第03章 实数 章节（11知识点回顾+24题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第03章 实数 章节（11知识点回顾+24题型练习） 题型汇聚 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型四 算术平方根的实际应用 题型五 平方根概念理解 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 平方根的应用 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 无理数 题型十一 无理数的大小估算 题型十二 无理数整数部分的有关计算 题型十三 实数概念理解 题型十四 实数的分类 题型十五 实数的性质 题型十六 实数与数轴 题型十七 实数的大小比较 题型十八 立方根概念理解 题型十九 求一个数的立方根 题型二十 已知一个数的立方根，求这个数 题型二十一 立方根的实际应用 题型二十二 实数的混合运算 题型二十三 实数运算的实际应用 题型二十四 计算器——平方根和立方根 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点4．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点5．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点6．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点7．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点8．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点9．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点10．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点11．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型练习 题型一 求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级上·浙江·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算 (1)； (2)． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 3．（七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 4．（七年级上·浙江·专题练习）若是整数，则满足条件的自然数m共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分 5．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 题型四 算术平方根的实际应用 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）面积为6的正方形，其边长为 ． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在的两个方格中，分别作出两个面积大于1且小于9的正方形要求所作两个正方形面积不同，且顶点都在格点上，并写出相应正方形的边长．      边长______    边长______ 题型五 平方根概念理解 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知与都是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 10．（七年级上·浙江绍兴·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（七年级下·浙江台州·期中）已知，则= . 题型七 求一个数的平方根 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 题型八 平方根的应用 14．（七年级上·浙江绍兴·期末）如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有 对． 15．（七年级上·浙江·专题练习）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的． 因为， 所以， ， ，，所以． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 16．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ） A． B． C． D． 17．（七年级上·浙江温州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为 . 题型十 无理数 18．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 题型十一 无理数的大小估算 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）对于实数的描述正确的是（   ） A．介于2和3之间，更接近于2 B．介于2和3之间，更接近于3 C．介于3和4之间，更接近于3 D．介于3和4之间，更接近于4 21．（24-25七年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 题型十二 无理数整数部分的有关计算 22．（23-24七年级上·浙江温州·期中）的小数部分为 ．（结果保留根号） 23．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． (1)图中阴影正方形的面积是________，边长是________． (2)已知x为阴影正方形的边长的小数部分，y为的整数部分．求： ①x，y的值； ②的相反数． 题型十三 实数概念理解 24．（七年级上·浙江杭州·期末）若，均为整数，且，则不可能是（　　　） A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数 25．（七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 题型十四 实数的分类 26．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）四个数，，，，其中负数是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列实数：①，②，③，④，⑤，⑥中，属于无理数的是 （填序号）． 题型十五 实数的性质 28．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十六 实数与数轴 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知一列数：． (1)把这个数表示在下图所示的数轴上； (2)用“”将这个数连接起来． 题型十七 实数的大小比较 31．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中比大的数是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上． (1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示． (2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小． 题型十八 立方根概念理解 33．（2023七年级·全国·专题练习）当x取 时，有意义． 题型十九 求一个数的立方根 34．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 题型二十 已知一个数的立方根，求这个数 35．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知一个数的平方根分别为和，的立方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 题型二十一 立方根的实际应用 36．