内容正文:
滕南中学八年级第二学期数学第一次质量检测
一、单选题
1. 若x>y,则下列各式正确的是( )
A. x-6<y-6 B. C. 2x+1>2y+1 D. -x>-y
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行解答即可.
【详解】解:A、不等式两边都减去6,不等号的方向不变,即x-6>y-6,原变形错误,故此选项不符合题意;
B、不等式两边都除以3,不等号的方向不变,即,原变形错误,故此选项不符合题意;
C、不等式两边都乘2,再加上1,不等号的方向不变,即2x+1>2y+1,原变形正确,故此选项符合题意;
D、不等式两边都乘-1,不等号的方向改变,即-x<-y,原变形错误,故此选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查了不等式的性质.解题的关键是熟练掌握不等式的性质:不等式两边都加上(或减去)一个数,不等号不改变方向;不等式两边都乘以(或除以)一个正数,不等号不改变方向;不等式两边都乘以(或除以)一个负数,不等号改变方向.
2. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的( )
A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.根据角平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等,因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点.
【详解】解:∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等,
∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等,
∴ 该点是三条内角平分线的交点.
故选:B.
3. 下列定理中逆命题是假命题的是( )
A. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B. 在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等
C. 同位角相等,两直线平行
D. 全等三角形的对应角相等
【答案】D
【解析】
【分析】写出所有命题的逆命题,然后判断正误即可.
【详解】解:A、逆命题为:两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形,正确,是真命题;
B、逆命题为:在一个三角形中如果两角相等,那么它们所对的边也相等,正确,是真命题;
C、逆命题为:两直线平行,同位角相等,正确,为真命题;
D、逆命题为:对应角相等的三角形全等,错误,是假命题,
故选:D.
【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题并进行判断,难度不大.
4. 已知点在第二象限,则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点在第二象限,得到,求出解集并表示在数轴上,即可得到答案.
【详解】解:∵点在第二象限,
∴,
解得,
将解集表示在数轴上为,
故选:A.
【点睛】此题考查了直角坐标系中点坐标的特点,解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集,综合掌握各知识点是解题的关键.
5. 天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时,采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法.若整个小区每户都安装,收整体初装费元,再对每户收费元.某小区住户按这种收费方式全部安装天然气后,平均每户支付不足元,设这个小区的住户数为,则的取值是( )
A. 至少户 B. 至多户 C. 至少户 D. 至多户
【答案】C
【解析】
【分析】根据x户居民,每户按10000元计算总费用>整体初装费+500x,列不等式求解,结合实际情况,即可得到答案.
【详解】设这个小区的住户数为
解得
是正整数
的取值是至少21户.
故选:C.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用,结合实际情况取值是解题的关键.
6. 若不等式组无解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题,解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况.
先分别解出两个不等式的解集,再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围.
【详解】解:解不等式,得;
∵解不等式,
移项得,
即,
∴;
∵不等式组无解;
∴两个解集无公共部分,即,
∴解得,
故选:D.
7. 某商店老板销售一种商品,他要有不低于进价的利润才能出售,但为了获得更多的利润,他以高出进价的价格标价,若你想买下标价为360元的这种商品,商店老板让价的最大限度为( )
A. 82 元 B. 100 元 C. 120 元 D. 160 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和不等式的应用,先根据标价求出进价,再根据“让价后的售价不低于进价的利润”列出不等式,求出m的取值范围,从而可得让价的最大限度.
【详解】解:设进价为元,让价m元,
根据题意,得
解得,
∵,
解得,
∴让价的最大限度是元,
故选C.
8. 如图,在等边中,平分交于点D,过点D作于点E,且,则的长为( )
A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
由在等边三角形中,,可求得,则可求得的长,又由平分交于点,由三线合一的知识,即可求得答案.
【详解】解:是等边三角形,
,,
,
,
,
,
平分交于点,
,
.
故选:C.
9. 如图,已知,点P在边上,,点M,N在边上,,若,则( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】过P作PQ⊥MN,利用三线合一得到Q为MN中点,求出MQ的长,在直角三角形OPQ中,利用直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长,即可求解.
【详解】解:如图,过点P作PQ⊥MN于点Q,
∵PM=PN,,
∴MQ=NQ=1,
在Rt△OPQ中,OP=12,∠AOB=60°,
∴∠OPQ=30°,
∴,
∴ON=OQ+QN=6+1=7.
