10.2 实数 课件2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第十章 数的开方 10.2 实数 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值。 01 了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值。 02 能用有理数估计一个无理数的大致范围。 03 02 新知导入 想一想:什么是平方根?什么是算术平方根? 什么是立方根? 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根. 正数 a 的正的平方根,叫作 a 的算术平方根. 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根 02 新知导入 算一算:4的平方根是多少?16的算术平方根是多少?-8的立方根是多少? 4的平方根: 16的算术平方根: -8的立方根: 03 新知探究 探究 无理数的概念 你能算出 等于多少吗? 利用平方运算验算上面问题中所得的结果. 用计算器算一算吧! 用计算器求 ,显示结果为1.414213562. 再用计算器计算1.414213562的平方,结果是1.999999999,并不是2. 这是为什么呢? 03 新知讲解 这是因为计算器求得的只是 的近似值. 实际上 =1.4142135623730950488016887242096980785 696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557 在数学上已经证明,没有一个有理数的平方等于2,也就是说, 不是有理数. 03 新知探究 想一想:什么是有理数? 有理数包括整数和分数. 任何一个分数写成小数的形式,只可能是有限小数或者无限循环小数. 例如: 03 新知讲解 那么 是一个怎样的数呢? 不是一个有理数,实际上,它是一个无限不循环小数. 类似地, 、圆周率 等也都不是有理数,它们都是无限不循环小数. 知识要点 无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数的形式: ①开方开不尽的数,如 等; ②含 的数,如 、2 等; ③有规律但不循环的无限小数,如0.1010010001...(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 03 新知探究 探究 实数的概念 有理数和无理数统称为实数. 到目前为止,对所学过的数可以进行如下分类: 实数 整数 分数 有理数 无理数(无限不循环小数) 有限小数 无限循环小数 其中无理数有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B 拓展提高 (1)对有理数和无理数进行区分时,应先对某些数进行计算或化简, 然后根据最后结果进行分类,不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数. (2) 是无理数,化简后含 的数也是无理数. 03 新知探究 探究 实数与数轴的关系 试一试:你能在数轴上找到表示 的点吗? 如图,将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开,得到四个等腰直角三角形,即可拼成一个大正方形.容易知道,这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长为 . 03 新知探究 探究 实数与数轴的关系 这就是说,边长为1的正方形的对角线长是 . 利用这个事实,我们容易在数轴上找到表示 的点,如图所示. 知识要点 在今后的学习中,可以进一步得出,数轴上的每一个点必定表示一个实数; 反过来,每一个实数(有理数或无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.换句话说,实数与数轴上的点一一对应,这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步. 拓展提高 【想一想】能说“有理数和数轴上的点一一对应”吗?为什么? 不能 因为“一一对应”包含着两层含义: ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示; ②数轴上的每一个点都表示一个实数. 03 新知探究 在七年级上学期学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律,对于实数也适用. 探究 实数的运算 从有理数扩充到实数以后,正数总可以开平方、开立方. 在实数范围内,任意一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是0;负数没有平方根. 任意一个实数有且只有一个立方根. 03 新知讲解 试比较 与 的大小. 例1 涉及无理数的大小比较和运算, 通常可以取它们的近似值来进行 解:用计算器求得 03 新知讲解 计算 .(精确到0.01) 例2 解: ≈ 0.167 -1.414 =-1.247,于是 03 新知讲解 实数的绝对值意义也与有理数一样: 设a表示一个实数,则 正实数的绝对值是它本身,负实数的绝对值是它的相反数, 0的绝对值是0. 因此,例2也可以先将原式化简,再计算. 03 新知讲解 计算 .(精确到0.01) 例2 由此算式,可直接将数据输入计算器进行计算. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题: 1.下列实数中是无理数的是 ( ) C 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题: 2. 下列说法正确的是( ) A.正数、0、负数统称为有理数 B.带根号的数都是无理数 C.无限循环小数是无理数 D.实数包括有理数和无理数 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题: 3.和数轴上的点一一对应的是( ) A.整数 B.无理数 C.实数 D.有理数 C 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题: 4.如图,数轴上点A表示 ,点B与点A到原点的距离相等,则点B表示的数是_. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题: 5.如图,面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴的原点上, 若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为_. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题: 6.在0,-2, , 四个数中,最大的数是( ). A. -2 B. 0 C. D. C (1)图中阴影正方形的面积是_,边长是_. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.观察如图所示的图形,每个小正方形的边长都为1. 13 29 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分,y为 的整数部分. 求:(x + y)2的算术平方根. 30 05 课堂小结 本节课你学到了什么? 1.无限不循环小数叫做无理数. 2.有理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类. 4.实数与数轴上的点一一对应. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题: 1.下列说法正确的是( ). D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题: 2. 如图,A,B,C,D中表示 的点是_. D 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题: 3. 计算: 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题: 4. 若 ,则a,b,c的大小关系为( ) A. a>c>b B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a A 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.已知2a-1的平方根是 3,3a+b-9的立方根是2,C是 的整数部分. 求a+2b+c的平方根. 解:因为2a-1的平方根是 3,所以2a-1=9,解得a=5. 因为3a+b-9的立方根是2,所以3a+b-9=8, 即15+b-9=8,解得b=2. 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.已知2a-1的平方根是 3,3a+b-9的立方根是2,C是 的整数部分. 求a+2b+c的平方根. $$