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求锻造成的立方体铁块边长及其表面积． 题型二十二 实数的混合运算 37．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型二十三 实数运算的实际应用 39．（七年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 题型二十四 计算器——平方根和立方根 40．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 实数 章节（11知识点回顾+24题型练习） 题型汇聚 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型四 算术平方根的实际应用 题型五 平方根概念理解 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 平方根的应用 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 无理数 题型十一 无理数的大小估算 题型十二 无理数整数部分的有关计算 题型十三 实数概念理解 题型十四 实数的分类 题型十五 实数的性质 题型十六 实数与数轴 题型十七 实数的大小比较 题型十八 立方根概念理解 题型十九 求一个数的立方根 题型二十 已知一个数的立方根，求这个数 题型二十一 立方根的实际应用 题型二十二 实数的混合运算 题型二十三 实数运算的实际应用 题型二十四 计算器——平方根和立方根 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点4．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点5．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点6．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点7．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点8．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点9．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点10．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点11．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型练习 题型一 求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级上·浙江·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，根据运算法则及定义逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、∵， ，计算错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则进行计算即可． （1）根据乘方运算法则和算术平方根定义进行求解即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 3．（七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质列出方程求出m、m的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 4．（七年级上·浙江·专题练习）若是整数，则满足条件的自然数m共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据被开方数是非负数，结果是整数，m还是自然数，分类求解即可． 【详解】因为表示算术平方根， 所以被开方数是非负数， 故， 因为m是自然数， 所以m取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8， 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； 当时，，是整数，符合题意； 故满足条件的自然数有三个． 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根的被开方数是非负数，结果是整数，自然数，熟练掌握三数是解题的关键． 题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分 5．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 题型四 算术平方根的实际应用 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）面积为6的正方形，其边长为 ． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．根据正方形面积公式，利用算术平方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：面积为6的正方形的边长表示为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在的两个方格中，分别作出两个面积大于1且小于9的正方形要求所作两个正方形面积不同，且顶点都在格点上，并写出相应正方形的边长．      边长______    边长______ 【答案】见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了网格作图，算术平方根的应用，正确理解算术平方根的意义是解题关键．根据网格的特点和利用割补法画出符合题意的正方形，再求出对应正方形的边长即可． 【详解】解：如图所示，即为所求； 第一幅图的正方形面积为2，则其边长为； 第二幅图的正方形面积为4，则其边长为； 第三幅图的正方形面积为5，则其边长为； 第四幅图的正方形面积为8，则其边长为． 题型五 平方根概念理解 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意； 因为的算术平方根是2，所以B不符合题意； 因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是，所以C不符合题意； 因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意； 故选：D． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知与都是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】16或144 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，明确一个正数的平方根互为相反数是解本题的关键．根据平方根的性质可得或，解方程可得x的值，进而得到这个数的平方根，然后再算出这个数即可． 【详解】解：根据题意得： 或， 解得：或9， ∴，，， ∵16的平方根是，144的平方根是， ∴这个正数是16或144； 故答案为：16或144． 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 10．（七年级上·浙江绍兴·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 【详解】∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 11．（七年级下·浙江台州·期中）已知，则= . 【答案】0.1414 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】直接根据“被开方数的小数点每向左或向右移动两位其算术平方根的小数点向相应的同方向移动一位”这一规律进行解题即可． 【详解】解：∵，的小数点向左移动位变为， ∴， 故答案为：0.1414． 【点睛】本题考查了算术平方根的小数点的移动规律，充分理解算术平方根的意义是解本题的关键． 