专题02 有理数的乘方和混合运算（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题02 有理数的乘方和混合运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有理数的乘方运算 1 题型二、科学记数法及其运算（常考点） 2 题型三、乘方相关的定义性问题 3 题型四、有理数的混合运算（重点） 4 题型五、有理数混合运算中的阅读与探究（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有理数的乘方运算 1.（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）计算（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 6．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣）3 (2)﹣32×23 (3)（﹣3）2×（﹣2）3 (4)﹣2×32 (5)（﹣2×3）2 (6)（﹣2）14×（﹣）15 (7)﹣（﹣2）4 (8)（﹣1）2001 (9)﹣23+（﹣3）2 (10)（﹣2）2•（﹣3）2 题型二、科学记数法及其运算 1．（24-25七年级上·广东汕头·期末）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为，把370000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）据联合国《世界人口展望2024》报告称，世界人口将在2080年代中期达到顶峰约103亿．则103亿用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）长城的总长大约为万米，将数万用科学记数法表示为 ． 4．（18-19九年级下·江苏南京·阶段练习）某市2023年底机动车的数量是辆，2024年新增辆，用科学记数法表示该市2024年底机动车的数量是 辆． 5．（20-21七年级上·山东枣庄·期中）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为 ． 6．（23-24七年级上·河北沧州·期中）下面是某平台2023年国庆期间河北热门景点前两名，在某个时间段内，共售出a张北戴河门票和b张避暑山庄门票． (1)在该时间段内，该平台这两种门票共售出多少元？ (2)当，时，该平台这两种门票共售出多少元？（用科学记数法表示） 7．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 题型三、乘方相关的定义性问题 1．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某图书馆把密码做成了数学题．小明在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东德州·期中）用“☆”“★”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，那么 ． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为 ． 5．（23-24七年级上·广东惠州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ， ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 题型四、有理数的混合运算 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 题型五、有理数混合运算中的阅读与探究 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 3．（2025八年级下·全国·专题练习）按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 5．（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 8．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 9．（24-25七年级上·广西桂林·期中）平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）下列运算中，结果为负的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西钦州·阶段练习）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m，将数字21500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新的运算：，如，则的值是（    ） A． B．2 C． D．1 5．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为，，转化成十进制数分别为，，则十进制数6用八卦符号表示是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南商丘·期末） ． 8．（24-25七年级上·陕西安康·期末）计算，结果用科学记数法表示为 ． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，则= ． 10．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 11．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 12．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3) (4)． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 15．（2024七年级上·全国·专题练习）小亮在电脑上设计了一个有理数的运算程序：输入a，按“*”键，再输入b，得到运算． (1)求的值； (2)小明在运算程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，猜想他在输入数据时，可能出现什么情况，为什么？ 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的乘方和混合运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有理数的乘方运算 1 题型二、科学记数法及其运算（常考点） 3 题型三、乘方相关的定义性问题 6 题型四、有理数的混合运算（重点） 9 题型五、有理数混合运算中的阅读与探究（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有理数的乘方运算 1.（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，需明确负号是否参与指数运算． 根据运算顺序，指数运算优先于乘法．题目中的表达式应理解为先计算，再取负数． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：， 故选： D． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】此题考查了乘方运算和有理数比较大小．先利用乘方法则计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 6．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)（﹣）3 (2)﹣32×23 (3)（﹣3）2×（﹣2）3 (4)﹣2×32 (5)（﹣2×3）2 (6)（﹣2）14×（﹣）15 (7)﹣（﹣2）4 (8)（﹣1）2001 (9)﹣23+（﹣3）2 (10)（﹣2）2•（﹣3）2 【答案】(1)﹣ (2)-72 (3)-72 (4)-18 (5)36 (6)﹣ (7)﹣16 (8)-1 (9)1 (10)36 【分析】根据有理数乘方的法则和积的乘方、幂的乘方及乘方的混合运算解答． 【详解】（1）（﹣）3＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣； （2）﹣32×23＝﹣9×8＝﹣72； （3）（﹣3）2×（﹣2）3＝9×（﹣8）＝﹣72； （4）﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18； （5）（﹣2×3）2＝（﹣6）2＝36； （6）（﹣2）14×（﹣）15＝（﹣2）14×（﹣）14×（﹣）＝[（﹣2）×（﹣）]14×（﹣）＝﹣； （7）﹣（﹣2）4＝﹣（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣16； （8）（﹣1）2001＝﹣1； （9）﹣23+（﹣3）2＝﹣8+9＝1； （10）（﹣2）2•（﹣3）2＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣3）×（﹣3）＝36． 