第3章 实数（知识清单）数学浙教版2024七年级上册

第3章 实数 一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有 两个 平方根，且互为 相反数 ； 零的平方根为 零 ； 负数 没有平方根 ； 一个正数有一个 正 的立方根； 一个负数有一个 负 的立方根； 零的立方根是 零 ； 重要结论 二：实数 1.有理数和 无理数 统称为实数. 2.无理数：无限不循环小数，如. 3.实数的分类 要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.注意：有分数线不代表就是分数，如，不是分数，是无理数。 4.实数与数轴上的点 一一对应 . 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 5.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即 ||≥0 ； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即 ≥0 ； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 () . 6.非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 7.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大 ； 法则2．正数 大于 0，0 大于 负数，正数 大于 一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而 小 ； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：作差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 8.实数的运算： 数的相反数是 － ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0 . 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先 乘方和开方 、再乘除，最后算 加减 .同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算 括号里 . 一、平方根 1.平方根的概念 错误：混淆平方和开平方的两个运算。 注意：平方是一个数乘以其本身，开平方是已知平方的结果，求这个数本身。在求一个数的平方根时，需先熟悉常见的平方数。在求一个数的平方根时，注意要开平方的数具体是哪个，比如的平方根，其实要求的是4的平方根，而不是16的平方根。 例1 的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根定义．根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 2.平方根与算术平方根 错误：审题不明，导致算错结果。 注意：认真审题，若题目指明求平方根，一个正数的平方根应该有两个，0的平方根为0；如果求算术平方根，则是求平方根中正数那个，0的算术平方根也还是0。 例2 （24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）64的算术平方根是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于一个非负实数a，其算术平方根为，据此求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是． 故答案为：8． 3.分数和小数的平方根 错误：一个带分数开平方时，直接分别将整数部分和分数部分开平方是错误的；分数开平方时，只对分子或分母开平方是错误的；小数开平方时，要注意最终是几位小数。 注意：带分数开平方时要先化为假分数，所有分数开平方时一定要分子分母分别开平方；一般的，2位小数开平方的结果是1位小数，4位小数开平方的结果是2位小数......。 例3 （25-26八年级上·全国·随堂练习）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：， 的算术平方根是． （2）解：， 的算术平方根是． （3）解：， 的算术平方根是． （4）解：， 的算术平方根是． 4.正数的两个平方根互为相反数 错误：在做题时，往往忽略“a与b是一个正数的两个平方根”所隐藏的条件，即a+b=0 注意：在审题时，根据“a与b是一个正数的两个平方根”可以建立等量关系即a+b=0 例4 （24-25七年级下·福建南平·期中）已知一个正数的两个平方根是与，求的值； 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，求一个数的平方根：根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； 5.算术平方根的非负性 错误：忽略被开方数是非负数，也忽略一个数的算术平方根是非负数 注意：当已知一个数被开平方时，则这个数大于等于0， 例5 （24-25七年级下·湖南长沙·期中）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 例6 若，求xy的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，求一个数的平方根：根据被开方数为非负数，求出的值，进而求出的值，代入代数式求出代数式的值，进而求出平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴的平方根为． 二、实数 1.判断无理数、实数的分类 错误：将类似于、0.1010010001判断为无理数，又经常将类似于判断为分数或有理数，0.1010010001...(两个“1”之间依次多一个“0”）判断为有理数。 注意：无理数是无限不循环小数，首先要满足无限的概念，因此、0.1010010001都不是无理数，其次是不循环，0.1010010001...(两个“1”之间依次多一个“0”）这样的数是有规律但不循环，因此是无理数，而π是无限不循环小数，属于π除以2，也是无限不循环小数，即无理数，它不是分数。 例7 （24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）； ⑧；⑨． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． 根据无理数的定义，负有理数的定义，正实数的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，，， （1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数； （2）①，②属于负有理数； （3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数． 故答案为： 2.