范围为 (1,2] .  解析　根据题意得到即解得1<m≤2. [规律方法]　一元二次方程根的分布需要注意二次项系数的正负情况.方程有两正根,也可以依据求解. 目标二　已知两根所在区间 根的 分布 情况 两根都在(m,n)内 恰有一根在(m,n)内 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m<n<p<q 大致 图象 (a>0) 得出的 结论 或f(m)f(n)<0 或 【例2】　(1)若关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(A) A. B. C.∪(-1,+∞) D.∪(1,+∞) 解析　令g(x)=x2-2ax+a+2,因为方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数解,所以即解得-<a<-1,所以a的取值范围是.故选A. (2)关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围. ①有两个正根; ②一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内. 解　①令f(x)=x2+(m-3)x+m,设f(x)=0的两个根为x1,x2.由题得解得0<m≤1,即m的取值范围为(0,1]. ②令f(x)=x2+(m-3)x+m,设f(x)=0的两个根为x1,x2.若方程x2+(m-3)x+m=0一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,结合f(x)=x2+(m-3)x+m开口向上,则解得-<m<0,即m的取值范围为. [规律方法]　第(1)题需要验证判别式Δ>0;第(2)题①问不能丢掉Δ≥0,②问不需要验证Δ>0,这些都是数形结合得到的结果. 目标三　可转化为一元二次方程根的分布问题 【例3】　(1)已知关于x的方程m·22x+(2m-1)·2x+m=0在(-∞,1)上有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为  .  解析　令t=2x,当x∈(-∞,1)时,t∈(0,2).显然m≠0,问题转化为方程mt2+(2m-1)t+m=0在(0,2)上有两个不相等的实数根,其充要条件为即解得<m<,即实数m的取值范围为. (2)关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,则a的取值范围是  .  解析　当a=0时,ax2+(a+2)x+9a=0即为2x=0,不符合题意;故a≠0,ax2+(a+2)x+9a=0即为x2+x+9=0,令y=x2+x+9,由于关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,则y=ax2+(a+2)x+9a与x轴有两个交点,且分布在1的两侧,故x=1时,y<0,即1+×1+9<0,解得<-11,故-<a<0. [规律方法]　本题利用零点的取值范围求解参数的取值范围,关键是建立参数与零点的函数关系,结合零点的范围求解. 增|分|训|练 1.设p:实数m满足-1<m<0,q:一元二次方程“x2+3x+m+1=0”有两个负数解,则p是q(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　q:一元二次方程有两个负数解,所以解得-1<m≤,所以p是q的充分不必要条件,故选A. 2.若关于x的不等式x2-4x-a>0在区间(1,5)内有解,则实数a的取值范围是(A) A.(-∞,5) B.(5,+∞) C.(-4,+∞) D.(-∞,4) 解析　设f(x)=x2-4x-a,则f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=2,所以要使不等式x2-4x-a>0在区间(1,5)内有解,只要f(5)>0即可,即25-20-a>0,得a<5,所以实数a的取值范围为(-∞,5).故选A. 3.若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则实数m的取值范围是(C) A. B. C. D. 解析　依题意并结合函数f(x)的图象(图略)可知,即解得<m<. 4.若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大,则m的取值范围为 (-5,-1) .  解析　由题意,知所以所以-5<m<-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$