题型七 求一个数的平方根 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据算术平方根，平方根的意义，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 13．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根． (1)81； (2)1.96； (3)30； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键； （1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用平方根的意义解答即可； （3）利用平方根的意义解答即可； （4）利用平方根的意义解答即可； （5）利用平方根的意义解答即可； （6）利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）∵， ∴81的平方根为； （2）∵， ∴1.96的平方根为； （3）∵， ∴30的平方根为； （4）∵， ∴的平方根为； （5）∵， ∴的平方根为； （6）， ∵， ∴的平方根为． 题型八 平方根的应用 14．（七年级上·浙江绍兴·期末）如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有 对． 【答案】7 【知识点】平方根的应用 【分析】首先根据题意列得方程：，由两个整数,可得是的倍数，设，代入方程，分析求解即可． 【详解】解：∵两个整数的和、差、积、商的和等于100， ∴ 即 ∴是的倍数，设， 则：， ， ∴或4或25或100， ∴或4或1或-11或-6或-3或-2（0舍去） ∴这样的整数有或或或 ； 故共有7对． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了数的整除性问题．由，得到是的倍数是解此题的关键．此题难度较大，要注意合理应用分类讨论思想． 15．（七年级上·浙江·专题练习）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的． 因为， 所以， ， ，，所以． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 【答案】错在由得这一步 【知识点】平方根的应用 【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步． 【详解】解：错在由得这一步， 显然，， 所以． 【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 16．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且是互为相反数，可求出 的值，进而求出的值． 【详解】解：由平方根的意义可得， ， 解得，， 当时，，， ∴这个正数的平方根是， ， 故选：D． 【点睛】本题考查平方根的意义，掌握一个正数的平方根的特征是正确解答的关键． 17．（七年级上·浙江温州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为 . 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得值，再求出的算术平方根即可． 【详解】∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为： 【点睛】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键． 题型十 无理数 18．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； （两个“”之间依次多一个“”）是无理数，符合题意； 综上可知：无理数共有个， 故选：． 19．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 【答案】；；； 【知识点】实数的分类、无理数、有理数的定义 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的定义，无理数的定义等知识点，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可． 【详解】解：整数：； 分数：； 负数：； 无理数：； 故答案为：；；；． 题型十一 无理数的大小估算 20．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）对于实数的描述正确的是（   ） A．介于2和3之间，更接近于2 B．介于2和3之间，更接近于3 C．介于3和4之间，更接近于3 D．介于3和4之间，更接近于4 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解决本题的关键． 先判断的范围，再判断接近的数． 【详解】解：∵，即， ∴介于3和4之间，更接近于4． 故选：D． 21．（24-25七年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 题型十二 无理数整数部分的有关计算 22．（23-24七年级上·浙江温州·期中）的小数部分为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据，，可得，即可解答，估算的整数部分是解题的关键． 【详解】解：，， ， 的小数部分为， 故答案为：． 23．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，每个小正方形的边长为1，阴影部分是一个正方形． (1)图中阴影正方形的面积是________，边长是________． (2)已知x为阴影正方形的边长的小数部分，y为的整数部分．求： ①x，y的值； ②的相反数． 【答案】(1)13， (2)①，y=3；②的相反数为 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小、算术平方根、相反数等知识点，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． （1）根据题意可得阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小三角形的面积，再根据算术平方根的定义即可解答； （2）①根据估算无理数大小估计可得：、，再结合题意即可得出和的值；②代入计算并根据相反数的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 则阴影部分正方形的边长为：． 故答案为：13，． （2）解：①∵、， ，， ，； ②∵， ∴的相反数为． 题型十三 实数概念理解 24．（七年级上·浙江杭州·期末）若，均为整数，且，则不可能是（　　　） A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数 【答案】C 【知识点】无理数、实数概念理解 【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵，均为整数，且， 则可能是正数、负数、有理数，但是不可能是无理数； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数和无理数的定义进行判断，解题的关键是熟记定义进行判断． 25．（七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 【详解】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 题型十四 实数的分类 26．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）四个数，，，，其中负数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义、实数的分类 【分析】本题主要考查了负数的定义，解题时注意：既不是正数也不是负数，正数是大于的数，负数是小于的数．比小的数为负数，据此进行判断即可． 【详解】解：， ，，，中负数是， 故选：A． 27．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列实数：①，②，③，④，⑤，⑥中，属于无理数的是 （填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查实数的知识，无理数的定义：无限不循环的小数；有理数的定义：除无理数之外的数都是有理数，根据无理数和有理数的定义，进行解答，即可． 