实数的相反数、绝对值、倒数等概念 错误：求实数的相反数、绝对值和倒数时计算错误，尤其是出现混淆相反数和倒数的概念。 注意：实数相反数、绝对值和倒数的概念与有理数的一致，因此实数a的相反数是﹣a，绝对值为|a|，当a为非负数时|a|=a，当a是负数时|a|=﹣a；a的倒数为。 例8 ﹣的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【详解】﹣的相反数是﹣（﹣）=， 倒数是=﹣， 绝对值是|﹣|=． 故本题的答案是：；﹣；． 例9 ，的相反数是 ． 【答案】 / / 【分析】根据绝对值及相反数的定义作答即可． 【详解】解： ， ， ， 的相反数是，即． 故答案为：，． 3.估算平方根数的大小 错误：对平方数不够熟悉，导致判断平方根数时出现错误。 注意：常见的平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,144，225,256,400,625等...判断平方根数的大小时，找到被开方数相邻的两个平方数，然后分别开平方即可。如，因为64＜76＜81，所以8＜＜9. 例10 （23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，先根据正方形面积公式确定，再利用放缩法确定的取值范围． 【详解】解：面积为5的正方形的边长为x， ， ， ， ， 故选A． 例11 （24-25七年级下·安徽铜陵·期末）我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用以上方法解决下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及实数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）估算得到所求整数部分与小数部分即可； （2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3；； （2）解：∵， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∴； ∵， ∴的整数部分是3，即． ∴． 4.实数的大小比较 错误：只凭直觉判断实数的大小，尤其是当无理数与有理数比较时。 注意：实数的大小比较，一般通过两个数在数轴上表示的点的位置判断：右边的数一定大于左边的数；但有时候也可以通过平方法、做差法、估算法、特殊值法判断。如判断与7的大小，可以使用平方法； 和1的大小，可以通过估算 比较。 例12 （24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据，得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 5.在数轴上表示无理数 错误：无法通过估算判断无理数在数轴上的大致位置，或不能通过作图法判断无理数在数轴上的大致位置 注意：（1）一般可以通过估算，判断无理数在数轴上的大致位置，想要更加精确，就使用夹逼法不断缩小范围；（2）可以通过作图，利用几何图形求特殊的无理数在数轴上的位置，比如，它在几何中的意义是面积为1的正方形的对角线长； 例13 （24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的故事，先计算出，，再根据无理数的估算方法得到，再把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴ 数轴表示如下所示： ∴． 例15 （24-25七年级下·贵州黔西·期末）已知、是数轴上的两个实数，且满足． (1)求和的值． (2)如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据非负数的性质求解，即可； （2）求解正方形的边长为，结合点表示的数是2，从而可得答案. 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：正方形的面积为5， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）， ， 点表示的数是2， 点所表示的数为． 三、立方根 1.立方根的概念与计算 错误：混淆立方和开立方的两个运算 注意：立方是一个数乘以其本身再乘以本身，开立方是已知一个数立方的结果，求这个数本身。在求一个数的立方根时，需先熟悉常见的立方数。 例16 （24-25八年级上·河南周口·期末）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为：． 2.平方根、算术平方根、立方根等于本身的数 错误：常见的错误是①忽略0；②忽略正数的平方根有两个；③忽略﹣1的立方根也是﹣1； 注意：平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0或1，立方根等于本身的数是﹣1,0,1。 例17 若一个数同时满足以下四项中的至少三项，则这个数可能是（    ） ①绝对值等于本身；②倒数等于本身；③平方根等于本身；④立方根等于本身． A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的性质；根据实数的性质分别确定满足①、②、③、④的数，结合题意分情况分析即可得出答案． 【详解】解：正数和的绝对值等于本身，故满足①的数是正数或； 的倒数等于，的倒数等于，故满足②的数是或； 的平方根等于，的平方根等于，故满足③的数是或； 的立方根等于，的立方根等于，的立方根等于，故满足④的数是或或； 若一个数同时满足①②③，则这个数是或； 若一个数同时满足①②④，则这个数是； 若一个数同时满足①③④，则这个数是或； 若一个数同时满足②③④，则这个数是； 若一个数同时满足①②③④，则这个数是； 故选：D． 3.立方根计算的实际应用 错误：审题不清，体积问题错误的用平方根解决；或计算不过关，不熟悉常见的立方数。 注意：正方体的体积问题，已知体积/容积求物体边长，要用开立方计算。常见的立方数有：1,8,27,64,125,216.....尤其注意，64既是4的立方，也是8的平方，不要混淆。 例18 （24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 四、实数的运算 1.实数运算的法则 错误：对有理数的运算基础本就薄弱，或进行开平方、开立方的计算掌握不够，导致计算错误。 注意：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方和开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 例19 （25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减即可； （2）先算开方，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 1.（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的求解，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2.