故选A.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,以及含30度直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键.
10. 如图,中,,D是的中点,于点E,则的长为( )
A. B. 8 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接,根据已知等腰三角形的性质得出和,根据勾股定理求出,根据三角形的面积公式求出即可.
【详解】解:连接,
∵,D为的中点,,
∴,,
在中,
由勾股定理得:,
∵,
,
故选:C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质“三线合一”、勾股定理和三角形的面积,能求出的长是解此题的关键.
11. 如图,O是的角平分线的交点,,则等于( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】作于点E,于点F,结合题意根据角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,可得到,根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】如图,作于点E,于点F,
∵是直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,,O是的角平分线的交点,
∴,
∴,
即,
解得.
故选:A.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质,掌握其性质并灵活运用是解题的关键.
12. 如图,直线与交于点,则下列四个结论:①,;②当时,;③当时,;④当时,.其中正确的结论有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式,根据正比例函数和一次函数的性质,结合图象判断即可,关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断.
【详解】解:因为经过二,四象限,所以,经过一、二、三象限,所以,故①正确;
,当时,,故②错误;
结合图象可得,当时,直线的图象在的图象下方,,故③正确;
结合图象,当时,,,,,故④正确,
故选:C.
二、填空题
13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是,则其顶角的度数为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质,解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质,本题属于基础题型.
分两种情况画出图形,根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案.
【详解】解:当是锐角三角形时,,如图,,
,
∴,
当是钝角三角形时,,交的延长线于点D,
∴,
∴,
故答案为:或.
14. 已知一次函数的图象如图所示,则关于x的不等式的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系:从函数的角度看,就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线在x轴上(或下)方部分所对应点的横坐标的取值范围.
【详解】解:由图象可知时,一次函数的值大于0,
∴不等式的解集为,
故答案为:.
15. 若不等式组的解集为,那么的值等于_______.
【答案】-2
【解析】
【分析】先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围,再与已知不等式组的解集为-1<x<1相比较,求出a、b的值,代入代数式进行计算即可.
【详解】解:,由①得,x<,由②得,x>3+2b,
∵不等式组的解集为-1<x<1,
∴=1,3+2b=-1,解得a=1,b=-2,
∴=1×(-2)=-2.
故答案为-2.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,先把a、b当作已知条件表示出x的取值范围是解答此题的关键.
16. 如图,在中,,,的垂直平分线与交于点,与交于点,连结.若,则的长为______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂直平分线性质结合等腰三角形性质得到且,再利用外角性质求出,最后根据含角的直角三角形特征求出结果即可.
【详解】解;边的垂直平分线交于,交于,
.
且,
,
,
.
故答案为:6.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,三角形外角性质,含角的直角三角形特征,熟练掌握相关性质是解答本题的关键.
17. 已知关于x的不等式组只有三个整数解,则实数a的取值范围是______.
【答案】5≤a<6
【解析】
【分析】首先解每个不等式,根据不等式组只有三个整数解,确定整数解的值,进而求得a的范围.
【详解】解:,
解②得x>2,
不等式组的解集是:2<x≤a.
∵不等式组只有3个整数解,
∴整数解是3,4,5.
则5≤a<6.
故答案是:5≤a<6.
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的整数解,根据x的取值范围,得出x的整数解.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
18. 如图,在中,,是的平分线.若P,Q分别是和上的动点,则的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,两点之间,线段最短,垂线段最短:
在边上截取,连接,,过点作交于点,证得,于是有,因而,再根据垂线段最短,得到当点与点重合时,最小,等积法求出的长即可.
【详解】解:如图,在边上截取,连接,,过点作交于点,
是的平分线,
,
在和中,
,
,
,
,
∴当三点共线时,,最小,
∵垂线段最短,
∴当点与点重合时,最小,
∵,,
∴,即:,
∴,
的最小值为;
故答案为:.
三、解答题
19. 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1);
(2).
【答案】(1),在数轴上表示其解集见解析;(2),在数轴上表示其解集见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小无解了”的原则是解答此题的关键.
(1)根据解一元一次不等式基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解;
(2)根据解一元一次不等式基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解;
【详解】解:(1)去分母,得,
移项,得,
合并同类项,得,
系数化为1,得.
在数轴上表示其解集如图所示.
(2)去分母,得,
去括号,得,
移项,得,
合并同类项,得,
系数化为1,.
在数轴上表示其解集如图所示.