【详解】∵，，，是有理数，，是无理数， 故答案为：④⑤． 题型十五 实数的性质 28．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若互为相反数，则；③若a为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数、实数的性质 【分析】根据无理数的定义和倒数的定义可判断①；根据相反数的定义和0不能做分母可判断②；根据绝对值的性质可判断③；根据有理数的大小比较方法可判断④． 【详解】解：①无理数的倒数还是无理数，正确； ②当时，无意义，故若互为相反数，则说法错误； ③若a为任意有理数，则，正确； ④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误． 综上可知正确的有①③共两个． 故选B． 【点睛】本题考查无理数的定义，倒数的定义，相反数的定义，0不能做分母，绝对值的性质，有理数的大小比较．熟练掌握上述知识是解题关键． 题型十六 实数与数轴 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，，，这6个；④是分数，它是有理数．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】实数与数轴、无理数 【分析】本题考查实数与数轴，有理数与无理数，根据无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，逐一进行判断即可． 【详解】解：任何无理数都是无限小数；故①说法正确； 实数与数轴上的点一一对应；故②说法错误； 在1和3之间的无理数有无数个，故③的说法错误； 是无理数，故④的说法错误； 故选A． 30．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知一列数：． (1)把这个数表示在下图所示的数轴上； (2)用“”将这个数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】实数的大小比较、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较； （1）根据题意先化简绝对值，然后表示在数轴上，即可求解； （2）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”将这个数连接起来，即可求解． 【详解】（1）解：=， 如图所示， （2）根据数轴可得： 题型十七 实数的大小比较 31．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的比较，根据负数小于0，0小于正数，负数比较绝对值大的反而小直接判断即可得到答案． 【详解】解：， ， 比大的数是， 故选：D． 32．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上． (1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示． (2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查用数轴上的点表示无理数，无理数的比较大小； （1）根据题意作出即可； （2）以为圆心，为半径作弧，则可表示，然后以原点为圆心，为半径作弧表示，然后利用数轴上右边的数大于左边的数解题即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， ∵在数轴右边的数总比左边的数大， ∴． 题型十八 立方根概念理解 33．（2023七年级·全国·专题练习）当x取 时，有意义． 【答案】任意实数 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义，可得出的取值范围． 【详解】解：∵任何实数都有立方根， ∴可取任意实数， ∴可取任意实数． 故答案为：任意实数． 题型十九 求一个数的立方根 34．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 【答案】①⑤；④⑥；②⑦ 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解题的关键．根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数，进行解答即可． 【详解】解：， 正整数有①⑤； 分数有：④⑥； 无理数有：②⑦； 故答案为：①⑤；④⑥；②⑦． 题型二十 已知一个数的立方根，求这个数 35．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知一个数的平方根分别为和，的立方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，平方根的概念，根据一个数的立方根求这个数等等，解题的关键在于熟知平方根和立方根的定义：对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根； （1）根据一个数的两个平方根互为相反数得到，解方程求出a，再根据立方根的定义得到，解方程求出b即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求出答案即可． 【详解】（1）解：∵一个数的平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根为2， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴的平方根是． 题型二十一 立方根的实际应用 36．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求锻造成的立方体铁块边长及其表面积． 【答案】边长为，表面积为 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，设立方体的棱长是，得出方程，求出，代入求出即可． 【详解】解：设立方体的棱长是， 则， ， 即锻造成的立方体铁块的表面积是． 答：立方体的棱长是20，锻造成的立方体铁块的表面积是． 题型二十二 实数的混合运算 37．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）设实数a，b，若的结果是有理数，则（   ） A．a为有理数，b为有理数 B．的结果必为有理数 C．a为无理数，b为有理数 D．的结果可能为无理数 【答案】D 【知识点】实数的混合运算、无理数 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【详解】解：A、当时，，是无理数，是无理数，故A错误； B、当时，，那么，结果是无理数，所以B错误； C、当时，，是无理数，是无理数，故选项C错误； D、当时，，那么，结果可能是无理数，所以选项正确，D正确． 故选：D． 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2)5 (3) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）按照从左到右依次计算即可． （2）先算算术平方根，立方根，平方运算，最后再计算加减法即可． （3）利用乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型二十三 实数运算的实际应用 39．（七年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 则作图如下： . 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 题型二十四 计算器——平方根和立方根 40．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算器——平方根和立方根 【分析】根据按键的顺序即可得出算式． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为 故选C． 【点睛】本题考查了科学计算器的使用与立方根，掌握“”与“平方根”键组合表示求一个数的立方根是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$