（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．带根号的数一定是无理数 B．-的算术平方根是 2 C．0.8的立方根是0.2 D．有理数和无理数统称为实数 【答案】D 【分析】根据无理数、算术平方根、立方根以及实数的相关定义，对每个选项进行分析判断．本题主要考查了无理数、算术平方根、立方根以及实数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解： 例如是有理数，并非所有带根号的数都是无理数， 错误； ，负数没有算术平方根， 错误； ， 错误； 有理数和无理数统称为实数，这是实数的定义， 正确； 故选：． 3.（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 4.（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算正确，不符合题意； D、，原计算正确，不符合题意； 故选：A． 5.（24-25七年级下·北京·期末）如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可． 【详解】解：，，即 ，之间表示整数的点有，，，四个， 故选：B． 6.（24-25七年级下·云南玉溪·期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（   ） A．1 B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，设正方形的边长为，先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，从而可得，估算出，即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴正方形的边长可能是， 故选：B． 7.（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 8.（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为6，且， ∴， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：，故B正确． 故选：B． 9.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根的定义、立方根的定义解答即可，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根是； 的立方根是； 故答案为：，． 10.（20-21七年级下·天津红桥·期中）比较大小： （填“＞、＜或＝”）． 【答案】＞ 【分析】对于两个正数a，b，若，则，利用此结论可比较，的大小，从而可得答案． 【详解】解：∵， 而 ， ∴＞， 故答案为：＞． 11.（22-23八年级上·江苏扬州·期末）在（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，有理数的个数是 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了有理数的定义，掌握有理数的定义是解题的关键． 根据有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．由此即可判定． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 0.6是有限小数，属于有理数； ∴有理数的个数是4． 故答案为：4． 12.（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，都为实数，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根、有理数乘方等知识点，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为是解题的关键． 根据非负数的性质得到关于、的等式，求得、的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ． 故答案为：． 13.（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵的整数部分为a，小数部分为b， ∴，， ∴， 故答案为：． 14.（24-25七年级下·陕西西安·期末）用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 【答案】30 【分析】本题考查了算术平方根的应用． 先求出每块地砖的面积，在计算算术平方根即可． 【详解】解：∵用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满， ∴每块地砖的面积为（平方米）， 则每块地砖的边长是（米）（厘米）， 故答案为：30． 15.（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，掌握无理数的定义（无限不循环小数是无理数）是解题的关键． 根据分数、非负数、无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：分数：③④⑧⑨； 非负数：①⑤⑥⑦⑧⑨ 无理数：⑥⑦． 16.（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 17.（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知，b是9的平方根，c是的立方根． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的小数部分． 【答案】(1) (2)的小数部分是 【分析】本题考查了绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算． （1）根据绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义即可得到答案； （2）根据得到，代入后根据无理数的估算得到小数部分． 【详解】（1）解：∵，b是9的平方根，c是的立方根， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分是2， 则小数部分是． 18.（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 19.（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1）<；<；<；<；（2）①；②；③；（3） 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算． （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：<；<；<；<； （2）∵， ∴，，， ∴①； ②； ③， 故答案为：①；②；③； （3） ． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 实数 一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有 平方根，且互为 ； 零的平方根为 ； 负数 ； 一个正数有一个 的立方根； 一个负数有一个 的立方根； 零的立方根是 ； 重要结论 二：实数 1.有理数和 统称为实数. 2.无理数：无限不循环小数，如. 3.实数的分类 要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.注意：有分数线不代表就是分数，如，不是分数，是无理数。 4.实数与数轴上的点 . 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 5.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即 ； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即 ； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 . 6.非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 7.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 ； 法则2．正数 0，0 负数，正数 一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而 ； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：作差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 8.实数的运算： 数的相反数是 ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 . 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先 、再乘除，最后算 .同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算 . 一、平方根 1.平方根的概念 错误：混淆平方和开平方的两个运算。 注意：平方是一个数乘以其本身，开平方是已知平方的结果，求这个数本身。在求一个数的平方根时，需先熟悉常见的平方数。在求一个数的平方根时，注意要开平方的数具体是哪个，比如的平方根，其实要求的是4的平方根，而不是16的平方根。 例1 的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根定义．根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 2.平方根与算术平方根 错误：审题不明，导致算错结果。 注意：认真审题，若题目指明求平方根，一个正数的平方根应该有两个，0的平方根为0；如果求算术平方根，则是求平方根中正数那个，0的算术平方根也还是0。 例2 （24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）64的算术平方根是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于一个非负实数a，其算术平方根为，据此求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是． 故答案为：8． 3.分数和小数的平方根 错误：一个带分数开平方时，直接分别将整数部分和分数部分开平方是错误的；分数开平方时，只对分子或分母开平方是错误的；小数开平方时，要注意最终是几位小数。 注意：带分数开平方时要先化为假分数，所有分数开平方时一定要分子分母分别开平方；一般的，2位小数开平方的结果是1位小数，4位小数开平方的结果是2位小数......。 例3 （25-26八年级上·全国·随堂练习）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：， 的算术平方根是． （2）解：， 的算术平方根是． （3）解：， 的算术平方根是． （4）解：， 的算术平方根是． 4.正数的两个平方根互为相反数 错误：在做题时，往往忽略“a与b是一个正数的两个平方根”所隐藏的条件，即a+b=0 注意：在审题时，根据“a与b是一个正数的两个平方根”可以建立等量关系即a+b=0 例4 （24-25七年级下·福建南平·期中）已知一个正数的两个平方根是与，求的值； 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，求一个数的平方根：根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； 5.算术平方根的非负性 错误：忽略被开方数是非负数，也忽略一个数的算术平方根是非负数 注意：当已知一个数被开平方时，则这个数大于等于0， 例5 （24-25七年级下·湖南长沙·期中）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 例6 若，求xy的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，求一个数的平方根：根据被开方数为非负数，求出的值，进而求出的值，代入代数式求出代数式的值，进而求出平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴的平方根为． 二、实数 1.判断无理数、实数的分类 错误：将类似于、0.1010010001判断为无理数，又经常将类似于判断为分数或有理数，0.1010010001...(两个“1”之间依次多一个“0”）判断为有理数。 注意：无理数是无限不循环小数，首先要满足无限的概念，因此、0.1010010001都不是无理数，其次是不循环，0.1010010001...(两个“1”之间依次多一个“0”）这样的数是有规律但不循环，因此是无理数，而π是无限不循环小数，属于π除以2，也是无限不循环小数，即无理数，它不是分数。 例7 （24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）； ⑧；⑨． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． 根据无理数的定义，负有理数的定义，正实数的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，，， （1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数； （2）①，②属于负有理数； （3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数． 故答案为： 2.实数的相反数、绝对值、倒数等概念 错误：求实数的相反数、绝对值和倒数时计算错误，尤其是出现混淆相反数和倒数的概念。 