20. 解下列不等式组:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
(1)先求出两个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可;
(2)先求出两个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
【小问1详解】
解:,
解不等式①,得,
解不等式②,得,
∴该不等式组的解集为.
【小问2详解】
解:,
解不等式①,得,
解不等式②,得,
∴该不等式组的解集为.
21. 如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论.)
【答案】
如图所示,点P即为所求.
【解析】
【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等,到点C、D的距离也相等,点P既在∠AOB的角平分线上,又在CD垂直平分线上,即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P.
【详解】作CD的垂直平分线,∠AOB的角平分线的交点P即为所求.
22. 如图,正比例函数的图像与一次函数的图像交于点,一次函数图像经过点,与轴的交点为,与轴的交点为.
(1)求一次函数表达式;
(2)求的面积;
(3)直接写出不等式的解集:___________.
【答案】(1)
(2)3 (3)
【解析】
【分析】(1)将点代入,求出m,得到.把P、B两点的坐标代入,利用待定系数法即可求出一次函数解析式;
(2)先求出点C坐标,再根据三角形的面积公式列式即可求出的面积;
(3)利用函数图象,写出一次函数的图象在的上方所对应的自变量的范围即可.
【小问1详解】
解:过点,
,
∴,
,
一次函数过点,,
,
解得,
一次函数表达式.
【小问2详解】
解:把代入一次函数得:,
解得:,
∴一次函数与轴的交点为,
,
,
又,
.
【小问3详解】
解:由图像可知,当时,一次函数的图象在的上面,
∴不等式的解集为.
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组:方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值,而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式,因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.也考查了待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积.
23. 如图,在中,平分,于点E,点F在上,.
(1)求证:.
(2)若,求的长.
【答案】(1)
证明:∵平分,于点E,
∴.
在与中,
,
∴,
∴.
(2)2
【解析】
【分析】(1)由角平分线的性质得到,利用证明即可证明.
(2)设,则,同理得到利用证明得到,即,解方程即可得到答案.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:设,则,
∵平分,于点E,
∴.
在与中,
,
∴,
∴,即,
解得,即.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,全等三角形的性质与判定,熟知利用证明三角形全等是解题的关键.
24. 如图,在中,平分,的垂直平分线交于点.若,,,求的度数和的长度.
【答案】的度数为和的长度为
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得,从而可得,再根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出,再利用勾股定理即可求出.
【详解】解:∵是的垂直平分线,,,
∴,,,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
解得,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴的度数为和的长度为.
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、角的直角三角形的性质、勾股定理及三角形内角和定理等知识点,熟练掌握线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理求出是解题的关键.
25. 如图,四边形中,,点O为的中点,且平分.
(1)求证:平分;
(2)求证:;
(3)求证:.
【答案】(1)
证明:过点作于,
∵,平分,
∴,
∵点为的中点,
∴,
∴,
又∵,
∴平分;
(2)
证明:在和中,
,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)
证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴.
【解析】
【分析】(1)过点作于,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等,可得,从而求出,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可;
(2)利用,证明,根据全等三角形对应角相等,可得,同理可得,然后求出,再根据垂直的定义即可证明;
(3)根据全等三角形对应边相等,可得,,然后根据线段之间的数量关系,即可得出结论.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
略
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
26. 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每把椅子80元,甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂家:买一张桌子送两把椅子;乙厂家:桌子和椅子全部按原价9折优惠.现某公司要购买5张办公桌和若干把椅子,若购买的椅子数为x把().
(1)分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额、;
(2)该公司选择哪一个厂家购买更划算?
【答案】(1)
(2)当时,两个厂家费用相同:当时,到甲厂家购买更划算;当时,到乙厂家购买更划算
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的不等式.
(1)根据题意和题目中的数据,可以分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额、;
(2)根据题意,可以列出不等式,然后分别求解即可.
【小问1详解】
由题意可得,
,
,
由上可得,;
【小问2详解】
由得:,解得:,
由得:,解得:,
由得:,解得:,
答:当时,两个厂家费用相同:当时,到甲厂家购买更划算;当时,到乙厂家购买更划算.
27. 【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型.
(1)如图1,已知和都是等边三角形,连接,.求证:;
【模型应用】
(2)如图2,已知和都是等边三角形,将绕点旋转一定的角度,当点在的延长线上时,请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______;
【类比探究】
(3)如图3,已知和都是等边三角形.