题型二、科学记数法及其运算 1．（24-25七年级上·广东汕头·期末）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为，把370000这个数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法－用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：把370000这个数用科学记数法表示为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）据联合国《世界人口展望2024》报告称，世界人口将在2080年代中期达到顶峰约103亿．则103亿用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：103亿用科学记数法表示是． 故选：A． 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）长城的总长大约为万米，将数万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故答案为：． 4．（18-19九年级下·江苏南京·阶段练习）某市2023年底机动车的数量是辆，2024年新增辆，用科学记数法表示该市2024年底机动车的数量是 辆． 【答案】 【分析】求出该市2024年底机动车的数量，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：（辆． 故答案为． 5．（20-21七年级上·山东枣庄·期中）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为 ． 【答案】5或6； 【分析】解决本题时先明确科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．因此当1≤t≤10时，先计算出光传播的距离，再将结算结果用科学记数法表示出来． 【详解】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5； 当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6； 因为1≤t≤10，所以n可能为5或6． 故答案为：5或6． 6．（23-24七年级上·河北沧州·期中）下面是某平台2023年国庆期间河北热门景点前两名，在某个时间段内，共售出a张北戴河门票和b张避暑山庄门票． (1)在该时间段内，该平台这两种门票共售出多少元？ (2)当，时，该平台这两种门票共售出多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列代数式，已知字母的值求式子的值，正确理解题意列得代数式是解题的关键． （1）根据单价乘以票数即可得到收入； （2）将字母的值代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在该时间段内，该平台这两种门票共售出元； （2）解：当，时，代入可知： （元）． 7．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)克 (2)千克 (3)元 【分析】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． （1）用500粒大米的总重量除以500 ，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【详解】（1）解：（克）， 答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． 题型三、乘方相关的定义性问题 1．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A. ，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某图书馆把密码做成了数学题．小明在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化知识，乘方运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； 观察第一个式子，可以发现，，然后，接着，然后依次摆放得：．再按照此规律计算即可． 【详解】观察第一个式子，可以发现：①，②，③：得，④， 然后依次摆放得：．后面两个式子，规律也一样， 则①，②，③，④， 故密码是． 故选：B 3．（24-25七年级上·山东德州·期中）用“☆”“★”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义，先计算再计算，即可求解． 【详解】解：∵，． ∴． 故答案为． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为 ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了新定义下有理数的乘方运算，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意分两种情况分别计算讨论即可． 【详解】解：当且时，即且， ∴， ∴，或 解得：或； 当时，即， ∴， ∴， 解得：；（不符合题意）， 综上可得：或， 故答案为：1或． 5．（23-24七年级上·广东惠州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ， ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)1，4 (2)的值为29或 (3)30 【分析】（1）根据“如果，，，则”进行解答即可； （2）根据新定义的运算，得出，再根据绝对值的定义求出答案即可； （3）根据新定义的运算求出，，进而得到，再根据新定义运算求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 又，而， ， 故答案为：1，4； （2）， ， 解得或， 答：的值为29或； （3）， ，， ，即， ， 当时，． 题型四、有理数的混合运算 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方、中括号内的乘法，再计算小括号内的加法，最后计算除法即可得． 【详解】解：原式 ． 题型五、有理数混合运算中的阅读与探究 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 3．（2025八年级下·全国·专题练习）按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算；把代入代数式求值，与 244 比较，若大于 244 ，就停止计算，若结果没有大于 244 ，重新计算直至大于 244 为止． 【详解】解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：，则停止； 故选：B． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于8即可． 【详解】解∶开始输入的数为0， 解：返回继续运算； 输出结果； 故答案为∶ 5．（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 【详解】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序运算，质数和合数，利用质数和合数，根据程序运算解答即可． 【详解】解：∵是合数， ∴当输入4时，显示结果是， 当输入的是质数时，，解得； 当输入的是合数时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：，． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 【答案】(1)输出的值为 (2) 【分析】本题考查了程序流程图，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）将1代入，得，将代入，得．然后输出即可； （2）由，可知输出的值仍为． 【详解】（1）解：将1代入，得， 将代入，得． ∴输出的值为； （2）解：∵， ∴输出的值仍为． 8．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 【答案】(1)抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是15 (2)抽取，两张卡片时，卡片上的数字相除，结果最小，最小结果是 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算以及四则混合运算的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）要使两张卡片数字乘积最大，需考虑同号两数相乘，且绝对值越大乘积越大； （2）要使两张卡片数字相除最小，需考虑异号两数相除，且分子绝对值尽可能大，分母绝对值尽可能小； （3）要从四张卡片通过运算得到24，需结合四则运算规则进行组合尝试． 