注意：实数相反数、绝对值和倒数的概念与有理数的一致，因此实数a的相反数是﹣a，绝对值为|a|，当a为非负数时|a|=a，当a是负数时|a|=﹣a；a的倒数为。 例8 ﹣的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【详解】﹣的相反数是﹣（﹣）=， 倒数是=﹣， 绝对值是|﹣|=． 故本题的答案是：；﹣；． 例9 ，的相反数是 ． 【答案】 / / 【分析】根据绝对值及相反数的定义作答即可． 【详解】解： ， ， ， 的相反数是，即． 故答案为：，． 3.估算平方根数的大小 错误：对平方数不够熟悉，导致判断平方根数时出现错误。 注意：常见的平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,144，225,256,400,625等...判断平方根数的大小时，找到被开方数相邻的两个平方数，然后分别开平方即可。如，因为64＜76＜81，所以8＜＜9. 例10 （23-24八年级上·湖南郴州·阶段练习）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，先根据正方形面积公式确定，再利用放缩法确定的取值范围． 【详解】解：面积为5的正方形的边长为x， ， ， ， ， 故选A． 例11 （24-25七年级下·安徽铜陵·期末）我们知道是无理数，且，所以其整数部分是1，于是小明用表示的小数部分．利用以上方法解决下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及实数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）估算得到所求整数部分与小数部分即可； （2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3；； （2）解：∵， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∴； ∵， ∴的整数部分是3，即． ∴． 4.实数的大小比较 错误：只凭直觉判断实数的大小，尤其是当无理数与有理数比较时。 注意：实数的大小比较，一般通过两个数在数轴上表示的点的位置判断：右边的数一定大于左边的数；但有时候也可以通过平方法、做差法、估算法、特殊值法判断。如判断与7的大小，可以使用平方法； 和1的大小，可以通过估算 比较。 例12 （24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据，得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 5.在数轴上表示无理数 错误：无法通过估算判断无理数在数轴上的大致位置，或不能通过作图法判断无理数在数轴上的大致位置 注意：（1）一般可以通过估算，判断无理数在数轴上的大致位置，想要更加精确，就使用夹逼法不断缩小范围；（2）可以通过作图，利用几何图形求特殊的无理数在数轴上的位置，比如，它在几何中的意义是面积为1的正方形的对角线长； 例13 （24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的故事，先计算出，，再根据无理数的估算方法得到，再把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴ 数轴表示如下所示： ∴． 例15 （24-25七年级下·贵州黔西·期末）已知、是数轴上的两个实数，且满足． (1)求和的值． (2)如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据非负数的性质求解，即可； （2）求解正方形的边长为，结合点表示的数是2，从而可得答案. 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：正方形的面积为5， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）， ， 点表示的数是2， 点所表示的数为． 三、立方根 1.立方根的概念与计算 错误：混淆立方和开立方的两个运算 注意：立方是一个数乘以其本身再乘以本身，开立方是已知一个数立方的结果，求这个数本身。在求一个数的立方根时，需先熟悉常见的立方数。 例16 （24-25八年级上·河南周口·期末）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为：． 2.平方根、算术平方根、立方根等于本身的数 错误：常见的错误是①忽略0；②忽略正数的平方根有两个；③忽略﹣1的立方根也是﹣1； 注意：平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0或1，立方根等于本身的数是﹣1,0,1。 例17 若一个数同时满足以下四项中的至少三项，则这个数可能是（    ） ①绝对值等于本身；②倒数等于本身；③平方根等于本身；④立方根等于本身． A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的性质；根据实数的性质分别确定满足①、②、③、④的数，结合题意分情况分析即可得出答案． 【详解】解：正数和的绝对值等于本身，故满足①的数是正数或； 的倒数等于，的倒数等于，故满足②的数是或； 的平方根等于，的平方根等于，故满足③的数是或； 的立方根等于，的立方根等于，的立方根等于，故满足④的数是或或； 若一个数同时满足①②③，则这个数是或； 若一个数同时满足①②④，则这个数是； 若一个数同时满足①③④，则这个数是或； 若一个数同时满足②③④，则这个数是； 若一个数同时满足①②③④，则这个数是； 故选：D． 3.立方根计算的实际应用 错误：审题不清，体积问题错误的用平方根解决；或计算不过关，不熟悉常见的立方数。 注意：正方体的体积问题，已知体积/容积求物体边长，要用开立方计算。常见的立方数有：1,8,27,64,125,216.....尤其注意，64既是4的立方，也是8的平方，不要混淆。 例18 （24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 四、实数的运算 1.实数运算的法则 错误：对有理数的运算基础本就薄弱，或进行开平方、开立方的计算掌握不够，导致计算错误。 注意：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方和开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 例19 （25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减即可； （2）先算开方，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 1.（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的求解，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2.（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．