①当点在线段上时,过点作于点.求证:
②当点在线段的延长线上时,请直接写出线段,与之间存在的数量关系为______.
【答案】
(1)证明:和都是等边三角形,
,,,
,
,
在和中,
,
.
(2);
(3)①证明:和是等边三角形,
,,,
,
,
在和中
,
,,
,
,
,
,
,
,
.
②.
【解析】
【分析】(1)由和都是等边三角形得,,,进而推出,证明即可得证;
(2)由和都是等边三角形得,,,从而推出,进而证明得,即可得证;
(3)如图,当点在线段上或当点在线段的延长线上时,证明,可得,结合证明从而得出结论.
【详解】(1)略;
(2)解:和都是等边三角形,
,,,
,
,
在和中,
,
,
,
.
(3)解:①略;
②如图,当点在线段的延长线上时,
和是等边三角形,
,,,
,
在和中,
,
,,
,
,
.
,
,
.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质与判定,含的直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题关键.
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滕南中学八年级第二学期数学第一次质量检测
一、单选题
1. 若x>y,则下列各式正确的是( )
A. x-6<y-6 B. C. 2x+1>2y+1 D. -x>-y
2. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的( )
A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
3. 下列定理中逆命题是假命题的是( )
A. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B. 在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等
C. 同位角相等,两直线平行
D. 全等三角形的对应角相等
4. 已知点在第二象限,则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时,采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法.若整个小区每户都安装,收整体初装费元,再对每户收费元.某小区住户按这种收费方式全部安装天然气后,平均每户支付不足元,设这个小区的住户数为,则的取值是( )
A. 至少户 B. 至多户 C. 至少户 D. 至多户
6. 若不等式组无解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 某商店老板销售一种商品,他要有不低于进价的利润才能出售,但为了获得更多的利润,他以高出进价的价格标价,若你想买下标价为360元的这种商品,商店老板让价的最大限度为( )
A. 82 元 B. 100 元 C. 120 元 D. 160 元
8. 如图,在等边中,平分交于点D,过点D作于点E,且,则的长为( )
A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 7.5
9. 如图,已知,点P在边上,,点M,N在边上,,若,则( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
10. 如图,中,,D是的中点,于点E,则的长为( )
A. B. 8 C. D.
11. 如图,O是的角平分线的交点,,则等于( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
12. 如图,直线与交于点,则下列四个结论:①,;②当时,;③当时,;④当时,.其中正确的结论有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是,则其顶角的度数为___________.
14. 已知一次函数的图象如图所示,则关于x的不等式的解集是________.
15. 若不等式组的解集为,那么的值等于_______.
16. 如图,在中,,,的垂直平分线与交于点,与交于点,连结.若,则的长为______.
17. 已知关于x的不等式组只有三个整数解,则实数a的取值范围是______.
18. 如图,在中,,是的平分线.若P,Q分别是和上的动点,则的最小值是_______.
三、解答题
19. 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1);
(2).
20. 解下列不等式组:
(1);
(2).
21. 如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论.)
22. 如图,正比例函数的图像与一次函数的图像交于点,一次函数图像经过点,与轴的交点为,与轴的交点为.
(1)求一次函数表达式;
(2)求的面积;
(3)直接写出不等式的解集:___________.
23. 如图,在中,平分,于点E,点F在上,.
(1)求证:.
(2)若,求的长.
24. 如图,在中,平分,的垂直平分线交于点.若,,,求的度数和的长度.
25. 如图,四边形中,,点O为的中点,且平分.
(1)求证:平分;
(2)求证:;
(3)求证:.
26. 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每把椅子80元,甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案,甲厂家:买一张桌子送两把椅子;乙厂家:桌子和椅子全部按原价9折优惠.现某公司要购买5张办公桌和若干把椅子,若购买的椅子数为x把().
(1)分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额、;
(2)该公司选择哪一个厂家购买更划算?
27. 【模型感知】
手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型.
(1)如图1,已知和都是等边三角形,连接,.求证:;
【模型应用】
(2)如图2,已知和都是等边三角形,将绕点旋转一定的角度,当点在的延长线上时,请直接写出线段、、之间存在的数量关系为______;
【类比探究】
(3)如图3,已知和都是等边三角形.
①当点在线段上时,过点作于点.求证:
②当点在线段的延长线上时,请直接写出线段,与之间存在的数量关系为______.
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