【详解】（1）解：∵ 要使乘积最大，应选择同号且绝对值较大的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是； （2）解：∵ 要使商最小，应选择异号且分子绝对值大、分母绝对值小的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴ 最小的商是 （3）解：抽取、、、， ∵ ， ∴ 运算式子可以是． 9．（24-25七年级上·广西桂林·期中）平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，列出计算式，然后计算即可； （2）①根据题意，分别计算出按顺序F→E→→和F→E→→的结果，再结合题意，即可解答本题； ②根据题意可知，当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：①若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 计算结果为， 故摸球顺序为F→E→→， 故答案为：； ②由题意可得：当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大， ． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）下列运算中，结果为负的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的有关计算，分别根据绝对值的性质、互为相反数的定义和乘方的意义，计算出各个选项中式子的结果，然后进行判断即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质、互为相反数的定义和乘方的意义． 【详解】、，结果为负，符合题意； 、，结果为正，不符合题意； 、，结果为正，不符合题意； 、，结果为正，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·广西钦州·阶段练习）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m，将数字21500000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的形式为，其中，为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义，计算求值即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义．解题关键在对乘法与乘方定义的区分，本题的易错点在于因没有注意观察，而把两种运算当成一种运算．根据乘法的定义：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新的运算：，如，则的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据定义公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为，，转化成十进制数分别为，，则十进制数6用八卦符号表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解二进制数换算为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据十进制数换算成二进制数的方法计算即可． 【详解】解： ∴十进制数6换算成二进制数为 ∴用八卦符号表示是： ． 故选：C． 7．（24-25七年级下·河南商丘·期末） ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和绝对值后，再计算加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 8．（24-25七年级上·陕西安康·期末）计算，结果用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．逆用乘法分配律求出，再根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质与乘方的运算，熟练掌握非负数的性质是解决本题的关键 ． 根据非负数的性质可得，，求出x和y的值，再由乘方的运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴则． 故答案为： ． 10．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 【答案】， 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握“二十四点”游戏规则是解本题的关键．任选四个数，用加减乘除乘方任意运算连在一起，结果为24即可． 【详解】解：， ； 故答案为：，． 11．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘，求多个相同因数的乘积的运算用乘方表示，例如：． 表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可； 表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可； 把转化成假分数，可得：原式，表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可； 把转化成分数，可得：原式，表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可； 表示把分子进行乘方计算，其他部分不变，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算即可； 首先把转化成，可得：原式，表示个相乘，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解： ， 故答案为：； （5）解： ， 故答案为：； （6）解： ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确遵循运算法则，熟练运算是解题关键． （1）利用加法的交换律和结合律进行有理数的加减运算即可求解； （2）逆用乘法的分配律进行有理数的乘法运算即可求解； （3）先算乘方，后算乘法，再算加减即可求解； （4）先算乘方和括号里的乘法，后去中括号，再算加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果； （2）先用除法计算出这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 【详解】（1）解：． （2）． 故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【答案】(1)，， (2)或(为自然数) (3)负数 【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是审清题意，根据已知条件进行解答. （1）先判断出3、、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的正整数倍； （3）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律． 【详解】（1）解：因为 所以输入时的程序为， 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； 当输入时，， 所以的相反数是的绝对值是， 所以当输入时，输出； 当输入时,, 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； （2）解：为输出结果是，的相反数及绝对值均为， 当输入的正整数倍时输出结果是； 所以应输入或(为自然数)； （3）解：因为无论输入什么有理数，经过“有理数转换器”的转换，“为正”时输出的倒数为正数，“非正”时输出的绝对值为或正数，所以这个“有理数转换器”不可能输出负数． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）小亮在电脑上设计了一个有理数的运算程序：输入a，按“*”键，再输入b，得到运算． (1)求的值； (2)小明在运算程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，猜想他在输入数据时，可能出现什么情况，为什么？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，除数不能为0，掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据除数不能为0解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为分母不能为0，所以当时程序无法操作； 因为为除数，而除数不能为0，所以当时，程序无法操作． 所以有两种可能：或． 20 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$