带根号的数一定是无理数 B．-的算术平方根是 2 C．0.8的立方根是0.2 D．有理数和无理数统称为实数 【答案】D 【分析】根据无理数、算术平方根、立方根以及实数的相关定义，对每个选项进行分析判断．本题主要考查了无理数、算术平方根、立方根以及实数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解： 例如是有理数，并非所有带根号的数都是无理数， 错误； ，负数没有算术平方根， 错误； ， 错误； 有理数和无理数统称为实数，这是实数的定义， 正确； 故选：． 3.（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 4.（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算正确，不符合题意； D、，原计算正确，不符合题意； 故选：A． 5.（24-25七年级下·北京·期末）如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可． 【详解】解：，，即 ，之间表示整数的点有，，，四个， 故选：B． 6.（24-25七年级下·云南玉溪·期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，则正方形的边长可能是（   ） A．1 B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，设正方形的边长为，先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，从而可得，估算出，即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴正方形的边长可能是， 故选：B． 7.（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 8.（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为6，且， ∴， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：，故B正确． 故选：B． 9.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根的定义、立方根的定义解答即可，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根是； 的立方根是； 故答案为：，． 10.（20-21七年级下·天津红桥·期中）比较大小： （填“＞、＜或＝”）． 【答案】＞ 【分析】对于两个正数a，b，若，则，利用此结论可比较，的大小，从而可得答案． 【详解】解：∵， 而 ， ∴＞， 故答案为：＞． 11.（22-23八年级上·江苏扬州·期末）在（相邻两个1之间2的个数逐次加1）这些数中，有理数的个数是 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了有理数的定义，掌握有理数的定义是解题的关键． 根据有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．由此即可判定． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 0.6是有限小数，属于有理数； ∴有理数的个数是4． 故答案为：4． 12.（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，都为实数，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根、有理数乘方等知识点，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为是解题的关键． 根据非负数的性质得到关于、的等式，求得、的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ． 故答案为：． 13.（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵的整数部分为a，小数部分为b， ∴，， ∴， 故答案为：． 14.（24-25七年级下·陕西西安·期末）用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 【答案】30 【分析】本题考查了算术平方根的应用． 先求出每块地砖的面积，在计算算术平方根即可． 【详解】解：∵用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满， ∴每块地砖的面积为（平方米）， 则每块地砖的边长是（米）（厘米）， 故答案为：30． 15.（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，掌握无理数的定义（无限不循环小数是无理数）是解题的关键． 根据分数、非负数、无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：分数：③④⑧⑨； 非负数：①⑤⑥⑦⑧⑨ 无理数：⑥⑦． 16.（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 17.（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知，b是9的平方根，c是的立方根． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的小数部分． 【答案】(1) (2)的小数部分是 【分析】本题考查了绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算． （1）根据绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义即可得到答案； （2）根据得到，代入后根据无理数的估算得到小数部分． 【详解】（1）解：∵，b是9的平方根，c是的立方根， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分是2， 则小数部分是． 18.（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 19.（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1）<；<；<；<；（2）①；②；③；（3） 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算． （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：<；<；<；<； （2）∵， ∴，，， ∴①； ②； ③， 故答案为：①；②；③； （3） ． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$